實(shí)數(shù)典型例題培優(yōu)

1、實(shí)數(shù)典型問(wèn)題精析（培優(yōu)）例1（2009年烏魯木齊市中考題）的相反數(shù)是（ ）A BC D分析：本題考查實(shí)數(shù)的概念相反數(shù)，要注意相反數(shù)與倒數(shù)的區(qū)別，實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a，選A.要謹(jǐn)防將相反數(shù)誤認(rèn)為倒數(shù)，錯(cuò)選D.例2（2009年江蘇省中考題）下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：第1個(gè)數(shù)：；第2個(gè)數(shù)：；第3個(gè)數(shù)：；第個(gè)數(shù)：那么，在第10個(gè)數(shù)、第11個(gè)數(shù)、第12個(gè)數(shù)、第13個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（A ）A第10個(gè)數(shù)B第11個(gè)數(shù)C第12個(gè)數(shù)D第13個(gè)數(shù)解析：許多考生對(duì)本題不選或亂選，究其原因是被復(fù)雜的運(yùn)算式子嚇住了，不善于從復(fù)雜的式子中尋找出規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律來(lái)作出正確的判斷.也有一些考生盡管做對(duì)了，但是通過(guò)寫(xiě)出第10

2、個(gè)數(shù)、第11個(gè)數(shù)、第12個(gè)數(shù)、第13個(gè)數(shù)的結(jié)果后比較而得出答案的，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，影響了后面試題的解答，造成了隱性失分.本題貌似復(fù)雜，其實(shí)只要認(rèn)真觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，從第二個(gè)數(shù)開(kāi)始，減數(shù)中的因數(shù)是成對(duì)增加的，且增加的每一對(duì)數(shù)都是互為倒數(shù)，所以這些數(shù)的減數(shù)都是，只要比較被減數(shù)即可，即比較的大小，答案一目了然.例3（荊門(mén)市）定義aba2b，則(12)3.解因?yàn)閍ba2b，所以(12)3(122)3(1)3(1)232.故應(yīng)填上2. 說(shuō)明：求解新定義的運(yùn)算時(shí)一定要弄清楚定義的含義，注意新定義的運(yùn)算符號(hào)與有理數(shù)運(yùn)算符號(hào)之間的關(guān)系，及時(shí)地將新定義的運(yùn)算符號(hào)轉(zhuǎn)化成有理數(shù)的運(yùn)算符號(hào).例4（河北?。┕畔ＥD著名的畢達(dá)哥拉

3、斯學(xué)派把1、3、6、10、，這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16、，這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.從如圖所示中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和.下列等式中，符合這一規(guī)律的是（ ）A.133+10B.259+16C.3615+21D.4918+314=1+3 9=3+6 16=6+10解因?yàn)?5和21是相鄰的兩個(gè)“三角形數(shù)”，且和又是36，剛好符合“正方形數(shù)”，所以3615+21符合題意，故應(yīng)選C.（說(shuō)明本題容易錯(cuò)選B，事實(shí)上，25雖然是“正方形數(shù)”，而9和16也是“正方形數(shù)”，并不是兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”）.例5（2009年荊門(mén)市中考題）若，則xy的

4、值為（ ）A1 B1 C2 D3分析：因?yàn)閤-10，1-x 0，所以x1，x 1，即x1.而由，有1+y0，所以y-1，xy1-（1）2.例6（2009年宜賓市中考題）已知數(shù)據(jù)：，2其中無(wú)理數(shù)出現(xiàn)的頻率為( )A20 B40 C60 D80分析：，和開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，所以和都是無(wú)理數(shù)；是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，也是無(wú)理數(shù)；而，-2都是有理數(shù)，所以無(wú)理數(shù)出現(xiàn)的頻率為0.660，選C例7(2009年鄂州市中考題)為了求的值，可令S，則2S ，因此2S-S，所以仿照以上推理計(jì)算出的值是（ ）A B. C. D.解析：本題通過(guò)閱讀理解的形式介紹了解決一類有理數(shù)運(yùn)算問(wèn)題的方法，利用例題介紹的方法，有：設(shè)S，則5S

