高中物理-奧賽5(力學(xué)守恒律)

1、1奧賽典型例題分析奧賽典型例題分析-力學(xué)守恒律力學(xué)守恒律2圖圖1F1. 如圖如圖1所示，一截面為圓形所示，一截面為圓形的細(xì)管被彎成半徑為的細(xì)管被彎成半徑為R的圓環(huán)，的圓環(huán)，此圓環(huán)的內(nèi)外半徑幾乎相同，此圓環(huán)的內(nèi)外半徑幾乎相同，現(xiàn)把這圓環(huán)固定在豎直平面，現(xiàn)把這圓環(huán)固定在豎直平面，一小球原來位于環(huán)中最低處，一小球原來位于環(huán)中最低處，小球在拉力小球在拉力F作用下以勻速率作用下以勻速率v沿圓環(huán)從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到沿圓環(huán)從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，拉力最高點(diǎn)，拉力F的方向始終沿圓環(huán)的切線方的方向始終沿圓環(huán)的切線方向，若小球與管內(nèi)外壁的摩擦因數(shù)為向，若小球與管內(nèi)外壁的摩擦因數(shù)為，管，管內(nèi)內(nèi)壁光滑，試求小球沿圓環(huán)從最低點(diǎn)

2、到內(nèi)內(nèi)壁光滑，試求小球沿圓環(huán)從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過程中，拉力最高點(diǎn)過程中，拉力F所做的功所做的功. （小球的（小球的質(zhì)量為質(zhì)量為m，拉力，拉力F的大小未知的大小未知）3例例1 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)镕的大小未知，所以不能直接的大小未知，所以不能直接用用F來求功來求功. 但可利用動(dòng)能定理來求但可利用動(dòng)能定理來求.圖圖1FAB 對(duì)于小球從對(duì)于小球從AB過程，過程，據(jù)動(dòng)能定理得據(jù)動(dòng)能定理得0fGFAAA故故) 1 (fGFAAA其中重力的功為其中重力的功為)2(2mgRAG 因?yàn)槟Σ亮κ亲兞?，所以，本題的關(guān)鍵是如何求出因?yàn)槟Σ亮κ亲兞Γ?，本題的關(guān)鍵是如何求出摩擦力的功摩擦力的功Af . 下面利用對(duì)稱性來求

3、下面利用對(duì)稱性來求.RvmmgN2cosOxyCC如圖所示，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到如圖所示，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到角位置時(shí)，有角位置時(shí)，有Nmgf4RvmmgN2cosOxyCC圖圖1FAB故故)3()(cos2RgvmgN當(dāng)當(dāng)N0時(shí)，表示小球與環(huán)外壁接觸，且受到時(shí)，表示小球與環(huán)外壁接觸，且受到環(huán)外壁的支持力作用環(huán)外壁的支持力作用,因外壁粗糙，那么此時(shí)小球就會(huì)因外壁粗糙，那么此時(shí)小球就會(huì)受到摩擦力的作用；而受到摩擦力的作用；而N0時(shí)，表示小球與環(huán)內(nèi)壁接時(shí)，表示小球與環(huán)內(nèi)壁接觸，且受到環(huán)內(nèi)壁的支持力作用觸，且受到環(huán)內(nèi)壁的支持力作用,但內(nèi)壁光滑，那么此但內(nèi)壁光滑，那么此時(shí)小球就沒有摩擦力的作用時(shí)小球就沒有摩擦力的作用

4、.顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)是鈍角時(shí)，就是鈍角時(shí)，就有可能使得有可能使得N0，小球與環(huán)外壁接觸，且受到受到摩擦力的作，小球與環(huán)外壁接觸，且受到受到摩擦力的作用用.5ROxyCC圖圖1FABRgvRgvC22arccos)arccos(是臨界角是臨界角.如圖如圖1所示，小球從所示，小球從A運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到C的過程，與的過程，與環(huán)外壁接觸，有摩擦力作用；從環(huán)外壁接觸，有摩擦力作用；從C運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到B的過程，小球與環(huán)內(nèi)壁接觸，無摩擦力作的過程，小球與環(huán)內(nèi)壁接觸，無摩擦力作用用. 在在C點(diǎn)處，點(diǎn)處，N0.為計(jì)算摩擦力的功，考察一微小過程（如圖為計(jì)算摩擦力的功，考察一微小過程（如圖2所示）所示）.xys圖圖2o此過程

5、摩擦力的功為此過程摩擦力的功為222cosmvxmgRRvmxmgsRvmsmgsNsfAf)3()(cos2RgvmgN62mvxmgAfxys圖圖2oOxyCC圖圖1FAB因?yàn)橐驗(yàn)镃點(diǎn)到點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為軸的距離為CRsin)arccos(sin2242222RgvmvvgRmmvmgRmvxmgAACCff所以，從所以，從AC過程有過程有從從CB過程沒有摩擦力過程沒有摩擦力.所以，從所以，從AB過程拉力過程拉力F的功為的功為)arccos(222422RgvmvvgRmmgRAAAfGF7(2)若若 ，則不存在，則不存在N0的臨界點(diǎn)，小球始終與的臨界點(diǎn)，小球始終與環(huán)外壁接觸，且始終受到摩擦

6、力的作用環(huán)外壁接觸，且始終受到摩擦力的作用.故有故有Rgv 2圖圖1FAB2220mvmvmvxmgAAff于是，從于是，從A到到B過程，拉力過程，拉力F做的功為做的功為22mvmgRAAAfGF82. 如圖如圖2所示，質(zhì)量分布均勻的細(xì)鏈，長所示，質(zhì)量分布均勻的細(xì)鏈，長為為L10m，質(zhì)量為，質(zhì)量為10kg，其一端系于天，其一端系于天花板的花板的P點(diǎn)處，人提著另一端，點(diǎn)處，人提著另一端，P、Q兩點(diǎn)兩點(diǎn)的高度差為的高度差為h =2m，設(shè)人的提拉力，設(shè)人的提拉力F100N，試求天花板對(duì)細(xì)鏈的作用力，試求天花板對(duì)細(xì)鏈的作用力. 圖圖2QP9例例2 解解: (虛似法虛似法)由于細(xì)鏈掛在豎直平由于細(xì)鏈掛在

7、豎直平面內(nèi)，且沒有對(duì)稱性，所以無法用力的面內(nèi)，且沒有對(duì)稱性，所以無法用力的平衡方法求解平衡方法求解.但可以作如下情景虛似但可以作如下情景虛似:圖圖1QPhPQTPTQ圖圖2 人將鏈條沿其拉力方向緩慢移動(dòng)一微人將鏈條沿其拉力方向緩慢移動(dòng)一微小位移小位移L，在這一過程中保持鏈條的形，在這一過程中保持鏈條的形狀和位置不變，那么這僅僅相當(dāng)于把微狀和位置不變，那么這僅僅相當(dāng)于把微元元L從從P點(diǎn)移到點(diǎn)移到Q點(diǎn)，鏈條的勢(shì)能減少點(diǎn)，鏈條的勢(shì)能減少了了. 據(jù)功能原理有據(jù)功能原理有mghLTLTPQ又又LLmm所以所以)(1202101010100NghLmTTQP103. 足球運(yùn)動(dòng)員在離球門足球運(yùn)動(dòng)員在離球門1

