高中數(shù)學(xué)涂色問題常用技巧(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學(xué)涂色問題常用技巧王忠全涂色問題是一個復(fù)雜而有趣的問題，高考中不時出現(xiàn)，處理涂色問題常用的方法是兩個計數(shù)原理分類計數(shù)和分步計數(shù)原理；常用的數(shù)學(xué)思想是等價轉(zhuǎn)換，即化歸思想；常見問題有：區(qū)域涂色、點涂色和線段涂色、面涂色；常考慮的問題是顏色是否要用完。 1 3 4 2例1、 用四種顏色給如下區(qū)域涂色，要求一空涂一色，鄰空不同色，有多少種涂法？解析：按題意，顏色要用完，1有4種涂法；2有3種涂法；3有2種涂法；涂1，2，3只用了三種顏色，4必須涂第四種顏色，有1種涂法，共有=24種涂法。 1 3 4 2例2、給如下區(qū)域涂色，有四種顏色供選擇，要求一空涂一色，鄰空不同色

2、，有多少種涂法？解析：顏色可供選擇，可理解為顏色可用完和不用完兩種，分類處理，至少要用三色涂空，才能滿足要求。法1：1） 恰用三色：=48種涂法；2） 恰用四色：同例1，有24種涂法。共有24+48=72種涂法。法2：1有4種涂法；2有3種涂法；3有2種涂法；4有3種涂法；共72種涂法。評析：由上述解法知，顏色用完和可供選擇是兩回事，做題時一定要區(qū)分。一、 區(qū)域涂色問題（一）、圓形區(qū)域涂色：處理圓形區(qū)域涂色大致有三種方法：間空涂色法；公式法。1 5 24 3例3、用四種顏色給如下區(qū)域涂色，用四種顏色給如下區(qū)域涂色，要求一空涂一色，鄰空不同色，有多少種涂法？一、 間空涂色法；法1、用空分類選擇1

3、，31）1，3同色，則1，3有種方法，2有種方法，4不可能與1，3同色，但可與2同色，分兩類：4與2同色，只用了兩種顏色，5有2種方法；4與2不同色，則4有2種方法，5有2種涂法，此時，共有種方法。2）1，3不同色，則1，3有種方法，2有種方法，4與1同色，5有3種方法；4與2不同色，則4有2種涂法，5有2種涂法，共有=168種方法，綜上所述，共有72+168=240種涂法。法2：公式法共有35+3（-1）5=240種方法。定理：用m種顏色（可選擇）填圓形區(qū)域的n個空，一空涂一色，鄰空不同色的涂法有種。1 n2 3 1 2 3 . n證明：如圖，設(shè)有an種不同涂法。不妨把之剪開,化為矩形區(qū)域,

4、共有種涂法,但區(qū)域1、n不能涂同色，把1、n捆綁成一個空，有an-1種涂法，則其中，設(shè)令，則r=1，可知，這個公式適用于顏色可選擇性問題和最低保底顏色問題，不適用于“恰用色”問題。例4（2003江蘇）四種不同顏色涂在如圖所示的六個區(qū)域，且相鄰兩個區(qū)域不同色的涂法共有 種。 62 5 13 4 6 2 5 1 3 4解析：依題意，四種顏色都要用上，屬于恰用色，同時，填這六個空最少要4種顏色，屬于保低色，可用公式。把左圖等價轉(zhuǎn)化為右圖.先涂1：有4種方法；余下3色涂5個空（圓形）有（3-1）5+(-1)5（3-1）=30種涂法,由分步計數(shù)原理,共有120種涂法.若用間空涂色,可這樣考慮:1）涂1,

5、有4種方法，余下3種顏色；2）2、4同色，有種涂法；此時，3有2種涂法；5與3同色時，6有1種涂法（顏色要用完）；5與3不同色時，5有1種涂法，此時6有1種涂法，共有種涂法；2、4不同色，有=6種涂法；此時3有1種涂法；若5與3同色，6有1種涂法；5與3不同色，6有2種涂法（與4，或3同色）共有）=18種涂法；綜上所述，由分步計數(shù)原理，共有120種涂法評析：分類討論，種類繁多，要做到不重不漏，必須小必應(yīng)對，任何方法都不是萬能的，關(guān)鍵是要熟練掌握。 1 3 1 5 4變式：（2003全國）一個行政區(qū)分為5個區(qū)域，用4種顏色給地圖涂色，要求鄰居空不同色的不同涂色方法有 種。二、點涂色問題用等價轉(zhuǎn)化

6、思想把點涂色問題轉(zhuǎn)化為區(qū)域涂色問題，是做題的關(guān)鍵。 4 12 3 PA B C例5、用4種顏色給四面體的四個頂點涂色，要求鄰點不同色的涂法共有多少種？解析；一腳把點P踩到ABC平面，問題等價轉(zhuǎn)化為給下圖涂色。共有種，即種涂法。變式 PA B C：用5種顏色給四面體的四個頂點涂色，要求鄰點不同色的涂法共有多少種？答案：，或=120種三、線段涂色用等價轉(zhuǎn)化思想把點涂色問題轉(zhuǎn)化為區(qū)域涂色問題。 4 5 1 2 3 6 PA B C 1 2 3 4 5 6例5、 用6種顏色給四面體的6條棱涂色，要求鄰棱不同色的涂法共有多少種？解析：把圖轉(zhuǎn)化為：1）恰用3色，則1、6；2、5；3、4分別同色，有種涂法；

7、2）恰用4色，則1、6；2、5；3、4有兩對分別同色，如1、6；2、5同色，3、4有種涂法，兩同色組有種涂法，共有種涂法3）恰用5色，則1、6；2、5；3、4有1對分別同色，如1、6；則3、4，2、5有種涂法，共有種涂法4）恰用6色，有種涂法；綜上所述：共有4080種涂法。評析，若你很難轉(zhuǎn)化為區(qū)域問題，就不要轉(zhuǎn)化，按線段的相對性可做。四、面涂色問題同上面說過的方法類似，能轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)，否則用面的相對性求解。例7、用6種顏色（可選擇）給正方體的6個面涂色，要求鄰不同色，有多少種不同的涂法？ D C A B D C A B 6 5 4 1 2 3解析：圖轉(zhuǎn)化為1）恰用3色，有=24種；2）恰用4色，有=72種共有96種。五、恰用色與可選色的聯(lián)系設(shè)保底色為涂法數(shù)為am，恰用色涂法數(shù)為an，則可選色涂法數(shù)Bn=am+am+1+an 1 3 4 5 2例8、用4種顏色給如下區(qū)域涂色，顏色必須用完，相鄰區(qū)域不同色，有多少種涂法解析：按要求涂色，最少要3種顏色（保底色），用3色涂之，1有3種；2有2種；3有1 種；4與1同色時，5有2種，4與2同色時，5有2種，共有種涂法；4色可選時，有種；那么，恰用四色有216-96=120種。法