期望方差公式的證明全集

1、期望與方差的相關(guān)公式的證明-、數(shù)學(xué)期望的來由早在17世紀(jì)，有一個賭徒向法國著名數(shù)學(xué)家帕斯卡挑戰(zhàn)， 給他出了一道題目， 題目是這樣的：甲乙兩個人賭博，他們兩人獲勝的機(jī)率相等，比賽規(guī)則是先勝三 局者為贏家，贏家可以獲得100法郎的獎勵。當(dāng)比賽進(jìn)行到第三局的時候，甲勝 了兩局，乙勝了一局，這時由于某些原因中止了比賽，那么如何分配這100法郎才比較公平？用概率論的知識，不難得知，甲獲勝的概率為1/2+(1/2)*(1/2)=3/4 ,或者分析 乙獲勝的概率為(1/2)*(1/2) =1/4。因此由此引出了甲的期望所得值為 100*3/4=75 法郎，乙的期望所得值為25法郎。這個故事里出現(xiàn)了 期望”這

2、個詞，數(shù)學(xué)期望由此而來。定義1若離散型隨機(jī)變量E可能取值為ai(i=1,2, 3 ,),其分布列為Pi(i=1,2,3,),則當(dāng)/|ajpi<g時，則稱自存在數(shù)學(xué)期望，并且數(shù)學(xué)期望為E?=JaiPi, i ±i 4如果一同Pi=笛，則數(shù)學(xué)期望不存在。 i 3定義2期望：若離散型隨機(jī)變量E ,當(dāng)E =為的概率為P( E =為)=Pi(i=1,2,n,),則稱ES =Exi Pi為W的數(shù)學(xué)期望，反映了 W的平均值.期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.EE由E的分布列唯一確定二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C。(2)若 k 是常數(shù)，則 E(kX)=kE(X

3、)(3) E(X 1 +X2)=E(X 1) +E(X 2)。三、方差的定義前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平， 是隨機(jī)變量一個重要的數(shù)字特征。但是在一些場合下，僅僅知道隨機(jī)變量取值的 平均值是不夠的，還需要知道隨機(jī)變量取值在其平均值附近的離散程度，這就是 方差的概念。定義3方差：稱D E =E (xi E E ) 2pi為隨機(jī)變量W的均方差，簡稱方差./DI叫標(biāo)準(zhǔn)差，反映了 S的離散程度.定義4設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)存在，若e(x _e(x)2存在，則稱E(X -E(X)2為隨機(jī)變量X的方差，記作D(X),即D(X) =E(X _E(X)2。方差的算術(shù)平

4、方根稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記作5X),即二(X) = Jd(X)由于仃(X )與X具有相同的度量單位，故在實(shí)際問題中經(jīng)常使用。D E表示E對E E的平均偏離程度，D工越大表示平均偏離程度越大，說明 工 的取值越分散.方差刻畫了隨機(jī)變量的取值對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度，若 X的取值相對于其數(shù)學(xué)期望比較集中，則其方差較??；若 X的取值相對于其數(shù)學(xué)期望比較分散，則方差較大。若方差D(X)=0,則隨機(jī)變量X以概率1取常數(shù)值。由定義4知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)g(x)=x .e(X)2的數(shù)學(xué)期望，故r oo _2.工Xk E(X) Pk,當(dāng)X離故時D (X ) = k 壬廣xk E(X ) 2 f (x

5、)dx ,當(dāng) X連續(xù)時當(dāng)X離散時，X的概率函數(shù)為P(xk) =P(X =xk) = Pk , k =1,2，；當(dāng)X連續(xù)時，X的密度函數(shù)為f(x)。求證方差的一個簡單公式：公式 1： D (X ) = E (X 2) - E (X ) 2證明一:D(X) =E(X -E(X)222=EX -2XE (X )E(x)一 2一2二E(X ) -E(X)n證明二：D ,一(為_E )2 R i 二n二，Xi2 -2XiE . (E )2 Pi i ± nnn二、Xi2 Pi 2E 匕Xi Pi - (E )2 :二 Pi i ±i AT=E 2 -2( E )2 (E )2=E 2

