計數(shù)原理-蘇教版

1、 一學(xué)生從外面進(jìn)入教室有多少一學(xué)生從外面進(jìn)入教室有多少種走法？若進(jìn)來再出去，有多少種走法？若進(jìn)來再出去，有多少走法？走法？問題情境問題情境2002年夏季在韓國與日本舉行的第年夏季在韓國與日本舉行的第17屆世界屆世界杯足球賽共有杯足球賽共有32個隊參賽它們先分成個隊參賽它們先分成8個小組進(jìn)個小組進(jìn)行循環(huán)賽，決出行循環(huán)賽，決出16強(qiáng)，這強(qiáng)，這16個隊按確定的程序進(jìn)個隊按確定的程序進(jìn)行淘汰賽后，最后決出冠亞軍，此外還決出了第三、行淘汰賽后，最后決出冠亞軍，此外還決出了第三、第四名問一共安排了多少場比賽？第四名問一共安排了多少場比賽？要回答上述問題，就要用到排列、組合的知要回答上述問題，就要用到排列、

2、組合的知識排列、組合是一個重要的數(shù)學(xué)方法，粗略地說，識排列、組合是一個重要的數(shù)學(xué)方法，粗略地說，排列、組合方法就是研究按某一規(guī)則做某事時，一排列、組合方法就是研究按某一規(guī)則做某事時，一共有多少種不同的做法共有多少種不同的做法在運(yùn)用排列、組合方法時，經(jīng)常要用到分類計在運(yùn)用排列、組合方法時，經(jīng)常要用到分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，下面我們舉一些例子來說數(shù)原理與分步計數(shù)原理，下面我們舉一些例子來說明這兩個原理明這兩個原理從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，火車有火車有3班，汽車有班，汽車有2班那么一天中，乘坐這些交通工具從班那么一天中，乘坐這

3、些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？甲地到乙地共有多少種不同的走法？一般地，有如下原理：一般地，有如下原理： 分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理(加法原理加法原理) 完成一件事，有完成一件事，有n類辦法，在第類辦法，在第1類辦法中有類辦法中有m1 種不同種不同的方法，在第的方法，在第2類辦法中有類辦法中有m2 種不同的方法，種不同的方法，在第，在第n 類類辦法中有辦法中有mn 種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法種不同的方法12nN=m +m +m問題問題2 2 從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙地，再從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙地，再于次日從丙

4、地乘汽車到乙地一天中，火車有于次日從丙地乘汽車到乙地一天中，火車有3班，班，汽車有汽車有2班那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種班那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？不同的走法？ 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n 個步驟，做第個步驟，做第1步有步有m1 種不同的方法，做第種不同的方法，做第2步有步有m2 種不同的方法，種不同的方法，做，做第第n步有步有mn 種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法種不同的方法12nN = m mm分步計數(shù)原理（乘法原理）分步計數(shù)原理（乘法原理）分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理有什么不同？分類計數(shù)原理與分步計數(shù)

5、原理有什么不同？ 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理都是涉及完成一件事的不分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)的問題，它們的區(qū)別在于：同方法的種數(shù)的問題，它們的區(qū)別在于： 分類計數(shù)原理與分類計數(shù)原理與“分類分類”有關(guān)，各種方法有關(guān)，各種方法相互獨立相互獨立，用用其中任何一種方法都可以完成這件事；其中任何一種方法都可以完成這件事； 分步計數(shù)原理與分步計數(shù)原理與“分步分步”有關(guān)，各個步驟有關(guān)，各個步驟相互依存相互依存，只只有各個步驟都完成了，這件事才算完成有各個步驟都完成了，這件事才算完成例例1 書架的第書架的第1層放有層放有4本不同的計算機(jī)書，第本不同的計算機(jī)書，第2層放有層放有

6、3本本不同的文藝書，第不同的文藝書，第3層放有層放有2本不同的體育書本不同的體育書（1）從書架上任取）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？本書，有多少種不同的取法？（2）從書架的第）從書架的第1、2、3層各取層各取1本書，有多少種不同的取法？本書，有多少種不同的取法？（3）從書架上任?。臅苌先稳?種不同類型的書各種不同類型的書各1本，有多少種不同的本，有多少種不同的取法？取法？解解: (1)4+3+2=9 (2)43224 (3)43423226例例2 一種號碼鎖有一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從個撥號盤，每個撥號盤上有從0到到9共共10個數(shù)字，這個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多

7、少個四位數(shù)字的號碼？個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)字的號碼？ 解：解：1010101010000注意：有些較復(fù)雜的問題往往不是單純的注意：有些較復(fù)雜的問題往往不是單純的“分類分類”“”“分步分步”可以解決的，而要將可以解決的，而要將“分類分類”“”“分步分步”結(jié)合起來運(yùn)用一般結(jié)合起來運(yùn)用一般是先是先“分類分類”，然后再在每一類中，然后再在每一類中“分步分步”，綜合應(yīng)用分類，綜合應(yīng)用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理計數(shù)原理和分步計數(shù)原理 例例3 要從甲、乙、丙要從甲、乙、丙3名工人中選出名工人中選出2名分別名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？上日班和晚班，有多少種不同的選法？ 小結(jié)：小結(jié)： 分類計數(shù)