8、1m處處罰點(diǎn)球，球準(zhǔn)確地從球門的橫罰點(diǎn)球，球準(zhǔn)確地從球門的橫梁下沿飛進(jìn)球門梁下沿飛進(jìn)球門. 設(shè)橫梁下沿設(shè)橫梁下沿離地面的高度離地面的高度h=2.5m，足球，足球的質(zhì)量為的質(zhì)量為m=0.5kg，不計(jì)空氣，不計(jì)空氣阻力，那么運(yùn)動(dòng)員必須傳遞給阻力，那么運(yùn)動(dòng)員必須傳遞給這個(gè)足球的最小能量是多少？這個(gè)足球的最小能量是多少？(19屆俄羅斯中學(xué)生競(jìng)賽題屆俄羅斯中學(xué)生競(jìng)賽題)11例例3 解：解：tv0221gtxyohL圖圖10v如圖如圖1所示，據(jù)勾股定理得所示，據(jù)勾股定理得22220)21()(Lhgttv經(jīng)整理得經(jīng)整理得ghtgthLv222222041因?yàn)橐驗(yàn)?是一正恒量是一正恒量22222222441

9、ghLtgthL2222241tgthL當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 有最小值有最小值.20vghhLgghtgthLv2222222min20412)(12ghhLgv22min20)(所以，運(yùn)動(dòng)員傳遞給這個(gè)足球的最小能量為所以，運(yùn)動(dòng)員傳遞給這個(gè)足球的最小能量為)(34)(21)(2122min20JhhLmgvmEk134. 如圖如圖3所示，四個(gè)質(zhì)量都是所示，四個(gè)質(zhì)量都是m 的質(zhì)點(diǎn)，用同的質(zhì)點(diǎn)，用同樣長的不可伸長的細(xì)線連結(jié)成一菱形樣長的不可伸長的細(xì)線連結(jié)成一菱形ABCD，靜止地放在水平光滑的桌面上，若突然給質(zhì)靜止地放在水平光滑的桌面上，若突然給質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)A一個(gè)歷時(shí)極短沿一個(gè)歷時(shí)極短沿CA方向的沖擊，當(dāng)沖擊方

10、向的沖擊，當(dāng)沖擊結(jié)束時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)結(jié)束時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A的速度為的速度為v，其它質(zhì)點(diǎn)也同，其它質(zhì)點(diǎn)也同時(shí)獲得一定的速度，時(shí)獲得一定的速度， 試試2BAD，4求此質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)受沖擊后所具有的總動(dòng)量和總求此質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)受沖擊后所具有的總動(dòng)量和總能量能量. 圖圖3vDCBA2(全國復(fù)賽題全國復(fù)賽題)141Bv2Bv1Dv2DvCvvABDC圖圖21I1I1I1I2I2I2I2I例例4 解：解：圖圖1vABDC2由對(duì)稱性可知，由對(duì)稱性可知，B、C、D質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的速度有如下規(guī)律的速度有如下規(guī)律(如圖如圖2所示所示)：C的速度必沿的速度必沿CA方向，方向，vB1=vD1,vB2=vD2.因?yàn)槔K子不可伸長，所以必有各對(duì)應(yīng)質(zhì)因?yàn)?/p>

11、繩子不可伸長，所以必有各對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)沿相連的繩子方向的速度必須相等點(diǎn)沿相連的繩子方向的速度必須相等.sincoscos21BBvvvsincoscos21BBCvvv又設(shè)各條繩子給質(zhì)點(diǎn)的沖量如圖又設(shè)各條繩子給質(zhì)點(diǎn)的沖量如圖2所示所示.那么據(jù)動(dòng)量定理有那么據(jù)動(dòng)量定理有coscos211IImvBsinsin212IImvBcos22ImvC15sincoscos21BBvvvsincoscos21BBCvvvcoscos211IImvBsinsin212IImvBcos22ImvC由以上由以上5個(gè)方程可解得個(gè)方程可解得21sin21vvB22sin212sinvvB2sin212cosvvC1Bv2

12、Bv1Dv2DvCvvABDC圖圖21I1I1I1I2I2I2I2I1621sin21vvB22sin212sinvvB2sin212cosvvC于是系統(tǒng)的總動(dòng)量大小為于是系統(tǒng)的總動(dòng)量大小為21sin2142mvmvmvmvpCB方向沿方向沿CA方向方向22222212sin212)(221mvvvvvmEEEEECBBDkCkBkAkk系統(tǒng)的總動(dòng)能為系統(tǒng)的總動(dòng)能為1Bv2Bv1Dv2DvCvvABDC圖圖21I1I1I1I2I2I2I2I175. 如圖如圖4所示，質(zhì)量為所示，質(zhì)量為m的物體的物體可沿足夠長的豎直軌道可沿足夠長的豎直軌道A、B上上下運(yùn)動(dòng)，物體正下方放置一個(gè)下運(yùn)動(dòng)，物體正下方放置

13、一個(gè)輕彈簧，物體與軌道間的最大輕彈簧，物體與軌道間的最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力都是靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力都是mgf21,現(xiàn)在物體在距離彈簧為現(xiàn)在物體在距離彈簧為d 高度處由靜止開始下落，試求：高度處由靜止開始下落，試求：（1）物體下落達(dá)到的最低位置與）物體下落達(dá)到的最低位置與彈簧勁度系數(shù)彈簧勁度系數(shù)k的關(guān)系的關(guān)系.（2）物體由最低位置第一次彈回）物體由最低位置第一次彈回的高度與的高度與k 的關(guān)系的關(guān)系. 圖圖4BAdm18例例5 解：解：圖圖1BAdm物體物體m的運(yùn)動(dòng)可分為三個(gè)過程：的運(yùn)動(dòng)可分為三個(gè)過程：加速下落距離加速下落距離d壓縮彈簧變加速下落至壓縮彈簧變加速下落至停止停止反彈向上運(yùn)動(dòng)反彈向上

