常見(jiàn)的分布函數(shù)

1、6 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念6.1 基本要求1 理解總體、樣本(品)、樣本容量、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的概念。能在總體分布給定情況下，正確無(wú)誤地寫(xiě)出樣本的聯(lián)合分布，這是本章的難點(diǎn)。2* 該部分內(nèi)容考研不作要求。 了解樣本的頻率分布、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的定義，了解頻率直方圖的作法。3 了解c2分布、t分布和F分布的概念及性質(zhì)，了解臨界值的概念并會(huì)查表計(jì)算。4 理解樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念。了解樣本矩的性質(zhì)，能借助計(jì)算器快速完成樣本均值、樣本方差觀察值的計(jì)算。了解正態(tài)總體的某些常用抽樣分布。6.2 內(nèi)容提要6.2.1 總體和樣本1 總體和個(gè)體 研究對(duì)象的某項(xiàng)特征指標(biāo)值的全體稱(chēng)為總體(或母體)，組成總體的每個(gè)元素

2、稱(chēng)為個(gè)體?？傮w是一個(gè)隨機(jī)變量，常用X，Y等來(lái)表示。2 樣本 從總體中隨機(jī)抽出n個(gè)個(gè)體稱(chēng)為容量為n的樣本，其中每個(gè)個(gè)體稱(chēng)為樣品，它們都是隨機(jī)變量。3 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 設(shè)X1，X2，Xn是來(lái)自總體X的容量為n的樣本，如果這n個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，Xn相互獨(dú)立且每個(gè)樣品Xi與總體X具有相同的分布，則稱(chēng)X1，X2，Xn為總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。4 樣本的聯(lián)合分布若總體X具有分布函數(shù)F(x)，則樣本(X1，X2，Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為若總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f(x)，則樣本的聯(lián)合概率密度為 (6.1)若總體X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為PX=ai=pi (i=1，2，n)，則樣本的聯(lián)合分布

3、為 (6.2)其中為的任一組可能的觀察值。6.2.2 樣本分布1 頻率分布 設(shè)樣本值(x1，x2，xn)中不同的數(shù)值是x1*，x2*，xl*，記相應(yīng)的頻數(shù)分別為n1，n2，nl，其中x1*< x2*<< xl*且。則樣本的頻數(shù)分布及頻率分布可由表6-1給出。表6-1指標(biāo)Xx1*x2*xl*頻數(shù)nin1n2nl頻率2 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)定義 設(shè)(X1，X2，Xn)為總體X的一個(gè)樣本，其樣本值為(x1，x2，xn)，則稱(chēng)函數(shù)為樣本值(x1，x2，xn)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。若已知樣本值(x1，x2，xn)的頻數(shù)、頻率分布表為指標(biāo)Xx1*x2*xl*頻數(shù)nin1n2nl 頻率則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) (

4、6.3)6.2.3 幾個(gè)重要分布及臨界值1分布 設(shè)X1，X2，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且XiN (0，1) (i=1，2，n)，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從自由度為n的分布，簡(jiǎn)記為(n)。2 分布的性質(zhì)：(1)設(shè)(n)，則, (2)設(shè)，且Y1，Y2相互獨(dú)立，則有3t分布 設(shè)，且X，Y相互獨(dú)立，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從自由度為n的t分布，或稱(chēng)學(xué)生氏(Student)分布，簡(jiǎn)記為T(mén)t(n)。4t分布的性質(zhì)(1) (2) ；這里f (x)為t分布的概率密度函數(shù)。5F分布 設(shè)，且X，Y相互獨(dú)立，則稱(chēng)隨機(jī)變量所服從的分布是自由度為m，n的F分布，簡(jiǎn)記為FF(m，n)。6F分布的性質(zhì)(1) 若則 (2) 若FF(m，n)，

5、則。7臨界值(1) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值 設(shè)XN(0，1)，對(duì)給定的正數(shù)，若存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則稱(chēng)點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X的臨界值 (或稱(chēng)上分位點(diǎn)或分位數(shù))。由，若已知，可通過(guò)反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求出臨界值。當(dāng)時(shí)，表中無(wú)法查出，此時(shí)查表，再由可求得臨界值。(2)分布的臨界值 設(shè)，概率密度為f(x)。對(duì)給定的數(shù)(01)，若存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則稱(chēng)數(shù)為分布的臨界值。已知n，通過(guò)查分布表可求得。當(dāng)n45時(shí)，可利用近似公式： 這里是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值。(3) t分布的臨界值 設(shè)Tt(n)，概率密度為f(x)。對(duì)給定的(01。若存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則稱(chēng)點(diǎn)為t分布的臨界值。已知n，通過(guò)查t分布表可求得。注：1) 類(lèi)似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布臨

