電磁場理論小班第2講[王園]改3——靜態(tài)場

1、王園電磁場理論小班授課第二講電磁場理論小班授課第二講靜態(tài)場及邊值問題靜態(tài)場及邊值問題電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)2 靜態(tài)電磁場：靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：場量不隨時間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場靜電場、恒定電場和恒定磁場 時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立故可以分別討論相互獨立故可以分別討論 3靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件靜電場分析邊界條件邊界條件微分形式：微分形式：本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：基本方程基本方程

2、積分形式：積分形式：(0,0,0Jt 場量、源量）靜電場：靜電場：4即即靜電場可以用一個標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，靜電場可以用一個標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函標(biāo)量函數(shù)數(shù) 稱為靜電場的標(biāo)量電位或簡稱電位，具有明確的稱為靜電場的標(biāo)量電位或簡稱電位，具有明確的物理意義。物理意義。E 電位函數(shù)電位函數(shù) 位函數(shù)的定義位函數(shù)的定義AEt 電磁標(biāo)量位電磁標(biāo)量位靜電場靜電場電位的不確定性？電位的不確定性？電位參考點的選擇？電位參考點的選擇？5 位函數(shù)滿足的方程和邊界條件位函數(shù)滿足的方程和邊界條件222t 由達(dá)朗貝爾方程由達(dá)朗貝爾方程靜電場靜電場2 6由由 和和 設(shè)設(shè)P1和和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，

3、其電位分是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為別為 1和和 2。當(dāng)兩點間距離當(dāng)兩點間距離l0時時21120limd0PPlE l12()SenDD D12媒質(zhì)媒質(zhì)2媒質(zhì)媒質(zhì)121l2P1P122121Snn7 位函數(shù)的計算位函數(shù)的計算已知電荷分布已知電荷分布已知電場分布已知電場分布8對于連續(xù)的體分布電荷，由對于連續(xù)的體分布電荷，由面電荷的電位：面電荷的電位： 1()( )d4VrrVCR故得故得點電荷的電位：點電荷的電位：( )4qrCR()1( )d4SSrrSCR()1( )d4lCrrlCR31()11( )d()()d4411()()d4VVVrRE rVrVRRrVR 31

4、()RRR 線電荷的電位：線電荷的電位：Rrr9解決定解問題：解決定解問題：2 122121Snn 例例： 兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于x = 0和和 x = a 處，在處，在兩板之間的兩板之間的 x = b 處有一面密度為處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所示。的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。0Sobaxy兩塊無限大平行板兩塊無限大平行板0S1( )x2( ) xsf10已知電場分布已知電場分布兩端點乘兩端點乘 ，則有，則有dlE 將將dd(ddd )dEllxyyxyy 上式兩邊從點上式兩邊從點P到點到

5、點Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得沿任意路徑進(jìn)行積分，得dd( )()QQPPElPQ P、Q 兩點間的電位差兩點間的電位差電場力對電場力對單位正電單位正電荷做的功荷做的功110ExzoPr 例例: 求均勻電場的電位分布。求均勻電場的電位分布。12電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中：電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中： 在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用；路、選頻等作用； 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜 電路電路； 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功

6、率因數(shù)，以在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率；減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率； 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容13 電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng) 儲存電荷儲存電荷能力的物理量。能力的物理量。 孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位與其電位 的比值，即的比值，即qC 電容電容 孤立導(dǎo)體的電容孤立導(dǎo)體的電容 兩個帶等量異號電荷（兩個帶等量異號電荷（ q）的導(dǎo)的導(dǎo) 體組成的電容器，其電容為體組成的電容器，其電容為12qqCU 電容的大小

7、只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。14 (3) 由由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；，求出兩導(dǎo)體間的電位差； (4) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。 (1) 假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q 和和 -q ； (2) 計算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度計算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度E； 計算電容的步驟：計算電容的步驟：Cq U21dU El15abo 例例： 同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體半徑為、外導(dǎo)體