14、運(yùn)動(dòng). 由于彈簧的由于彈簧的k值未知，所以，物體值未知，所以，物體m到達(dá)到達(dá)最低位置后的運(yùn)動(dòng)存在以下三種可能性：最低位置后的運(yùn)動(dòng)存在以下三種可能性：第一種：不能彈回；第一種：不能彈回；第二種：彈回后彈簧仍被壓縮；第二種：彈回后彈簧仍被壓縮；第三種：彈回后能脫離彈簧第三種：彈回后能脫離彈簧.下面就這三種可能性來討論下面就這三種可能性來討論k的取值范圍的取值范圍:設(shè)設(shè)m運(yùn)動(dòng)到最低位置時(shí)，彈簧的壓縮量為運(yùn)動(dòng)到最低位置時(shí)，彈簧的壓縮量為s，則據(jù)功能，則據(jù)功能原理有原理有) 1 ()(21)(212dsmgksdsmg19圖圖1BAdm圖圖2BAdms由此解得由此解得)(21)(212dsmgksdsm

15、g)2()4(2122kdmggmmgks 顯然，顯然，m下落停止后回彈的下落停止后回彈的條件是條件是fmgF彈即即mgmgks21故故kmgs23討論討論: (1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，m不能彈回不能彈回.kmgs23此時(shí)，代入此時(shí)，代入(2)式可得：式可得： m不能彈回的條件不能彈回的條件.dmgk4320)2()4(2122kdmggmmgksdmgk43m不能彈回不能彈回(2)顯然，當(dāng)顯然，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，m可以回彈可以回彈.dmgk43圖圖1BAdm圖圖2BAdms圖圖3BAdms1h1若若m反彈至速度為零時(shí)，彈簧仍被壓縮反彈至速度為零時(shí)，彈簧仍被壓縮. 設(shè)此時(shí)壓縮設(shè)此時(shí)壓縮量為量為s1(如圖如

16、圖3所示所示),由功能關(guān)系得由功能關(guān)系得21圖圖1BAdm圖圖2BAdms圖圖3BAdms1h1)2()4(2122kdmggmmgks2121121)(21)(21ksssmgksssmg把把(2)式代入可得式代入可得)3()45(21221kdmggmmgks22圖圖1BAdm圖圖2BAdms圖圖3BAdms1h1)2()4(2122kdmggmmgks)3()45(21221kdmggmmgks反彈高度為反彈高度為)4()24(12211mgkdmggmkssh這時(shí)應(yīng)滿足這時(shí)應(yīng)滿足s10，否則，否則m將脫離彈簧將脫離彈簧.23)45(21221kdmggmmgks由由s10可得可得dmg

17、k6dmgk43m不能彈回不能彈回dmgkdmg643由此可知，當(dāng)由此可知，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，m反彈，且反彈結(jié)束反彈，且反彈結(jié)束時(shí)，彈簧的壓縮量為時(shí)，彈簧的壓縮量為s1.m回彈后彈簧仍回彈后彈簧仍有的壓縮量有的壓縮量當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，s1a1,所以所以A每次與每次與B左左壁碰撞后，離開左壁的最大距離呈遞壁碰撞后，離開左壁的最大距離呈遞減變化減變化,故故A不會(huì)與不會(huì)與B的右壁相碰的右壁相碰. 37l1234圖圖2 設(shè)設(shè)A第第1、2、3 n n次與次與B B左壁相碰左壁相碰后相對(duì)后相對(duì)B B的速度大小分別為的速度大小分別為v1 1、v2 2、v3 3 vn n，則有則有)/(22211smlav 又設(shè)又設(shè)A

18、與與B左壁第左壁第1次碰撞后，離開左壁次碰撞后，離開左壁的最大距離為的最大距離為d1,則有則有12212dav 11222dav 由此解得由此解得1212vaav 同法可求得同法可求得12212213)(vaavaav381121)(vaavnnl1234圖圖2 從理論上講，從理論上講，A將與將與B左壁發(fā)生無限左壁發(fā)生無限多次碰撞，最終多次碰撞，最終A將停在將停在B的左壁處的左壁處. A從開始運(yùn)動(dòng)到最終停在從開始運(yùn)動(dòng)到最終停在B的左壁處所用的左壁處所用的時(shí)間為的時(shí)間為qvaavvvavvvaavavavavavavavTnnnn1)11()(1)(1)()()(1212121211112132

19、212211139qvaaT1)11(121l1234圖圖2把把，21/25. 0sma ，22/75. 7sma ，smv/221221/311smaaq代入可求得代入可求得ssT456. 3 這表明這表明t=4s時(shí)，時(shí)，A與與B已具有相同速度，設(shè)這共同已具有相同速度，設(shè)這共同速度為速度為v，則由動(dòng)量定理得，則由動(dòng)量定理得vmmFtBA)(代入數(shù)據(jù)可求得代入數(shù)據(jù)可求得smv/6 . 9409. 如圖如圖8所示，長為所示，長為l、線密度為線密度為的鏈條由圖的鏈條由圖示位置（底端距離地示位置（底端距離地面為面為h）從靜止開始下）從靜止開始下落，試求鏈條落下過落，試求鏈條落下過程中地面對(duì)鏈條的支程

20、中地面對(duì)鏈條的支持力持力.假設(shè)落到地面處假設(shè)落到地面處的那部分鏈條速度馬的那部分鏈條速度馬上變?yōu)榱闵献優(yōu)榱? lh圖圖841例例9 解：解：lh圖圖1用密舍爾斯基方程求解用密舍爾斯基方程求解設(shè)時(shí)間設(shè)時(shí)間t時(shí)鏈條上端的坐標(biāo)為時(shí)鏈條上端的坐標(biāo)為x，如圖，如圖2所示所示.圖圖2xOx此時(shí)，空中那部分鏈條的速度為此時(shí)，空中那部分鏈條的速度為)(2xlhgu 以已落在地面上的那部分鏈條為主體，以已落在地面上的那部分鏈條為主體，它將在它將在t 時(shí)間內(nèi)俘獲時(shí)間內(nèi)俘獲m的質(zhì)量的質(zhì)量.tum地面上的那部分鏈條的質(zhì)量為地面上的那部分鏈條的質(zhì)量為 ，它受到，它受到重力、地面支持力重力、地面支持力N的作用，忽略的作用

21、，忽略m的重力的重力. 因?yàn)榈孛婺遣糠宙湕l始終靜止。沒有加速度和因?yàn)榈孛婺遣糠宙湕l始終靜止。沒有加速度和速度速度. 據(jù)密舍爾斯基方程據(jù)密舍爾斯基方程 得得)(xl mramtmvF外420)0()(tmuxlgN圖圖2xOxtum)(2xlhgu由以上三式可解得由以上三式可解得2)(3hxlgN顯然，當(dāng)全部鏈條剛落到地面時(shí)，顯然，當(dāng)全部鏈條剛落到地面時(shí)，x=0，此時(shí)，此時(shí)N最大最大.)23(hlgN43方法方法2：用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理圖圖2xOx以整條鏈條為研究對(duì)象，其總長為以整條鏈條為研究對(duì)象，其總長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m. 因因t時(shí)刻，地面上鏈條的質(zhì)量為時(shí)刻，地面上鏈條的質(zhì)量為

