一元二次方程根的分布情況歸納完整版

1、精心整理二次方程根的分布與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值歸納21、一元二次萬程axbxc0根的分布情況設(shè)方程ax2bxc0a0的不等兩根為人?2且x1x2,相應(yīng)的二次函數(shù)為fxax2bxc0,方程的根即為二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，它們的分布情況見下面各表（每種情況對(duì)應(yīng)的均是充要條件）分布情況兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0兩個(gè)正根即兩根都大于0111一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0,一個(gè)大于0x10x2岑大（C致0圖/|,得出的結(jié)論（大（0致、0圖）象得出的結(jié)論14.i.丁綜合論結(jié)a論）（不表一：（兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況）aa表二：(兩根與k的大小比較)分布情-況兩根都小于k即兩根都大于k即一個(gè)根小于k,

2、一個(gè)大于k即大致圖象(a0得出的結(jié)論大致圖象，i/11-x7SJ1，J1/'Ja0)得出的結(jié)論J綜合&1r論結(jié)a論)(不1P-.'L.1表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況兩根都在m,n內(nèi)兩根有且僅有一i根在m,n內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在m,n內(nèi)，另一根在p,q內(nèi)，mnpq大致圖象(a0)得出的結(jié)論1.111一一fm0ifn0或fp0fq0fmfn0fpfq0大致圖象(a0)J得出的結(jié)論1、L.Ifm0fn0f或fp0fq0fmfn0fpfq0綜合結(jié)可不討論根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間m,n外，即在區(qū)間兩側(cè)%m,X2n,(圖形分別如下)需滿足

3、的條件是(1) a 0時(shí),fm0；(2)a0時(shí),fn0對(duì)以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：(1)兩根有且僅有一根在m,n內(nèi)有以下特殊情況:若fm0或fn0,則此時(shí)fmgfn0不成立，但對(duì)于這種情況是知道了方程有一根為m或n,可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間m,n內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程mx2m2x20在區(qū)間1,3上有一根，因?yàn)閒10,所以mx2m2x2x1mx2,另一i根為"2"，由13得2m2即為所求；mm3方程有且只有一根，且這個(gè)根在區(qū)間m,n內(nèi)，即0,此時(shí)由0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若

4、不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程x24mx2m60有且一根在區(qū)間3,0內(nèi)，求m的取值范圍。分析：由f3gf00即14m15m30得出3m9；由014即16m242m60得出m1或m3,當(dāng)m1時(shí)，根x23,0,即m1滿足2題意；當(dāng)m3時(shí)，根x33,0,故m芻不滿足題意；綜上分析，得出3m竺2214或m1根的分布練習(xí)題例1、已知二次方程2m1x22mxm10有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范解：由2m1gf00即2m1m10,從而得-m1即為所求的范圍。2例2、已知方程2x2m1xm0有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：由0m32、.2或m322即為所求的范圍。例3、已知二次函數(shù)ym2x22m4

5、x3m3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于1,一個(gè)小于1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：由m2gf10即m2g2m102m二即為所求的范圍。2例4、已知二次方程mx22m3x40只有一個(gè)正根且這個(gè)根小于1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：由題意有方程在區(qū)間0,1上只有一個(gè)正根，則1f0gf104g3m10m即為所求范圍。3(注：本題對(duì)于可能出現(xiàn)的特殊情況方程有且只有一根且這個(gè)根在0,1內(nèi)，由0計(jì)算檢驗(yàn)，均不復(fù)合題意，計(jì)算量稍大)于x的方程的根滿足下列條件時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：程程程方方方x2axa270的兩個(gè)根一個(gè)大于2,另一個(gè)小于2;7x2(a13)xa2a20的一個(gè)根在區(qū)間(0,1)上，另一根在區(qū)間(1,2)

6、上；x2ax20的兩根都小于0;變題：方程x2ax20的兩根都小于1.(4)方程x2(a4)x2a25a30的兩根都在區(qū)間1,3上；(5)方程x2ax40在區(qū)間(1,1)上有且只有一解；例2、已知方程x2mx40在區(qū)間1,1上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.例3、已知函數(shù)f(x)mx2(m3)x1的圖像與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.檢測反饋：1,若二次函數(shù)f(x)x2(a1)x5在區(qū)間(；1)上是增函數(shù)，則f(2)的取值范圍是2.若、是關(guān)于x的方程x22kxk60的兩個(gè)實(shí)根，則(1)2(1)2的最小值為.3,若關(guān)于x的方程x2(m2)x2m10只有一根在(0,1)內(nèi)，則m_.

