定積分與其應用(精講精練)

1、-第5章定積分及其應用學習目標理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質.掌握變上限定積分的導數(shù)的計算方法.熟練應用牛頓 -萊布尼茲公式計算定積分，熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法.了解定積分在經(jīng)濟管理中的應用，會利用定積分計算平面圖形的面積 .定積分和不定積分是積分學中密切相關的兩個基本概念 ,定積分在自然科學和實際問題中有著廣泛的應用 .本章將從實例出發(fā)介紹定積分的概念、 性質和微積分基本定理 ,最后討論定積分在幾何、物理上的一些簡單應用.5.1定積分的概念與性質定積分無論在理論上還是實際應用上，都有著十分重要的意義，它是整個高等數(shù)學最重要的內容之一.5.1.1 實例分析1.曲邊梯形的面

2、積在初等數(shù)學中,我們已經(jīng)學會計算多邊形和圓的面積, 至于任意曲邊所圍成的平面圖形的面積, 只有依賴于曲邊梯形并利用極限的方法才能得到比較完滿的解決.所謂曲邊梯形,就是在直角坐標系中,由直線 x a, x b, y 0 及曲線 y f ( x) 所圍成的圖形， 如圖 5.1(a),(b),(c)都是曲邊梯形 .yyy-baobxaobxaox(a)(b)(c)-現(xiàn)在求f ( x)0 時，在連續(xù)區(qū)間 a, b 上圍成的曲邊梯形的面積 A（如圖 5.1(a),(b)所示），用以往的知識沒有辦法解決.為了求得它的面積，我們按下述步驟來計算：(1) 分割將曲邊梯形分割成小曲邊梯形在區(qū)間 a,b內任 意

3、插 入 n 1 個 分 點 ：a x0 x1x2xn 1xnb ， 把 區(qū) 間 a,b 分 成 n 個 小 區(qū) 間 ： x0 , x1 , x1 , x2 , xi 1, xi , xn 1 , xn ， 第 i 個 小 區(qū) 間 的 長 度 為xi xi xi 1 (i1, n) ，過每個分點作垂直于 x 軸的直線段， 它們把曲邊梯形分成n 個小曲邊梯形（圖5.2 ），小曲邊梯形的面積記為 Ai (i1,2,n) .yia x0 x1 x2oxi 1 xixn 1xn bx圖 5.2(2) 近似用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積在小區(qū)間 xi 1 , xi 上任取一點i (i1,2, n) ，

4、作以 xi 1 , xi 為底，f ( i ) 為高的小矩形，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，則Aif ( i ) xi (i1,2, n) .-(3) 求和求 n 個小矩形面積之和n 個小矩形面積之和近似等于曲邊梯形之和A ，即AA1A2Anf ( 1 ) x1f ( 2 ) x2f ( n ) xnnf ( i )xi .i1(4) 取極限n令max xi ，當分點 n 無限增多且0時，和式f ( i ) xi1 i ni 1的極限便是曲邊梯形的面積A ，即ni ) xi .Alimf (0i 12變速直線運動的路程設一物體作變速直線運動，其速度是時間t 的連續(xù)函數(shù)v v(t )

5、，求物體在時刻 t T1 到 t T2 間所經(jīng)過的路程 S .我們知道，勻速直線運動的路程公式是：Svt ，現(xiàn)設物體運動的速度 v 是隨時間的變化而連續(xù)變化的，不能直接用此公式計算路程，而采用以下方法計算：(1) 分割把整個運動時間分成n 個時間段在 時間 間 隔 T1 ,T2 內 任 意 插 入 n 1 個 分 點 ：T1t0t1t n 1t nT2 ， 把 T1 ,T2 分 成 n 個 小 區(qū) 間 ： t0 , t1 , t1 , t2 ,t i 1, ti ,t n 1 , tn ， 第 i 個 小 區(qū) 間 的 長 度 為t ititi 1 (i1,2, n),第 i 個 時 間 段 內

