專題18-平面向量的概念及其線性運(yùn)算-2018年高考數(shù)學(xué)(文)熱點(diǎn)題型和提分秘籍

1、【高頻考點(diǎn)解讀】1.了解向量的實(shí)際背景2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義3.理解向量的幾何表示4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義【熱點(diǎn)題型】熱點(diǎn)題型一 平面向量的有關(guān)概念例1、給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab。其中真命題的序號(hào)是_。【答案】【解析】不正確兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同。正確，|【提分秘籍】平面向量中常用的幾個(gè)結(jié)論(1)

2、相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性。(2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量。(3)是與a同向的單位向量，是與a反向的單位向量?！九e一反三】設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0。上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2D3【答案】D熱點(diǎn)題型二 平面向量的線性運(yùn)算例2、【2017天津】在中，.若，且，則的值為_.【答案】 【解析】 ,則.【變式探究】 (1)如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則_。(2)已知P，A，B，C是平面內(nèi)四點(diǎn)，且，那么一定有()A.2 B.

3、2C.2 D.2【答案】（1）2 （2）D【解析】(1)2，2。(2)，22?！咎岱置丶肯蛄烤€性運(yùn)算的方法技巧向量線性運(yùn)算，要轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為已知向量(基底向量)來求解。 【舉一反三】在ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)()A BC. D.【答案】D 【解析】如圖，D是AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DEBC，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DFAC，交BC例3【2017江蘇，16】 已知向量（1）若ab,求x的值；（2）記,求的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的的值.【答案】（1）（2）時(shí)，取得最大值，為3；

4、時(shí)，取得最小值，為.【解析】【變式探究】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)。求證：A、B、D三點(diǎn)共線。(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線。【解析】(1)證明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5。、共線，又它們有公共點(diǎn)B，A、B、D三點(diǎn)共線。(2)kab與akb共線，存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即kabakb。(k)a(k1)b。a、b是不共線的兩個(gè)非零向量，kk10，k210，k1?！咎岱置丶?1共線向量定理及其應(yīng)用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值。(2)若a，b不共線，則ab0的充

5、要條件是0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛。2證明三點(diǎn)共線的方法若，則A，B，C三點(diǎn)共線?！九e一反三】已知向量a，b不共線，且cab，da(21)b，若c與d同向，則實(shí)數(shù)的值為_?！敬鸢浮?【高考風(fēng)向標(biāo)】1.【2017課標(biāo)3】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=+，則+的最大值為A3B2CD2【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A?！究键c(diǎn)】 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量基本定理2.【2017北京】設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的（A）充分

6、而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，使，即兩向量反向，夾角是，那么T，若，那么兩向量的夾角為 ，并不一定反向，即不一定存在負(fù)數(shù)，使得，所以是充分不必要條件，故選A.【考點(diǎn)】1.向量；2.充分必要條件.3.【2017課標(biāo)II，理12】已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小是（ ）A. B. C. D.【答案】B【考點(diǎn)】 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；函數(shù)的最值4.【2017課標(biāo)1】已知向量a，b的夾角為60，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= .【答案】【解析】利用如下圖形，可以判斷出的模長(zhǎng)是以2為邊長(zhǎng)的

7、菱形對(duì)角線的長(zhǎng)度，所以.【考點(diǎn)】平面向量的運(yùn)算.5.【2017天津】在中，.若，且，則的值為_.【答案】 【解析】 ,則.【考點(diǎn)】向量的數(shù)量積6.【2017山東】已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實(shí)數(shù)的值是.【答案】【考點(diǎn)】1.平面向量的數(shù)量積.2.平行向量的夾角.3.單位向量.7【2017浙江，15】已知向量a，b滿足則的最小值是_，最大值是_【答案】4，【解析】設(shè)向量的夾角為，由余弦定理有： ，則：，令，則，據(jù)此可得： ，即的最小值是4，最大值是【考點(diǎn)】平面向量模長(zhǎng)運(yùn)算8.【2017浙江，10】如圖，已知平面四邊形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC與BD交于點(diǎn)O，記，

8、則ABCD【答案】C【解析】因?yàn)椋?， ，所以，故選C?！究键c(diǎn)】 平面向量數(shù)量積運(yùn)算9.【2017江蘇，12】如圖,在同一個(gè)平面內(nèi)，向量,的模分別為1,1,與的夾角為,且tan=7,與的夾角為45.若, 則 .ACBO(第12題)【答案】3 ，所以【考點(diǎn)】向量表示10.【2017江蘇，16】 已知向量（1）若ab,求x的值；（2）記,求的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的的值.【答案】（1）（2）時(shí)，取得最大值，為3； 時(shí)，取得最小值，為.【解析】【考點(diǎn)】向量共線，數(shù)量積1.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知向量，且，則（ ）（A）8 （B）6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故選D

