整體分析及總體剛度矩陣的性質(zhì)

1、整體分析及總體剛度矩陣的性質(zhì)整體分析整體分析23yP3xP314562xP1yPaaaa 圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四個(gè)單元和六個(gè)節(jié)點(diǎn)。在節(jié)個(gè)單元和六個(gè)節(jié)點(diǎn)。在節(jié)點(diǎn)點(diǎn)1 1、4 4、6 6共有四個(gè)支桿支共有四個(gè)支桿支承。結(jié)構(gòu)的載荷已經(jīng)轉(zhuǎn)移承。結(jié)構(gòu)的載荷已經(jīng)轉(zhuǎn)移為結(jié)點(diǎn)載荷。為結(jié)點(diǎn)載荷。 整體分析的四個(gè)步驟：整體分析的四個(gè)步驟：1 1、建立整體剛度矩陣；、建立整體剛度矩陣；2 2、根據(jù)支承條件修改整體、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣；剛度矩陣；3 3、解方程組，求節(jié)點(diǎn)位移；、解方程組，求節(jié)點(diǎn)位移；4 4、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。 單元分析得出單元?jiǎng)偠染仃?，下面，將?/p>

2、單元組單元分析得出單元?jiǎng)偠染仃?，下面，將各單元組合成結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析。合成結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析。整體分析整體分析 1 1、建立整體剛度矩陣、建立整體剛度矩陣( (也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣) ) 上圖中的結(jié)構(gòu)有六個(gè)節(jié)點(diǎn)，共有上圖中的結(jié)構(gòu)有六個(gè)節(jié)點(diǎn)，共有1212個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量和個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量和1212個(gè)個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量。由結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量求結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力向量時(shí)，節(jié)點(diǎn)力分量。由結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量求結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力向量時(shí)，轉(zhuǎn)換關(guān)系為：轉(zhuǎn)換關(guān)系為： 分塊形式為：分塊形式為： 其中子向量其中子向量 和和 都是二階向量，子矩陣都是二階向量，子矩陣 是二行二列矩陣。整體剛度矩陣是二行二列矩陣。整體剛度矩陣

3、KK是是1212* *1212階矩陣。階矩陣。 FK 111121314151612212223242526233132333435363441424344454645515253545556566162636465666FKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKK i iFijK整體分析整體分析 2 2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣。、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣。 建立整體剛度矩陣時(shí)，每個(gè)建立整體剛度矩陣時(shí)，每個(gè)節(jié)節(jié)點(diǎn)的位移當(dāng)作未知量看待，沒(méi)有點(diǎn)的位移當(dāng)作未知量看待，沒(méi)有考慮具體的支承情況，因此進(jìn)行整體分析時(shí)還要針對(duì)支承條件加以考慮具體的支承情況，因

4、此進(jìn)行整體分析時(shí)還要針對(duì)支承條件加以處理。處理。 在上圖的結(jié)構(gòu)中，支承條件共有四個(gè)，即在在上圖的結(jié)構(gòu)中，支承條件共有四個(gè)，即在節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)1 1、4 4、6 6的四的四個(gè)支桿處相應(yīng)位移已知為零：個(gè)支桿處相應(yīng)位移已知為零： 建立建立節(jié)節(jié)點(diǎn)平衡方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)上述邊界條件進(jìn)行處理。點(diǎn)平衡方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)上述邊界條件進(jìn)行處理。 3 3、解方程組，求出節(jié)點(diǎn)位移。、解方程組，求出節(jié)點(diǎn)位移。 通常采用消元法和迭代法兩種方法。通常采用消元法和迭代法兩種方法。 4 4、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。14460000uuvv，整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 是單元?jiǎng)偠染仃?/p>

5、是單元?jiǎng)偠染仃?的集成。的集成。 1 1、剛度集成法的物理概念：、剛度集成法的物理概念： 剛度矩陣中的元素，即由節(jié)點(diǎn)作單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力。剛度矩陣中的元素，即由節(jié)點(diǎn)作單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力。在單元?jiǎng)傟囋趩卧獎(jiǎng)傟?中，中， 表示表示j j節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，零時(shí)，單元單元e e在在i i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力；類似，在整體剛陣中，；類似，在整體剛陣中， 表示表示j j節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，整體結(jié)構(gòu)在整體結(jié)構(gòu)在i i節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力引起的節(jié)點(diǎn)力（由于結(jié)構(gòu)已被離散為一系列單元，即所有與（由于結(jié)構(gòu)