6、 對 應 的 路 程 記 作Si (i1,2,n) .(2) 近似在每個小區(qū)間上以勻速直線運動的路程近似代替變速直線運動的路程在小區(qū)間 t i 1,t i 上任取一點i (i 1,2,n) ,用速度 v( i ) 近似代替物體在時間 t i 1, t i 上各個時刻的速度，則有Siv( i ) t i (i1,2, , n) .(3) 求和求 n 個小時間段路程之和將所有這些近似值求和，得到總路程的近似值，即SS1S2Snv( 1 ) t1v( 2 )t2v( i )tn-ni ) ti .v(i 1(4) 取極限令maxt i ，當分點的個數(shù) n 無限增多且0 時，和式1 i nnS .即v

7、( i ) t i 的極限便是所求的路程i 1nS limv( i ) t i0i 1從上面兩個實例可以看出，雖然二者的實際意義不同，但是解決問題的方法卻是相同的，即采用“分割-近似 -求和 -取極限” 的方法， 最后都歸結為同一種結構的和式極限問題 . 類似這樣的實際問題還有很多，我們拋開實際問題的具體意義，抓住它們在數(shù)量關系上共同的本質特征，從數(shù)學的結構加以研究，就引出了定積分的概念 .5.1.2定積分的概念定義5.1設函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a,b 上有定義，任取分點a x0 x1 x2xn 1xn b把區(qū)間 a,b 任意分割成 n 個小區(qū)間 xi 1, xi ，第 i 個小區(qū)間的長度

8、為 xixixi 1in，記maxxi .在每個小區(qū)間 xi 1 , xi 上任取一(1, ,)1i nnn點 i (i1,2, n) 作和式f (i ) xi ，當0 時，若極限 limf ( i ) xii 10i 1存在（這個極限值與區(qū)間a,b 的分法及點 i 的取法無關） ，則稱函數(shù) f (x) 在 a,b 上可積，并稱這個極限為函數(shù)f ( x) 在區(qū)間a,b 上的定積分，記作bf ( x) dx ，即abnxi .f (x)dxlimf ( i )a0i 1其中，“ f ( x) ”稱為被積函數(shù)， “ f ( x)dx ”稱為被積表達式， x 稱為積分變量， a 稱為積分下限， b

9、稱為積分上限， a,b 稱為積分區(qū)間 .根據(jù)定積分的定義，前面所討論的兩個實例可分別敘述為：-曲邊梯形的面積A 是曲線yf (x) 在區(qū)間a,b 上的定積分.Ab0 ).f (x)dx ( f (x)a變速直線運動的物體所走過的路程S 等于速度函數(shù)v v(t ) 在時間間隔 T1 ,T2 上的定積分 .ST2v(t )dt .T1關于定積分的定義作以下幾點說明：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是可積的；閉區(qū)間上只有有限個間斷點的有界函數(shù)也是可積的 .定積分是一個確定的常數(shù)，它取決于被積函數(shù)f ( x) 和積分區(qū)間 a,b ，而與積分變量使用的字母的選取無關，即有bbf ( x)dxf (t )dt .aa在

10、定積分的定義中，有ab ，為了今后計算方便，我們規(guī)定：abf (x)dxf (x)dx .ba容易得到af ( x)dx 0 .a5.1.3 定積分的幾何意義設f (x) 是a, b 上 的 連 續(xù) 函 數(shù) ， 由 曲 線 yf (x) 及 直 線xa, xb, y0 所圍成的曲邊梯形的面積記為 A .由定積分的定義及 5.1.1 實例 1，容易知道定積分有如下幾何意義：（ 1）當（ 2）當f ( x)0 時， b f (x)dxAaf ( x)0 時， b f (x)dxAa（ 3）如果 f (x) 在 a,b 上有時取正值，有時取負值時，那么以 a,b 為底邊，以曲線y f ( x) 為曲

11、邊的曲邊梯形可分成幾個部分，使得每一部分都位于 x 軸的上方或下方 .這時定積分在幾何上表示上述這些部分曲邊梯形面積的代數(shù)和，-如圖 5.3 所示，有baf ( x)dxA1A2A3其中 A1 , A2 , A3 分別是圖5.3 中三部分曲邊梯形的面積，它們都是正數(shù) .例 5.1.1利用定積分的幾何意義，證明11 x2 dx.12證令 y1 x2 , x 1,1，顯然y 0，則 由 y1 x 2 和 直 線 x1, x 1 ，y0所圍成的曲邊梯形是單位圓位于x軸上方的半圓 .如圖5.4 所示 .因為單位圓的面積A ，所以 半圓的面積為 .2由定積分的幾何意義知：12 dx.1 x125.1.4

