平面向量知識點與2013考點精講

1、平面向量知識點與2013考點精講知識網(wǎng)絡向量的概念向量的運算向量的運用向量的加、減法實數(shù)與向量的積向量的數(shù)量積平面向量的基本定理及坐標表示向量的坐標運算物理學中的運用幾何中的運用兩向量平行的充要條件兩向量垂直的充要條件向量的夾角向量的模兩點間的距離第1講 向量的概念與線性運算 知 識 梳理 1平面向量的有關概念：（1）向量的定義：既有_大小又有方向_的量叫做向量.（2）表示方法：用有向線段來表示向量.有向線段的_長度_表示向量的大小，用_箭頭所指的方向_表示向量的方向.用字母a，b，或用，表示.特別提醒： 1) 模：向量的長度叫向量的模，記作|a|或|.2) 零向量：長度為零的向量叫做零向量，

2、記作0；零向量的方向不確定.3) 單位向量：長度為1個長度單位的向量叫做單位向量.4) 共線向量：方向相同或相反的向量叫共線向量，規(guī)定零向量與任何向量共線.5) 相等的向量：長度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2向量的線性運算1.向量的加法：（1）定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.如圖，已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點，作a，b，則向量叫做a與b的和，記作a+b，即 a+b特殊情況： 對于零向量與任一向量a，有 a a a（2）法則：_三角形法則_，_平行四邊形法則_（3）運算律：_ a+b=b+a；_，_（a+b）+c=a+（b+c）._2.向量的減法：（1）定義：求兩個向量差的運

3、算，叫做向量的減法. 減法的三角形法則作法：在平面內(nèi)取一點O， 作= a, = b, 則= a - b 即a - b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量注意：1) 表示a - b強調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)2) 用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a +(-b) 顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一abc a - b = a + (-b) a - b3.實數(shù)與向量的積：（1）定義：實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，規(guī)定：|a|=|a|.當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當=0時，a=0.（2）運算律：（a）=（）a， （+）a=a+a， （

4、a+b）=a+b.特別提醒：1) 向量的加、減及其與實數(shù)的積的結果仍是向量。2) 重要定理：向量共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使得b=a，即bab=a（a0）.向量 重 難 點 突 破 1.重點：理解向量及與向量相關的概念，掌握向量的幾何表示，掌握向量的加法與減法，會正確運用三角形法則、平行四邊形法則2.難點：掌握向量加法的交換律、結合律，并會用它們進行向量化簡與計算3.重難點：.問題1: 相等向量與平行向量的區(qū)別答案：向量平行是向量相等的必要條件。問題2:向量平行（共線）與直線平行（共線）有區(qū)別答案：直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的

5、情況。問題3：對于兩個向量平行的充要條件：aba=b，只有b0才是正確的.而當b=0時，ab是a=b的必要不充分條件.問題4；向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點無關：只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段【新題導練】題型1. 概念判析例1判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒有方向 (2)若(3)單位向量都相等 (4) 向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點,則終點也相同 (6)若，則；(7)若，則 (8)若四邊形ABCD是平行四邊形,則(9) 的充要條件

6、是且；解題思路：正確理解向量的有關概念，以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例說明。解析：解：(1) 不正確，零向量方向任意, (2) 不正確，說明模相等,還有方向 (3) 不正確，單位向量的模為1,方向很多 (4) 不正確，有向線段是向量的一種表示形式 (5)正確， （6）正確，向量相等有傳遞性 （7）不正確，因若，則不共線的向量也有，。(8) 不正確, 如圖 （9）不正確，當，且方向相反時，即使，也不能得到；【名師指引】對于有關向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從通過舉出反例而排除或否定相關命題。考點一： 向量及與向量相關的基本概念1.【2012高考浙江文7】設a，b是兩個非零向量。

7、A.若|a+b|=|a|-|b|，則abB.若ab，則|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，則存在實數(shù)，使得b=aD.若存在實數(shù)，使得b=a，則|a+b|=|a|-|b|【答案】C【命題意圖】本題考查的是平面向量，主要考查向量加法運算，向量的共線含義，向量的垂直關系。【解析】利用排除法可得選項C是正確的，|ab|a|b|，則a，b共線，即存在實數(shù)，使得ab如選項A：|ab|a|b|時，a，b可為異向的共線向量；選項B：若ab，由正方形得|ab|a|b|不成立；選項D：若存在實數(shù)，使得ab，a，b可為同向的共線向量，此時顯然|ab|a|b|不成立2.【2012高考四川文7】