5、，因此5S-S-1，所以S，選D.說(shuō)明：你能從中得到解決這類問(wèn)題的一般性規(guī)律嗎？試一試.例8 （2009年棗莊市中考題）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，依此類推，則 解析：首先要理解差倒數(shù)的概念，再按照要求寫(xiě)出一列數(shù)，從中找出規(guī)律，再應(yīng)用規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題.根據(jù)題意可得到：，4，可見(jiàn)這是一個(gè)無(wú)限循環(huán)的數(shù)列，其循環(huán)周期為3，而20096693+2，所以a2009與a2相同，即典型例題的探索（利用概念）例3. 已知：是的算術(shù)數(shù)平方根，是立方根，求的平方根。分析：由算術(shù)平方根及立方根的意義可知聯(lián)立解方程組，得：代入已知條件得：

6、，所以故MN的平方根是。練習(xí)：1. 已知，求的算術(shù)平方根與立方根。2. 若一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別為和，求的值。（大小比較）例4. 比較的大小。分析：要比較的大小，必須搞清a的取值范圍，由知，由知，綜合得，此時(shí)仍無(wú)法比較，為此可將a的取值分別為；三種情況進(jìn)行討論，各個(gè)擊破。當(dāng)時(shí)，取，則，顯然有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，仿取特殊值可得（利用取值范圍）例5. 已知有理數(shù)a滿足，求的值。分析：觀察表達(dá)式中的隱含條件，被開(kāi)方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)即，亦即，故原已知式可化為：練習(xí)： 若x、y、m適合關(guān)系式，試求m的值。（思路：x-2005+y與2005-x-y互為相反數(shù)，且均有算術(shù)平方根，故二者分別為0）（規(guī)律探索）例6.

7、借助計(jì)算器計(jì)算下列各題：（1）（2）（3）（4）仔細(xì)觀察上面幾道題及其計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你能解釋這一規(guī)律嗎？分析：利用計(jì)算器計(jì)算得：（1），（2）（3），（4）觀察上述各式的結(jié)果，容易猜想其中的規(guī)律為：個(gè)1與n個(gè)2組成的數(shù)的差的算術(shù)平方根等于n個(gè)3組成的數(shù)。即實(shí)數(shù)思想方法小結(jié)實(shí)數(shù)是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，對(duì)于初學(xué)者來(lái)講，有些概念比較抽象、難懂，但是，如果我們運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法來(lái)指導(dǎo)本章的學(xué)習(xí)，卻會(huì)收到良好的效果那么，在本章中有哪些重要思想方法呢？一、估算思想估算能力是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，估算思想就是在處理問(wèn)題時(shí)，采用估算的方法達(dá)到問(wèn)題解決的目的，在遇到無(wú)理數(shù)的大小比較或確定無(wú)理數(shù)的范

8、圍等問(wèn)題時(shí)，常用到估算的方法進(jìn)行解決。例1估計(jì)1的值是（ ）（A）在2和3之間（B）在3和4之間（C）在4和5之間（D）在5和6之間分析：此題主要考查學(xué)生的估算能力，首先要確定的取值范圍，在估算1的取值范圍。因?yàn)?1016，所以，即34，4+15，從而可確定1的取值范圍。解：選C.二、數(shù)形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)的一種方法。通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，從而達(dá)到優(yōu)化解題的目的。在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)，根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算等都能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要作用。例2如圖1，數(shù)軸上點(diǎn)表示，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)

9、稱點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)所表示的數(shù)為，求的值分析：此題是與數(shù)軸有關(guān)的數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，要求的值，需要先根據(jù)數(shù)軸確定x的值，由數(shù)軸易得 從而可求出代數(shù)式的值。解：點(diǎn)表示的數(shù)是，且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)表示的數(shù)是，即三、分類思想所謂分類討論思想就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對(duì)象分成為數(shù)不多的幾個(gè)部分或幾種情況，然后逐個(gè)加以解決，最后予以總結(jié)做出結(jié)論的思想方法。按照不同的標(biāo)準(zhǔn)，實(shí)數(shù)會(huì)有一些不同的分類方法。例3在所給的數(shù)據(jù):0.585885888588885(相鄰兩個(gè)5之間8的個(gè)數(shù)逐次增加1個(gè))其中無(wú)理數(shù)個(gè)數(shù)( ).(A)2個(gè) (B)3 (C)4個(gè) (D)5個(gè)解析：作此類題需要掌握實(shí)數(shù)的分類.判斷一個(gè)數(shù)是哪類數(shù)，可以化