22、，坐標(biāo)，坐標(biāo)為為0. )(xl 空中那部分鏈條的質(zhì)量為空中那部分鏈條的質(zhì)量為 , ,質(zhì)心坐標(biāo)為質(zhì)心坐標(biāo)為x2x所以整條鏈條的質(zhì)心坐標(biāo)為所以整條鏈條的質(zhì)心坐標(biāo)為lxxmmxxxC222022于是，質(zhì)心速度為于是，質(zhì)心速度為xlvtxxltxvCC22144xlvvC圖圖2xOx質(zhì)心加速度為質(zhì)心加速度為)(1)(12xgvltvxtxvltvaCC因?yàn)橐驗(yàn)?(22xlhgv故故lxlhgaC)322(據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有CmamgN由以上兩式可解得由以上兩式可解得2)(3hxlgN45圖圖9 9aH10. 質(zhì)量足夠大的長木板從質(zhì)量足夠大的長木板從t0時(shí)刻開始在水時(shí)刻開始在水平方向上自靜

23、止出發(fā)朝右作勻加速運(yùn)動(dòng)，加平方向上自靜止出發(fā)朝右作勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為速度大小為a，在板上方在板上方H高度處有一靜止小高度處有一靜止小球，如圖球，如圖9所示所示.在在t0時(shí)刻小球自由落下，時(shí)刻小球自由落下，而后與板發(fā)生碰撞而后與板發(fā)生碰撞.設(shè)小球與平板接觸時(shí)的滑設(shè)小球與平板接觸時(shí)的滑動(dòng)摩擦系數(shù)動(dòng)摩擦系數(shù)0.1，小球反彈高度也是，小球反彈高度也是H，將小球反彈離開平板時(shí)相對(duì)地面參考系的速將小球反彈離開平板時(shí)相對(duì)地面參考系的速度方向與朝右的度方向與朝右的水平方向的夾水平方向的夾角記為角記為，試求，試求tg與與a的關(guān)系，的關(guān)系，并作并作tga曲曲線線. 46圖圖1 1aH例例10 解：解： 小球

24、在小球在 時(shí)刻以速度時(shí)刻以速度gHt2gHv2與平板相碰，此時(shí)平板向與平板相碰，此時(shí)平板向右的水平速度為右的水平速度為 .gHaatv2N 由于小球與平板剛接觸時(shí)，沒有水平速度，故小球由于小球與平板剛接觸時(shí)，沒有水平速度，故小球與平板之間必存在滑動(dòng)摩擦力與平板之間必存在滑動(dòng)摩擦力 ，直至接觸結(jié)束或小球，直至接觸結(jié)束或小球與平板具有相同的水平速度與平板具有相同的水平速度(此后摩擦力為靜摩擦力此后摩擦力為靜摩擦力). 設(shè)平均支持力為設(shè)平均支持力為 ，平均滑動(dòng)摩擦力為，平均滑動(dòng)摩擦力為 ,平均支持力平均支持力的作用時(shí)間為的作用時(shí)間為tN，平均滑動(dòng)摩擦力的作用時(shí)間為平均滑動(dòng)摩擦力的作用時(shí)間為tf .f

25、 因反彈后小球的反彈高度仍為因反彈后小球的反彈高度仍為H，故碰撞后小球豎，故碰撞后小球豎直方向的速度大小為直方向的速度大小為 ,設(shè)碰撞后小球的水設(shè)碰撞后小球的水平速度為平速度為v/ ，則有，則有g(shù)Hv2) 1 (2mvtNN)2(/mvtff47，) 1 (2mvtNN)2(/mvtff(1)設(shè)設(shè) ，則有，則有 fNtt)3(/mvtNN由由(1)、(3)式可得式可得gHgHvv251222/因?yàn)橐驗(yàn)?成立的條件是成立的條件是 ，即，即fNttvv /，gHav2gHagH2251或或ga51那么，此時(shí)有那么，此時(shí)有va ,圖圖25tan/vv48fNtt(2)設(shè)設(shè) 顯然當(dāng)顯然當(dāng) 時(shí)，若仍假定

26、時(shí)，若仍假定 ,這就必然會(huì)導(dǎo)這就必然會(huì)導(dǎo)致致 ， 這是不合理的，因此當(dāng)這是不合理的，因此當(dāng) 時(shí)時(shí),必然有必然有5ga fNttvv/5ga fNtt，而且有，而且有g(shù)Havv2/此時(shí)，此時(shí)，agvv/tan綜上所述，本題的解為綜上所述，本題的解為tan5,gaag當(dāng)5,5ga 當(dāng)atang515oatan曲線如圖所示曲線如圖所示.4911.質(zhì)量都是質(zhì)量都是m的兩質(zhì)點(diǎn)的兩質(zhì)點(diǎn)A和和B用長用長為為2l的不可伸長的輕繩連接，開的不可伸長的輕繩連接，開始時(shí)始時(shí)A、B位于同一豎直線上，且位于同一豎直線上，且離地足夠遠(yuǎn)，離地足夠遠(yuǎn)，B在在A的下方的下方l處，在處，在給給A以一水平速度以一水平速度v0的同時(shí)

27、，由靜的同時(shí)，由靜止釋放止釋放B，問經(jīng)過多長時(shí)間后，問經(jīng)過多長時(shí)間后，A與與B第一次恰好位于同一水平線上第一次恰好位于同一水平線上? 例例11 解：解：lxyoAvBvABl0vl 2A1B1A2A被水平拋出后做平拋運(yùn)被水平拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，動(dòng)，B釋放后做自由落體運(yùn)動(dòng)釋放后做自由落體運(yùn)動(dòng). 當(dāng)連當(dāng)連接兩質(zhì)點(diǎn)的繩剛拉直時(shí)，設(shè)繩與豎接兩質(zhì)點(diǎn)的繩剛拉直時(shí)，設(shè)繩與豎直方向成直方向成角，如圖所示角，如圖所示. 因在繩子拉直前，因在繩子拉直前，A、B兩質(zhì)點(diǎn)在兩質(zhì)點(diǎn)在豎直方向運(yùn)動(dòng)的距離是相等的，故豎直方向運(yùn)動(dòng)的距離是相等的，故A2B1=l，因此，因此60. 在繩子拉緊過程中，在繩子拉緊過程中，A、B之間發(fā)生

