波利亞《怎樣解題表》

1、波利亞的怎樣解題表陜西師范大學(xué)羅增儒 羅新兵1喬治液利亞喬治波利亞（George Polya , 18871985）是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家.在解題方面，是數(shù)學(xué)啟發(fā)法（指關(guān)于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，亦譯為探索法）現(xiàn)代研究的先驅(qū).由于他在數(shù)學(xué)教育方面取得的成就和對(duì)世界數(shù)學(xué)教育所產(chǎn)生的影響，在他93歲高齡時(shí)，還被ICME（國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)）聘為名譽(yù)主席.作為一個(gè)數(shù)學(xué)贏，波利亞在函數(shù)論、變分法、概率、數(shù)論、組合數(shù)卷 計(jì)算和應(yīng)用數(shù)學(xué) 等眾多領(lǐng)域，都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了以“波利亞”命名的定理或術(shù)語；他與其他數(shù) 學(xué)家合著的數(shù)學(xué)分析中的問題和定理、不等式、數(shù)學(xué)物理中的等周問題、復(fù) 變量等書堪稱經(jīng)

2、典；而以200多篇論文構(gòu)成的四大卷文集，在未來的許多年里， 將是研究生攻讀的內(nèi)容.作淘一個(gè)數(shù)學(xué)教育家，波利亞的主要貢獻(xiàn)集中休現(xiàn)在怎樣解題（1945年）、數(shù)學(xué) 與似真推理（1954年）、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（1962年）三部世界名著上，涉及“解題理論”、“解題教學(xué)”、“教師培訓(xùn)”三個(gè)領(lǐng)域波利亞對(duì)數(shù)學(xué)解題理論的建設(shè)主要是通過“怎樣解 題”表來實(shí)現(xiàn)的，而在爾后的著作中有所發(fā)展，也在“解題講習(xí)班”中對(duì)教師現(xiàn)身說法他 的著作把傳統(tǒng)的單純解題發(fā)展為通過解題獲得新知識(shí)和新技能的學(xué)習(xí)過程，他的目標(biāo)不是找出可以機(jī)械地用于解決一切問題的“萬能方法”，而是希望通過對(duì)于解題過程的深入分析， 特別是由已有的成功實(shí)踐，總結(jié)出一般的

3、方法或模式，使得在以后的解題中可以起到啟發(fā)的 作用.他所總結(jié)的模式和方法，包括笛卡兒模式、遞歸模式、疊加模式、分解與組合方法、 一般化與特殊化方法、從后往前推、設(shè)立次目標(biāo)、歸納與類比、考慮相關(guān)輔助問題、對(duì)問題 進(jìn)行變形等，都在解題中行之有效. 尤其有特色的是，他將上述的模式與方法設(shè)計(jì)在一張解 題表中，并通過一系列的問句或建議表達(dá)出來，使得更有啟發(fā)意義. 著名數(shù)學(xué)家互爾登在瑞士蘇黎世大學(xué)的會(huì)議致詞中說過：“每個(gè)大學(xué)生、每個(gè)學(xué)者、特別是每個(gè)教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的書” （1952年2月2日）.2怎樣解題表波利亞是圍繞“怎樣解題“、怎樣學(xué)會(huì)解題"來開展數(shù)學(xué)啟發(fā)達(dá)研究的，這首先表明其對(duì)“問

4、題解決”重要性的突出強(qiáng)調(diào)，同時(shí)也表明其對(duì)“問題解決”研究興趣集中在啟發(fā)法 上波利亞在風(fēng)靡世界的怎樣解題（被譯成14種文字）一書中給出的“怎樣解題表”，正是一部“啟發(fā)法小詞典”.21"怎樣解題”表的呈現(xiàn)弄清問題第一，你必 須弄清問題未知是什么？已知是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知, 條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào).mm汀幾'丫曲班;I；匸匸二衣?擬定計(jì)劃第二，找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系如果它,】J 二丄|_ !： :?你是否見過相同的問題而形式稍有不同？：'.：o!my?你是否知道一個(gè)可能用得上的定理

5、？看著未知數(shù)試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題* 這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題*. 一 ：_丨二一？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用 你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？找不出直接的聯(lián)系，你 可能不得不 考慮輔助問你能不能重新敘述這個(gè)問題?你能不能用不同的方法重新敘述它 ？回到定義去.如果你不能解決所提岀的問題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問題.你能不能 想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問題 ？一個(gè)更普遍的問題？一個(gè)更特殊的問題 ？一個(gè)題.類比的問題？你能否解決這個(gè)問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其你應(yīng)該最終得出一余部分.這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度 ？它