10、簡(jiǎn)后再判斷，但是對(duì)于代數(shù)式分類判斷，則不能化簡(jiǎn)后再判斷，如是分式，對(duì)于數(shù)、式分類時(shí)，常用策略是：“數(shù)看結(jié)果，式看形式”.；顯然、0.57都是有理數(shù);所以無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)為3.選B.解釋理由如下：平方根典例分析平方根是學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的準(zhǔn)備知識(shí)，是以后學(xué)習(xí)一元二次方程等知識(shí)的必備基礎(chǔ)，也是中考的必考內(nèi)容之一.現(xiàn)以幾道典型題目為例談?wù)勂椒礁鶈?wèn)題的解法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.一、基本題型例1 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根（1）；（2）；（3）.分析：根據(jù)算術(shù)平方根的定義，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根可轉(zhuǎn)化為求一個(gè)數(shù)的平方等于的運(yùn)算，更具體地說(shuō)，就是找出平方后等于的正數(shù).解：（1）因?yàn)?，所以的算術(shù)平方根是，即；（2）因?yàn)椋缘?/p>

11、算術(shù)平方根是，即；（3）因?yàn)?，又，所以的算術(shù)平方根是，即.點(diǎn)評(píng)：這類問(wèn)題應(yīng)按算術(shù)平方根的定義去求.要注意的算術(shù)平方根是3，而不是3.另外，當(dāng)這個(gè)數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)先化為假分?jǐn)?shù)，然后再求其算術(shù)平方根，不要出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤.想一想：如果把例1改為：求下列各數(shù)的平方根.你會(huì)解嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉?例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.分析：表示的平方根，故其結(jié)果是一對(duì)互為相反數(shù)；表示的負(fù)平方根，故其結(jié)果是負(fù)數(shù)；表示的算術(shù)平方根，故其結(jié)果是正數(shù)；表示的算術(shù)平方根，故其結(jié)果必為正數(shù).解：（1）因?yàn)?，所?9.（2）因?yàn)椋?（3）因?yàn)?，所以=.（4）因?yàn)?，所?點(diǎn)評(píng)：弄清與平方根有關(guān)的三種符

12、號(hào)、的意義是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.表示非負(fù)數(shù)的平方根.表示非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，表示非負(fù)數(shù)的負(fù)平方根.注意.在具體解題時(shí)，符與“”的前面是什么符號(hào)，其計(jì)算結(jié)果也就是什么符號(hào)，既不能漏掉，也不能多添.例3 若數(shù)的平方根是和，求的值.分析：因負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，故必為非負(fù)數(shù)，故本題應(yīng)分兩種情況來(lái)解.解： 因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，故必為非負(fù)數(shù).（1）當(dāng)為正數(shù)時(shí)，其平方根互為相反數(shù)，故（）+（）=，解得，故=，從而.（2）當(dāng)為時(shí)，其平方根仍是，故且，此時(shí)兩方程聯(lián)立無(wú)解.綜上所述，的值是.二、創(chuàng)新題型例4 先閱讀所給材料，再解答下列問(wèn)題：若與同時(shí)成立，則的值應(yīng)是多少？有下面的解題過(guò)程：和都是算術(shù)平方根，故兩者的被開(kāi)

13、方數(shù)都是非負(fù)數(shù),而和是互為相反數(shù). 兩個(gè)非負(fù)數(shù)互為相反數(shù)，只有一種情形成立，那就是它們都等于0，即=0，=0，故.問(wèn)題：已知求的值.解：由閱讀材料提供的信息，可得故. 進(jìn)而可得.故=.點(diǎn)評(píng)：這是一道閱讀理解題.解這類問(wèn)題首先要認(rèn)真閱讀題目所給的材料，總結(jié)出正確的結(jié)論，然后用所得的結(jié)論解決問(wèn)題.（穿墻術(shù)）例5 請(qǐng)你認(rèn)真觀察下面各個(gè)式子，然后根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出第、個(gè)式子.；.分析：要寫(xiě)出第、個(gè)式子，就要知道它們的被開(kāi)方數(shù)分別是什么，為此應(yīng)認(rèn)真觀察所給式子的特點(diǎn).通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)前面三個(gè)式子的被開(kāi)方數(shù)分別是序數(shù)乘以16得到的，故第、個(gè)式子的被開(kāi)方數(shù)應(yīng)該分別是64和80.解：；.點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)探究性問(wèn)