28、相互作用，系統(tǒng)之間發(fā)生相互作用，系統(tǒng)動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒. 由于在繩子拉直前，由于在繩子拉直前，A、B兩質(zhì)點(diǎn)在豎直方向兩質(zhì)點(diǎn)在豎直方向的速度相等，故在以此速度運(yùn)動(dòng)的參考系中，的速度相等，故在以此速度運(yùn)動(dòng)的參考系中，A的速度的速度為為v0,B則靜止則靜止. 設(shè)相對(duì)這一參考系，繩子拉緊后設(shè)相對(duì)這一參考系，繩子拉緊后A、B的的速度分別為速度分別為 和和 ，據(jù)動(dòng)量守恒得，據(jù)動(dòng)量守恒得1v2v210vmvmvm式中式中 方向沿繩子，這因?yàn)槔K子對(duì)方向沿繩子，這因?yàn)槔K子對(duì)B的作用力沿繩的作用力沿繩子，而子，而 方向未知，可沿平行繩、垂直繩方向分解方向未知，可沿平行繩、垂直繩方向分解.2v1v5121030cos

29、mvvmmv1030sinvmmv lxyoAvBvABl0vl 2A1B1A2因繩子不可伸長，故因繩子不可伸長，故21vv 由以上三式可解得由以上三式可解得02143vvv0121vv 繩子拉緊后，繩子拉緊后，A相對(duì)相對(duì)B做圓周運(yùn)動(dòng)，速度為做圓周運(yùn)動(dòng)，速度為 ， 角速角速度為度為 1v lvlv420 把上式沿繩子方向和垂直繩子方向的投影式分別為把上式沿繩子方向和垂直繩子方向的投影式分別為1v2v1v1v A1B152lxyoAvBvABl0vl 2A1B1A2當(dāng)直線當(dāng)直線A1B1轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過30時(shí)，時(shí)，A1、B1位于同一水平線，所經(jīng)歷時(shí)間為位于同一水平線，所經(jīng)歷時(shí)間為0232vlt 設(shè)自釋放設(shè)

30、自釋放B到繩子拉直經(jīng)歷時(shí)到繩子拉直經(jīng)歷時(shí)間為間為t1,有有1060sin2tvl由此得由此得001360sin2vlvlt由釋放質(zhì)點(diǎn)由釋放質(zhì)點(diǎn)B到兩質(zhì)點(diǎn)位于同一水平線上共經(jīng)歷的時(shí)到兩質(zhì)點(diǎn)位于同一水平線上共經(jīng)歷的時(shí)間為間為)332(021vlttt5312.在水平地面上一質(zhì)量為在水平地面上一質(zhì)量為M的運(yùn)動(dòng)員手持一質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)員手持一質(zhì)量為為m的物塊，以速度的物塊，以速度v0沿與水平面成沿與水平面成角的方向向角的方向向前跳躍，為了能跳得更遠(yuǎn)一點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員可在跳遠(yuǎn)前跳躍，為了能跳得更遠(yuǎn)一點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員可在跳遠(yuǎn)全過程中的某一位置處，沿某一方向把物塊拋出，全過程中的某一位置處，沿某一方向把物塊拋出，物塊拋出時(shí)相

31、對(duì)運(yùn)動(dòng)員的速度大小物塊拋出時(shí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)員的速度大小u是給定的，是給定的，物塊和運(yùn)動(dòng)員都在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)物塊和運(yùn)動(dòng)員都在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng).(1)若運(yùn)動(dòng)若運(yùn)動(dòng)員在跳遠(yuǎn)全過程中的某一時(shí)刻員在跳遠(yuǎn)全過程中的某一時(shí)刻t0，沿與水平向后，沿與水平向后方向成某方向成某角的方向拋出物塊，試求運(yùn)動(dòng)員從起角的方向拋出物塊，試求運(yùn)動(dòng)員從起跳到落地所經(jīng)歷的時(shí)間跳到落地所經(jīng)歷的時(shí)間.(2)在跳遠(yuǎn)的全過程中，運(yùn)在跳遠(yuǎn)的全過程中，運(yùn)動(dòng)員在何處把物塊沿與水平向后方向成動(dòng)員在何處把物塊沿與水平向后方向成角的方角的方向拋出，能使自己跳得更遠(yuǎn)？若向拋出，能使自己跳得更遠(yuǎn)？若v0和和u一定，那么一定，那么在什么條件下可跳得更遠(yuǎn)？

32、并求出運(yùn)動(dòng)員跳的最在什么條件下可跳得更遠(yuǎn)？并求出運(yùn)動(dòng)員跳的最大距離大距離. (03年年20屆預(yù)賽題屆預(yù)賽題)54例例12 解：解： 系統(tǒng)質(zhì)心系統(tǒng)質(zhì)心C做斜拋運(yùn)動(dòng)做斜拋運(yùn)動(dòng),如圖所示，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員如圖所示，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員M落地時(shí)即落到落地時(shí)即落到x軸上時(shí)，若無軸上時(shí)，若無大地阻擋，則系統(tǒng)質(zhì)心大地阻擋，則系統(tǒng)質(zhì)心C和小和小物塊物塊m分別落到圖中所示位置分別落到圖中所示位置.MxyS0v0OmCP 設(shè)在設(shè)在t0時(shí)刻運(yùn)動(dòng)員在時(shí)刻運(yùn)動(dòng)員在P處拋出處拋出物塊，以運(yùn)動(dòng)員為參考系，物物塊，以運(yùn)動(dòng)員為參考系，物塊做勻速直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度塊做勻速直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度大小為大小為u. 又設(shè)運(yùn)動(dòng)員落地時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與物塊的連線長度又

33、設(shè)運(yùn)動(dòng)員落地時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與物塊的連線長度為為S0，與，與x軸的夾角為軸的夾角為. 那么質(zhì)心那么質(zhì)心C與運(yùn)動(dòng)員之間的距離與運(yùn)動(dòng)員之間的距離為為0SmMml設(shè)運(yùn)動(dòng)員從起跳到落地所經(jīng)歷的時(shí)間為設(shè)運(yùn)動(dòng)員從起跳到落地所經(jīng)歷的時(shí)間為t，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)速，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度可得度可得) 1 ()(00ttuS55MxyS0v0OmCP對(duì)質(zhì)心對(duì)質(zhì)心C，據(jù)斜拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得，據(jù)斜拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得)2(21sinsin200gttvSmMm運(yùn)動(dòng)員落地處運(yùn)動(dòng)員落地處x坐標(biāo)為坐標(biāo)為)3(coscoscos000SmMmtvSmMmxxCM由由(1)、(2)式得式得)4(0sin2)sinsin(2002tmMmutmMmuvgt此方程