6、會(huì)怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西 ？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)?如果需個(gè)求解的計(jì)要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變,據(jù)彼此更接近？以使新未知數(shù)和新數(shù)實(shí)現(xiàn)計(jì)劃第三，實(shí)行你的計(jì)劃實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟*你能否漕楚地看岀這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？回顧第四，驗(yàn)算所得到的解.(你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證?你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能不能一下子看出它來？你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問題？你泉否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包 含在問題中的必要的概念？下面是實(shí)踐波利亞解題表的一個(gè)示例，能夠展示波利亞解題格的心

7、路歷程，娓娓道來, 栩栩如生.N 2"怎樣解題”表的實(shí)踐例1 給定正四棱臺(tái)的高h(yuǎn),上底的一條邊長 a和下底的一條邊長 b,求正四棱臺(tái)的體 積F.（學(xué)生已學(xué)過棱柱、棱錐的體積 ）講解第一，弄清問題.問題1 你要求解的是什么？要求解的是幾何體的體積，在思維中的位置用一個(gè)單點(diǎn) F象征性地表示出來（圖1） h問題2.你有些什么？一方面是題目條件中給出的3個(gè)已知量a、b、h;另一方面是已學(xué)過棱柱、棱錐的體積 公式，并積累有求體積公式的初步經(jīng)驗(yàn)把已知的三個(gè)量添到圖示處（圖2），就得到新添的三個(gè)點(diǎn)a、b、h;它們與F之間有一條鴻溝，象征問題尚未解決，我們的任務(wù)就是將未知量 與已知量聯(lián)系起來.第二，

8、擬定計(jì)劃.問題3.怎樣才能求得 F?由于我們已經(jīng)知道棱柱、棱錐的體積公式，而棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)（棱臺(tái)的定義）告訴我們，棱臺(tái)是“用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐”，從一個(gè)大棱錐中截去一個(gè)小棱錐所生成的.如果知道了相應(yīng)兩棱錐的體積 B和A,我們就能求出橫臺(tái)的體積F-B-A.我們?cè)趫D示上引進(jìn)兩個(gè)新的點(diǎn)A和B,用斜線把它們與F聯(lián)結(jié)起來，以此表示這三個(gè)量 之間的聯(lián)系（圖3，即式的幾何圖示）.這就把求F轉(zhuǎn)化為求A、B.圖形兒何圖示F問題4.怎樣才能求得 A與B?1依據(jù)棱錐的體積公式（V = Sh ），底面積可由已知條件直接求得，關(guān)鍵是如何求出兩3個(gè)棱錐的高并且，一旦求出小棱錐的高x，大棱錐的高也就求出，為x +

9、 h.我們?cè)趫D示上引進(jìn)一個(gè)新的點(diǎn)x,用斜線把A與x、a連結(jié)起來，表示 A能由a、x得1出，A= 一 a 2x;類似地，用斜線把 B與b、h、x連結(jié)起來，表示 B可由b、h、x得出，31 2E= b （x + h）（圖4），這就把求A、B轉(zhuǎn)化為求x.3圖形兒何圖示冋題5.怎樣才能求得x?為了使未知數(shù)x與已知數(shù)a、b、h聯(lián)系起來，建立起一個(gè)等量關(guān)系.我們調(diào)動(dòng)處理立體幾何問題的基本經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行“平面化”的思考用一個(gè)通過高線以及底面一邊上中點(diǎn)（圖5中，點(diǎn)Q）的平面去截兩個(gè)棱錐，在這個(gè)截面上有兩個(gè)相似三角形能把a(bǔ)、b、h、x聯(lián)系起來（轉(zhuǎn)化為平面幾何問題），由AVPO isvqo 2得圖形兒何圖示圖5這就將

10、一個(gè)幾何問題最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解.解方程，便可由a、b、h表示x,在圖示中便可用斜線將 x與a、b、h連結(jié)起來.至此，我們已在F與已知數(shù)a、b、h之間建立起了一個(gè)不中斷的聯(lián)絡(luò)網(wǎng)，解題思路全部溝通.第三，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃.件輔助線（過程略）如圖5，由相似三角形的性質(zhì)，得=，解得x=bahba進(jìn)而得兩錐體的體積為A = 1 a 2x = 1 AA ,33 b -a3B1 b 2（x + h）= 1 吐,33 b -a得棱臺(tái)體積為33F 二 B A 二1 （b » = 1 （a2+ ab+ b2） h.3 b-a 3'第四，回顧.（1）正面檢驗(yàn)每一步，推理是有效的，演算是準(zhǔn)確的.再作特