9、.2.【2016高考江蘇卷】如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)， ，則 的值是 . 【答案】【2015高考新課標(biāo)1，理7】設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（ ）（A） (B)（C） (D)【答案】A【解析】由題知=，故選A.1（2014遼寧卷）設(shè)a，b，c是非零向量，已知命題p：若ab0，bc0，則ac0，命題q：若ab，bc，則ac，則下列命題中真命題是()Apq BpqC(綈p)(綈q) Dp(綈q)【答案】A【解析】由向量數(shù)量積的幾何意義可知，命題p為假命題；命題q中，當(dāng)b0時(shí)，a，c一定共線，故命題q是真命題故pq為真命題2（2014新課標(biāo)全國(guó)卷 已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若()，則與

10、的夾角為_【答案】90【解析】由題易知點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，即BC為圓O的直徑，故在ABC中，BC對(duì)應(yīng)的角A為直角，即AC與AB的夾角為90.3（2014四川卷）平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m()A2 B1C1 D2【答案】2【解析】cmab(m4，2m2)，由題意知，即，即5m8，解得m2.【高考沖刺】 1.下列說法正確的是()A.若a與b都是單位向量，則a=bB.若a=b，則|a|=|b|且a與b的方向相同C.若a+b=0，則|a|=|b|D.若a-b=0，則a與b是相反向量2.已知點(diǎn)D是ABC的邊AB的中點(diǎn)，則向量等于()A.-+B

11、.-C.-D.+【解析】選A.因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，所以=+=+=-+.3.已知點(diǎn)P是四邊形ABCD所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若=(1+)-，其中R，則點(diǎn)P一定在()A.AB邊所在的直線上B.BC邊所在的直線上C.BD邊所在的直線上D.四邊形ABCD的內(nèi)部【解析】選C.因?yàn)?(1+)-，所以-=(-)，所以=，所以B，D，P三點(diǎn)共線，因此點(diǎn)P一定在BD邊所在的直線上.4.已知向量a與b共線反向，則下列結(jié)論正確的是()A.|a+b|=|a|+|b|B.|a+b|=|a|-|b|C.|a-b|=|a|+|b|D.|a-b|=|a|-|b|【解析】選C.因?yàn)橄蛄縜與b共線反向，所以|a+b|a|+|b|，|

12、a+b|0，而|a|-|b|的符號(hào)不確定，所以A，B不正確.同理，D不正確，C顯然正確.5.已知下列結(jié)論已知a是非零向量，R，則a與2a方向相同已知a是非零向量，R，則|a|=|a|若R，則a與a共線若a與b共線，則存在R，使a=b其中正確的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.46.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)F，若=m+n(m，nR)，則的值為()A.-2B.-C.2D.【解析】選A.如圖.設(shè)=a，=b，7.已知D為ABC的邊AB的中點(diǎn).M在DC上且滿足5=+3，則ABM與ABC的面積比為()A.B.C.D.【解析】選C.如圖，由5=+3得2=2+3-3，即2(-

13、)=3(-)，即2=3，故=，故ABM與ABC同底且高的比為35，故SABMSABC=35.8.在ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)，且=，P是BN上的一點(diǎn)，若=m+，則實(shí)數(shù)m的值為()A.B.C.1D.39.O是ABC所在平面外一點(diǎn)且滿足=+，為實(shí)數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必經(jīng)過ABC的()A.重心B.內(nèi)心C.外心D.垂心【解析】選B.如圖，設(shè)=，已知均為單位向量，故AEDF為菱形，所以AD平分BAC，由=+得=，又與有公共點(diǎn)A，故A，D，P三點(diǎn)共線，所以P點(diǎn)在BAC的平分線上，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過ABC的內(nèi)心.10.已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足=，則點(diǎn)P一定為三角形ABC

14、的()A.AB邊中線的中點(diǎn)B.AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C.重心D.AB邊的中點(diǎn)近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).11.已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且=a，=b，給出下列命題:=a-b;=a+b;=-a+b;+=0.其中正確命題的序號(hào)為.【答案】【解析】=a，=b，=+=-a-b，故錯(cuò);=+=a+b，故正確;12.在ABCD中，=a，=b，3=，M為BC的中點(diǎn)，則=.(用a，b表示) 【答案】-a-b13.在ABC中，=c，=b，若點(diǎn)D滿足=2，則=.【答案】b+c【解析】如圖，因?yàn)樵贏BC中，=c，=b，且點(diǎn)D滿足=2，所以+=2(+)，=+=b+c.14.在ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，=+，則實(shí)數(shù)=.【答案】15.已知a，b不共線，=a，=b，=c，=d，=e，設(shè)tR，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上?若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】由題設(shè)知，=d-c=2b-3a，=e-c=(t-3)a+tb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得=k，即(t-3)a+tb=-3ka+2kb，整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b，因?yàn)閍，b