34、的解為此方程的解為，0SmMml) 1 ()(00ttuS56sin2)sinsin(sinsin10200tmMmugmMmuvmMmuvgt下面討論應(yīng)取哪一個(gè)解下面討論應(yīng)取哪一個(gè)解.設(shè)在剛拋出物塊后瞬間，運(yùn)動(dòng)員的速度設(shè)在剛拋出物塊后瞬間，運(yùn)動(dòng)員的速度v的豎直分量的的豎直分量的大小為大小為vPy，物塊相對(duì)運(yùn)動(dòng)員的速度，物塊相對(duì)運(yùn)動(dòng)員的速度u的豎直分量的大小的豎直分量的大小為為uy=usin,方向沿方向沿y軸負(fù)方向軸負(fù)方向. 據(jù)動(dòng)量守恒定律得據(jù)動(dòng)量守恒定律得PyPyMvuvmgtvmM)sin()sin)(00解得解得mMmugtvvPysinsin00于是可求出運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)所需時(shí)間為

35、于是可求出運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)所需時(shí)間為)sinsin(100mMmuvggvttPytt因?yàn)楸厝挥幸驗(yàn)楸厝挥?7sin2)sinsin(sinsin10200tmMmugmMmuvmMmuvgt所以所以t的解應(yīng)為的解應(yīng)為) 1 ()(00ttuS)3(coscoscos000SmMmtvSmMmxxCM由由(1)、(3)式可解得式可解得cos)(cos00ttumMmtvxM所以，當(dāng)所以，當(dāng)t0=0時(shí)，時(shí)，xM有最大值有最大值. 把把t值代入可得此最大值為值代入可得此最大值為gmMumgmMmuvgvxM222020)(2sin)()sin(22sin58gmMumgmMmuvgvxM222

36、020)(2sin)()sin(22sin若若12sin1)sin(12sin，即即 時(shí)，時(shí)，xM有最大值有最大值4545， 這表明運(yùn)動(dòng)員應(yīng)沿與這表明運(yùn)動(dòng)員應(yīng)沿與x軸成軸成45方向起跳，且跳起方向起跳，且跳起后立刻沿與后立刻沿與x軸成軸成45斜向下方向拋出物塊，則運(yùn)動(dòng)員斜向下方向拋出物塊，則運(yùn)動(dòng)員跳的距離最大，為跳的距離最大，為gmMumgmMmuvgvxM222020max)()(25913.長為長為2l的輕繩兩端各系有一質(zhì)量為的輕繩兩端各系有一質(zhì)量為m的彈的彈性小球，中點(diǎn)處系有質(zhì)量為性小球，中點(diǎn)處系有質(zhì)量為M的彈性小球，的彈性小球，三球成一直線靜止于光滑水平面上，繩處于三球成一直線靜止于光

37、滑水平面上，繩處于伸直狀態(tài)，現(xiàn)對(duì)小球伸直狀態(tài)，現(xiàn)對(duì)小球M施加一水平?jīng)_力，使施加一水平?jīng)_力，使其獲得與繩垂直的初速度其獲得與繩垂直的初速度v0，（，（1）試求兩）試求兩小球小球m相碰時(shí)繩中的張力相碰時(shí)繩中的張力T；（；（2）若從小球）若從小球M開始運(yùn)動(dòng)到兩小球開始運(yùn)動(dòng)到兩小球m相碰歷時(shí)為相碰歷時(shí)為t，求在此，求在此期間小球期間小球M經(jīng)過的距離經(jīng)過的距離SM；（；（3）試求當(dāng)三）試求當(dāng)三小球再次在同一直線上時(shí)，繩子的張力；小球再次在同一直線上時(shí)，繩子的張力；（4）試求運(yùn)動(dòng)過程中，小球）試求運(yùn)動(dòng)過程中，小球m的最大動(dòng)能的最大動(dòng)能和這時(shí)兩段繩子的夾角和這時(shí)兩段繩子的夾角. (05年江蘇省高考題年江蘇省

38、高考題)60例例13 解：解：MmmACB0v(1)設(shè)兩小球設(shè)兩小球m碰撞前小球碰撞前小球M的的速度為速度為vy,由于繩子長度不變，因此小球由于繩子長度不變，因此小球m沿繩方向的速度分量也為沿繩方向的速度分量也為vy,而垂直繩而垂直繩子方向的速度分量設(shè)為子方向的速度分量設(shè)為vx,由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可得由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可得) 1 ()2(0yvmMMv)2()(212212122220yxyvvmMvMv由這兩式可解得由這兩式可解得)3(2202mMMvvx設(shè)這時(shí)設(shè)這時(shí)M相對(duì)桌面的加速度為相對(duì)桌面的加速度為aM，則有，則有)4(2MTaMyvyvyv圖圖1xvxvxyaM的方向與的方向

39、與y軸的正方向相反軸的正方向相反.61 以小球以小球M為參考系，小球?yàn)閰⒖枷?，小球m以速度以速度vx繞繞M做圓周運(yùn)做圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng). 由于小球由于小球m除了受繩子拉力除了受繩子拉力T作用外，還受作用外，還受 與與T同同向的慣性力向的慣性力maM的作用，故有的作用，故有l(wèi)vmmaTxm2把把(3)、(4)式代入可解得：式代入可解得：2202)2(mMlvmMT(2)由于系統(tǒng)沿水平方向不受外力作用，故其質(zhì)心沿由于系統(tǒng)沿水平方向不受外力作用，故其質(zhì)心沿M運(yùn)動(dòng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，初速度為運(yùn)動(dòng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，初速度為vCmMMvvC2062在時(shí)間在時(shí)間t內(nèi)質(zhì)心經(jīng)過的距離為內(nèi)質(zhì)心經(jīng)過的距離為mMtMvtv

40、SCC20設(shè)兩小球設(shè)兩小球m相碰時(shí)質(zhì)心與相碰時(shí)質(zhì)心與M的距離為的距離為yC,則有則有mMmlyC22在時(shí)間在時(shí)間t內(nèi)小球內(nèi)小球M經(jīng)過的距離為經(jīng)過的距離為mMmltMvySSCCM22063(3)如圖如圖2所示，當(dāng)三個(gè)小球再次位于所示，當(dāng)三個(gè)小球再次位于同一水平線上時(shí)，據(jù)動(dòng)量守恒得同一水平線上時(shí)，據(jù)動(dòng)量守恒得MmmACBMvmvmv圖圖2mMmvMvMv20又據(jù)機(jī)械能守恒得又據(jù)機(jī)械能守恒得2202122121mMmvMvMv由上面兩式可解得由上面兩式可解得mMMvvm220022vmMmMvM64因這時(shí)小球因這時(shí)小球M的加速度為零，以的加速度為零，以M為參考系為參考系(慣性系慣性系)，小球小球m

41、相對(duì)小球相對(duì)小球M的速度為；的速度為；0vvvvMm那么這時(shí)繩子的張力那么這時(shí)繩子的張力F為為lvmlvmF202(4)顯然，當(dāng)小球顯然，當(dāng)小球M的速度為零時(shí)，小球的速度為零時(shí)，小球m的速度最的速度最大，動(dòng)能也就最大大，動(dòng)能也就最大. 此時(shí)有此時(shí)有uu圖圖32sin20muMv 2021221muMv由此可解得小球由此可解得小球m的速度最大動(dòng)能及兩繩子之間的夾角的速度最大動(dòng)能及兩繩子之間的夾角分別分別為為，202max4121MvmuEkmM2arcsin26514. 如圖如圖10所示，一柔軟繩子總長度為所示，一柔軟繩子總長度為l，它從靜，它從靜止出發(fā)由高度為止出發(fā)由高度為H的光滑平臺(tái)沿光滑的