14、題，也是一道發(fā)展數(shù)感的好題，它主要考查觀察、歸納、概括的能力解這類題需注意分析題目所給的每個(gè)式子的特點(diǎn)，然后從特殊的例子，推廣到一般的結(jié)論，這是數(shù)學(xué)中常用的方法，同學(xué)們應(yīng)多多體會(huì)，好好掌握！平方根概念解題的幾個(gè)技巧平方根在解題中有著重要的應(yīng)用.同學(xué)們想必已經(jīng)知到.但是,今天要告訴同學(xué)們的是它的幾個(gè)巧妙的應(yīng)用.希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助. 一、巧用被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性求值. 大家知道，當(dāng)a0時(shí)，a的平方根是，即a是非負(fù)數(shù). 例1、若求yx的立方根. 分析 認(rèn)真觀察此題可以發(fā)現(xiàn)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù),即2x0,得x2;x20,得x2;進(jìn)一步可得x=2.從而可求出y=6. 解 , x=2; 當(dāng)x=2時(shí),y=6.

15、yx=(6)2=36. 所以yx的立方根為. 二、巧用正數(shù)的兩平方根是互為相反數(shù)求值. 我們知道，當(dāng)a0時(shí)，a的平方根是，而例2、已知：一個(gè)正數(shù)的平方根是2a1與2a，求a的平方的相反數(shù)的立方根.分析 由正數(shù)的兩平方根互為相反得:(2a1)+(2a)=0,從而可求出a=1,問(wèn)題就解決了.解 2a1與2a是一正數(shù)的平方根,(2a1)+(2a)=0, a=1. a的平方的相反數(shù)的立方根是三、巧用算術(shù)平方根的最小值求值.我們已經(jīng)知道,即a=0時(shí)其值最小,換句話說(shuō)的最小值是零.例3、已知：y=,當(dāng)a、b取不同的值時(shí)，y也有不同的值.當(dāng)y最小時(shí),求ba的非算術(shù)平方根.（即負(fù)的平方根）分析 y=,要y最小

16、，就是要和最小，而0，0，顯然是=0和=0，可得a=2,b=1.解 0，0，y=，=0和=0時(shí)，y最小.由=0和=0，可得a=2,b=1. 所以ba的非算術(shù)平方根是四、巧用平方根定義解方程.我們已經(jīng)定義:如果x2=a （a0）那么x就叫a的平方根.若從方程的角度觀察,這里的x實(shí)際是方程x2=a （a0）的根.例4、解方程（x+1）2=36.分析 把x+1看著是36的平方根即可.解 （x+1）2=36 x+1看著是36的平方根. x+1=6. x1=5 , x2=7.例4實(shí)際上用平方根的定義解了一元二次方程(后來(lái)要學(xué)的方程).你能否解27(x+1)3=64這個(gè)方程呢?不妨試一試.利用平方根的定義

17、及性質(zhì)解題如果一個(gè)數(shù)的平方等于a（a0），那么這個(gè)數(shù)是a的平方根根據(jù)這個(gè)概念，我們可以解決一些和平方根有關(guān)的問(wèn)題（例1與例2區(qū)別）例1 已知一個(gè)數(shù)的平方根是2a1和a11，求這個(gè)數(shù)分析：根據(jù)平方根的性質(zhì)知：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零解：由2a1+a11=0，得a=4，所以2a1=241=7所以這個(gè)數(shù)為72=49例2 已知2a1和a11是一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)分析：根據(jù)平方根的定義，可知2a1和a11相等或互為相反數(shù)當(dāng)2a1=a11時(shí)，a=10，所以2a1=21，這時(shí)所求得數(shù)為(21)2=441;當(dāng)2a1+a11=0時(shí),a=4,所以2a1=7,這時(shí)所求得數(shù)

18、為72=49.綜上可知所求的數(shù)為49或441.（區(qū)別：類似3是9的平方根，但9的平方根不是3，是+3、-3.）例3 已知2x1的平方根是6,2x+y1的平方根是5,求2x3y+11的平方根.分析:因?yàn)?x1的平方根是6,所以2x1=36,所以2x=37;因?yàn)?x+y1的平方根是5,所以2x+y1=25,所以y=262x=11,所以2x3y+11=373(11)+11=81,因?yàn)?1的平方根為9,所以2x3y+11的平方根為9.例4 若2m4與3m1是同一個(gè)數(shù)的平方根，則m為（ ）（A）3 （B）1 （C）3或1 （D）1分析：本題分為兩種情況：（1）可能這個(gè)平方相等，即2m4=3m1，此時(shí)，m