6、已被離散為一系列單元，即所有與i i、j j節(jié)點(diǎn)相關(guān)的單元在節(jié)點(diǎn)相關(guān)的單元在i i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力之和）。節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力之和）。 如上圖結(jié)構(gòu)，計(jì)算如上圖結(jié)構(gòu)，計(jì)算 時(shí)，與節(jié)點(diǎn)時(shí)，與節(jié)點(diǎn)2 2和和3 3相關(guān)的單元有單元相關(guān)的單元有單元和和，當(dāng)節(jié)點(diǎn)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)3 3發(fā)生單位位移時(shí)，相關(guān)單元發(fā)生單位位移時(shí)，相關(guān)單元和和同時(shí)在節(jié)點(diǎn)同時(shí)在節(jié)點(diǎn)2 2引起節(jié)點(diǎn)力，將相關(guān)單元在節(jié)點(diǎn)引起節(jié)點(diǎn)力，將相關(guān)單元在節(jié)點(diǎn)2 2的節(jié)點(diǎn)力相加，就得出結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力相加，就得出結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)2 2的節(jié)點(diǎn)力的節(jié)點(diǎn)力 。由此看出，結(jié)構(gòu)的剛度。由此看出，結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)是相關(guān)單元的剛度系數(shù)的集成，系數(shù)是相關(guān)單元的剛度系數(shù)的集成，結(jié)構(gòu)剛度

7、矩陣中的子塊是結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是相關(guān)單元的對(duì)應(yīng)子塊的集成相關(guān)單元的對(duì)應(yīng)子塊的集成。 ek K ekeijkijk23k13232323kkk整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式2 2、剛度矩陣的集成規(guī)則：、剛度矩陣的集成規(guī)則：1 1）在整體離散結(jié)構(gòu)變形后，應(yīng)保）在整體離散結(jié)構(gòu)變形后，應(yīng)保證各單元在節(jié)點(diǎn)處仍然協(xié)調(diào)地相互證各單元在節(jié)點(diǎn)處仍然協(xié)調(diào)地相互連接，即在該節(jié)點(diǎn)處所有單元在該連接，即在該節(jié)點(diǎn)處所有單元在該節(jié)點(diǎn)上有相同位移，節(jié)點(diǎn)上有相同位移，2 2）整體離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足平）整體離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足平衡條件。即環(huán)繞每個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有單衡條件。即環(huán)繞每個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有單元作用其上的節(jié)點(diǎn)力之和應(yīng)等于作

8、元作用其上的節(jié)點(diǎn)力之和應(yīng)等于作用于該節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)載荷用于該節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)載荷RiRi， 12niiii eiieFR12i 3412i Ri34整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式 2 2、整體剛度矩陣的集成方法、整體剛度矩陣的集成方法 具體集成方法是：先對(duì)每個(gè)單元求出單元?jiǎng)偠染鼐唧w集成方法是：先對(duì)每個(gè)單元求出單元?jiǎng)偠染仃囮?，然后將其中的每個(gè)子塊，然后將其中的每個(gè)子塊 送到結(jié)構(gòu)剛送到結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的對(duì)應(yīng)位置上去，進(jìn)行迭加之后即得出結(jié)構(gòu)度矩陣中的對(duì)應(yīng)位置上去，進(jìn)行迭加之后即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣剛度矩陣KK的子塊，從而得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣的子塊，從而得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣KK。 關(guān)鍵是如何找出關(guān)鍵是如何找出 中

9、的子塊在中的子塊在KK中的對(duì)應(yīng)位置。中的對(duì)應(yīng)位置。這需要了解單元中的節(jié)點(diǎn)編碼與結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼之這需要了解單元中的節(jié)點(diǎn)編碼與結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 ekkij ek整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式23145aaaa61j3m2m1m4i3i1i2i4j3j2j4m 結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼稱為結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼稱為節(jié)點(diǎn)的總碼，各個(gè)單元的三節(jié)點(diǎn)的總碼，各個(gè)單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)又按逆時(shí)針?lè)较蚓帪閭€(gè)節(jié)點(diǎn)又按逆時(shí)針?lè)较蚓帪閕,j,m,i,j,m,稱為節(jié)點(diǎn)的局部碼。稱為節(jié)點(diǎn)的局部碼。 單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K是按節(jié)點(diǎn)的局部碼排列的，是按節(jié)點(diǎn)的局部碼排列的，而結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子