7、4.對(duì)于關(guān)于x的方程x2+(2m1)x+42m=0求滿足下列條件的m的取值范圍：(1)有兩個(gè)負(fù)根(2)兩個(gè)根都小于1(3)一個(gè)根大于2,一個(gè)根小于2(4)兩個(gè)根都在(0,2)內(nèi)(5)一個(gè)根在(2,0)內(nèi)，另一個(gè)根在(1,3)內(nèi)(6)一個(gè)根小于2,一個(gè)根大于4(7)在(0,2)內(nèi)有根(8)一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根且正根絕對(duì)值較大5.已知函數(shù)f(x)mx2x1的圖像與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。2、二次函數(shù)在閉區(qū)間m,n上的最大、最小值問題探討設(shè)fxax2bxc0a0,則二次函數(shù)在閉區(qū)間m,n上的最大、最小值有如下的分布情況：m上-n即上-m,n2a2a圖象-、；.-1一.X1

8、J1-1L最大、Lw、IKmrl對(duì)于開口向下的情況，討論類似。其實(shí)無論開口向上還是向下，都只有以下兩種最小值結(jié)論:bbb_(1)右一m,n,則fxmaxmaxfm,f,fn,fxminminfm,f,fn;2a2a2a若2a m,n,則fxmax max f m , f n , f x mmin f m , f n另外，當(dāng)二次函數(shù)開口向上時(shí)，自變量的取值離開x軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越精心整理x軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大；反過來，當(dāng)二次函數(shù)開口向下時(shí)，自變量的取值離開越小。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值練習(xí)二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值，討論的情況無非就是從三個(gè)方面入手：開口方向、對(duì)稱軸以及閉區(qū)間，以下三個(gè)例

9、題各代表一種情況例1、函數(shù)fxax22ax2ba0在2,3上有最大值5和最小值2,求a,b的值。解：對(duì)稱軸X012,3,故函數(shù)fx在區(qū)間2,3上單調(diào)3ab 2 5 a2 b 2 b0;(1)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)fx在區(qū)間2,3上是增函數(shù)，故fxf3maxfx.f2min(2)當(dāng)a 0時(shí),函數(shù)f x在區(qū)間2,3上是減函數(shù)，故x maxx minb 2 5 a 13a b 2 2 b 3例2、求函數(shù)fxx22ax1,x1,3的最小值。解：對(duì)稱軸x0a(1)當(dāng)a1時(shí)，ymmf122a(2)當(dāng)1a3時(shí)，yminfa1a2；(3)當(dāng)a3時(shí),yminf3106a改：1.本題若修改為求函數(shù)的最大值，過程又如何？解

10、：(1)當(dāng)a2時(shí)，fxmaxf3106a;(2)當(dāng)a2時(shí)，fxmaxf122a。2.本題若修改為求函數(shù)的最值，討論又該怎樣進(jìn)行？解：(1)當(dāng)a1時(shí)，fxf3106a,fxf122a;maxmin(2)當(dāng)1a2時(shí)，fxmaxf3106a,fxm.fa1a2；(3)當(dāng)2a3時(shí)，fxmaxf122a,fxminfa1a2;當(dāng)a3時(shí)，fxmaxf122a,fxminf3106a。例3、求函數(shù)yx24x3在區(qū)間t,t1上的最小值解：對(duì)稱軸x021；(1)當(dāng)2t即t2時(shí)，yminftt24t3;(2)當(dāng)t2t1即1t2時(shí)，ym.f2(3)當(dāng)2t1即t1時(shí)，yminft1t22t例4、討論函數(shù)fxx2xa1的最