19、=3；（2）一個(gè)數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，所以（2m4）+（3m1）=0，解得m=1所以選（C） 練一練:1. 已知x的平方根是2a13和3a 2,求x的值.2. 已知2a13和3a2是x的平方根,求x的值3.已知x+2y=10,4x+3y=15,求x+y的平方根.答案:1.49;2. 49或1225; 3.從被開(kāi)方數(shù)入手二次根式中被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性，時(shí)常是求解二次根式問(wèn)題的重要隱含條件。從被開(kāi)方數(shù)入手，將會(huì)使很多問(wèn)題迎刃而解。一、確定二次根式有意義例1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D.分析：二次根式的兩個(gè)基本特征是帶二次根號(hào)“”，被開(kāi)方數(shù)必為非負(fù)數(shù)。A中被開(kāi)方數(shù)

20、為負(fù)數(shù)；B中不帶“”，而是“”；D中被開(kāi)方數(shù)的正負(fù)無(wú)法確定；所以A、B、D都不是或不一定是二次根式。只有C中的被開(kāi)方數(shù)恒大于0，且?guī)А啊?，故選（C）。例2.x取何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。 分析：使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必有被開(kāi)方數(shù)大于等于0。如果式子中含有分母，分母不能為0。解：由2，當(dāng)時(shí)，式有意義；由2x10（分母2x10）x ， 當(dāng)x時(shí)，式有意義；由x10，x20，x1且x2 ，當(dāng)x1且x2時(shí)，式有意義；由于( x3)0，x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，式都有意義。二、含有相反數(shù)的被開(kāi)方數(shù)根式的化簡(jiǎn)與求值例3.已知y=，求（xy64）的算術(shù)平方根。分析：由被開(kāi)方數(shù)x7，7x互為相反數(shù)，且均

21、需滿足被開(kāi)方數(shù)大于等于0。故x7=7x=0，由此求出x、y。解：由 x77x0，得x=7，y91例4.設(shè)等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立。其中，m、x、y是互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)，求代數(shù)式的值。解：由mxy，xm0， ym0又被開(kāi)方數(shù) xm0 ， my0即ym0即有xm0，ym0而被開(kāi)方數(shù) m0將m=0代入等式，得 xy0下面兩道練習(xí)題，同學(xué)們不妨試試。1.x取何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。 2.若y=，試求（4x2y）2010的值。實(shí)數(shù)大小進(jìn)行比較的常用方法實(shí)數(shù)的大小比較是中考及數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的常見(jiàn)題型，不少同學(xué)感到困難?！皩?shí)數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)好其他知識(shí)的基礎(chǔ)。為幫助同學(xué)們掌握好這部分知

22、識(shí)，本文介紹幾種比較實(shí)數(shù)大小的常用方法，供同學(xué)們參考。方法一：差值比較法 差值比較法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，先求出a與b的差，再根據(jù)當(dāng)ab0時(shí)，得到ab。當(dāng)ab0時(shí)，得到ab。當(dāng)ab0，得到a=b。例1：（1）比較與的大小。 （2）比較1與1的大小。解 0 ， 。解 （1）（1）=0 ， 11。方法二：商值比較法 商值比較法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先求出a與b得商。當(dāng)1時(shí)，ab；當(dāng)1時(shí)，ab；當(dāng)=1時(shí)，a=b。來(lái)比較a與b的大小。例2：比較與的大小。解：=1 方法三：倒數(shù)法 倒數(shù)法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先分別求出a與b的倒數(shù)，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，ab。來(lái)比較a

23、與b的大小。例3：比較與的大小。解=+ ， =+又+（超綱，不作要求）方法四：平方法 平方法的基本是思路是先將要比較的兩個(gè)數(shù)分別平方，再根據(jù)a0，b0時(shí)，可由得到ab來(lái)比較大小，這種方法常用于比較無(wú)理數(shù)的大小。例5：比較與的大小解：， =8+2。又8+28+2 。方法五：估算法估算法的基本是思路是設(shè)a，b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先估算出a，b兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取值范圍，再進(jìn)行比較。例4：比較與的大小解：34 31 方法六：移動(dòng)因式法（穿墻術(shù)）移動(dòng)因式法的基本是思路是，當(dāng)a0，b0，若要比較形如a的大小，可先把根號(hào)外的因數(shù)a與c平方后移入根號(hào)內(nèi)，再根據(jù)被開(kāi)方數(shù)的大小進(jìn)行比較。例6：比較2與3的大小解