10、塊是而結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是按節(jié)點(diǎn)的總碼排列的。因此，按節(jié)點(diǎn)的總碼排列的。因此，在單元?jiǎng)偠染仃囍?，把?jié)點(diǎn)在單元?jiǎng)偠染仃囍?，把?jié)點(diǎn)的局部碼換成總碼，并把其的局部碼換成總碼，并把其中的子塊按照總碼次序重新中的子塊按照總碼次序重新排列。排列。整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式 以單元以單元為例，局部碼為例，局部碼i,j,mi,j,m對(duì)應(yīng)于總碼對(duì)應(yīng)于總碼5,2,45,2,4，因此，因此 子塊按照總碼重新排列后，得出擴(kuò)大矩陣子塊按照總碼重新排列后，得出擴(kuò)大矩陣 為：為： (2)k(2)K )2(jjK)2(jmK)2(jiK)2(mjK)2(mmK)2(miK)2(ijK)2(imK)2(iiK2j2

11、m2i2j2m2i126543216543局部碼總碼 而相應(yīng)的單元?jiǎng)偠榷鄳?yīng)的單元?jiǎng)偠确匠虨椋ɑ蚬?jié)點(diǎn)力表方程為（或節(jié)點(diǎn)力表達(dá)式）：達(dá)式）： 1222(2)32442556000FKFF整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式用同樣的方法可得出其他單用同樣的方法可得出其他單元的擴(kuò)大的單元?jiǎng)偠确匠淘臄U(kuò)大的單元?jiǎng)偠确匠? :據(jù)節(jié)點(diǎn)力平衡，各個(gè)單元相據(jù)節(jié)點(diǎn)力平衡，各個(gè)單元相應(yīng)節(jié)點(diǎn)力疊加：應(yīng)節(jié)點(diǎn)力疊加：整理可得，整體平衡方程：整理可得，整體平衡方程： 1122( )33445566 e=1,2,.4eeeeeeeFFFKFFF i=1,.6eiieFR KR整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式整體平衡方程

12、：整體平衡方程： 1 1）其中）其中KK為將各單元的擴(kuò)大矩陣迭加所得出的結(jié)構(gòu)剛度矩為將各單元的擴(kuò)大矩陣迭加所得出的結(jié)構(gòu)剛度矩陣：陣：集成包含搬家和迭加兩個(gè)環(huán)節(jié)：集成包含搬家和迭加兩個(gè)環(huán)節(jié)： A A、將單元?jiǎng)偠染仃嚒卧獎(jiǎng)偠染仃?中的子塊搬家，得出單元的擴(kuò)中的子塊搬家，得出單元的擴(kuò)大剛度矩陣大剛度矩陣 。 B B、將各單元的擴(kuò)大剛度矩陣、將各單元的擴(kuò)大剛度矩陣 迭加，得出結(jié)構(gòu)剛度迭加，得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣矩陣KK。2 2） 為節(jié)點(diǎn)載荷向量，為節(jié)點(diǎn)載荷向量， 為節(jié)點(diǎn)位移向量。為節(jié)點(diǎn)位移向量。 (1)(2)(3)(4)(e)KKKKKK eK KReK eK 1TnRRR 1Tn)1(jjK)2(mm

13、K)2(miK)1(jmK)1(jiK)2(jmK)4(iiK)4(miK)4(jiK2m1j2m4i126543216543局部碼總碼321i ,j ,m431j ,m,i432m,j ,i321ijm1j431jmi432mji4i)1(mmK)2(jjK)3(iiK)1(miK)3(imK)1(iiK)3(mmK)4(jjK)2(jiK)3(ijK)3(mjK)4(jmK)2(iiK)3(jjK)4(mmK2. 整體剛度矩陣的特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn) 在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常是很高的，在在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常是很高的，在解算時(shí)常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。