11、殊性檢驗(yàn)，令aO，由可得正四棱錐體的體積公式；令ab,由可得正四棱柱體的體積公式.這既反映了新知識(shí)與原有知識(shí)的相容性，又顯示出棱臺(tái)體積公式的一般性；這既溝通了三類幾何體極限狀態(tài)間的知識(shí)聯(lián)系，又可增進(jìn)三個(gè)體積公式的聯(lián)系記憶.（2）回顧這個(gè)解題過程可以看到，解題首先要弄清題意，從中捕捉有用的信息（如圖1所示，有棱臺(tái)，a、b、h、F共5條信息），同時(shí)又要及時(shí)提取記憶網(wǎng)絡(luò)中的有關(guān)信息（如回想：棱臺(tái)的定義、棱錐的體積公式、相似三角形的性質(zhì)定理、反映幾何結(jié)構(gòu)的運(yùn)算、調(diào)動(dòng)求 解立體幾何問題的經(jīng)驗(yàn)積累等不下6條信息），并相應(yīng)將兩組信息資源作合乎邏輯的有效組合.這當(dāng)中，起調(diào)控作用的關(guān)鍵是如何去構(gòu)思出一個(gè)成功的計(jì)

12、劃（包括解題策略）.由這一案例，每一個(gè)解題者還可以根據(jù)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)各自進(jìn)一步領(lǐng)悟關(guān)于如何制定計(jì)劃的普遍建議 或模式.（3）在解題方法上，這個(gè)案例是分析法的一次成功應(yīng)用，從結(jié)論出發(fā)由后往前找成立的 充分條件.為了求 F,我們只需求 A、B（由棱臺(tái)體積到棱錐體積的轉(zhuǎn)化一一由未知到已知，化歸）；為了求A、B,我們只需求x（由體積計(jì)算到線段計(jì)算的轉(zhuǎn)化一一由復(fù)雜到簡單，降維）;為了求x，我們只需建立關(guān)于 x的方程（由幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化一一數(shù)形結(jié)合）;最后，解方程求x,解題的思路就暢通了，在當(dāng)初各自孤立而空曠的畫面上（圖1），形成了一個(gè)聯(lián)接未知與已知間的不中斷網(wǎng)絡(luò)（圖5），書寫只不過是循相反次序?qū)⒕W(wǎng)絡(luò)圖作

13、一敘述.這個(gè)過程顯示 了分析與綜合的關(guān)系，“分析自然先行，綜合后繼；分析是創(chuàng)造，綜合是執(zhí)行；分析是制定一個(gè)計(jì)劃，綜合是執(zhí)行這個(gè)計(jì)劃”.（4）在思維策略上，這個(gè)案例是“三層次解決”的一次成功應(yīng)用.首先是一般性解決 （策略水平上的解決），把F轉(zhuǎn)化為A, B的求解（F = A E），就明確了解題的總體方向；其次是功能性解決（方法水平的解決），發(fā)揮組合與分解、相似形、解方程等方法的解題功能； 最后是特殊性解決（技能水平的解決），比如按照棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)作圖、添輔助線找出相似三 角形、求出方程的解、具體演算體積公式等，是對(duì)推理步驟和運(yùn)算細(xì)節(jié)作實(shí)際完成.（5）在心理機(jī)制上，這個(gè)案例呈現(xiàn)出“激活一一擴(kuò)散”的基

14、本過程.首先在正四棱臺(tái)（條件）求體積（結(jié)論）的啟引下，激活了記憶網(wǎng)絡(luò)中棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)和棱錐的體積公式，然后，沿著體積計(jì)算的接線向外擴(kuò)散，依次激活截面知識(shí)、相似三角形知識(shí)、解方程知識(shí)（參見圖1圖5）,直到條件與結(jié)論之間的網(wǎng)絡(luò)溝通.這種“擴(kuò)散一一激活”的觀點(diǎn)，正是數(shù)學(xué)證明思維中心理過程的一種解釋.（6）在立體幾何學(xué)科方法上，這是“組合與分解”的一次成功應(yīng)用首先把棱臺(tái)補(bǔ)充 （組合）為棱錐，然后再把棱錐截成 （分解）棱臺(tái)并作出截面，這種做法在求棱錐體積時(shí)曾經(jīng)用過 （先組合成一個(gè)棱柱、再分解為三個(gè)棱錐），它又一次向我們展示“能割善補(bǔ)”是解決立體幾 何問題的一個(gè)訣竅，而“平面化”的思考則是溝通立體幾何與平