8、半徑為b，其間填充介電常數(shù)為其間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。求此球形電容器的電容。 例例 : 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a，兩導(dǎo)，兩導(dǎo)線的軸線距離為線的軸線距離為D，且，且D a，求傳輸線單位長度的電容。，求傳輸線單位長度的電容。xyzxDa 例例： 同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為為，外導(dǎo)體半徑為為b，內(nèi)外導(dǎo)體，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。求同軸線單位長度的電容。ab同軸線同軸線16 多導(dǎo)體系統(tǒng)多導(dǎo)體系統(tǒng)1、電位系數(shù)、電位系數(shù)2、

9、電容系數(shù)、電容系數(shù)3、部分電容、部分電容在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體 上的電荷的影響。因此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時，必須把電容的上的電荷的影響。因此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時，必須把電容的 概念加以推廣，引入部分電容的概念。概念加以推廣，引入部分電容的概念。11q33q22q17111 1122133221 1222233331 13223331(1, 2 ,)Nii jjjqqqqqqqqqqiN電位系數(shù)電位系數(shù)(1, 2,)iiiN 自電位系數(shù)自電位系數(shù)()ijij 互電位系數(shù)互電位系數(shù)18i j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位

10、置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；具有對稱性，即具有對稱性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNii jjqqqqi jNqi j 0 ； 電位系數(shù)的特點：電位系數(shù)的特點：1311220qqq19若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體的電量可表示為若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體的電量可表示為 1iijiijiji jijM自有電容系數(shù)電容系數(shù)互有電容系數(shù)電容系數(shù)電容系數(shù)1110( ,1 , 2 ,)jjNiijjqi jN1111122133221122223313

11、113223331(1, 2 ,)Nii jjjqqqqiN 20 i j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；具有對稱性，即具有對稱性，即i j = j i 。i i 0 、 ；0()ijij21將各導(dǎo)體的電量表示為將各導(dǎo)體的電量表示為 式中：式中：部分電容部分電容(1, 2 ,)iN()Nii iiijijj iqCC 導(dǎo)體導(dǎo)體 i 與導(dǎo)體與導(dǎo)體 j 之間的部分電容之間的部分電容()ijijCij 導(dǎo)體導(dǎo)體 i 與地之間的部分電容與地之間的部分電容

12、 1Ni ii jjC111112213311112213311112213311121311212131131121121113113111212121313311qCCC 22 Ci j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；具有對稱性，即具有對稱性，即Ci j = Cj i 。 部分電容的特點：部分電容的特點：23q/q U 在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，把其中任意兩個在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，把其中任意兩個導(dǎo)體作為電容器的兩個電極，設(shè)在這導(dǎo)體作為電容器的兩個電極，設(shè)在這

13、兩個電極間加上電壓兩個電極間加上電壓U，極板上所帶，極板上所帶電荷分別為電荷分別為 ，則比值，則比值 稱為這稱為這兩個導(dǎo)體間的等效輸入電容。兩個導(dǎo)體間的等效輸入電容。等效電容等效電容如圖所示，有三個部分電容如圖所示，有三個部分電容112212CCC、導(dǎo)線導(dǎo)線 1 和和 2 間的等效電容為間的等效電容為11221121122C CCCCC導(dǎo)線導(dǎo)線 1 和大地間的等效電容為和大地間的等效電容為12222111222C CCCCC導(dǎo)線導(dǎo)線 2 和大地間的等效電容為和大地間的等效電容為12113221211C CCCCC1 12 212C22C11C大地大地大地上空的平行雙導(dǎo)線大地上空的平行雙導(dǎo)線24

14、 靜電場的能量靜電場的能量 12ew D E 電場能量密度：電場能量密度：1d2eVWD E V電場的總能量：電場的總能量：靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。能量。用電荷分布表示電場能量用電荷分布表示電場能量1d2eVWV？1d21dl2eSSellWSW 用于多導(dǎo)體帶電系統(tǒng)用于多導(dǎo)體帶電系統(tǒng)適用條件？適用條件？2512eiiiWqi 第第i個導(dǎo)體的電位個導(dǎo)體的電位式中：式中：iq 第第i個導(dǎo)體所帶的電荷個導(dǎo)體所帶的電荷11q33q22q所有電荷產(chǎn)生的電位所有電荷產(chǎn)生的電位對于兩個導(dǎo)體：對于兩個導(dǎo)體：1 122112

