由一道題引發(fā)的對(duì)“離心勢(shì)能”的研究

1、文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，己重新整理排版.word版本可編輯.歡迎下載支持.由一道題引發(fā)的對(duì)“離心勢(shì)能”的研究李威宏(2009010715)先我們看一道書上的習(xí)題，P76的2.27：一個(gè)半徑為R的金屬光滑圓環(huán)可繞其豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在環(huán)上套 有一個(gè)珠子。今從靜止開(kāi)始逐漸增大圓環(huán)轉(zhuǎn)速w。試求不同轉(zhuǎn)速 下珠子能靜止的位置，并判斷位置是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的？參考答案給的是在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系下進(jìn)行受力分析，分解出切向 力Ft，用Ft=O求出珠子靜止的位置，然后利用Ft對(duì)角位移6求導(dǎo)， 大于0的為穩(wěn)定的靜止位置。但是利用以上的方法不能很好的解釋為什么要這樣做，那么 我們可以嘗試用另一種思路來(lái)思考這個(gè)問(wèn)題，用能量的角度來(lái)考 慮

2、吧！受教材P193對(duì)“在穩(wěn)定平衡位置附近的微小振動(dòng)”的啟發(fā)， 有功是能量量度和功能關(guān)系出發(fā)，可以知道在平衡位置處應(yīng)該是 勢(shì)能取最小值的地方。即若以Ep=Ep(x)來(lái)表示系統(tǒng)的勢(shì)能，那么 對(duì)穩(wěn)定的平衡位置應(yīng)該滿足以下等式：F=-(dEp/dx)| x 平=0, d2Ep/dx2>0;其中Ep(X)可以是角位移。的函數(shù)。那么從上面這個(gè)思路我們可以另一種解法，但是在此種物理 情景之中，只有重力勢(shì)能顯然是不夠的?？紤]到在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中 珠子受到慣性力，且慣性力可以做功，那么就會(huì)問(wèn)是否慣性力也 對(duì)應(yīng)一種勢(shì)能？要證明慣性力是否對(duì)應(yīng)一種勢(shì)能，需要證明慣性力是一種保 守力，即做功與路徑無(wú)關(guān)。/ A、在轉(zhuǎn)動(dòng)

3、參考系中，珠子受力：I重力，棒對(duì)珠子的彈力(方向垂直于棒)，慣性離心力 f=m(jo2r(r 是圖中的 r),以及科里版而溫彈力和科里奧利力都不做功。珠子從ri到2做功：rdrW=£/dr= moo2rdr= moo2 rdr=l/2 ma)2r22-l/2m32rl2。這樣我們就知道離心力做功只和始末位置有關(guān)，而與路 徑無(wú)關(guān)，所以可以引入“離心勢(shì)能”的概念。在本題中?？梢詫㈦x心勢(shì)能和重力勢(shì)能合并為有效勢(shì)能。 并選擇最低點(diǎn)為有效勢(shì)能零點(diǎn)：重力勢(shì)能為零，離心勢(shì)能為所以：Ep(0)=mgR(l-cos 0)-1/2 mco2(Rsin 0)2.平衡位置：d Ep(0)/d0=O.。二?；?/p>

4、TT或COST(g/u)2R).穩(wěn)定平衡位置是Ep(e)的二階導(dǎo)數(shù)大于零，Ep取極小值：d2 Ep(0)/d02=2mu)2R2(cos 0)2+mgRcos 0+ ma)2R2.分別代入：。=it時(shí),d2 Ep(0)/d02<O,不成立；£ = 0 時(shí)，-2m(jo2R2(cos 0)2+mgRcos 0+ mco2R2>o,即 mgR> mco2R2, /.oo < Vg/R時(shí)能夠穩(wěn)定；()±COS - 1(g/oi)2R)時(shí)，可得3>Vg/R 時(shí)穩(wěn)定。由以上可見(jiàn)，用離心勢(shì)能來(lái)解答此類問(wèn)題更直觀，更 有助于理解機(jī)械能守恒和功能關(guān)系。二.有效

5、勢(shì)能在有心力場(chǎng)中的應(yīng)用及對(duì)軌道穩(wěn)定性的 判斷.1 .在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，例如圓周運(yùn)動(dòng)，切向速度會(huì) 產(chǎn)生一個(gè)慣性力場(chǎng),相應(yīng)就有離心勢(shì)能的出現(xiàn), 那么我們可以等效的認(rèn)為在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中切向 動(dòng)能已經(jīng)被離心勢(shì)能做等效，且此處的離心勢(shì) 能的零點(diǎn)時(shí)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。而通常情況下，運(yùn)動(dòng) 物體還具有真實(shí)的勢(shì)能，如上題中的重力勢(shì)能。 那么當(dāng)將將這兩個(gè)勢(shì)能合并為有效勢(shì)能時(shí)，就 會(huì)在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中與徑向動(dòng)能構(gòu)成新的機(jī)械能 守恒模式。在有心力場(chǎng)中：角動(dòng)量守恒：L=r*p. /是常向量。機(jī)械能守恒：E=l/2mv2+Ep(r), Ep(r)是真實(shí) 力的勢(shì)能。為了出現(xiàn)離心勢(shì)能，將v分解成切向速度 和徑向速度vr,L=r vL=mrv

6、t, 1 / 2mvt2=L2/ (2mr2) /. E=l/2mvr2+ L2/ (2mr2) + Ep (r), 注意到其中L7(2ml)就是所需要的離心勢(shì) 能，合并為Ep有效=L2/(2m/)+Ep(r),只是r 的函數(shù)。.E=l/2mv-+Ep有效(r)。: 弘二di7dt(E-Ep 有效)/m ,通過(guò)積分得到r=r，再代入L二m3r，就可 以得到0 = 0 (t),這就是質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律了。2 .判斷橢圓軌道的穩(wěn)定性。質(zhì)點(diǎn)在引力F二C-n的作用下作圓周運(yùn)動(dòng)，c 是常數(shù)，當(dāng)n滿足什么條件的時(shí)候，圓軌道才 是穩(wěn)定的？解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m,角動(dòng)量L,在r處的真實(shí)勢(shì)能是 Ep (r

7、)二一 J： F (r) dr二一六 1/ rn-1 則在r處的有效勢(shì)能：U(r)= -1/ rn-1+ L2/ (2mr2).n-1平衡位置ro滿足以下條件：d U(r)/dr=Oro3-n= L2/ (mC2)要是平衡位置穩(wěn)定，那么d2U(r)/dr2=L7(m r04)(3-n)>0,An<3,當(dāng)n<3時(shí)，圓軌道才穩(wěn)定。這就與我們接觸過(guò)的有心力如萬(wàn)有引力和庫(kù)倫 力中的一是吻合的。所以行星運(yùn)動(dòng)和電子的繞 核運(yùn)動(dòng)才是穩(wěn)定的。三.離心勢(shì)能在玻爾茲曼分布中的一個(gè)小應(yīng)用:一個(gè)常見(jiàn)的現(xiàn)象是：分布著紫色的氣體我們可以看到A端的顏色濃度會(huì)明顯低于B端，會(huì)有很多人直接說(shuō)是慣性的作用，對(duì)！但我們用離心 勢(shì)能和玻爾茲曼分布律來(lái)解釋更好：圖中的紫色氣體在慣性力場(chǎng)的作用下，其分布不再 遵循麥克斯韋分布，而是遵循玻爾茲曼中的空間分 布的一項(xiàng)，即n=noe-Ep/kEp主要是有離心勢(shì)能決定。 顯然A端的離心勢(shì)能是大于B端的，那么就會(huì)有 Na<Nb,這