8、設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（ ）A、且 B、 C、 D、【答案】解析若使成立，則選項中只有D能保證，故選D.點評本題考查的是向量相等條件模相等且方向相同.學習向量知識時需注意易考易錯零向量，其模為0且方向任意.考點二: 向量的加、減法【指引】掌握向量加減的定義及向量加法的交換律、結合律等基礎知識在求解時需將雜亂的向量運算式有序化處理，必要時也可化減為加，減低出錯律 題型2: 結合圖型考查向量加、減法3. (2009)在所在的平面上有一點，滿足，則與的面積之比是( )A B C D解題思路： 本題中的已知向量都集中體現(xiàn)在三角形中為此，可充分利用向量加減法的三角形法則實施

9、求解BCAP5-1-2【解析】由,得,即,所以點是邊上的第二個三等分點,如圖所示.故【名師指引】三角形中兩邊對應向量已知，可求第三邊所對應的向量值得注意的是，向量的方向不能搞錯當向量運算轉化成代數(shù)式運算時，其運算過程可仿照多項式的加減運算進行4如圖，在ABC中，D、E為邊AB的兩個三等分點，=3a，=2b，求，ABCDE解析： =+ = 3a+2b，因D、E為的兩個三等分點，故=ab =， =3aab =2ab，=2abab=ab考點三: 向量數(shù)乘運算及其幾何意義題型1: 三點共線問題例4 設是不共線的向量,已知向量,若A,B,D三點共線,求k的值解題思路：證明存在實數(shù)，使得解析：, 使得【指

10、引】1、逆向應用向量加法運算法則，使得本題的這種證法比其他證法更簡便，值得一提的是，一個向量拆成兩個向量的和，一定要強化目標意識2、這是一個重要結論，要牢記。題型2: 用向量法解決幾何問題基礎鞏固訓練1. 判斷下列命題是否正確，并說明理由：（1）共線向量一定在同一條直線上。（）（2）所有的單位向量都相等。（）（3）向量共線，共線，則共線。（）（4）向量共線，則（）（5）向量，則。（）（6）平行四邊形兩對邊所在的向量一定是相等向量。（）2. 在四邊形ABCD中，“”是“四邊形ABCD為梯形”的A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件3已知向量，若向量共線，則下列關

11、系一定成立的是（ ）A、 B、 C、 D、或4D、E、F分別是ABC的BC、CA、AB上的中點，且， ，給出下列命題，其中正確命題的個數(shù)是（ ） A、1 B、2 C、3 D、45已知：，則下列關系一定成立的是（ ）A、A，B，C三點共線 B、A，B，D三點共線C、C，A，D三點共線 D、B，C，D三點共線 6若則向量的關系是（ ） A平行 B重合 C垂直 D不確定ABCD 綜合拔高訓練7如圖，已知，用表示，則（ ）A B CD答案：B解析：8已知+=，-=，用、表示= 。答案： 9已知，且，試求t關于k的函數(shù)。答案: 10如圖，在OAB中，AD與BC交于M點，設，（1）試用和表示向量（2）在線

12、段AC上取一點E，線段BD上取一點F，使EF過M點，設，。求證：。第2講 平面向量的基本定理與坐標表示 知 識 梳理 1平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個_不共線_不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的_任一_向量，有且只有_一對實數(shù)1，2使=1+2特別提醒： (1)我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一 1，2是被，唯一確定的數(shù)量2平面向量的坐標表示 如圖，在直角坐標系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個_單位向量_ 、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定

13、理知，有且只有一對實數(shù)、，使得，我們把叫做向量的（直角）坐標，記作其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，式叫做向量的坐標表示與相等的向量的坐標也為特別地，特別提醒：設，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示3平面向量的坐標運算（1） 若，則=，= 兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差（2） 若，則 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標（3）若和實數(shù)，則實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標4向量平行的充要條件的坐標表示：設=(x1, y1) ，=(