6、界值的性質(zhì)，對(duì)t分布亦有：；2) 當(dāng)n45時(shí)，可用正態(tài)分布近似 。(4) F分布的臨界值 設(shè)FF(m， n)，概率密度為f(x)。對(duì)給定的(01，若存在實(shí)數(shù)(m，n)滿(mǎn)足則稱(chēng)數(shù)(m，n)為F分布的臨界值。注意公式6.2.4 統(tǒng)計(jì)量及樣本矩1統(tǒng)計(jì)量 設(shè)(X1，X2，Xn)為總體X的一個(gè)樣本，(X1，X2，Xn)是X1，X2，Xn的函數(shù)，若是連續(xù)函數(shù)且不含末知參數(shù)，則稱(chēng)(X1，X2，Xn)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。2幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量樣本矩(1)樣本均值。(2)樣本方差。(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差。(4)樣本k階原點(diǎn)矩。(5)樣本k階中心矩。3 樣本矩與總體矩的關(guān)系由樣本的獨(dú)立性及與總體同分布這一特性出發(fā)，運(yùn)用數(shù)字特征的

7、運(yùn)算法則，可得：若總體X的期望、方差存在，即，又（X1，X2，Xn)是取自總體X的一個(gè)樣本，則，；，。 （6.4）上述結(jié)論無(wú)論總體服從什么樣的分布都正確，故它是計(jì)算任意總體，特別是非正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差的期望、方差的常用結(jié)論。6.2.5 正態(tài)總體樣本均值和樣本方差的分布1 設(shè)總體XN()，()為樣本，為樣本均值，為樣本方差(1) ，或 N (0，1)； (6.5)(2) (6.6)(3) (6.7)(4) 樣本均值與樣本方差相互獨(dú)立；(5) (6.8)2設(shè)()是取自總體X的一個(gè)樣本，()是取自總體Y的一個(gè)樣本，且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，即假定，是n1+n2個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。若總體XN(

8、)，YN()，則有1)N(0，1)； (6.9)2)F(n11，n21)； (6.10)3)當(dāng)時(shí)，有 t(n1+n22)； (6.11)其中，。6.3 典型例題分析已知總體，求樣本的聯(lián)合分布例1.設(shè)(X1，X2，Xn)是取自總體X的一個(gè)樣本。試在下列三種情況下，分別寫(xiě)出樣本(X1，X2，Xn)的聯(lián)合分布律或聯(lián)合概率密度。(1)XB(1，p)；(2)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布；(3)X服從(0，)(>0)上的均勻分布。分析: 解此類(lèi)題先寫(xiě)出總體X的分布律（或概率密度）；再由Xi與X有相同的分布以及Xi之間的相互獨(dú)立性，由式（6.1），（6.2）即可寫(xiě)出樣本(X1，X2，Xn)的聯(lián)合分布律或聯(lián)合

9、概率密度。解:（1） 因?yàn)榭傮w分布律為于是樣本的聯(lián)合分布律為:(2) 因?yàn)榭傮w概率密度函數(shù)為： 所以，每一個(gè)樣本的概率密度為：故樣本的聯(lián)合概率密度為：（3）因?yàn)榭傮w概率密度函數(shù)為：所以樣本Xi的概率密度為故，樣本的聯(lián)合概率密度為：例2設(shè)XN()，(X1，X2，X3)為來(lái)自總體X的一個(gè)樣本。試求樣本(X1，X2，X3)的聯(lián)合概率密度和樣本均值的概率密度函數(shù)。解: 由于故又因?yàn)?，所以，的概率密度函?shù)為：注： 此題用到結(jié)論：若，則。這一結(jié)果有十分廣泛的應(yīng)用。例3.設(shè)總體服從泊松分布，是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（1） 計(jì)算；（2） 若容量為10的一組樣本觀察值為（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8）

10、，試計(jì)算樣本均值，樣本方差和經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。解: （1）解法一 由（6.4）式，因?yàn)?，于是，故，解法?故 （2），又X的頻率分布表為指標(biāo)X1234568頻數(shù)ni1123111頻率1/101/102/103/101/101/101/10所以，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為注: （1）解法一直接運(yùn)用樣本矩與總體矩之間的關(guān)系，即（6.4）式求得； 解法二運(yùn)用樣本與總體同分布的特性及數(shù)字特征的運(yùn)算法則求得。（2）寫(xiě)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，可先列出頻率分布表，這樣不至遺漏或出錯(cuò)。例4 設(shè)總體為樣本。試求：（1）數(shù)學(xué)期望與方差，的數(shù)學(xué)期望；（2）。解: 計(jì)算總體X的數(shù)學(xué)期望和方差故（1），。（2）因?yàn)?，所以注：?dāng)總體的期望和方差不