15、面幾何聯(lián)系的一座重要橋梁.這些都可以用于求解其他立體幾何問題， 于其他學(xué)科.（7） “你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？”答，操作上未實(shí)現(xiàn)只是能力問題或暫時(shí)現(xiàn)象. 以有下面的解法.如圖6,正四棱臺(tái) ABCD-A iB iC iD 1中，連結(jié) DA, 四棱錐D - A iB iC iD i,D - AA i B iB,D - BB i C iC,VD _AIBICIDI = 3 b h,3并且作為一般化的思想（化歸、降維）還可以用在信念上我們應(yīng)該永遠(yuǎn)而堅(jiān)定地做出肯定的回 對(duì)于本例，按照化棱臺(tái)為棱錐的同樣想法，可D B,DC i,DB，將其分成三個(gè)其中VD _AAIB1B = VD _BBi C-|C

16、 .（等底等咼 ）D圖6為了求VD，我們連結(jié)AB i,將其分為兩個(gè)三棱錐D-ABB i 與D - AA iB i（圖 7）,S AA1BI = S ABB,aVd -AA Bl B = VD _AB0 ,aVd 丄BBi =-ABDa 2 h =2i a2h,6Vd _AA|B1B = Vd -abb1 + Vd=ia2h+ b la2h= i6 a 662（a +ab ）h.從而Vabcd j1b1c1d1 = Vd .aibib + Vd _bb1 c1c+ Vd _jiib1c1d11 2 1 2 1 2=(a +ab ) h+ (a +ab ) h+ b h6631 2 2=-(a +

17、 ab+ b ) h.3(8) “你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他問題？”能，至少我們可以由正四棱臺(tái)體積公式一般化為棱臺(tái)體積公式(方法是一樣的)注意到a = S 1, b =S 2,ab= . SE ,可一般化猜想棱臺(tái)的體積公式為"臺(tái)=3 ( S 1+ I SS2 + S 2) h.3波刊亞的解題觀對(duì)于波利亞的怎樣解題表及有關(guān)著作,人們從不同的角度闡發(fā)了對(duì)波利亞解題思想的認(rèn) 識(shí)(見參考文獻(xiàn))，我們將其歸結(jié)為 5個(gè)要點(diǎn).31程序化的解題系統(tǒng)怎樣解題表I就“怎樣解題S “教師應(yīng)教學(xué)生做些什么”等問題，把“解題中典型有用 的智力活動(dòng)”，按照正常人解決問題時(shí)思維的自然過程分成四個(gè)階段一一弄清

18、問題、擬定計(jì) 劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧，從而描繪出解題理論的一個(gè)總體輪廓，也組成了一個(gè)完整的解題教學(xué) 系統(tǒng)既體現(xiàn)常識(shí)性，又體現(xiàn)由常識(shí)上升為理論(普遍性)的自覺努力.這四個(gè)階段首先是一個(gè)四歩驟的宏觀解題程序，其中“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃“雖為主體工作，但較 為容易完成，是思路打通之后具體實(shí)施信息資源的邏輯配置，“我們所需要的只是耐心”;其次，“弄清問題”是認(rèn)識(shí)問題、并對(duì)問題進(jìn)行表征的過程，應(yīng)成為成功解決問題的一個(gè)必要 前提；與前兩者相比，“回顧”是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而 固定下來，是一個(gè)有遠(yuǎn)見的做法，在整個(gè)解題表中“擬定計(jì)劃”是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容.龍擬定計(jì)劃”的過程是在“過去的經(jīng)驗(yàn)和已有

19、的知識(shí)”基礎(chǔ)上，探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過 程，波利亞的建議是分兩步走： 第一，努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系(模式識(shí)別等);第二，如果找不出直接的聯(lián)系， 就對(duì)原來的問題做出某些必要的變更或修改，引進(jìn)輔助問題，為此，波利亞又進(jìn)一步建議：看著未知數(shù)，回到定義去，重新表述問題，考慮相關(guān)問題，分 解或重新組合，特殊化，一般化，類比等，積極誘發(fā)念頭，努力變化問題這實(shí)際上是闡述 和應(yīng)用解題策略并進(jìn)行資源的提取與分配.于是這個(gè)系統(tǒng)就集解題程序、解題基礎(chǔ)、解題策略、解題方達(dá)等于一身，融理論與實(shí) 踐于一體.32啟發(fā)式的過程分析(1) 還在當(dāng)學(xué)生的時(shí)候， 波利亞就有一個(gè)問題一再使他感到困惑：“是的，這個(gè)解答好像還