15、111222211 122221 1122111222112211112222eiiiWqqqqqqqqq自能自能自能自能相互作用能相互作用能11q22q26qq點電荷系統(tǒng)的能量點電荷系統(tǒng)的能量12eiiiWqiqir1q2qi 第第i個點電荷所在位置個點電荷所在位置r ri處的電位處的電位iq 第第i個點電荷的電量個點電荷的電量除除以外的其余點電荷產(chǎn)生的電位以外的其余點電荷產(chǎn)生的電位iqU121222112212111222eWqqqqUqU CC27 例例： 半徑為半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為為的電荷，試求靜電場能量。的電荷，試求靜電場能量。

16、 解：解： 方法一方法一，利用利用 計算計算 1d2eVWD E V 方法二方法二：利用利用 計算計算 1d2eVWV28 恒定電場與恒定磁場恒定電場與恒定磁場 0,00Jt （場量、源量），恒定場問題：恒定場問題：00DEBHJ ， 導(dǎo)電媒質(zhì)中的導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電（流）場恒定電（流）場由麥?zhǔn)戏匠探M：由麥?zhǔn)戏匠探M：恒定電場恒定電場恒定磁場恒定磁場29J 導(dǎo)電媒質(zhì)中存在恒定電流分布導(dǎo)電媒質(zhì)中存在恒定電流分布00EJJE ，邊界條件邊界條件?導(dǎo)電媒質(zhì)中的導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場基本方程恒定電場基本方程恒定電場的場量：恒定電場的場量：E E和和J JJ 將將 在空間的分布作為一個在空間的分布作為一個矢量

17、場矢量場恒定電流場恒定電流場J 為維持該恒定電流分布，必為維持該恒定電流分布，必須存在恒定的電場須存在恒定的電場 恒定電場恒定電場E與與 區(qū)域的靜電場比較區(qū)域的靜電場比較=030媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12122E1E)(12媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12012Ene1E2(0) 如如 21、且、且 290，則則 10， 即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。 此時，良導(dǎo)體表面可近似地看作為此時，良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面；等位面； 若媒質(zhì)若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)為理想介質(zhì)，即即 10，則則 J1=0，故故J2n=0 且且 E2n=0，即導(dǎo)體中，即導(dǎo)體中 的電流和電

18、場與分界面平行的電流和電場與分界面平行。媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12122E1E11122tantan電力線電力線與良導(dǎo)體表面不垂直與良導(dǎo)體表面不垂直31媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12122E1E11122tantan 如媒質(zhì)如媒質(zhì)2為導(dǎo)體，則為導(dǎo)體，則 即電場線垂直于導(dǎo)體表面。即電場線垂直于導(dǎo)體表面。 此時，導(dǎo)體表面為等位面；此時，導(dǎo)體表面為等位面；20E 媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12120E1E對于靜電場對于靜電場32(1) (1) 即導(dǎo)體內(nèi)有電荷流動即導(dǎo)體內(nèi)有電荷流動, ,恒定電場與靜電場重要區(qū)別恒定電場與靜電場重要區(qū)別：0J (2)(2)恒定電場同時存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面

19、恒定電場同時存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直上的電場既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因而導(dǎo)體表面不是等位面；于導(dǎo)體表面，因而導(dǎo)體表面不是等位面；（3 3）恒定電場中有電場能量的損耗）恒定電場中有電場能量的損耗, ,要維持導(dǎo)體要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。損耗的電場能量。332000JE 由由由由0EE 由由12121212120nnJJnnnEE引入電位引入電位電位滿足的方程電位滿足的方程電位滿足的邊界條件電位滿足的邊界條件恒定電場的電位恒定電場的電位