12、 定積分的性質由定積分的定義，直接求定積分的值，往往比較復雜，但易推證定積分具有下述性質，其中所涉及的函數(shù)在討論的區(qū)間上都是可積的 .-性質 5.1.1 被積表達式中的常數(shù)因子可以提到積分號前，即bbkf ( x)dxkf (x)dx .aa性質 5.1.2 兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于各函數(shù)定積分的代數(shù)和，即bg( x) dxbbf ( x)f ( x)dxg( x) dx .aaa這一結論可以推廣到任意有限多個函數(shù)代數(shù)和的情形.性質 5.1.3 （積分的可加性）對任意的點c ，有bcbf ( x)dxaf (x)dxf (x)dx .ac注意c 的任意性意味著不論c 是在 a,b 之內，還是

13、 c 在a,b 之外，這一性質均成立 .性質 5.1.4如果被積函數(shù)f ( x)c, (c 為常數(shù) ), 則ba) .a cdxc(b特別地 ,當 c1時 ,有 b dxba .a性質5.1.5 （積分的保序性）如果在區(qū)間a,b 上 , 恒有f ( x) g( x) ，則bbg( x)dx .f ( x)dxaa性質5.1.6 （積分估值定理）如果函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 a, b 上有最大值 M 和最小值 m ,則m(b a)bM (ba).f (x)dxa性質5.1.7 ( 積分中值定理 )如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù),則在 (a,b) 內至少有一點 ,使得bf ( )(b

14、a)(a,b) .f ( x)dxa證因 f ( x) 在 a,b 內連續(xù)，所以 f ( x) 在 a,b 內有最大值 M 和最小值 m ，由性質 5.1.6 知：m(b a)bM (ba).f ( x)dxa從而有這就說：1bmf ( x)dx M .ba a1bf (x)dx 是介于 m 與 M 之間的一個實數(shù) .b a a-由連續(xù)函數(shù)的介值定理1.10 知：至少存在一點(a, b) ，使得1bf (x)dx f ( ) .即ba aba)( a,b) .f ( x)dx f ( )(ba注性質 5.1.7的幾何意義是 :由曲y線f (x)yf ( x) ,直線 x a, xb 和 x 軸

15、所圍成y曲邊梯形的面積等于區(qū)間 a,b 上某個f矩()形的面積 ,這個矩形的底是區(qū)間 a,b ,矩形的高為區(qū)間 a, b 內某一點 處的函數(shù)值 f ( ) ，如圖 5.5 所示 .oab x圖 5.51b顯然，由性質f ( x)dx ， f ( ) 稱為函5.1.7 可得 f ( )a ab數(shù) f ( x) 在區(qū)間 a,b 上的平均值 .這是求有限個數(shù)的平均值的拓廣.性質 5.1.8( 對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質)設 f ( x) 在對稱區(qū)間 a,a 上連續(xù) ,則有如果 f (x) 為奇函數(shù) ,則af ( x)dx0 ；a如果 f (x) 為偶函數(shù) ,則af ( x)dx2af ( x)dx

16、 .a0例 5.1.2估計定積分1e x2dx 的值 .1解設 f ( x) e x 2 , f ' ( x)2xe x2 ，令 f ' ( x)0,得駐點 x0 ，比較及區(qū)間端點x1的函數(shù)值 ,有x 0f (0) e01,f ( 1) e 11 .e顯然 f ( x)e x 2 在區(qū)間 1,1 上連續(xù) ,則 f (x)在 1,1上的最小值為 m1 ,最大值為 M1，由定積分的估值性質 ,得e21x2.1dx2ee例 5.1.3比較定積分11x3 dx 的大小 .0x2 dx 與0解因為在區(qū)間 0,1 上 ,有 x2x 3 ,由定積分保序性質 ,得11x 2dxx3dx .00

