小升初典型奧數(shù)專題一：濃度問題_圖文

1、學(xué)科：情景數(shù)學(xué)動(dòng)漫濃度三角溶液的質(zhì)量溶質(zhì)的質(zhì)量溶劑的質(zhì)量濃度=溶質(zhì)重量溶液重量溶液重量=溶質(zhì)重量濃度溶質(zhì)重量=溶液重量濃度【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】溶度問題包括以下幾種基本題型（1） 溶劑的增加或減少引起濃度變化。面對(duì)這種問題，不論溶劑增加或減少，溶質(zhì)是始終不變的，據(jù)此便可解題。（2） 溶質(zhì)的增加引起濃度變化。面對(duì)這種問題，溶質(zhì)和濃度都增大了，但溶劑是不變的，據(jù)此便可解題。（3） 兩種或幾種不同溶度的溶液配比問題。面對(duì)這種問題，要抓住混合前各溶液的溶質(zhì)和與混合后溶液的溶質(zhì)質(zhì)量相等，據(jù)此便可解題?！厩榫肮适隆奎S小鴨喝奶茶的故事黃小鴨領(lǐng)著三個(gè)鴨弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路過了奶牛開的奶茶店。只見

2、店門口張貼著廣告：“既甜又濃的奶茶每杯0.3元?！秉S小鴨便招呼弟弟們歇腳，一起來喝奶茶。黃小鴨從奶牛手中接過一杯奶茶，給最小的弟弟老四喝掉，加滿水后給老三喝掉了，再加滿水后，又給老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。奶牛開始收錢了，他要求黃小鴨最小的弟弟付出0.30.05(元；老三0.30.1(元；老二與黃小鴨付的一樣多，0.30.15(元。兄弟四個(gè)一共付了0.45元。兄弟們很驚訝，不是說，一杯奶茶0.3元，為什么多付0.450.30.15元？肯定是奶牛再敲詐我們。不服氣的黃小鴨嚷起來：“多收我們堅(jiān)決不干?！薄安唤o，休想離開。”現(xiàn)在，大家說說為什么會(huì)這樣呢？濃度問題方法金手指保持濃度：溶質(zhì)溶

3、劑齊加減增加濃度：加溶質(zhì)或減溶劑降低濃度：減溶質(zhì)或加溶劑 【自學(xué)指導(dǎo)】濃度問題是圍繞溶質(zhì)、溶劑、溶液及濃度展開的。解題過程中我們要仔細(xì)分析題目，分清在變化前后，誰變了，誰沒變，緊緊抓住不變量，這是解題的突破口，也是本節(jié)重點(diǎn)。第一類：稀釋 技巧：稀釋前溶質(zhì)重量稀釋后溶質(zhì)重量第二類：稀釋 技巧：加濃前溶劑重量加濃后溶劑重量第三類：溶液混合和互換技巧：溶質(zhì)溶液溶質(zhì)（溶質(zhì)溶劑）濃度【方法指導(dǎo)】1、“濃度三角”法（改“十字交叉”法。）【解法范例】用濃度為45和5的兩種鹽水配制成濃度為30的鹽水4千克，需要這兩種鹽水各多少千克？2、權(quán)重法我們把，每份溶液所占全部溶液的份數(shù)稱為權(quán)重，記為q1，q2，q3，q

4、n，我們知道qk=。則混合后，溶液的濃度等于，各自溶液的濃度乘以它的權(quán)重的和，即：混合后濃度我們可以將純?nèi)苜|(zhì)看成濃度為100，將純?nèi)軇┛闯?。【解法范例】我們把50的鹽水1千克與20的鹽水4千克混合，求混合后溶液濃度？用三角形解濃度問題一、簡(jiǎn)化的方法簡(jiǎn)化了的方法更容易被人接受和利用。我們先通過幾道簡(jiǎn)單的問題了解一下新的方法。例1 有濃度為20的鹽水300克，要配制成40的鹽水，需加入濃度為70的鹽水多少克？例2 將75的酒精溶液32克稀釋成濃度為40的稀酒精，需加入水多少克？例3 買來蘑菇10千克，含水量為99，晾曬一會(huì)兒后，含水量為98，問蒸發(fā)掉多少水份？二、靈活的技巧“解題有法，但無定法”

5、，解題方法的運(yùn)用要講究技巧，根據(jù)具體題目加以靈活運(yùn)用，不要生搬硬套，形成定式。例4 甲容器中有純酒精11升，乙容器中有水15升，第一次將甲容器中的一部分純酒精倒入乙容器，使酒精與水混合。第二次將乙容器中的混合液倒入甲容器。這樣甲容器中純酒精含量為62.5，乙容器中純酒精的含量為40。那么第二次從乙容器中倒入甲容器的混合液是多少升？三、廣泛的應(yīng)用通過前面例題的講解，我們發(fā)現(xiàn)，新的解法利用濃度差的比與重量的比成反比的關(guān)系，把題目退到“份數(shù)”上考慮，數(shù)據(jù)也變簡(jiǎn)化了。這種方法應(yīng)用較廣泛，有些題目適合用這種方法解答。例5 某班有學(xué)生48人，女生占全班的37.5，后來又轉(zhuǎn)來女生若干人，這時(shí)人數(shù)恰好是占全班