20、12,nnSDDD關(guān)于在恒定電場中關(guān)于在恒定電場中的的34均勻?qū)w內(nèi)不會出現(xiàn)電荷堆積；均勻?qū)w內(nèi)不會出現(xiàn)電荷堆積；對于分塊均勻的導(dǎo)體，電荷只能分布在分界面上。對于分塊均勻的導(dǎo)體，電荷只能分布在分界面上。12121212snDDnJJ 12n Jn J 由1212sn J 得0DEJJ ？導(dǎo)體內(nèi)的電荷分布導(dǎo)體內(nèi)的電荷分布恒定電場的源恒定電場的源？35駐立電荷駐立電荷電源中的非靜電力產(chǎn)生，分布不變的動態(tài)面電荷電源中的非靜電力產(chǎn)生，分布不變的動態(tài)面電荷36 例例一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為為 1、 1和和 2、 2，外加電壓，外加電壓U。求分界面

21、上的面電荷密。求分界面上的面電荷密度。度。U1d2d11, 22, zo37 例例 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半，外導(dǎo)體半徑為徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為 1和和 2 、電導(dǎo)率為電導(dǎo)率為 1和和 2 。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0 ，外導(dǎo)體接地。求：（，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面上的電）介質(zhì)分界面上的電荷面密度。荷面密度。J1212I外導(dǎo)體外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介

22、質(zhì)1abc11、22、0U38 工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓因而當(dāng)在電極間加上電壓U 時，必定會有微小的漏電流時，必定會有微小的漏電流 J 存在。存在。 漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即IGU其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即1URGI漏電導(dǎo)漏電導(dǎo)39 例例 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半

23、徑分別為求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a、b，長度長度為為l ，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為、介電常數(shù)為、介電常數(shù)為。電導(dǎo)電導(dǎo)2ln(/)IlGUba絕緣電阻絕緣電阻11ln2bRGladdln22baIIbUlla Ellba則則I2IJl2JIEl 設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I。40環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1hr2 0J設(shè)在沿設(shè)在沿 方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0 0 設(shè)在沿設(shè)在沿 方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0 0設(shè)在沿設(shè)在沿z z方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0 0?

24、G 41222222110z EJEdSIJS0URI222210AB 2110AB 2220AzBz 環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1hr2 0J沿沿 方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0 0 沿沿 方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0 0沿沿z z方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0 0？42恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬基本方程基本方程ED,EEJ0202nnttDDEE2121 nnttJJEE2121 靜電場（靜電場（ 區(qū)域）區(qū)域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,Ed0,d0SCDSEl0,0DEnn221121

25、 ,nn221121 ,本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)位函數(shù)邊界條件邊界條件恒定電場（電源外）恒定電場（電源外）對應(yīng)物理量對應(yīng)物理量靜電場靜電場EEDJqI恒定電場恒定電場GC43 恒定磁場基本方程恒定磁場基本方程基本方程基本方程邊界條件邊界條件本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系恒定磁場的矢量磁位恒定磁場的矢量磁位矢量磁位的引入矢量磁位的引入矢量磁位的不確定性和規(guī)范條件矢量磁位的不確定性和規(guī)范條件矢量磁位滿足的方程矢量磁位滿足的方程矢量磁位的邊界條件矢量磁位的邊界條件？已知電流分布計算矢量磁位已知電流分布計算矢量磁位？44ddCSAlBS12ttAA0A d0SAS12nnAA12AA12()nSeHHJ/HA1212

26、11()nSeAAJ矢量磁位的邊界條件矢量磁位的邊界條件452 2222xxyyzzAJAJAJAJ 1()( )d4VrrVCR()( )d4iiVJrA rVCR()( )d4VJ rA rVCR 對于面電流和線電流分布？對于面電流和線電流分布？已知電流分布計算矢量磁位已知電流分布計算矢量磁位由由 46 例例 求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為半徑為a，回路中的電流為，回路中的電流為I 。 解解 如圖所示，由于具有軸對稱性，如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均矢量磁位和磁場均與與 無關(guān)，計算無關(guān)，計算xz平面平

27、面上的矢量磁位與磁場上的矢量磁位與磁場將不失一般性。將不失一般性。(sincos )xzrr eere r(cossin)xrzra ee ae(sidncos) ddxyleeaea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圓環(huán)電流小圓環(huán)電流aIxzyrRdlrIP細(xì)線電流：細(xì)線電流：d( )4CIlA rrr47對于遠(yuǎn)區(qū)，有對于遠(yuǎn)區(qū)，有r a ，所以所以21 21 212121 ( )sincos11sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001(1sincos)(sincos)d4( )xyIaaeerrA rrr