14、x2, y2) 其中 ()的充要條件是 重 難 點 突 破 1.重點：（1）了解平面向量基本定理及其意義,了解基底和兩個非零向量夾角的概念,會進行向量的分解及正交分解；（2）理解平面向量的坐標的概念,掌握平面向量的坐標運算,會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；2.難點：用坐標表示的平面向量共線的條件,能用向量的坐標形式判斷兩向量以及三點是否共線.3.重難點：（1）平行的情況有方向相同和方向相反兩種問題1：和= (3,4)平行的單位向量是_；錯解：因為的模等于5，所以與平行的單位向量就是，即 (，)錯因：在求解平行向量時沒有考慮到方向相反的情況。正解：因為的模等于5，所以與平行的單位向量是，

15、即(，)或(，) 熱 點 考 點 題 型 探 析考點一: 平面向量的坐標表示與運算1.【2012高考廣東文3】若向量，則A. B. C. D. 【答案】A【解析】選 第3講平面向量的數(shù)量積 知 識 梳理 1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則_AB（）叫與的夾角.特別提醒：向量與向量要共起點。 2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|cosq_叫與的數(shù)量積，記作，即有 = |cosq特別提醒：（1） （）.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0 （2） 兩個向量的數(shù)量積的性質：設、為兩個非零向量，是與同向的單位向量1) = =|cosq；2) = 03) 當與同

16、向時， = |；當與反向時， = -| 特別的 = |2或4) cosq = ；5) | |3“投影”的概念：如圖定義： _|b|cosq_叫做向量b在a方向上的投影特別提醒：投影也是一個數(shù)量，不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0時投影為 |b|；當q = 180時投影為 -|b|4 平面向量數(shù)量積的運算律交換律： = 數(shù)乘結合律： () =() = ()分配律： ( + ) = + 5平面兩向量數(shù)量積的坐標表示已知兩個非零向量，設是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么， 所以 6.平面內(nèi)兩點間的距離公式如果表示向量的有向線段的起點和終

17、點的坐標分別為、，那么：7.向量垂直的判定：設，則8.兩向量夾角的余弦（） cosq = 重 難 點 突 破 1.重點：掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；能利用數(shù)量積的5個重要性質及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關問題；2.難點：掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題 3.重難點：.(1) 向量數(shù)量積與向量加、減、數(shù)乘運算的區(qū)別問題1: 兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量加、減、數(shù)乘運算的運算結果是向量。例：規(guī)定，=0(不是零向量，注意與=(R)區(qū)別)（2）向量數(shù)量積與實數(shù)相關概念的區(qū)別問題2: 表示方法的區(qū)別 數(shù)量積的記號是，不能寫成，也不能寫成(所以有時把數(shù)量積稱為“點乘

18、”，記號另外有定義，稱為“叉乘”)問題3:相關概念及運算的區(qū)別 若a、b為實數(shù)，且 ab=0，則有a=0或b=0，但=0卻不能得出=或=因為只要就有=0，而不必=或= 若a、b、cR，且a0，則由ab=ac可得b=c，但由=及0卻不能推出=因若、夾角為1，、夾角為2，則由=得|cos1=|cos2及|0，只能得到|cos1=|cos2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(見圖) 若a、b、cR，則a(bc)=(ab)c(結合律)成立，但對于向量、，則()與()都是無意義的，這是因為與是數(shù)量，已不再是向量了，而數(shù)量與向量是沒有點乘定義的同時，()()，這是因為數(shù)量與向量相乘是與共線的向量，而數(shù)量

19、與向量相乘則是與共線的向量，所以一般二者是不等的這就是說，向量的數(shù)量積是不滿足結合律的 若a、bR，則|ab|=|a|b|，但對于向量、，卻有|，等號當且僅當時成立這是因為|=|cos|而|cos|1 熱 點 考 點 題 型 探 析考點一：平面向量數(shù)量積的運算【名師指引】是一個常用的結論。例1.【2012高考全國文9】中，邊的高為，若，則（A） （B） （C） （D） 【答案】D考點二 利用數(shù)量積處理夾角的范圍題型1：求夾角及其范圍例2【2012高考湖北文13】已知向量a=（1,0），b=（1,1），則 （）與2a+b同向的單位向量的坐標表示為_；（）向量b-3a與向量a夾角的余弦值為_?！敬?/p>