8、原理與分步計數(shù)原理體現(xiàn)了解決問題時分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理體現(xiàn)了解決問題時將其分解的兩種常用方法，即分步解決或分類解決，它不僅是將其分解的兩種常用方法，即分步解決或分類解決，它不僅是推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)計算公式的依據(jù)，而且其基本思想貫穿于推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)計算公式的依據(jù)，而且其基本思想貫穿于解決本章應(yīng)用問題的始終要注意解決本章應(yīng)用問題的始終要注意“類類”間互相獨立，間互相獨立，“步步”間互相聯(lián)系間互相聯(lián)系 1有不同的中文書有不同的中文書9本，不同的英文書本，不同的英文書7本，不同本，不同的日文書的日文書5本從其中取出不是同一國文字的書本從其中取出不是同一國文字的書2本，本，問有多少種不同的取法

9、？問有多少種不同的取法？ 2集合集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4 從從A,B 中各取中各取1個元素作為點個元素作為點P(x,y) 的坐標(biāo)的坐標(biāo)（1）可以得到多少個不同的點？）可以得到多少個不同的點？（2）這些點中，位于第一象限的有幾個？）這些點中，位于第一象限的有幾個？3某中學(xué)的一幢某中學(xué)的一幢5層教學(xué)樓共有層教學(xué)樓共有3處樓梯，問從處樓梯，問從1樓樓到到5樓共有多少種不同的走法？樓共有多少種不同的走法？4.集合集合A=1,2,3,4,B=5,6,7, 從從A到到B的映射有多少的映射有多少個？個？講講練練講講練練97957514334432422228333381例例1 在所有的兩

10、位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個？少個？ 分析與解：分析個位數(shù)字，可分以下幾類分析與解：分析個位數(shù)字，可分以下幾類個位是個位是9，則十位可以是，則十位可以是1，2，3，8中的一個，故有中的一個，故有8個；個；個位是個位是8，則十位可以是，則十位可以是1，2，3，7中的一個，故有中的一個，故有7個；個；與上同樣：與上同樣：個位是個位是7的有的有6個；個；個位是個位是6的有的有5個；個；個位是個位是2的只有的只有1個個由分類計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)有由分類計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)有說明：本題是用分類計數(shù)原理解答的，結(jié)合本題可加深

11、說明：本題是用分類計數(shù)原理解答的，結(jié)合本題可加深對對“做一件事，完成之可以有做一件事，完成之可以有n類辦法類辦法”的理解，所謂的理解，所謂“做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n類辦法類辦法”，這里是指對完，這里是指對完成這件事情的所有辦法的一個分類分類時，首先要根成這件事情的所有辦法的一個分類分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這據(jù)問題的特點確定一個適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次分類時要注意滿足一個基本要個標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次分類時要注意滿足一個基本要求：求：完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且完成這件事的任何一種方法必須屬于某一

12、類，并且分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法，分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法，只有滿足只有滿足這些條件，才可以用分類計數(shù)原理這些條件，才可以用分類計數(shù)原理 例2（1993年全國高考題）同室年全國高考題）同室4人各寫人各寫1張賀年卡，先集中張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿起來，然后每人從中各拿1張別人送出的賀年卡，則張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡張賀年卡不同的分配方式有（不同的分配方式有（ ）A6種種 B9種種 C11種種 D23種種例3某藝術(shù)組有某藝術(shù)組有9人，每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器，人，每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器，其中其中7人會鋼琴，人會鋼琴，3人會小號，從

13、中選出會鋼琴與會小號的各人會小號，從中選出會鋼琴與會小號的各1人，人，有多少種不同的選法？有多少種不同的選法？解：由題意可知，在藝術(shù)組9人中，有且僅有一人既會鋼琴又會小號（把該人稱為“多面手”），只會鋼琴的有6人，只會小號的有2人，把會鋼琴、小號各1人的選法分為兩類：第一類：多面手入選，另一人只需從其他8人中任選一個，故這類選法共有8種第二類：多面手不入選，則會鋼琴者只能從6個只會鋼琴的人中選出，會小號的1人也只能從只會小號的 2人中選出，放這類選法共有6212種， 故共有20種不同的選法例例4.現(xiàn)要安排一份現(xiàn)要安排一份5天值班表，每天有一個人值班。共有天值班表，每天有一個人值班。共有5個個人

14、，每個人都可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不能由同人，每個人都可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不能由同一個人值班，問此值班表由多少種不同的排法？一個人值班，問此值班表由多少種不同的排法？解：分解：分5步進(jìn)行：步進(jìn)行：第一步：先排第一天，可排第一步：先排第一天，可排5人中的任一個，有人中的任一個，有5種排法；種排法；第二步：再排第二天，此時不能排第一天的人，有第二步：再排第二天，此時不能排第一天的人，有4種排法種排法;第三步：再排第三天，此時不能排第二天的人，有第三步：再排第三天，此時不能排第二天的人，有4種排法種排法;第四步：同前第四步：同前第五步：同前第五步：同前由分步計數(shù)原理可得不同排法有