42、斜面滑下，的光滑平臺(tái)沿光滑的斜面滑下，全部進(jìn)入光滑水平面后，再經(jīng)一半徑為全部進(jìn)入光滑水平面后，再經(jīng)一半徑為R的固定的固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)，在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)，l 2R，欲使繩子能，欲使繩子能全部通過圓環(huán)，平臺(tái)的高度全部通過圓環(huán)，平臺(tái)的高度H至少多高？至少多高？ 圖圖10RH66H圖圖1R例例14 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?,Rl2所以軟繩能充滿整個(gè)圓形所以軟繩能充滿整個(gè)圓形軌道軌道. 這時(shí)軟繩的重力勢(shì)這時(shí)軟繩的重力勢(shì)能為能為gRlMREp2式中式中M表示軟繩的總質(zhì)量表示軟繩的總質(zhì)量. 設(shè)這時(shí)軟繩的速率為設(shè)這時(shí)軟繩的速率為v. 則由則由機(jī)械能守恒定律得機(jī)械能守恒定律得 lMgRMvgRlMRMv

43、MgH222min221221TTlmgv圖圖2取圓形軌道頂點(diǎn)附近的一軟繩微元段，取圓形軌道頂點(diǎn)附近的一軟繩微元段，如圖如圖2所示，考慮軌道對(duì)它無壓力這一所示，考慮軌道對(duì)它無壓力這一臨界情況臨界情況,這微元受力情況如圖這微元受力情況如圖2所示所示. 由向心力公式得由向心力公式得RvRlMgRlMT22sin267RvRlMgRlMT22sin2TTlmgv圖圖2因因 很小，所以，很小，所以， 22sin于是有于是有l(wèi)MvMglRT2T圖圖3 如圖如圖3所示，選圖中所示的一段軟繩作所示，選圖中所示的一段軟繩作研究對(duì)象，設(shè)前面軟繩對(duì)它的拉力為研究對(duì)象，設(shè)前面軟繩對(duì)它的拉力為T. 設(shè)想力設(shè)想力T使它

44、移動(dòng)了一很小的距離使它移動(dòng)了一很小的距離 ，那么那么T的功等于這段軟繩的重力勢(shì)能的增的功等于這段軟繩的重力勢(shì)能的增加加. 于是有于是有xRgxlMxT2由以上各式可解得由以上各式可解得RllRH234min6815.質(zhì)量都是質(zhì)量都是m的三個(gè)小的三個(gè)小球置于光滑的水平桌面球置于光滑的水平桌面上，并用長度都為上，并用長度都為l的輕的輕剛性桿連接，如圖剛性桿連接，如圖11所所示，整個(gè)系統(tǒng)以速度示，整個(gè)系統(tǒng)以速度v沿沿AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向與與BC成成角角，當(dāng)小球當(dāng)小球C與與桌上垂直桌上垂直AB的豎直、光的豎直、光滑完全非彈性固定壁相滑完全非彈性固定壁相碰撞時(shí)，試求此壁所受碰撞時(shí)，試

45、求此壁所受到?jīng)_量的大小到?jīng)_量的大小. 圖圖11ABClvl(04年年21屆復(fù)賽題屆復(fù)賽題)69例例15 解解圖圖1lABCvl)23()(32uvmvmmuIx方向：方向：y方向：方向：021mvmv因桿不可伸長，所以有因桿不可伸長，所以有sincossin12vuv 因?yàn)閴Ρ趯?duì)系統(tǒng)因?yàn)閴Ρ趯?duì)系統(tǒng)(即對(duì)即對(duì)C)的沖力過的沖力過C點(diǎn)，所以對(duì)點(diǎn)，所以對(duì)C 軸，軸，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒系統(tǒng)角動(dòng)量守恒. 故有故有sin2cossin21mvllmvmul由以上四個(gè)方程可解得墻壁對(duì)系統(tǒng)由以上四個(gè)方程可解得墻壁對(duì)系統(tǒng)(即對(duì)即對(duì)C)的沖量為的沖量為mvI22sin31sin3據(jù)牛頓第三定律可知墻壁受到的沖量大小也

46、是此值據(jù)牛頓第三定律可知墻壁受到的沖量大小也是此值.設(shè)碰后瞬間三個(gè)小球的速度設(shè)碰后瞬間三個(gè)小球的速度如圖所示如圖所示,據(jù)動(dòng)量定理得據(jù)動(dòng)量定理得uu1v2vxyI7016.如圖如圖12所示，所示，A是一是一個(gè)質(zhì)量為個(gè)質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R的的均勻球體，均勻球體，O是其球心是其球心.在離球心在離球心O很遠(yuǎn)的很遠(yuǎn)的O點(diǎn)點(diǎn)附近有一質(zhì)點(diǎn)，它以附近有一質(zhì)點(diǎn)，它以v0的初速度沿與的初速度沿與OO平行平行的方向射向球的方向射向球A，以，以l表表示質(zhì)點(diǎn)與示質(zhì)點(diǎn)與OO線的垂直線的垂直距離，要使這質(zhì)點(diǎn)能夠距離，要使這質(zhì)點(diǎn)能夠與球與球A的表面相碰，試求的表面相碰，試求l的最大值的最大值.圖圖12m OMv0AOl

47、71圖圖1m v0lOMAO例例16 解：解：質(zhì)點(diǎn)的速度質(zhì)點(diǎn)的速度v的方向剛好與球面相切的方向剛好與球面相切(如如圖圖2所示所示)，由于質(zhì)點(diǎn)所受球，由于質(zhì)點(diǎn)所受球A的萬有引的萬有引力既是保守力，也是有心力，所以質(zhì)點(diǎn)力既是保守力，也是有心力，所以質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)和球在運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)和球A組成的系統(tǒng)機(jī)械組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為能守恒，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，有：，有：所求的所求的l的最大值的最大值lmax 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于ml v0OAO圖圖2) 1 (2121220RMmGmvmv)2(max0mvRlmv由以上兩式可得：由以上兩式可得： 20max21RvGMRl7217.從地球表面向火星發(fā)