20、行，它看起來是正確的，但怎樣才能想出這樣的解答呢？是的，這個(gè)實(shí)驗(yàn)好像還行，它看起來是個(gè)事實(shí)，但別人是怎樣發(fā)現(xiàn)這樣的事實(shí) ？而且我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢？”從解題論的觀點(diǎn)看，這實(shí)際上是既提出了 “怎樣解題”又提出了“怎樣學(xué)會(huì)解題”的問題，波 利亞說，這“終于導(dǎo)致他寫出本書”(指怎樣解題).波利亞認(rèn)為“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面”，“用歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)看來像是一門系統(tǒng)的演 繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué).這兩個(gè)側(cè)面都像數(shù)學(xué)本身一樣古老但從某一點(diǎn)說來，第二個(gè)側(cè)面則是新的，因?yàn)橐郧皬膩砭蜎]有照本宣科地 把處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)照原樣提供給學(xué)生，或教師自己，或公眾.”他以數(shù)十

21、年的時(shí)間悉心研究數(shù)學(xué)啟發(fā)法，其“怎樣解題”的基本思想就可以概括為“知識(shí)+啟發(fā)法”在解題表中，波利亞給岀了 “啟發(fā)濃小詞典3讓讀者通過閱讀詞典來開闊思路、指導(dǎo) 實(shí)踐，自己學(xué)會(huì)怎樣解題.這些看迭來源于波利亞對(duì)數(shù)學(xué)教育宗旨的認(rèn)識(shí)，波利亞認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育應(yīng)“教會(huì)年輕人 去思考”，培養(yǎng)學(xué)生的“獨(dú)立性、能動(dòng)性和創(chuàng)新精神”；他認(rèn)為一個(gè)人在學(xué)校所受的教育應(yīng)該 受益終生，他贊成，良好的教育應(yīng)該“系統(tǒng)地給學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)事物的機(jī)會(huì)”，“應(yīng)該幫助學(xué)生自己再發(fā)現(xiàn)所教的內(nèi)容”，“學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它” ；他特別重視發(fā)展學(xué)生的數(shù) 學(xué)思維能力，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要加強(qiáng)思維訓(xùn)練，要發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，發(fā)展技能、 技巧、

22、有益的思考方式和科學(xué)的思維習(xí)慣，他反復(fù)指出，數(shù)學(xué)教育的目的不僅僅是傳授知識(shí)，還要“發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊(yùn)能力” 教師要“教學(xué)生證明問題”，也要“教他們猜想問題” 波 利亞提出“合情推理”的概念，號(hào)召：“讓我們教猜想吧！”（2）在解題表的展開中，波利亞則通過剖析典型例題的思維過程來研究“發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的 方法和規(guī)律” 波利亞不斷地提問、不斷地建議，“怎樣才能想出這樣的解答呢 ？ ”“我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢 ？”既驅(qū)使人們?nèi)シ治鼋忸}過程，又要求人們?nèi)タ偨Y(jié)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.波 利亞在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)序言中提出：“領(lǐng)會(huì)方法的最佳時(shí)機(jī)，可能是讀者解出一道題的時(shí)候， 或是閱讀它的解法的時(shí)候，也可能是閱讀解法形成過程的

23、時(shí)候”波利亞書中的例題，其實(shí)就是對(duì)典型例題進(jìn)行解題過程的分析就是暴露數(shù)學(xué)解題的思 維過程，也就是教人“怎樣學(xué)會(huì)解題”在例1中，數(shù)學(xué)操作與思維開展相結(jié)合的圖解或闡釋，使我們既領(lǐng)會(huì)到了這樣的意圖，也見到了這樣的行動(dòng).波利亞對(duì)解題過程淋厲盡致的剖析，實(shí)質(zhì)上已接觸到心理層面：但沒有用到多少教育學(xué) 或思維學(xué)的相關(guān)名詞， 基本上都是其數(shù)學(xué)前沿研究中切身體驗(yàn)的自然流露，數(shù)學(xué)功底和過程體驗(yàn)發(fā)揮了重要作用這正是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)教育的優(yōu)勢，處處有數(shù)學(xué)的“真刀真槍”，絕非“紙上談兵”.波利亞說“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉庫是一個(gè)解題者的重要資本”，在“知識(shí)”與“組織良好”之間，波利亞更強(qiáng)調(diào)后者，他說“良好的組織使得所