6、 .(E )2.D =E 2 -(E )2可以用此公式計(jì)算常見分布的方差四、方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù)，則以)=0。(2)若 C 是常數(shù)，則 D (CX ) =C 2D (X )。(3)若X與丫獨(dú)立，則公式 2： D(X +丫)=D(X) +D(Y)。證 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及求方差的公式得22D (X Y) =E( X Y) - E (X Y)222=EX Y 2XY -E(x)E(Y)222= E(X ) E(Y ) - 2E(X)E(Y) - E(X)-E(Y)2 -2E(X)E(Y)工E(X 2) -E(X)2 :工, 1E(Y2) -E(Y)2 )=D ( X ) D(Y)可推廣為：若X

7、i, X2 , , , Xn相互獨(dú)立，則nnDXi f D (Xi)i 1.i dnn一_2DrCiXi八 Ci D(Xi) i dim(4) D(X)=0。P(X= C)=1 , 這里 C =E(X)。五、常見的期望和方差公式的推導(dǎo)過程(一)離散型隨機(jī)變量的期望和方差的計(jì)算公式與運(yùn)算性質(zhì)列舉及證明1 .由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列具有下述兩個性質(zhì):(1) Pi>0, i = 1, 2,;(2) pi + p2+ , = 1。2 .離散型隨機(jī)變量期望和方差的性質(zhì)：E (at + b) = aEE + b, D (at + b) = a2 DE。(1)公式 3: E (aS

8、 +b) =aES +b,證明：令”=at+ba,b為常數(shù)”也為隨機(jī)變量P(axi b) = P( =xi) i =1,2, 3所以”的分布列為nax1 +bax2 +b,axn +b,pP1P2,Pn,E =(ax1 b)P1 - (ax2 b)p2 (ax- b) Pn=a(X1 P1 - x2P2 xn Pn )，b( P1 ，P2 ,'Pn ')E = aE bE(a Jb)=aE1+b說明隨機(jī)變量1的線性函數(shù)”=a之+ b的期望等于隨機(jī)變量 之 期望的線性函數(shù)(2)公式 4： D (a2+b) =a2DE (a、b為常數(shù)).n證法一：因?yàn)?xi-eT，Pii zi n

9、二x： 2xiE ' - (E )2 Pi i =± nnn= 、" xi2 Pi -2 E 二 土 xi Pi , (E )2： Pi i =1i =1i T=E2-2(E)2(E)2 =E 2 -(E )2.D =E 2 -(E )2nn所以有： D(aC+b)=£axi+b_(aE£+b)2，pi=a2£ (xi _ E t) 2 .pi = a2D t 證畢i _1i _1nnnn證法二：DS =- (Xi -E )2 pi =- Xi2pi -2E '、XiPi (E )2- pi =E 2 -(E )2 .i Xi

10、mi WE(a E +b)=aEE +b, D(a E+b尸a2DE .nnD (a - b) - %，axi b - (aEb)2 pi = a2V (xi - E ) 2 pi = a2D1i I(二)二項(xiàng)分布公式列舉及證明1 .二項(xiàng)分布定義：若隨機(jī)變量巴的分布列為：P e=k) = Cnkpkqn-k。(k= 0,1,2, n, 0<p<1, q=1 p,則稱、服從二項(xiàng)分布，記作UB (n, p),其中n、 p為參 數(shù)，并記 Cnk pkqn-k=b(k; n, p)。2 .對二項(xiàng)分布來說，概率分布的兩個性質(zhì)成立。即：(1) P (t = k) = Cnkpkqn-k>

11、0, k= 0, 1, 2, , n;(2) Z P (C = k)=£ Cnk pk qn-k=(p + q) n=1。 k z0k =0二項(xiàng)分布是一種常見的離散型隨機(jī)變量的分布，它有著廣泛的應(yīng)用。3 .服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量 七的期望與方差公式：若 E B (n, p),貝U E 已=np, DE =npq (q=1 p).(3)公式5:求證：E S =np方法一：在獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，某結(jié)果發(fā)生的概率均為p (不發(fā)生的概率為q ,有p + q = 1 ), 那么在n次實(shí)驗(yàn)中該結(jié)果發(fā)生的次數(shù)U的概率分布為0123.n -1nP八0 nCnq1n 1Cn pq 一-22 n 2Cn p