17、-定積分定積分的原始思想可以追溯到古希臘古希臘人在丈量形狀不規(guī)則的土地的面積時，先盡可能地用規(guī)則圖形( 例如矩形和三角形) 把要丈量的土地分割成若干小塊，并且忽略那些邊邊角角的不規(guī)則的小塊計算出每一小塊規(guī)則圖形的面積，然后將它們相加，就得到土地面積的近似值后來看來，古希臘人丈量土地面積的方法就是面積思想的萌芽在十七世紀之前，數(shù)學家們沒有重視古希臘人的偉大思想，當時流行的方法是不可分量法這種方法認為面積和體積可以看作是由不可分量的運動產生出來的這種方法沒有包含極限概念，也沒有采用代數(shù)與算數(shù)的方法因此，不可分量的思想沒有取得成功雖然積分概念未能很好得建立起來，然而，到牛頓那個年代，數(shù)學家們已經(jīng)能夠

18、計算許多簡單的函數(shù)的積分雖然十三世紀就出現(xiàn)了利用分割區(qū)間作和式并計算面積的朦朧思想 (奧雷姆，法國數(shù)學家 )但是建立黎曼積分 ( 即定積分 ) 的嚴格定義的努力基本上由柯西開始 他比較早地用函數(shù)值的和式的極限定義積分 ( 他還定義了廣義積分 )但是柯西對于積分的定義僅限于連續(xù)函數(shù)1854年，黎曼指出了積分的函數(shù)不一定是連續(xù)的或者分段連續(xù)的，從而把柯西建立的積分進行了推廣他把可積函數(shù)類從連續(xù)函數(shù)擴大到在有限區(qū)間中具有無窮多個間斷點的函數(shù)黎曼給出關于黎曼可積的兩個充分必要條件其中一個是考察函數(shù)f ( x) 的振幅；另一個充分必要條件就是對于區(qū)間 a,b的每一個劃分a x0 x1xnb ，構造積分上

19、和與積分下和:S=nnM i xis= mixii 1i 1其中 M i 和 m i 分別是函數(shù) f ( x) 在每個子區(qū)間上的最大值和最小值 . f ( x) 在 a, b 黎曼可積的充分必要條件就是-lim(Ss)0maxx0至今，這個定理仍然經(jīng)常出現(xiàn)在微積分和數(shù)學分析的教科書中達布 ( 法國數(shù)學家 )對于黎曼的積分的定義作了推廣他嚴格地證明了不連續(xù)函數(shù)，甚至有無窮多個間斷點的函數(shù)，只要間斷點可以被包含在長度可以任意小的有限個區(qū)間之內就是可積分的在牛頓和萊布尼茲之前，微分和積分作為兩種數(shù)學運算、兩種數(shù)學問題，是分別加以研究的雖然有不少數(shù)學家已經(jīng)開始考慮微分和積分之間的聯(lián)系，然而只有萊布尼茲

20、和牛頓 (各自獨立地 ) 將微分和積分真正溝通起來，明確地找到了兩者之間內在的直接的聯(lián)系，指出微分和積分是互逆的兩種運算而這正是建立微積分的關鍵所在牛頓在1666 年發(fā)表的著作流數(shù)簡論中，從確定面積率的變化入手，通過反微分計算面積，把面積計算看作是求切線的逆從而得到了微積分基本定理在1675 年，萊布尼茲就認識到，作為求和過程的積分是微分的逆他于1675 1676 年給出了b微積分基本定理adfdxf (b)f ( a)并于 1693 年給出了這個定理的證明簡單直觀并且便于應用，是黎曼積分的優(yōu)點.黎曼積分的缺點主要是理論方面的一方面 ,黎曼積分的可積函數(shù)類太小基本上是“分段連續(xù)函數(shù)”構成的函數(shù)

21、類另一方面，黎曼積分在處理諸如函數(shù)級數(shù)的逐項積分、重積分的交換積分順序以及函數(shù)空間的完備性這樣一些重要的理論問題時，存在許多不可克服的障礙于是在上一世紀末到本世紀初，一種新的積分理論勒貝格積分應運而生它是黎曼積分的推廣，勒貝格積分的建立是積分學領域的重大發(fā)展它在很大程度上克服了黎曼積分在理論上遇到的上述困難勒貝格積分是近代分析數(shù)學發(fā)展的重要動力和基礎-習題 5.11. 用定積分表示由曲線y x 22x3 與直線 x 1, x4 及 x 軸所圍成的曲邊梯形的面積 .2.利用定積分的幾何意義,作圖證明：(1)12xdx1(2)RR 2x2R 20043.不計算定積分 ,比較下列各組積分值的大小 .