11、能直接寫(xiě)出時(shí)，要先求總體的期望和方差，再求樣本均值、樣本方差及樣本二階中心矩的期望和方差。另外，要注意與之間的差異。由于，即是總體方差的無(wú)偏估計(jì)，而不是總體方差的無(wú)偏估計(jì)，因此，一般都是以作為方差的估計(jì)量。但，故當(dāng)樣本容量很大時(shí)，和兩者相差很小，此時(shí)亦可用來(lái)估計(jì)總體方差。因此，有時(shí)把稱(chēng)為大樣本方差，而有的書(shū)上也稱(chēng)為樣本修正方差。本題（2）的解答用到了中心極限定理。由中心極限定理可得，不論總體服從什么分布，只要知道總體的數(shù)學(xué)期望，方差，則樣本均值的漸近分布就為正態(tài)分布。即由此可知求樣本均值落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率，就可以利用上述結(jié)論近似計(jì)算，這是很重要的結(jié)論。*例5 設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單樣本，且則

12、當(dāng)時(shí)，統(tǒng)計(jì)量h服從c2-分布，其自由度為（ ）。解:解法1 令則欲使，就必須使，由于于是令，則 ，此時(shí)。解法2 由于且相互獨(dú)立，則從而所以為使必須使同上面兩個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量比較可知 即 。注:本題雖用了兩種不同的解法，但目的相同且明確，即由分布的定義并由h構(gòu)成的特點(diǎn)，應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)腶,b使h恰為兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方和。*例6 設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，證明：統(tǒng)計(jì)量T服從自由度為2的t-分布.。證明： 由于從而所以故 于是 又因?yàn)?，?從而與獨(dú)立。于是由t分布的定義知注： 本題的關(guān)鍵是熟練掌握t分布的定義及正態(tài)總體下樣本均值、樣本方差的分布： N(0，1)， 。例7已知X。證

13、明F(1，n)。證明： 因?yàn)?, 即 , 其中 ，又, 而 故由F-分布的定義知: 注： 本題解答看似簡(jiǎn)單，但本章所學(xué)的三個(gè)分布都涉及到。因而了解證明過(guò)程中每一步的來(lái)龍去脈，對(duì)于熟悉、掌握有關(guān)隨機(jī)變量及其分布是一項(xiàng)基礎(chǔ)性訓(xùn)練。例8設(shè)(X1，X2，Xn)是來(lái)自正態(tài)總體N(0，1)的樣本。試求統(tǒng)計(jì)量(m<n)的抽樣分布。解 因?yàn)樗?, 故 同理 于是 例9設(shè)(X1，X5)是來(lái)自正態(tài)總體N()的一個(gè)樣本。試證：(1)當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(1，3)；(2)當(dāng)時(shí)，t(3)。解 (1) 于是由F-分布的定義，即得：（2） 據(jù)（1）的分析，由t-分布的定義即得結(jié)論。注： 本題仍是關(guān)于F-分布和t-分布的基礎(chǔ)訓(xùn)練

14、題。例10 設(shè)為總體的一個(gè)樣本，求。解： 因?yàn)橛谑?，由分布臨界值的定義，查表可知，故。注： 本題由于出現(xiàn)了隨機(jī)變量的平方和，故在尋找的分布時(shí)自然想到分布。但分布中的均服從N (0,1)，所以只要將此處的標(biāo)準(zhǔn)化即可。由臨界值的定義，一般查表是已知a，找臨界值，而此處則相反，是已知臨界值找a，故得到的是近似值。*例11 從正態(tài)總體中抽取容量為n的樣本，如果要求其樣本均值位于區(qū)間（1.4，5.4）內(nèi)的概率不小于0.95，問(wèn)樣本容量n至少應(yīng)取多少？Z1.281.6451.962.33F(z)0.9000.9500.9750.990解 ： 設(shè)正態(tài)總體為X，則，從而由(6.5)式得所以即。由此可得，即n