48、射火星探測(cè)器，設(shè)地球和火星都在同一從地球表面向火星發(fā)射火星探測(cè)器，設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，火星軌道半徑平面上繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，火星軌道半徑Rm是地球軌道半徑是地球軌道半徑Re的的1.5倍，簡單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進(jìn)行：倍，簡單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進(jìn)行：第一步，在地球表面用火箭對(duì)探測(cè)器進(jìn)行加速，使之獲得足夠第一步，在地球表面用火箭對(duì)探測(cè)器進(jìn)行加速，使之獲得足夠的動(dòng)能，從而脫離地球的引力作用成為一個(gè)沿地球軌道運(yùn)行的的動(dòng)能，從而脫離地球的引力作用成為一個(gè)沿地球軌道運(yùn)行的人造行星；第二步是在適當(dāng)時(shí)刻點(diǎn)燃與探測(cè)器連在一起的火箭人造行星；第二步是在適當(dāng)時(shí)

49、刻點(diǎn)燃與探測(cè)器連在一起的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，在短時(shí)間內(nèi)對(duì)探測(cè)器沿原方向加速，使其速度數(shù)值增發(fā)動(dòng)機(jī)，在短時(shí)間內(nèi)對(duì)探測(cè)器沿原方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當(dāng)值，從而使得探測(cè)器沿著一個(gè)與地球軌道及火星軌道加到適當(dāng)值，從而使得探測(cè)器沿著一個(gè)與地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個(gè)橢圓軌道正好射到火星上分別在長軸兩端相切的半個(gè)橢圓軌道正好射到火星上. 問：問：（1）為使探測(cè)器成為沿地球軌道運(yùn)行的人造行星，必須加速探）為使探測(cè)器成為沿地球軌道運(yùn)行的人造行星，必須加速探測(cè)器，使之在地球附近獲得多大的速度（相對(duì)地球）？測(cè)器，使之在地球附近獲得多大的速度（相對(duì)地球）？（2）當(dāng)探測(cè)器脫離并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運(yùn)行后，在

50、某年）當(dāng)探測(cè)器脫離并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運(yùn)行后，在某年3月月1日零時(shí)測(cè)得探測(cè)器與火星之間的角距離為日零時(shí)測(cè)得探測(cè)器與火星之間的角距離為60(火星在前，探測(cè)器火星在前，探測(cè)器在后在后)，那么應(yīng)在何年何月何日點(diǎn)燃探測(cè)器上的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)方能，那么應(yīng)在何年何月何日點(diǎn)燃探測(cè)器上的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)方能使探測(cè)器剛好落在火星表面？（時(shí)間計(jì)算僅需精確到日）使探測(cè)器剛好落在火星表面？（時(shí)間計(jì)算僅需精確到日）已知地球半徑為已知地球半徑為R=6.4106m，重力加速度取，重力加速度取g=9.8m/s2. (98年年15屆復(fù)賽題屆復(fù)賽題)73例例17 解：解： (1)設(shè)地球的質(zhì)量為設(shè)地球的質(zhì)量為Me,探測(cè)器及其附加裝置的探測(cè)器及

51、其附加裝置的質(zhì)量為質(zhì)量為m，則探測(cè)器在地球表面處時(shí)的動(dòng)能和引力勢(shì)能，則探測(cè)器在地球表面處時(shí)的動(dòng)能和引力勢(shì)能分別是分別是RmMGEmvEePk,212 當(dāng)探測(cè)器脫離地球的引力作用成為沿地球軌道運(yùn)動(dòng)當(dāng)探測(cè)器脫離地球的引力作用成為沿地球軌道運(yùn)動(dòng)的人造行星時(shí)，可以認(rèn)為探測(cè)器的引力勢(shì)能為零，相的人造行星時(shí)，可以認(rèn)為探測(cè)器的引力勢(shì)能為零，相對(duì)地球的速度為零對(duì)地球的速度為零,即相對(duì)地球動(dòng)能為零即相對(duì)地球動(dòng)能為零. 據(jù)機(jī)械能守?fù)?jù)機(jī)械能守恒定律可得恒定律可得0212RmMGmve由此解得由此解得)/(102 .11223smRgRGMve74探測(cè)器探測(cè)器火星火星日日mReR圖圖1(2) 為了使探測(cè)器落到火星上，

52、必須為了使探測(cè)器落到火星上，必須選擇適當(dāng)時(shí)機(jī)點(diǎn)燃探測(cè)器上的火箭選擇適當(dāng)時(shí)機(jī)點(diǎn)燃探測(cè)器上的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，使探測(cè)器沿橢圓軌道到達(dá)發(fā)動(dòng)機(jī)，使探測(cè)器沿橢圓軌道到達(dá)與火星軌道的相切點(diǎn)，如圖與火星軌道的相切點(diǎn)，如圖1所示，所示，而且火星這時(shí)也恰好也到達(dá)這一點(diǎn)而且火星這時(shí)也恰好也到達(dá)這一點(diǎn). 為此，必須首先確定點(diǎn)燃探測(cè)器上的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)探為此，必須首先確定點(diǎn)燃探測(cè)器上的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)探測(cè)器與火星的相對(duì)位置，已知探測(cè)器在地球公轉(zhuǎn)軌道上測(cè)器與火星的相對(duì)位置，已知探測(cè)器在地球公轉(zhuǎn)軌道上運(yùn)行周期與地球公轉(zhuǎn)周期相同，為運(yùn)行周期與地球公轉(zhuǎn)周期相同，為dTTet365據(jù)開普勒第三定律可得火星的公轉(zhuǎn)周期為據(jù)開普勒第三定律可得火

53、星的公轉(zhuǎn)周期為dRRTTemem6715 . 1365)(3375det/986. 0365360探測(cè)器探測(cè)器火星火星日日mReR圖圖1探測(cè)器的橢圓軌道的半長軸為探測(cè)器的橢圓軌道的半長軸為emeRRRa25. 12 所以由開普勒第三定律可得探測(cè)所以由開普勒第三定律可得探測(cè)器的運(yùn)行周期為器的運(yùn)行周期為dRaTTett51025. 1365)(33 因此，探測(cè)器由點(diǎn)燃發(fā)動(dòng)機(jī)到抵達(dá)火星需時(shí)間為因此，探測(cè)器由點(diǎn)燃發(fā)動(dòng)機(jī)到抵達(dá)火星需時(shí)間為dTtt2552探測(cè)器在點(diǎn)燃發(fā)動(dòng)機(jī)前繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為探測(cè)器在點(diǎn)燃發(fā)動(dòng)機(jī)前繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為76火星繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為火星繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為dm/537. 0671360 由于探測(cè)器運(yùn)行至火星需時(shí)間由于探測(cè)器運(yùn)行至火星需時(shí)間 t=255d,那么火星在這那么火星在這期間運(yùn)行的角距離為期間運(yùn)行的角距離為137tm 這表明探測(cè)器在橢圓軌道近日點(diǎn)發(fā)射時(shí)，火星應(yīng)在其這表明探測(cè)器在橢圓軌道近日點(diǎn)發(fā)射