12、 q 一-33 n 3Cn p q 一._ n 1 n 1Cn_p _qn nCn p服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量t的期望E£=np .證明如下:預(yù)備公式kc二 nc12,、n,00 n J 10 n _220 n _2k 1 k ± (n J) _(n _k)n J n J 0、(p q) 一 二 (Cn P q 一 Cnp q 一 Cn P q 一 Cn p q 一 一 CnZ P -q )k kn _kk k n _k因?yàn)?p( =k) = Cn p (1 一p) 一 = Cn p q 一所以 E =0 C0p0qn1 1 n J22n _2k k n _kn 0 n- 1

13、 Cn p q -2 Cn p q . k Cn p q nCn p q_ ,0 0 n J 1 0 n 2 2 0 n 2k 1 k J (n J) _(n _k)n J n J 0、= np(Cnp q 一 Cnp q 一 Cn Ap q 一 c0二 p q 一 一 Cn二 p q ) n ±=np (p - q)= np所以Et= np得證次數(shù),方法二： 證明：若x B(n,p),則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 現(xiàn)在我們來求X的數(shù)學(xué)期望。若設(shè)Xi =/0如第i次試驗(yàn)成功如第i次試驗(yàn)失敗i=1,2 -n貝U X =X X 2 因?yàn)?P(Xi=1)=P, P(Xi =0) =1

14、 P =q所以 E (X i) =0 * q +1 * p = p ,貝I)nE(X ) = EnX i = ' E (X i )= np可見，服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是np 需要指出，不是所有的隨機(jī)變量都存在數(shù)學(xué)期望。公式 6 k kk -1k -2- k Cn =nC n 工,n(n -1。Ck = nC n(n -1儲：k2C： =knCnk：_ k1= n(k -1)1Cn_ k_ k"nC nn(k -1)Cnk 1k -2=nCnn(n -1)Cn求證：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量 巴的方差公式7: DE =npq (q=1-p).方法證明:n2

15、. 2八 i i n JE =' 1cn p qi 0n= c：pqnFi -2ni 1 i n ii 2 ininCnP q 一 八 n(n -10q 一i -2=npqn1i 1 i一 npv Cn；pi /n1 n i0 n 12i 2 i 2 n i-q - -npC nq - n(n -1) P ' gP F 一i _2n Jnn2n _2=npq np (p q)- npq n(n-1)p ( p q)n _1n _12二 npq np -npq n(n _1) p222=np n p -np22二 np(1 一 p) n p22二 npq n p由公式 1 知D

16、£ = Et2 (E1)2222二 npq n p - (np)=npq方法二：設(shè)eB(n,p),則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù)若設(shè)X i如第i次試驗(yàn)成功如第i次試驗(yàn)失敗i =1,2, , , nn則 JZ。是n次試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)，E(0)=0*q+1*p = p ,故 i丑D (。= E(：2) E(£)= p p2 = p(1 p) , i =1,2，nn由于£".,。相互獨(dú)立，于是D注)=£ D«)= np(1- p)。i 4(三)幾何分布的期望與方差的公式列舉及證明1. 定義5:幾何分布 (Geometric di

17、stribution )是離散型概率分布。定義6:在第n次伯努利試驗(yàn)，才得到第一次成功的機(jī)率。n次伯努利試驗(yàn)，前n-1次皆失敗，第n次才成功的概率。p(x = k) = (1 - p)3 P若 P( X =k) =qkp ,則(1)Et , (2) D£ =。pp求證：(1)幾何分布的期望公式8： Et.l,P若某射擊手擊中目標(biāo)的概率為P,求證：從射擊開始到擊中目標(biāo)所需次數(shù)U的期望證明：依題意分布列為£123,K,PPp(i _ P)2P(1 P)K 1P(1 P)一由 P(£=k)=qkp,知2K1E = 1 P 2P(1 - P) 3P(1 - P) . KP

18、(1 - P)2k 12k 1E = p 2Pq 3q p . kq p . = (1 2q 3q . kq .) pF面用錯位相減法求上式括號內(nèi)的值。記 Sk =1 2 q , 3q 2 kq k '2k 1qSk =q . 2q . (k - 1)qk kq兩式相減，得(1-q)Sk =12k1k q - q - . q - kqSk.、2(1 -q) 1 -q由 0<p<1,知 0cq <1,112-2)(1 -q)p則 1kmeqk = 0及!imjqk =0 (可用 L'Hospital 法則證明)故 12P 3q2 . kq k 上.=lim Skk.k求證： p(t =k) =g(k