22、(1)1xdx ,1x 2 dx(2)1ex dx ,1e x2dx0000(3)44(4)4 cos xdx ,4 sin xdx3ln xdx, ln 2 xdx3004.利用定積分估值性質,估計下列積分值所在的范圍 .(1)1ex dx(2)22)dx0x(x0(3)2x2xdx(4)25x2 dx110 9x5.試用積分中值定理證明limn 1 sin xdx0 .nnx5.2定積分的基本公式定積分就是一種特定形式的極限，直接利用定義計算定積分是十分繁雜的， 有時甚至無法計算.本節(jié)將介紹定積分計算的有力工具牛頓萊布尼茲公式.5.2.1 變上限定積分定義5.2設函數(shù)f (x) 在區(qū)間 a

23、,b 上連續(xù)，對于任意x a,b ， f ( x) 在區(qū)間 a, x 上也連續(xù)，所以函數(shù)f ( x) 在 a, x 上也可積 .顯然對于 a,b 上的每一個x 的取值，都有唯一對應的定積分xxf (t) dt 和 x 對應，因此f (t)dt 是定義在 a,b 上的函數(shù) .記為aa(x)xf (t)dt ， x a,b .a稱 ( x) 叫做變上限定積分 ,有時又稱為變上限積分函數(shù).變上限積分函數(shù)的幾何意義是：y f (x)-y( x)oaxbx-如果 f (x)0 ，對 a, b上任意 x，都對應唯一一個曲邊梯形的面積( x) ，如圖 5.6 中的陰影部分 .因此變上限積分函數(shù)有時又稱為面積

24、函數(shù) .函數(shù)(x) 具有如下重要性質 .定理 5.1如 果 函 數(shù) f ( x) 在 區(qū) 間 a, b 上 連 續(xù) ， 則xdx(a x b) .( x)f (t )dtf (x)( x)f (t )dt 在 a, b 上可導，且dxaa證給定函數(shù)(x) 的自變量 x 的改變量x ，函數(shù)( x) 有相應的改變量.則(xx)( x)xxxx xaf (t )dtf (t)dtf (t)dt .ax由定積分的中值定理，存在( x, xx)或 (xx, x) ， 使x xf ( )x 成立 .f (t) dtx所以(x)limlimf () xlim f () limf ( x) 連續(xù)f ( )f

25、( x) .x 0xx0xx0x由定理 5.1 可知，如果函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 a, b 上連續(xù)， 則函數(shù) ( x)x就是 f ( x) 在區(qū)間 a,b上的一個原函數(shù). 由定理f (t) dta5.1 我們有下面的結論 .定理 5.2 （原函數(shù)存在定理）如果 f ( x) 在區(qū)間 a, b 上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在，且其中的一個原函數(shù)為( x)xf (t) dt .a注這個定理一方面肯定了閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)函數(shù) f (x)的一定有原函數(shù)（解決了第四章第一節(jié)留下的原函數(shù)存在問題），另一方面初步地揭示積分學中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系 .為下一步研究微積分基本公式奠定基礎.例 5.2

26、.1計算 dxetsin tdt .ddx0解xe t sin t d =t xtsin tdt = e x sin x .edx 010例 5.2.2求 limxt )dt .x20ln(1x 0解當 x0 時，此極限為 0 型不定式，兩次利用洛必塔0-法則有xlim1xt)dtlimln( 1t )dtlimln(1 x)ln(10= x=x0x200x2x02x1= lim 1x = 1x022求 dx2例 5.2.3(t 21)dt .dx 1解注意，此處的變上限積分的上限是x2 ，若記 ux2 ，x2u則函數(shù)1(t 21)dt 可以看成是由 y1(t 21)dt 與 ux 2 復合而

27、成，根據(jù)復合函數(shù)的求導法則得dx21)dt = du(t 21)dt du = (u 21)2x(t 2dx 1du1dx= (x 41)2x = 2 x52x .一般地有，如果 g( x) 可導，則dg ( x)g ( x)f g ( x) g ( x) .f (t )dt af (t)dt xdxa上式可作為公式直接使用 .x2sin tdt例 5.2.4求極限 lim0.x4x0解因為 lim x 40 ， limx 200sin tdtsin tdt 0 ，所以這個極限x 0x00是 0 型的未定式，利用洛必塔法則得0x 2limsin tdtlim sin x22xlim sin x