28、rr202sin4yI aer r由于在由于在 =0面上面上 ，所以上式可寫成，所以上式可寫成yeerr于是得到于是得到20022( )sinsin44I aISA reerr rrrr4811(sin)()sinreAerArrBAr rrrr03(2cossin )4rISeerrr式中式中S =a2是小圓環(huán)的面積。是小圓環(huán)的面積。 載流小圓環(huán)可看作為磁偶極子，載流小圓環(huán)可看作為磁偶極子， 為磁偶極子的磁矩為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則（或磁偶極矩），則mpISrr02( )sin4mpA rerrrr或或 03( )4mA rprrrrrr03( )(2cossin )4mrpB r

29、eerrrrr49恒定磁場的標(biāo)量磁位恒定磁場的標(biāo)量磁位 一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)電流（電流（J0）的空間）的空間 中，則有中，則有即在無傳導(dǎo)電流即在無傳導(dǎo)電流（J0）的空間中，可以引入一個的空間中，可以引入一個標(biāo)量位函數(shù)來標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場。描述磁場。 標(biāo)量磁位的引入標(biāo)量磁位的引入0HmH 標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位 磁標(biāo)位的微分方程磁標(biāo)位的微分方程00,()BBHM將將 代入代入mH 0mH20mm 0mHM 0mM 等效磁荷體密度等效磁荷體密度50 標(biāo)量磁位的邊界條件？標(biāo)量磁位的邊界條件？0mBHHB

30、、20m在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中021()mSneMM 1212mmnn12210mmnHH 由：或或120mmmSnn 等效磁荷面密度等效磁荷面密度120nBB由：12120mmnHH 由：120mSnHH 由：51I IH H0 0H H1 1H H2 22022122IIHaa 012:aHHH 時1212121212nnHHIBBBBHH 52靜電位靜電位 磁標(biāo)位磁標(biāo)位 磁標(biāo)位與靜電位的比較磁標(biāo)位與靜電位的比較00,PEE00,mHH E mH PP 0mM 20()P 20mm 021()mSneMM 21()PSnePP 靜電位靜電位 0 PEDP磁

31、標(biāo)位磁標(biāo)位 m 0 mHB0M531. 磁通與磁鏈磁通與磁鏈 iiiiNINI電感電感 單匝線圈形成的回路的磁鏈定單匝線圈形成的回路的磁鏈定 義為穿過該回路的磁通量義為穿過該回路的磁通量 N 匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁 鏈定義為所有線圈的磁通總和鏈定義為所有線圈的磁通總和 CI 細(xì)回路細(xì)回路磁力線套住的電流磁力線套住的電流回路的電流回路的電流CI 細(xì)回路細(xì)回路II54iCI粗回路粗回路0i00iiII 粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁通分為兩部分：一部分是粗導(dǎo)線粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁通分為兩部分：一部分是粗導(dǎo)線(全部全部電流）包圍的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量電流）包圍的、磁力線不穿過

32、導(dǎo)體的外磁通量 ；另一部分是磁；另一部分是磁力線穿過導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分力線穿過導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分(部分電流部分電流 ）包圍的內(nèi)磁通）包圍的內(nèi)磁通量量 。0 I55 設(shè)回路設(shè)回路C中的電流為中的電流為I，所產(chǎn)生的磁場與回路，所產(chǎn)生的磁場與回路 C 交鏈的磁鏈為交鏈的磁鏈為 ，則磁鏈，則磁鏈 與回路與回路 C 中的電流中的電流 I 有正比關(guān)系，其比值有正比關(guān)系，其比值IL 稱為回路稱為回路 C 的自感系數(shù)，簡稱自感。的自感系數(shù)，簡稱自感。 外自感外自感ILii ILoo 自感自感 內(nèi)自感；內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：粗導(dǎo)體回路的自感：L = Li + Lo 自感只與回路的幾何形狀、尺寸以