24、提供的知識(shí)易 于用上，這甚至可能比知識(shí)的廣泛更為重要.”用現(xiàn)在的話來說，波利亞在這里強(qiáng)調(diào)了“原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)”和“優(yōu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)”對(duì)問題解決的基礎(chǔ)作用.33開放型的念頭誘發(fā).波利亞解釋說：“我們表中的問題和建議并不直接提到念頭；但實(shí)阪上，所有的問題和建議都與它有關(guān)（可以說解題表中的每一個(gè)問句，都是從認(rèn)知或元認(rèn)知的角度向讀者啟發(fā)解題念頭），弄清問題是為好念頭的出現(xiàn)做準(zhǔn)備；擬訂計(jì)劃是試圖引發(fā)它；在引發(fā)之后，我們實(shí)現(xiàn)它；回顧此過程和求解的結(jié)果，我們?cè)噲D更好地利用它.”他強(qiáng)調(diào)指出：“老師為學(xué)生所在怎樣解題“也許有些念頭會(huì)把你會(huì)“突然閃出一個(gè)好能做的最大的好事是通過比較自然的幫助，促使他自己想出一個(gè)好念頭

25、.書里，出現(xiàn)“念頭”這個(gè)詞不下四五十次.?波利亞說：“它會(huì)給你指出整個(gè)或部分解題途徑”引入歧途”，但這并不可怕，“在明顯失敗的嘗試和一度猶豫不決之后”念頭”，最糟糕的是沒有任何念頭，還“笨頭呆腦地干等著某個(gè)念頭的降臨，而不會(huì)做任何 事情去加速其來到.”這里說的念頭不僅在字面上比“問題表征聲更為淺白，而且在內(nèi)涵上更為豐富，其實(shí)質(zhì)是開展積極活躍的思維活動(dòng)，產(chǎn)生念頭與找出解題途徑完全可以理解為同義語. 那么產(chǎn)生念 頭的基礎(chǔ)是什么呢？波利亞的回答是：“過去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)” （解題力量）“如果我們 對(duì)該論題知識(shí)貧乏， 是不容易產(chǎn)生好念頭的. 如果我們完全沒有知識(shí)， 則根本不可能產(chǎn)生好 念頭.”波利亞

26、一再提到“好念頭二其實(shí)這就是直覺、頓悟或靈感，想岀一個(gè)好念頭是一種'靈感運(yùn)動(dòng)”，“想像力有了一個(gè)突然的跳躍，產(chǎn)生了一個(gè)好念頭，這是天才的一次閃爍”，“是我們觀點(diǎn)上的重大突變，我們看問題方式的一個(gè)驟然變動(dòng)，在解題步驟方面的一個(gè)剛剛露頭 的有信心的預(yù)感”.波利亞關(guān)于念頭的種種議論，正是開展積極思維活動(dòng)的激發(fā)與激活.-的問題轉(zhuǎn)換這里說的“問題轉(zhuǎn)換S在怎樣解題一書中亦叫變化問題”題目變更3它揭示 了探索解題思路的數(shù)學(xué)途徑，也體現(xiàn)了解題策略的實(shí)際運(yùn)用波利亞強(qiáng)調(diào)：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘，為了找出哪個(gè)方面是正確的方面，哪一側(cè)是好接近的一側(cè)， 我們從各個(gè)方面、

27、各個(gè)側(cè)面去試驗(yàn)，我們變更問題.” “變化問題使我們引進(jìn)了新的內(nèi)容，從而產(chǎn)生了新的接觸，產(chǎn)生了和我們有關(guān)的元素接觸的新可能性.”“新問題展現(xiàn)了接觸我們以前知識(shí)的新可能性，它使我們做出有用接觸的希望死而復(fù)蘇.通過變化問題，顯露它的某個(gè)新方面，新問題使我們的興趣油然而生”在龍?jiān)鯓咏忸}"表中，波利亞擬岀了啟引我們不斷轉(zhuǎn)換問題的30多個(gè)問句或建議：把 問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的問題，把原問題化歸為一個(gè)已解決的問題，去考慮一個(gè)可能相關(guān)的問題，先解決一個(gè)更特殊的問題、 或更一般的問題、或類似的問題那些啟發(fā)新念頭的問句， 也往往與問題轉(zhuǎn)換有關(guān).“如果我們不用題目變更，幾乎是不能有什么進(jìn)展的”一一這就 是波