28、20= x 0= x 0 2x 2x 0x 44x3=1sin x21.limx2=22 x 05.2.2 微積分基本公式定理 5.3如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a, b 上連續(xù)，且 F ( x) 是 f (x)的任意一個原函數(shù)，那么bf ( x) dx F (b)F (a) .a證 由定理5.2知， (x)xf (t )dt 是 f ( x) 在區(qū)間 a,b 的一個a原函數(shù)，則-(x) 與 F ( x) 相差一個常數(shù)C ，即xF ( x)C .f (t )dta又因為 0aF (a) C ，所以 CF ( a) .于是有f (t )dtaxF ( x)F (a) .f (t )dta所以b

29、F (b)F (a) 成立 .f ( x) dxa為方便起見， 通常把 F (b)F (a) 簡記為 F ( x) ab 或 F ( x) ab ，所以公式可改寫為bF ( x) abF (b) F (a)f (x)dxa上述公式稱為牛頓萊布尼茲（Newton-Leibniz）公式，又稱為微積分基本公式 .定理 5.3揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)之間的內在聯(lián)系，它把求定積分的問題轉化為求原函數(shù)的問題.確切地說，要求連續(xù)函數(shù)f ( x) 在 a, b 上的定積分，只需要求出f ( x) 在區(qū)間 a, b 上的一個原函數(shù) F ( x) ，然后計算 F (b)F (a) 就可以了 .例 5.2.5

30、計算1x2 dx .0解因為 x2 dx1 x3C ，所以3x2 dx1103= 1.1= 1 x3 = 1 13030333例 5.2.6求1ex11x dx .xex1edx1d (e1)ln(1ex )1解1 1 ex=1 1 ex=1= ln(1e)ln(1e 1 ) =1.例 5.2.7求3x dx .21解根據(jù)定積分性質5.1.3 ，得3xdx=2x | dx3x | dx232) dx2| 2| 2( 2x)dx( x112122( 1 x 231 =5.= (2x1 x2 )2x) = 9212222例 5.2.8求極限 lim (123334n3 ) .nn-解根據(jù)定積分定義

31、,得lim (1 2334n3)n1 ( i )3x3 dx13lim1 x 41nnnn n04 0i 11 .4牛頓與萊布尼茲牛頓（ Newton，Isaac ，1643 1727 ）英國物理學家，數(shù)學家，天文學家.經(jīng)典物理學 理 論 體 系 的 建 立 者 . 萊 布 尼 茲 （ Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716 ）是 17 、18 世紀之交德國最重要的數(shù)學家、物理學家和哲學家， 一個舉世罕見的科學天才 .他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻 .微積分創(chuàng)立的優(yōu)先權，數(shù)學上曾掀起了一場激烈的爭論.實際上，牛頓在微積分方面

32、的研究雖早于萊布尼茲，但萊布尼茲成果的發(fā)表則早于牛頓 .萊布尼茲在 1684 年 10 月發(fā)表的教師學報上的論文，“一種求極大極小的奇妙類型的計算”，在數(shù)學史上被認為是最早發(fā)表的微積分文獻.牛頓在1687年出版的自然哲學的數(shù)學原理的第一版和第二版也寫道： “十年前在我和最杰出的幾何學家G 、W 萊布尼茲的通信中，我表明我已經(jīng)知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法， 這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法 .他并訴述了他的方法， 它與我的方法幾乎沒有什么不同， 除了他的措詞和符號而外 .”（但在第三版及以后再版時，這段話被刪掉了 .）因此，后來人們公認牛頓和萊布尼茲是各自獨立地創(chuàng)建微積分的 .牛頓從物理學出發(fā)， 運用集合方法研究微積分，其應用上更多地結合了運動學，造詣高于萊布尼茲 .萊布尼茲則從幾何問題出發(fā)， 運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數(shù)學的嚴密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的.萊布尼茲認識到好的數(shù)學符號能節(jié)省思-維勞動， 運用符號的技巧是數(shù)學成功的關鍵之一.因此，他發(fā)明了一套適用的符號系統(tǒng)，如，引入d