33、及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，與電自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。流無關(guān)。 自感的特點：自感的特點：5600ddln22booaIIba0dd2ooIB dsd 則則0ln2oobLIa故單位長度的外自感為故單位長度的外自感為ab20IB 例例 求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚，外導(dǎo)體厚度可忽略不計，其半徑為度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。，空氣填充。 解解：內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。設(shè)同軸設(shè)同軸線中的電流為線中的電流為I，由安培環(huán)路定理，由安培環(huán)路定理57 求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。 設(shè)同

34、軸線中的設(shè)同軸線中的電流為電流為I，由安培環(huán)路定理，由安培環(huán)路定理2222diCIIHlIaa022iiIHBa 02ddd2iiBsIa (0)a與與di交鏈的電流為交鏈的電流為22IIa 與與di對應(yīng)的磁鏈為對應(yīng)的磁鏈為304dd2diiIIIaadIiB(0)a58因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為30040dd28aiiIIa08iiLI故單位長度的內(nèi)自感為故單位長度的內(nèi)自感為00ln82iobLLLa單位長度的總自感為單位長度的總自感為59 例例 計算平行雙線傳輸線單位的長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為計算平行雙線傳輸線單位的長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線的間距為，兩導(dǎo)

35、線的間距為D，且，且D a。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為0 。xyzxDaPII6021211MI稱為回路稱為回路C1 對回路對回路C2 的互感系數(shù)，的互感系數(shù)，簡稱互感。簡稱互感。12122MI 互感互感同理，回路同理，回路 C2 對回路對回路 C1 的互感為的互感為C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r61 互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍 磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。 滿足互易關(guān)系，即滿足互易關(guān)系，即M12= M21 當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時

36、，互當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互 感系數(shù)感系數(shù)M為正值；反之，則互感系數(shù)為正值；反之，則互感系數(shù)M為負(fù)值為負(fù)值。 互感的特點：互感的特點：62101112d()4CIlA rR120122112dd4CCllMMMR 紐曼公式紐曼公式 如圖所示的兩個如圖所示的兩個回路回路C1和回路和回路C2 ，回路回路C1中的電流中的電流 I1在回路在回路C2上的任一點上的任一點產(chǎn)生的矢量磁位產(chǎn)生的矢量磁位2210 1212112ddd4CCCIllAlR 回路回路C1中的電流中的電流 I1產(chǎn)生的磁場與回路產(chǎn)生的磁場與回路C2交鏈的磁鏈為交鏈的磁鏈為C1C2I1I2Ro1dl2dl2r

37、1r1201212dd4CCllMR 故得故得2102121dd4CCllMR 同理同理紐曼公式紐曼公式63長直導(dǎo)線與三角形回路長直導(dǎo)線與三角形回路Idz60bddSz 例例 如圖所示，長直導(dǎo)線與三角形（矩形）導(dǎo)體回如圖所示，長直導(dǎo)線與三角形（矩形）導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。路共面，求它們之間的互感。長直導(dǎo)線與矩形形回路長直導(dǎo)線與矩形形回路IdzabddSa6402IBe00d1d2ln2SRdBSaIaIRd長直導(dǎo)線與矩形回路長直導(dǎo)線與矩形回路Izd60abR65 恒定磁場的能量恒定磁場的能量 12ewB H 磁場能量密度：磁場能量密度：1d2eVWB H V 磁場的總能量：磁場的總能

38、量：用電流分布表示磁場能量用電流分布表示磁場能量1d2eVWJ A V ？適用條件？適用條件？1ds2seSWJA 12ecWIdl A 6612112111122222111121212222221 1221 211()d()d22111122221122mCCWAAIlAAIlIIIIL IL IM I I回路回路C2的自有能的自有能回路回路C1的自有能的自有能C1和和C2的互能的互能211d22111222mCSSWIAlIA dSIB dSILI 兩個電流回路兩個電流回路1 12 2一個電流回路一個電流回路? ?67 例例 同軸電纜的同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)、外

39、半徑分別為外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為 b和和c，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單位長度儲，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。存的磁場能量與自感。 解解：由安培環(huán)路定律，得：由安培環(huán)路定律，得2222202220IeaaIeabHIcebccbcabc68222202224220223222() () 2d223ln4()4()cbmIccbIcccbcbbcbW 三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為220021101d2() 2d2216VamWB H VIIa 00222() 2dln224bamWIIba 6