6、人數(shù)的40，問轉(zhuǎn)來幾名女生？例6 服裝廠出售6000件男女服裝，男式皮衣件數(shù)占男衣的12.5，女式皮衣件數(shù)占女衣的25%，男女皮衣件數(shù)之和占這批服裝件數(shù)的1/5。這批服裝中男式皮衣有多少件？女式皮衣有多少件？例7 甲乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共存放420噸貨物，甲倉(cāng)運(yùn)出的貨物相當(dāng)于余下貨物的1/3，乙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)出的貨物相當(dāng)于余下貨物的1/4，這時(shí)兩倉(cāng)庫(kù)共余下貨物327噸，甲倉(cāng)原有貨物多少噸？乙倉(cāng)原有貨物多少噸？例8 小明到商店買紅、黑兩種筆共66支。紅筆每支定價(jià)5元，黑筆每支定價(jià)9元。由于買的數(shù)量較多，商店就給予優(yōu)惠，紅筆按定價(jià)85付錢，黑筆按定價(jià)80付錢，如果他付的錢比按定價(jià)少付了18，那么他買了紅筆多少支？（

7、北京市第14屆迎春杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題） 試一試：水果店購(gòu)進(jìn)蘋果1000千克，運(yùn)輸途中碰壞了一些，沒有碰壞的蘋果賣完后，利潤(rùn)率為40%，碰壞的蘋果只能降低出售，虧了60%，最后結(jié)算時(shí)發(fā)現(xiàn)總的利潤(rùn)為32%，問：碰壞_千克蘋果。濃度三角形主要用于解決兩種不同濃度糖水混合的問題出一道例題解釋一下30%糖水和1體積的水混合，濃度為24%，那么再和1體積的水混合，濃度為多少引入濃度三角 0.3（4） 0（1）0.06 0.240.24（5） 0（1）0.20(6已知兩份液體的濃度（0.3和0）和混合后的濃度（0.24）將他們擺出三角形的關(guān)系，用兩個(gè)濃度分別減去混合后的濃度，這兩個(gè)差之比就是體積的反比，這個(gè)

8、就是濃度三角形怎樣學(xué)好濃度問題6(組圖在濃度問題的解決中，我們經(jīng)常可以使用“濃度三角”。什么是濃度三角呢？濃度三角就是把混合前后的不同濃度寫成一種對(duì)稱的三角形的形式。實(shí)質(zhì)上是找混合前兩種溶液的濃度與混合后溶液濃度的差之比。這種方法簡(jiǎn)化了復(fù)雜的濃度問題，比較容易理解和使用。例1.在100千克濃度為50%的鹽水中，再加入多少千克濃度為5%的鹽水就可以配制成濃度為25%的鹽水？分析：混合前兩種溶液的濃度與混合后溶液的濃度的差之比，與所需數(shù)量之比恰好是成反比例關(guān)系，即所需溶液重量之比等于濃度差的反比。我們可以寫成濃度三角的形式（如下圖）更直觀地反映三個(gè)濃度之間的大小關(guān)系。解法一：（50%-25%）（2

9、5%-5%）252054混合前兩種溶液的濃度與混合后溶液的濃度的差之比所需濃度50%的溶液所需濃度5%的溶液4510045125（千克）答：再加入125kg濃度為5%的鹽水。解法二：方程解法分析。既然混合前后三種溶液的濃度是已知的，只要設(shè)出加入的5%濃度的鹽水是xkg，那么混合后的鹽水總量就是（x100）千克。顯然，混合前的兩種溶液所含的純鹽等于混合后的溶液里的純鹽。解：設(shè)再加入xkg濃度為5%的鹽水。50%鹽水里的鹽5%鹽水里的鹽混合后25%鹽水的鹽5%x10050%（x100）25%5%x5025%x25250.2x，x125答：再加入125kg濃度為5%的鹽水。例2.40%的鹽水與20%

10、的鹽水混合后，要配制成25%的鹽水180克。求40%與20%鹽水各需多少克？解法一：（40%-25%）（25%-20%）15531所需溶液重量之比等于濃度差的反比所需高濃度的溶液所需低濃度的溶液13180 45（克）需要40%高濃度的溶液180135（克）需要20%低濃度的溶液答：需要40%的溶液45克，需要20%的溶液135克。解法二：設(shè)需要40%的溶液x克，需要20%的溶液（180-x）克。40%x20%（180-x）18025%0.4x36-0.2x450.2x9x45需要40%高濃度的溶液180-45135（克）需要20%低濃度的溶液答：需要40%的溶液45克，需要20%的溶液135克