15、由分步計數(shù)原理可得不同排法有544441280種種例例5. 用用0，1，2，9可以組成多少個可以組成多少個8位號碼；位號碼；用用0，1，2，9可以組成多少個可以組成多少個8位整數(shù)；位整數(shù)；用用0，1，2，9可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)；位整數(shù)；用用0，1，2，9可以組成多少個有重復(fù)數(shù)字的可以組成多少個有重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)；位整數(shù)；用用0，1，2，9可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的4位奇數(shù)；位奇數(shù)；用用0，1，2，9可以組成多少個有兩個重復(fù)數(shù)字的可以組成多少個有兩個重復(fù)數(shù)字的4位整位整數(shù)等等數(shù)等等101010101010101010891010

16、101010101091079987453691010109000先定個位，再定千位，最后定百、十位先定個位，再定千位，最后定百、十位58872240整數(shù)個數(shù)有0無0 987330重復(fù)9860不重復(fù)3398例例6.自然數(shù)自然數(shù)2520有多少個約數(shù)？有多少個約數(shù)？解：解：2520233257分四步完成：分四步完成：第一步：取第一步：取20，21，22，23，24有有4種種;第二步：取第二步：取30，31，32有有3種；種；第三步：取第三步：取50，51有有2種；種；第四步：取第四步：取70，71有有2種。種。由分步計數(shù)原理，共有由分步計數(shù)原理，共有432248種種練習(xí)：練習(xí)：5張張1元幣，元幣，

17、4張張1角幣，角幣，1張張5分幣，分幣，2張張2分幣，可組成分幣，可組成多少種不同的幣值？（多少種不同的幣值？（1張不取，即張不取，即0元元0分分0角不計在內(nèi)）角不計在內(nèi)）元：元：0，1，2，3，4，5角：角：0，1，2，3，4分：分：0，2，4，5，7，96561179小 結(jié)一、一、分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理 完成一件事完成一件事, 有有 n 類辦法類辦法, 在第在第 1 類辦法中有類辦法中有 m1 種不同的種不同的方法方法, 在第在第 2 類辦法中有類辦法中有 m2 種不同的方法種不同的方法在第在第 n 類辦法中類辦法中有有 mn 種不同的方法種不同的方法. 那么完成這件事共有那么完成這件事

18、共有 N=m1+m2+mn種種不同的方法不同的方法. 二、二、分步計數(shù)原理分步計數(shù)原理 完成一件事完成一件事, 需要分成需要分成 n 個步驟個步驟, 做第做第 1 步有步有 m1 種不同的種不同的方法方法, 做第做第 2 步有步有 m2 種不同的方法種不同的方法做第做第 n 步有步有 mn 種不同種不同的方法的方法. 那么完成這件事共有那么完成這件事共有 N=m1m2mn種不同的方種不同的方法法. 三、三、共同點共同點把一個原始事件分解成若干個分事件來完成把一個原始事件分解成若干個分事件來完成.四、四、區(qū)別區(qū)別一個和分類有關(guān)一個和分類有關(guān), 一個與分步有關(guān)一個與分步有關(guān). 兩個原理的選擇兩個原

19、理的選擇 如果完成一件事情有如果完成一件事情有 n 類辦法類辦法, 這這 n 類辦法彼此之間是相類辦法彼此之間是相互獨立的互獨立的, 無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨完成這件無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨完成這件事情事情, 求完成這件事情的方法種數(shù)求完成這件事情的方法種數(shù), 就用就用分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理.關(guān)于分類關(guān)于分類 首先要根據(jù)問題的特點確定一個分類的標(biāo)準(zhǔn)首先要根據(jù)問題的特點確定一個分類的標(biāo)準(zhǔn), 然后再分類然后再分類;其次分類時要掌握兩個原則其次分類時要掌握兩個原則:( (1) )完成這件事的任何一種方法都必須屬于某一類完成這件事的任何一種方法都必須屬于某一類;( (2) )

20、分別屬于不同兩類的方法是不同的方法分別屬于不同兩類的方法是不同的方法.不重不漏不重不漏12nijSSSSSS 且且( (1) )確定確定分步標(biāo)準(zhǔn)分步標(biāo)準(zhǔn);( (2) )分成的分成的 n 個步驟個步驟要要連續(xù)完成連續(xù)完成;( (3) )每步中任何一種方法都可以與下一步中的任何一種方每步中任何一種方法都可以與下一步中的任何一種方法連接法連接.注：既可分類又需分步時注：既可分類又需分步時, 一般先分類后分步一般先分類后分步.關(guān)于分步關(guān)于分步 如果完成一件事情需要分成如果完成一件事情需要分成 n 個步驟個步驟, 各個步驟都是不可各個步驟都是不可缺少的缺少的, 需要依次完成所有的步驟需要依次完成所有的步驟, 才能完成這件事情才能完成這件事情, 而完而完成每一個步驟各有若干種不同的方法