40、9單位長度內(nèi)總的磁場能量為單位長度內(nèi)總的磁場能量為222422000222232213lnln1644()4()mmmmWWWWIIIbcccbacbbcb單位長度的總自感單位長度的總自感4220002222223lnln822()24(mWLIbcccbacbbcb內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感70靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 邊值問題的類型邊值問題的類型1|( )Sf S已知場域邊界面上的位函數(shù)值，即已知場域邊界面上的位函數(shù)值，即222|()SfSn111|()Sf S、2|( )SfSn邊值

41、問題：在給定的邊界條件下，求解位函邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函 數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程第一類邊值問題（或狄里赫利問題）第一類邊值問題（或狄里赫利問題）已知場域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即已知場域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即 已知場域一部分邊界面上的已知場域一部分邊界面上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面位函數(shù)值，而另一部分邊界面上則已知上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即第三類邊值問題（或混合邊值問題）第三類邊值問題（或混合邊值問題）第二類邊值問題（或紐曼問題）第二類邊值問題（或紐曼問題）SV71 在場域在場域V 的邊界面的邊界面S上給

42、定上給定 或或 的的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V 具具有惟一值。有惟一值。 n惟一性定理惟一性定理SV惟一性定理的重要意義惟一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)惟一性定理的表述惟一性定理的表述惟一性定理的證明？惟一性定理的證明？7272q qqq非均勻感應(yīng)面電荷非均勻感應(yīng)面電荷等效電荷等效電荷 當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時，導(dǎo)體和當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介

43、質(zhì)表面附近時，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或介質(zhì)表面會出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場的分布。極化電荷將影響場的分布。接地導(dǎo)體板附近有一個點電荷，如圖所示。接地導(dǎo)體板附近有一個點電荷，如圖所示。鏡像法鏡像法7373 接地導(dǎo)體球附近有一個點電荷，如圖接地導(dǎo)體球附近有一個點電荷，如圖 接地導(dǎo)體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電接地導(dǎo)體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電 荷為線電荷。荷為線電荷。q q非均勻感應(yīng)電荷非均勻感應(yīng)電荷qq等效電荷等效電荷問題問題：這種等效電荷是否存在？：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？這種等效是否合理

44、？非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代的電位替代74 鏡像法的原理鏡像法的原理 鏡像法的理論基礎(chǔ)鏡像法的理論基礎(chǔ)解的惟一性定理解的惟一性定理 個數(shù)、位置及其電量大小個數(shù)、位置及其電量大小 鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點確定鏡像電荷的兩條原則確定鏡像電荷的兩條原則等效求解的等效求解的“有效場域有效場域”。鏡像電荷的確定：鏡像電荷的確定：像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中；像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中；像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場 區(qū)域區(qū)

45、域 的邊界條件來確定。的邊界條件來確定。方法：方法： 在在求解域外求解域外設(shè)置等效電荷，集中代表邊界上分布電設(shè)置等效電荷，集中代表邊界上分布電荷的作用荷的作用目的：目的： 使復(fù)雜邊值問題，化為使復(fù)雜邊值問題，化為無限大單一媒質(zhì)空間無限大單一媒質(zhì)空間的問題的問題751. 點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,qq hh 11()04qzRR（）00zRR滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。 接地導(dǎo)體平面的鏡像接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷鏡像電荷電位函數(shù)電位函數(shù)因因z = 0時，時，q qhhq 有效區(qū)域有效區(qū)域RR q q

46、h76hhl 有效區(qū)域有效區(qū)域RR l2.線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像上半空間上半空間( ( z0 ）的電位函數(shù)？）的電位函數(shù)？導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為？導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為？導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為？導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為？773. 點電荷對相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像點電荷對相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點電荷電荷q 位于位于(d1, d2 )處。處。 顯然，顯然，q1 對平面對平面 2 以及以及q2 對平對平面面 1 均不能滿足邊界條件。