28、利亞的結(jié)論.3. 5 樸素的數(shù)學(xué)解題元認(rèn)知觀念.元認(rèn)知是對(duì)認(rèn)知的再認(rèn)知，包括元認(rèn)知知識(shí)，元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知監(jiān)控.雖然元認(rèn)知概 念提出較晚，但元認(rèn)知思想早就存在，在波利亞的解題思想中存在著樸素的元認(rèn)知觀念.波利亞解題表的大量冋句或aa,都不是問別人，而是自己給自己提問題' 提建訛 這 是解題者的自我詰問、自我反思.問題中的一部分，其對(duì)象針對(duì)具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，屬于認(rèn)知性的；另一部分則以解題者自身為對(duì)象，屬于元認(rèn)知性的比如，“你以前見過它嗎？”“你是否知道一個(gè)與此有關(guān)的問題 ？” “這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題.你能不能利用它？”等等，都不涉及問題的具體內(nèi)容，都是針對(duì)解題主體

29、、對(duì)其解題思維活動(dòng) 的反思，都屬于元認(rèn)知提問，而不完全是認(rèn)知提問.波利亞解題表中的“回顧”也并不完全是常規(guī)解題中的“檢驗(yàn)主要是有分析地領(lǐng)會(huì) 所得的解法（參見例i的回顧），它包含著把“問題及其解法”（認(rèn)知）作為對(duì)象進(jìn)行自覺反思 的元認(rèn)知意圖.至于解題表本身所給出的解題程序 （一種程序性知識(shí)），所體現(xiàn)的解題策略（一 種策略性知識(shí)）及所進(jìn)行的元認(rèn)知提問，都屬于元認(rèn)知知識(shí)波利亞對(duì)具體范例的分析，基本上是對(duì)許可題及其解法”的再認(rèn)知，己反映岀開發(fā)元認(rèn)知的樸索 意圖.波利亞的另一些問句，如“你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不同的方法重新敘 述它？”“你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)

30、和新數(shù)據(jù)彼此更接近 ？” （接近度），“你能不能一下子看出它來 ？”（題感）等，則屬于樸素的元認(rèn)知體驗(yàn).至于解題表本身，則自始至終體現(xiàn)著元認(rèn)知調(diào)控.綜上所述'解題系統(tǒng)”是波利亞解題思想的整體框架，“分柄解題過程”是玻利亞解題 思想的思維實(shí)質(zhì)，“念頭誘發(fā)”是波利亞解題思想的外在表現(xiàn)，“問題轉(zhuǎn)換”是波利亞解題思想的具體實(shí)現(xiàn)，樸素的元認(rèn)知觀念是波利亞解題思想的心理學(xué)基礎(chǔ).而這一切的背后，豐富的數(shù)學(xué)前沿研究經(jīng)歷和發(fā)現(xiàn)體驗(yàn)是波利亞解題思想的物質(zhì)基礎(chǔ)，現(xiàn)代啟發(fā)法是波利亞解題思想的靈魂，揭示“發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律”是波利亞解題思想的目標(biāo).4 波網(wǎng)亞解題研究的發(fā)展41反思數(shù)學(xué)上存在證明的方達(dá)與發(fā)現(xiàn)的

31、方達(dá)，在邏輯實(shí)證主義占主導(dǎo)地位的歷史時(shí)期，關(guān)于數(shù) 學(xué)發(fā)現(xiàn)方法的研究一度陷于停頓，波利亞的貢獻(xiàn)就在于自覺承擔(dān)起復(fù)興數(shù)學(xué)啟發(fā)法的重任， 并提出合情推理，為數(shù)學(xué)啟發(fā)法的現(xiàn)代研究提供了必要基礎(chǔ).20世紀(jì)80年代初期，美國數(shù)學(xué)教育界興起的“問題解決”研究是對(duì)波利亞現(xiàn)代啟發(fā)法的直接繼承，曾經(jīng)有“對(duì)波利亞的重新發(fā)現(xiàn)”、“數(shù)學(xué)啟發(fā)法幾乎成了問題解決的同義詞”等提法.但是，已有數(shù)學(xué)實(shí)踐卻未能獲得預(yù)期的成功，盡管學(xué)生已經(jīng)具備了必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，也已經(jīng)了解了相關(guān)的方法原則， 或者說已執(zhí)行了解題表的建議，卻仍不能有效地解決問題， 這不能不引起數(shù)學(xué)教育界的反思. 波利亞構(gòu)建的“四階段”解題系統(tǒng)具有開創(chuàng)性的意義，但局限于“