20、案】（）；（） 【解析】（）由，得.設與同向的單位向量為，則且，解得故.即與同向的單位向量的坐標為.（）由，得.設向量與向量的夾角為，則.【點評】本題考查單位向量的概念，平面向量的坐標運算，向量的數(shù)量積等.與某向量同向的單位向量一般只有1個，但與某向量共線的單位向量一般有2個，它包含同向與反向兩種.不要把兩個概念弄混淆了. 今年需注意平面向量基本定理，基本概念以及創(chuàng)新性問題的考查.第4講 平面向量的應用 知 識 梳理 1 利用向量處理幾何問題的步驟為：（1） 建立平面直角坐標系；（2） 設點的坐標；（3） 求出有關向量的坐標；（4） 利用向量的運算計算結果；SF（5） 得到結論.2.平面向量在

21、物理中的應用如圖5-4-3所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，（6） 那么力F所做的功： W= |F| |S| cos. 3 重要不等式：特別提醒： 常用于求參數(shù)的范圍 重 難 點 突 破 1.重點：會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題,如確定力或速度的大小以及方向. 2.難點：加強數(shù)學應用意識，提高分析問題，解決問題的能力3.重難點：. 1熟悉向量的性質及運算律； 2能根據(jù)向量性質特點構造向量；3熟練平面幾何性質在解題中應用；4熟練向量求解的坐標化思路5認識事物之間的內(nèi)在聯(lián)系；6認識向量的工具性作用，加強數(shù)學在實際生活中的應用意識 熱 點 考 點 題 型 探 析考點一：平面向量

22、在平面幾何題型1. 用向量證明幾何題例1 已知：如圖所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線求證ACBD 解題思路：對于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的充要條件，而對于這一條件的應用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標形式的充要條件解析：證法一：，（）（）22O證法二：以OC所在直線為x軸，以B為原點建立直角坐標系，設B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）則由ABBC得a2b2c2（c，O）（a，b）（ca，b），（a，b）（c，O）（ca，b）c2a2b2O 即 ACBD【名師指引】如能熟練應用向量的坐標表示及運算，則將給解題帶來一定的方便通過向量的坐標表示，可以把幾何問題的

23、證明轉化成代數(shù)式的運算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用?！拘骂}導練】1證明：三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍.解析 設= b，= a，則=+= b+a, =b+aA, G, D共線，B, G, E共線 A B C E F D G可設=，= ,則=(b+ a)=b+a,= = (b+ a)=b+a, 即：b + (b+a) =b+a(-) a + (-+)b = 0 a, b不平行，2已知，若動點滿足，求動點P的軌跡方程.解析 由已知得，化簡得,這就是動點P的軌跡方程.考點二: 平面向量與三角函數(shù)、函數(shù)等知識的綜合應有用題型1: 與函數(shù)綜合題例3【2012高考陜西文7】設向量=（

24、1.）與=（-1， 2）垂直，則等于 （ ）A B C .0 D.-1【答案】C.【解析】向量與垂直，即， 故選C考點三: 平面向量在物理中的應用題型1: 用向量解決物理問題例4 設炮彈被以初速v0和仰角拋出（空氣阻力忽略不計）.當初速度v0的大小一定時，發(fā)射角多大時，炮彈飛行的距離最遠.解題思路：上述問題中涉及速度等物理量，可根據(jù)平面向量的基本定理和物理問題的需要，把v0分解為水平方向和豎直方向兩個不共線的向量，再利用運動學知識建立數(shù)學模型，最后利用向量的知識求解.解析：將v0分解為水平方向和豎直方向兩個分速度v1和v2，則| v1|=| v0|cos, | v2|=| v0|sin , 由物理學知識可知，炮彈在水平方向飛行的距離S =| v1|t=| v0|cost（t是飛行時間） 炮彈在垂直方向的位移是0=| v2|t-gt2（g是重力加速度） 由得t=,代入得=由于| v0|一定，所以當=45時，S有最大值.故發(fā)射角=45時，炮彈飛行的距離最遠.例5 某人騎車以每小時公里的速度向東行駛，感到風從正東方向吹來，而當速度為2時，感到風從東北方向吹來，試求實際風速和方向.解題思路：利用向量知識解決物理中有關“速