11、。通過以上例題，我們可以看出，解題時(shí)要善于抓住事物間的聯(lián)系，進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，就能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，找到解決問題的巧妙方法。第三講 濃 度 問 題（十字交叉相乘）濃度問題常用公式：溶液溶質(zhì)溶劑 ，濃度100%2、濃度三角形：3、常用方法：十字相乘法，濃度三角形，列方程十字交叉相乘法與濃度三角形在本質(zhì)上是相同的，本質(zhì)上都是比例。（一） 補(bǔ)充練習(xí)。 1、 （2007年第五屆“希望杯”一試六年級(jí)）一杯鹽水，第一次加入一定量的水后，鹽水的含鹽百分比為15%，第二次又加入同樣多的水，鹽水的含鹽百分比變?yōu)?2%；第三次再加入同樣多的水，鹽水的含鹽百分比將變?yōu)槎嗌伲拷夥ㄗプ☆}目中的不變量鹽的數(shù)量。設(shè)這杯鹽水中有鹽

12、60克。第一次加水后鹽水的總量變?yōu)?015%400克。第二次加水后鹽水的總量變?yōu)?012%500克。每次加入的水量為500400100克。第三次加入同樣多的水后鹽水的含鹽百分比將變?yōu)椋?0（500100）10%解法 設(shè)第一次加水后鹽水的重量變?yōu)榍Э?。鹽的重量是15%0.15。第二次加水后鹽水的總重量為0.1512%1.25每次加入的水量為1.250.25第三次加入同樣多的水后鹽水的濃度為0.15（1.250.25）10%答：第三次加入同樣多的水后鹽水的濃度為10%。2、 （人大附中選拔入學(xué)考試題）有兩包糖，第一包糖由奶糖和水果糖組成，其中為奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖組成，其中為酥糖。將兩包糖

13、混合后，水果糖占78，那么奶糖與酥糖的比例是多少？本題是一道簡(jiǎn)單的濃度問題。我們以水果糖為突破口：第一包奶糖占；水果糖占。第二包酥糖占；水果糖占。將兩包糖混合后，水果糖占78，（相當(dāng)于混合溶液）根據(jù)濃度三角形，列出等式：第一包（78）第二包（78）第一包第二包 （78）（78）23， 把第一包糖的數(shù)量看作2份，第二包3份。則奶糖與酥糖的比例是：（2）（3）56答：奶糖與酥糖的比例是56。3、 甲種酒精4千克，乙種酒精6千克，混合成的酒精含純酒精62%。如果甲種酒精和乙種酒精一樣多，混合成的酒精含純酒精61%。甲、乙兩種酒精中含純酒精的百分比各是多少？解： 如果甲乙兩種酒精各取4千克，因兩種酒精

14、取的一樣多，所以混合在一起的酒精溶液的濃度為61%。其中含純酒精4261%4.88千克。甲種酒精4千克，乙種酒精6千克，混合成的酒精含純酒精62%。其中含純酒精（46）62%6.2千克，6.2千克比4.88千克多6.24.881.32千克，多出的1.32千克純酒精來自642千克的乙種酒精，因此乙種酒精的濃度為1.3220.6666%。4千克甲種酒精中含純酒精（46）62%666%2.24千克，因此甲種酒精溶液的溶度為2.2440.5656%。答：甲種酒精溶液的溶度是56%，乙種酒精溶液的溶度是66%。4、 （2008年“我愛數(shù)學(xué)夏令營(yíng)”數(shù)學(xué)競(jìng)賽）若干升含鹽70%的溶液與若干升含鹽58%的溶液混

15、合后得到含鹽62%的溶液，如果每種溶液各多取15升，混合后得到含鹽63.25%的溶液，第一次混合時(shí)含鹽70%的溶液取了多少升？解1： 濃度70%的溶液（70%62%）濃度58%的溶液（62%58%）濃度70%的溶液濃度58%的溶液（62%58%）（70%62%）12每種溶液各取15升混合在一起得到濃度為（70%58%）264%的溶液30升。濃度62%的溶液（63.25%62%）30升（64%63.25%）濃度62%的溶液30升（64%63.25%）（63.25%62%）35濃度62%的溶液 3053 18升 這18升濃度62%的溶液是由濃度70%的溶液和濃度58%的溶液混合而成，他們的數(shù)量比是

16、12，所以濃度70%的溶液取了：186升答：濃度70%的溶液取了6升。5、某商品按零售價(jià)10元賣出20件所得到的利潤(rùn)和按照零售價(jià)9元賣出30件所得到的利潤(rùn)相等，求該商品的進(jìn)價(jià)。 售價(jià)10元的利潤(rùn)20 售價(jià)9元的利潤(rùn)30售價(jià)10元的利潤(rùn)售價(jià)9元的利潤(rùn)302032 按零售價(jià)10元所獲得的利潤(rùn)是（109）33元。所以該商品的進(jìn)價(jià)是1037元。答：該商品的進(jìn)價(jià)是7元。6、 4千克濃度為30%的溶液和多少千克濃度為10%的溶液能混合成26%的溶液？4千克（30%26%）濃度10%溶液數(shù)量（26%10%）4千克濃度10%溶液數(shù)量 （26%10%）（30%26%）41濃度10%的溶液應(yīng)該用4411千克。答：應(yīng)該取濃度10%的溶液1千克。7、 有兩種溶液，甲溶液的酒精濃度為10%，鹽濃度為30%，乙溶液中的酒精濃度為40%，鹽濃度為