15、³(1.96´3)2»34.57,故n至少應(yīng)取35。例12設(shè)X1，X2，Xn為相互獨(dú)立且分別服從正態(tài)分布N()的隨機(jī)變量。設(shè)證明：。特別地，若N() i=1，2，n，則。證明 相互獨(dú)立故 同理可證若N() i=1，2，n，則。注： 本例說(shuō)明n個(gè)相互獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量的線(xiàn)性組合仍服從正態(tài)分布。特殊情形：若取，則結(jié)論正是正態(tài)總體下樣本均值的分布（6.5）式。該題結(jié)果可作為一般結(jié)論直接引用。例13設(shè)總體XN ()。現(xiàn)抽取容量為9的樣本，得到，問(wèn)是多少？解 ：而服從自由度為n-1=8的t分布，又由于t分布的對(duì)稱(chēng)性，有令，查表知，由插值可求得，即。注： 本題的關(guān)鍵是尋找含

16、有統(tǒng)計(jì)量的分布。由于s2未知，故不能用來(lái)解題，但S已知，由（6.8）式得，于是由t分布臨界值的定義即可順利求得相應(yīng)的概率。例14 設(shè)是來(lái)自總體X的隨機(jī)樣本，求下列概率。（1）（2）解 （1）由內(nèi)容提要知»0.98-0.02=0.96（2）利用（6.7）式得注： 本題關(guān)鍵是要注意這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的差異。它們雖然都服從分布，但由于與的不同使其自由度也不同。查表時(shí)，上述兩個(gè)隨機(jī)變量的自由度分別是10和9。同例10由于是反查表，得到的仍是近似值。例15 求總體N(20,3)的容量分別為10，15的兩個(gè)獨(dú)立樣本均值差的絕對(duì)值大于0.3的概率。解 設(shè)兩獨(dú)立樣本分別為X,Y，其樣本均值分別為，則由內(nèi)容

17、提要中（6.9）式知即 故 注 ：以上各題（例11-15），是掌握正態(tài)總體下幾種常用統(tǒng)計(jì)量分布的基礎(chǔ)訓(xùn)練題。例16 :;.證： 。注： 本題是一道綜合題，所述結(jié)果很重要。它說(shuō)明，如果樣本增加一個(gè)，其n+1個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的均值和方差的求法無(wú)需從頭做起，只要根據(jù)前n個(gè)數(shù)據(jù)求出的均值和方差，加上新的這個(gè)數(shù)據(jù)便可由1）和2）計(jì)算出來(lái)。證明最后一步時(shí)用到結(jié)論。6.4 練習(xí)與測(cè)試1* 本題為1997年考研數(shù)學(xué)（四）試題。 設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，而和是分別來(lái)自總體X和Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量服從 分布，參數(shù)（自由度）為 。2 設(shè)是來(lái)自總體的容量為n+m的樣本，則（1）統(tǒng)計(jì)量服從 分

18、布。（2）統(tǒng)計(jì)量服從 分布。（3）統(tǒng)計(jì)量服從 分布。3 X服從正態(tài)分布且則服從 分布。4設(shè)為10個(gè)樣本的均值，則。5 設(shè)隨機(jī)變量，則T服從 分布。6 設(shè)是來(lái)自具有分布的總體的樣本，則7 設(shè)分別來(lái)自?xún)蓚€(gè)正態(tài)總體的樣本，且相互獨(dú)立，分別為兩個(gè)樣本的樣本方差，則。8* 本題選自1994年考研數(shù)學(xué)試題（四） 設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，為樣本均值，記則服從自由度為n-1的t-分布的隨機(jī)變量是。9 已知總體X有概率密度試求樣本的聯(lián)合概率密度，并求10 設(shè)是總體X的樣本，而X服從區(qū)間a，b上的均勻分布，試求。11 在總體中隨機(jī)地抽取一個(gè)容量為5的樣本。（1） 求樣本均值在11到15之間取值的概率；（2） 求概率；（3） 求概率。12 隨機(jī)觀察總體X，取得10個(gè)數(shù)據(jù)如下 3.2，2.5，-4，2.5，0，3，2，2.5，4，2求樣本均值、樣本方差及經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。13 已知，從中隨機(jī)抽取n=14的樣本，試分別由以下條件求樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值小于1.5的概率。（1）；（2）。14 某廠(chǎng)生產(chǎn)的燈泡使用壽命?，F(xiàn)進(jìn)行質(zhì)量檢查，方法如下：任選若干個(gè)燈泡，若這些燈泡的平均壽命超過(guò)2200個(gè)小時(shí)，就認(rèn)為該廠(chǎng)生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量合格。若要使檢查能通過(guò)的概率超過(guò)0.997，問(wèn)至少應(yīng)檢查多少個(gè)燈泡？15 設(shè)在總體中抽取一容量為16的樣本，這里