專題：數(shù)列求和講義(共18頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題：數(shù)列求和（一）主要知識(shí)：1直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。（1）等差數(shù)列的求和公式： （2）等比數(shù)列的求和公式Sn（切記：公比含字母時(shí)一定要討論）2公式法：如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式來求和.對(duì)于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和. 3倒序相加法：類似于等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法，如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)

2、的4錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的若，其中是等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令 ，則兩式錯(cuò)位相減并整理即得.5裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法.適用于類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法（1），特別地當(dāng)時(shí)，；（2），特別地當(dāng)時(shí)，；（3）（4）（5）6分組轉(zhuǎn)化求和法：有一類

3、數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.7并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，. 易錯(cuò)提示利用裂項(xiàng)相消法解決數(shù)列求和問題，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩個(gè)方面：(1)裂項(xiàng)過程中易忽視常數(shù)，如容易誤裂為，漏掉前面的系數(shù)；(2)裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或添項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)需注意：給數(shù)列和Sn的等式兩邊所乘的常數(shù)應(yīng)不為零，否則需討論；在轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和后，求其和時(shí)需看準(zhǔn)項(xiàng)

4、數(shù)，不一定為n.主要方法：1求數(shù)列的和注意方法的選?。宏P(guān)鍵是看數(shù)列的通項(xiàng)公式； 2求和過程中注意分類討論思想的運(yùn)用；3轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用；分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbn±cn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和(2)通項(xiàng)公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和利例1.【2016北京文15】已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) ，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.（2）由（1）知，.因此.從而數(shù)列的前項(xiàng)和. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn

5、2an(1)nan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和解：(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn，記數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n(212222n)(12342n)記A212222n，B12342n，則A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn，故數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2nAB22n1n2.,練習(xí)求和： 思路分析：通過分組，直接用公式求和。解：（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)錯(cuò)位相減法求和的具體步驟步驟1寫出Snc1c2cn；步驟2等式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比q，即qSnqc1qc2qcn；步驟3兩式錯(cuò)位相減轉(zhuǎn)化

6、成等比數(shù)列求和；步驟4兩邊同除以1q，求出Sn.同時(shí)注意對(duì)q是否為1進(jìn)行討論 2(2015·山東，18，12分)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足anbnlog3an，求bn的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)因?yàn)?Sn3n3，所以2a133，故a13，當(dāng)n2時(shí)，2Sn13n13，此時(shí)2an2Sn2Sn13n3n12×3n1，即an3n1，所以an(2)因?yàn)閍nbnlog3an，所以b1，當(dāng)n2時(shí)，bn31nlog33n1(n1)·31n，所以T1b1；當(dāng)n2時(shí)，Tnb1b2b3bn1×312×

7、32(n1)×31n，所以3Tn11×302×31(n1)×32n，兩式相減，得2Tn(30313232n)(n1)×31n(n1)×31n，所以Tn.經(jīng)檢驗(yàn)，n1時(shí)也適合綜上可得Tn. (2015·湖北，18，12分)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)d>1時(shí)，記cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)由題意有即解得或故或(2)由d>1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn，可得T

8、n23，故Tn6.用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律(1)裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)例3.求和解: 【1-2】設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知， （1）求的通項(xiàng)公式；（2）令， ，若對(duì)一切成立，求實(shí)數(shù)的最小值【答案】（1）（）；（2）5【解析】試題分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，列方程組求解即可；（2）采用裂項(xiàng)相消的方法求和，分析單調(diào)性即可求參數(shù)的范圍.試題解析：（1）等差數(shù)列中， ， ，解得 ，（）（2），隨著增大而增大，是遞增數(shù)列，又， (2015·安徽文

9、，18，12分)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且a1a49，a2a38.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)由題設(shè)知a1·a4a2·a38，又a1a49，可解得或(舍去)由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1.又bn，所以Tnb1b2bn1.,鞏固練習(xí)：1求下列數(shù)列的前項(xiàng)和：（1）5，55，555，5555，； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解：（1）（2），（3）（4）， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ， ， 兩式相減得 ，（5）， 原式（6）設(shè)， 又， ，2已知數(shù)列的通項(xiàng)，求其

10、前項(xiàng)和解：奇數(shù)項(xiàng)組成以為首項(xiàng)，公差為12的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)組成以為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別有項(xiàng)， ，所以，1(2012·大綱全國，5，易)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a55，S515，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為()A. B. C. D.1A考向3由S55a3及S515得a33，d1，a11，ann，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和T10011，故選A.2(2015·江蘇，11，中)設(shè)數(shù)列an滿足a11，an1ann1(nN*)，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為_2考向3【解析】a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，

11、以上n1個(gè)式子相加得，ana1234n，a11，an123n，2，S1022.【答案】4(2016·山東，18，12分，中)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.4考向2解：(1)由題意知當(dāng)n2時(shí)，anSnSn16n5，當(dāng)n1時(shí)，a1S111，所以an6n5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d.由即解得b14，d3.所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)·2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3×2×223×23(n1)·2n1，2Tn3

12、15;2×233×24(n1)·2n2，兩式作差，得Tn3×2×2223242n1(n1)·2n23×3n·2n2，所以Tn3n·2n2.6(2015·四川，16，12分，中)設(shè)數(shù)列an(n1，2，3)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求使得|Tn1|成立的n的最小值6考向1解：(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)，所以q2.從而a22a1，a32a24a

13、1，又因?yàn)閍1，a21，a3成等差數(shù)列，即a1a32(a21)所以a14a12(2a11)，解得a12.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列故an2n.(2)由(1)得.所以Tn1.由|Tn1|，得，即2n1 000.因?yàn)?95121 0001 024210，所以n10.于是使|Tn1|成立的n的最小值為10.1(2015·山東青島模擬，5)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)n為()A120 B99 C11 D1211A考向3因?yàn)閍n，所以a1a2an(1)()()110.即11，所以n1121，n120.2(2016·山西大同模擬，12)已知數(shù)列an

14、的通項(xiàng)公式為an(1)n(2n1)·cos1(nN*)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S60()A30 B60 C90 D1202D考向1由題意可得，當(dāng)n4k3(kN*)時(shí)，ana4k31；當(dāng)n4k2(kN*)時(shí)，ana4k268k；當(dāng)n4k1(kN*)時(shí)，ana4k11；當(dāng)n4k(kN*)時(shí)，ana4k8k.a4k3a4k2a4k1a4k8，S608×15120.4(2016·河南鄭州一模，18，12分)已知等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a11，且a3，a4，a11成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.4考向3解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公

15、差為d，由題意知d>0，因?yàn)閍3，a4，a11成等比數(shù)列，所以a3a11，所以(12d)(110d)，即44d236d450，所以d，所以an.(2)bn，所以Tn.5(2016·山東臨沂模擬，18，12分)已知an是等差數(shù)列，滿足a13，a412，數(shù)列bn滿足b14，b420，且bnan為等比數(shù)列(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.5考向1解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得d3，所以ana1(n1)d3n(nN*)設(shè)等比數(shù)列bnan的公比為q，由題意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.從而bnan2n13n2n1(nN*)(2)由(1)知bn3n2n1(nN*)所以Sn3(123n)(12222n1)3·n(n1)2n1.所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Snn(n1)2n1.187（2012·湖北高考理）已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為3，前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a2a1d，a3a12d，由題意得解得或所以