32、四階段”對(duì)學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”而言是不是有點(diǎn)簡單化了？對(duì)數(shù)學(xué)問題解決全過程的探索可能比解題表所簡潔描述的復(fù)雜得多.（2）數(shù)學(xué)啟發(fā)法的現(xiàn)代復(fù)興及其所取得的成功，無論怎樣評(píng)價(jià)都不算過分，但啟發(fā)法能不能看成影響問題解決能力的惟一要素？ “知識(shí)+啟發(fā)法”之外可能還有更多的因素需要重視（如“元認(rèn)知調(diào)節(jié)”、“觀念”等），“好念頭”的出現(xiàn)可能也需要從方法論的角度做出更為自 覺的分析.（3）波利亞從數(shù)學(xué)內(nèi)部研究數(shù)學(xué)問題解決并強(qiáng)調(diào)解題實(shí)踐是一個(gè)值得繼承的研究方向（與那些連數(shù)學(xué)題都沒有出現(xiàn)的解題研究形成鮮明對(duì)照，也與那些對(duì)中學(xué)教材作業(yè)題都不那 么過關(guān)的研究者形成鮮明對(duì)照 ），但局限于“解題”、專注于技能技巧是不是狹

33、窄了點(diǎn)？至少“問題發(fā)現(xiàn)（提出）”、“實(shí)際應(yīng)用”都與解決問題有同樣的重要性.4. 2發(fā)展近十幾年來，通過反思和對(duì)解題實(shí)踐活動(dòng)的深入考察，數(shù)學(xué)教育界已經(jīng)在“問題解決” 的全過程和“高級(jí)數(shù)學(xué)思維”的內(nèi)外部機(jī)制等研究方面取得了新的進(jìn)展，中國式的“問題解決”也初成特色，這些都構(gòu)成了對(duì)波利亞的超越.1 ）美國學(xué)者舍費(fèi)爾徳在名著數(shù)學(xué)解題一書中，提出了一個(gè)新的理論框架，描述 了復(fù)雜的智力活動(dòng)的四個(gè)不同性質(zhì)的方面. 認(rèn)識(shí)的資源.即解題者所已掌握的事實(shí)和算達(dá)； 啟發(fā)迭.即在困難的情況下借以取得進(jìn)展的“常識(shí)性的這則 調(diào)節(jié).它所涉及的是解題者運(yùn)用已有知識(shí)的有效性（即現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)中所說的元認(rèn) 知）；即解題者對(duì)于學(xué)科的

34、性質(zhì)和應(yīng)當(dāng)如何去從事工作的看法.（2）中國的數(shù)學(xué)教學(xué)歷來重視解題訓(xùn)練、中國的數(shù)學(xué)教師歷來重視解題研究，20世 紀(jì)80年代，隨著美國“問題解決” 口號(hào)傳入中國，波利亞的解題理論受到了重視也得到了 發(fā)展.20世紀(jì)40年代，波利亞的怎樣解題就曾有過中譯本（周佐嚴(yán)譯，中華書局出版），到60年代曾有人翻譯數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)但由于種種原因未能完成（見江澤涵關(guān)于波利 亞的怎樣解題和數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn) 的一些往事.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（皖），1983, 2, P. 4） . 8 0年代以來，波利亞的三部著作都已翻譯發(fā)行，其中的解題觀點(diǎn)已成為許多同行研究解題的指導(dǎo)思想，國內(nèi)一些學(xué)者多次召開了波利亞數(shù)學(xué)思想的討論會(huì)，徐利治教授還提出研究波利亞的兩項(xiàng)重要任務(wù)：一是培養(yǎng)和造就一批波利亞型的數(shù)學(xué)工作者，二是按照波利亞的思想改革數(shù)學(xué)教材和教學(xué)方法（后來有“ MM教育方式”的理論與實(shí)踐，見文8） . 20世紀(jì)90年代，張奠宙教授組織“數(shù)學(xué)教育高級(jí)研討班”，提出“提倡問題解決”作為進(jìn)一步改革中國數(shù)學(xué)教育“突破口”的設(shè)計(jì)（數(shù)學(xué)素質(zhì)教育設(shè)計(jì).數(shù)學(xué)教學(xué)，1993, 3）.這一切，促進(jìn)了中國特色的解題研究（參見文6、7 等），并初步形成了 “中國的數(shù)學(xué)問題解決” 特色.主 要表現(xiàn)有： 注重研究數(shù)學(xué)解題的思維過程： 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法論硏究； 提倡數(shù)學(xué)解題策略研究？ 應(yīng)用問題、數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究, 開放題、