24、：2=，3=。又2827， 23。方法七：取特值驗(yàn)證法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，有時(shí)取特殊值會(huì)更簡(jiǎn)單。例7：當(dāng)時(shí)，的大小順序是_。解：（特殊值法）取=，則：=，=2。2，。例（常德市）設(shè)a20，b(3)2，c，d，則a、b、c、d按由小到大的順序排列正確的是（）A.cadb B.bdac C.acdb D.bcad分析可以分別求出a、b、c、d的具體值，從而可以比較大小.解因?yàn)閍201，b(3)29，c，d2，而129，所以cadb.故應(yīng)選A.除以上七種方法外，還有利用數(shù)軸上的點(diǎn)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；以及絕對(duì)值比較法等比較實(shí)數(shù)大小的方法。對(duì)于不同的問(wèn)題要靈活用簡(jiǎn)便合理的方法來(lái)解題。能快速地取得令

25、人滿意的結(jié)果。無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)我們知道小數(shù)分為兩大類：一類是有限小數(shù)，一類是無(wú)限小數(shù)而無(wú)限小數(shù)又分為兩類：無(wú)限循環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)有限小數(shù)都可以表示成十分之幾、百分之幾、千分之幾，很容易化為分?jǐn)?shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)即無(wú)理數(shù)，它是不能轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)的但無(wú)限循環(huán)小數(shù)卻可以化成分?jǐn)?shù)，下面請(qǐng)看：探索（1）：把0.323232（即0.）化成分?jǐn)?shù)分析：設(shè)x=0.32+0.0032+0.000032+ 上面的方程兩邊都乘以100得100x=32+0.32+0.0032+0.000032+ 得100xx=32 99x=32 x= 所以0323232= 用同樣方法，我們?cè)偬剿靼?.，0.0化為分?jǐn)?shù)可知0.=

26、，0.0=我們把循環(huán)節(jié)從小數(shù)點(diǎn)后第一位開(kāi)始循環(huán)的小數(shù)叫做純循環(huán)小數(shù)，通過(guò)上面的探索可以發(fā)現(xiàn)，純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)最少位數(shù)是幾，化成分?jǐn)?shù)的分母就有幾個(gè)9組成，分子恰好是一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字探索（2）：把0.4777和0.325656化成分?jǐn)?shù)分析：把小數(shù)乘以10得0.477710=4.777 再把小數(shù)乘以100得0.4777100=47.77 得0.47771000.477710=47 40.477790=43 0.4777= 所以 0.4777= 再分析第二個(gè)數(shù)0.325656化成分?jǐn)?shù)把小數(shù)乘以100得0.325656100=32.5656 把小數(shù)10000得0.32565610000=3256.56

27、 得0.325656（10000100）=3256320.3256569900=3224 0.325656=同樣的方法，我們可化0.17=，0. 3=我們把循環(huán)節(jié)不從小數(shù)點(diǎn)后第一位開(kāi)始循環(huán)的小數(shù)叫做混循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的規(guī)律是：循環(huán)節(jié)的最少位數(shù)是n，分母中就有n個(gè)9，第一個(gè)循環(huán)節(jié)前有幾位小數(shù)，分母中的9后面就有幾個(gè)0，分子是從小數(shù)點(diǎn)后第一位直到第一個(gè)循環(huán)節(jié)末尾的數(shù)字組成的數(shù)，減去一個(gè)循環(huán)節(jié)數(shù)字的差，例如0.17化成分?jǐn)?shù)的分子是172517=1708，0. 3化成分?jǐn)?shù)的分子是3293=326用數(shù)形結(jié)合思想解實(shí)數(shù)中問(wèn)題數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的解題思想方法，它可以使較繁雜或難解的題目由繁變簡(jiǎn)，化難為易，出奇制勝，下面舉例說(shuō)明用數(shù)形結(jié)合思想解實(shí)數(shù)中的問(wèn)題。a0b圖1例1 實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的