47、均不能滿足邊界條件。1231111()4qRRRR 對于平面對于平面1：對于平面對于平面2：電位函數(shù)電位函數(shù)q d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1 ,nn 為整數(shù)；像電荷的個數(shù)為整數(shù)；像電荷的個數(shù) 2n-12n-1其中其中+q+q、-q-q各為多少個？各為多少個？78 例例 一個點電荷一個點電荷q與無限大導(dǎo)體平面距離為與無限大導(dǎo)體平面距離為d，如果，如果把它移至無窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？。把它移至無窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？。qqx = 0d-d79 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像1. 點電荷對點電荷對接地接地導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像01()4qqRR dq?方法：利用

48、導(dǎo)體球面上電位為零確定方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定 和和q。d PqarRdqPaqrRRdd80add2 像電荷的位置像電荷的位置RaqqqqRdqRR0 像電荷的電量像電荷的電量ad1 qq 球外的電位函數(shù)球外的電位函數(shù)?導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為?球面上的感應(yīng)電荷面密度球面上的感應(yīng)電荷面密度?inaqqqd ？qPaqaRRddOPqOPqqqRR 球球面面上上：RdRa 812. 點電荷對點電荷對接地接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像空心導(dǎo)體球殼的鏡像aqqd, 如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為a 、外半徑為、外半徑為b，點電，點電荷荷

49、q 位于球殼內(nèi)，與球心相距為位于球殼內(nèi)，與球心相距為d ( d |q|像電荷的位置和電量與外半像電荷的位置和電量與外半徑徑 b 無關(guān)。無關(guān)。?aqdobqrRRaqdod球內(nèi)的電位函數(shù)球內(nèi)的電位函數(shù)?導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為?球內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷面密度球內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷面密度?inqqq 823 . 點電荷對點電荷對不接地不接地導(dǎo)體球的鏡像導(dǎo)體球的鏡像導(dǎo)體球不接地時的特點：導(dǎo)體球不接地時的特點： 導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面 球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng)電荷為零總的感應(yīng)

50、電荷為零 點電荷點電荷q 位于一個半徑為位于一個半徑為a 的不接地導(dǎo)體球外，距球心為的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。PqarRd830aqqqda ， 而而原問要求原問要求r=a的球面總電荷為零的球面總電荷為零。將電荷。將電荷qq加于加于r=a的的球球面上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電面上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷荷q q 可用一個位于球心的鏡像電荷可用一個位于球心的鏡像電荷qq來替代，即來替代，即01()4qqqRRr 球外任意點的電位為球外任意點的電位為qPaqrRRddq 先在先在d放置放置q 2,aaqq ddd r=a的球面電位為零，

51、有總電荷量為的球面電位為零，有總電荷量為q q 的感應(yīng)電荷分布的感應(yīng)電荷分布84PqarRdU UPqarRdQ QaqQbQqabood85q qd dha a86 導(dǎo)體圓柱面的鏡像導(dǎo)體圓柱面的鏡像圖圖1 線電荷與導(dǎo)體圓柱線電荷與導(dǎo)體圓柱lxoa0d圖圖2 線電荷與導(dǎo)體圓柱線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像的鏡像ald( , )P xo0ld1. 線電荷對接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像線電荷對接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像2lladd 導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)? ?導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度? ?導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷? ?inll 8

52、7222211lnln2211lnln222cos2cosllllCRRCdddda由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng)由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng) 時，電位應(yīng)為零，即時，電位應(yīng)為零，即 設(shè)鏡像電荷的線密度為設(shè)鏡像電荷的線密度為 ，且距圓柱的軸線為且距圓柱的軸線為 ，則由，則由 和和 共同產(chǎn)生的電位函數(shù)共同產(chǎn)生的電位函數(shù)ldll 線電荷與導(dǎo)體圓柱的線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像鏡像ald( , )P xo0ldR RRR88222211lnln0222cos2cosllCa adadadad2222()()2()cos0lllld add adadd 2222()()00lllld add ad 2lladd 上式對任意的上式對任意的 都成立，因此，將上式對都成立，因此，將上式對 求導(dǎo)，可以得到求導(dǎo)，可以得到比較比較 的系數(shù)的系數(shù)cos892. 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸圖圖1 1 兩平行圓柱導(dǎo)體兩平行圓柱導(dǎo)體hahall 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸兩平行圓柱