14、找到整體解算時(shí)常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。找到整體剛度矩陣的特性達(dá)到節(jié)省存貯容量的途徑。剛度矩陣的特性達(dá)到節(jié)省存貯容量的途徑。 1 1、對(duì)稱性。、對(duì)稱性。 只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。 2 2、稀疏性。、稀疏性。 矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。整體剛度矩陣的特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn) 2 2、稀疏性。、稀疏性。 矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)5 5只與周圍的六個(gè)節(jié)點(diǎn)只與周圍的六個(gè)節(jié)點(diǎn)(

15、2(2、3 3、4 4、6 6、8 8、9)9)用三角形用三角形單元相連，它們是單元相連，它們是5 5的相關(guān)節(jié)的相關(guān)節(jié)點(diǎn)。只有當(dāng)這七個(gè)相關(guān)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)點(diǎn)。只有當(dāng)這七個(gè)相關(guān)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移時(shí)，才使該節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生節(jié)生位移時(shí)，才使該節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)力，其余節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移時(shí)并點(diǎn)力，其余節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移時(shí)并不在該節(jié)點(diǎn)處引起節(jié)點(diǎn)力。因不在該節(jié)點(diǎn)處引起節(jié)點(diǎn)力。因此，在矩陣此，在矩陣KK中，第中，第5 5行的非行的非零子塊只有七個(gè)零子塊只有七個(gè)( (即與相關(guān)節(jié)即與相關(guān)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的七個(gè)子塊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的七個(gè)子塊) )。整體剛度矩陣的特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn) 2 2、稀疏性。、稀疏性。 一般，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的相關(guān)結(jié)一般，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的相關(guān)結(jié)點(diǎn)不會(huì)超過(guò)九個(gè)，

16、如果網(wǎng)格中點(diǎn)不會(huì)超過(guò)九個(gè)，如果網(wǎng)格中有有200200個(gè)節(jié)點(diǎn)，則一行中非零個(gè)節(jié)點(diǎn)，則一行中非零子塊的個(gè)數(shù)與該行的子塊總數(shù)子塊的個(gè)數(shù)與該行的子塊總數(shù)相比不大于相比不大于9/2009/200，即在，即在5%5%以以下，如果網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，下，如果網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，則剛度矩陣的稀疏性就越突出。則剛度矩陣的稀疏性就越突出。 利用矩陣?yán)镁仃嘖K的稀疏性，的稀疏性，可設(shè)法只存貯非零元素，從而可設(shè)法只存貯非零元素，從而可大量地節(jié)省存貯容量?？纱罅康毓?jié)省存貯容量。1110987654321098765432整體剛度矩陣的特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn) 3 3、帶形分布規(guī)律。、帶形分布規(guī)律。 上圖中，矩陣上圖中，

17、矩陣KK的非零元素分布在以對(duì)角線為中心的非零元素分布在以對(duì)角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，稱為帶形矩陣。在半個(gè)帶形區(qū)域中的帶形區(qū)域內(nèi)，稱為帶形矩陣。在半個(gè)帶形區(qū)域中( (包括對(duì)角包括對(duì)角線元素在內(nèi)線元素在內(nèi)) )，每行具有的元素個(gè)數(shù)叫做半帶寬，用，每行具有的元素個(gè)數(shù)叫做半帶寬，用d d表示。表示。半帶寬的一般計(jì)算公式是：半帶寬的一般計(jì)算公式是： 半帶寬半帶寬 d = ( d = ( 相鄰結(jié)點(diǎn)碼的最大差值相鄰結(jié)點(diǎn)碼的最大差值 + 1 ) + 1 ) * * 2 2 上圖中相鄰節(jié)點(diǎn)碼的最大差值為上圖中相鄰節(jié)點(diǎn)碼的最大差值為4 4，故，故d=(4+1)d=(4+1)* *2=102=10 利用帶形矩陣的特點(diǎn)

18、并利用對(duì)稱性，可只存貯上半帶的利用帶形矩陣的特點(diǎn)并利用對(duì)稱性，可只存貯上半帶的元素，叫半帶存貯。元素，叫半帶存貯。 整體剛度矩陣的特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn) 圖圖(a)(a)中的矩陣中的矩陣KK為為n n行行n n列矩陣，半帶寬為列矩陣，半帶寬為d d。半帶存貯。半帶存貯時(shí)從時(shí)從KK中取出上半帶元素，按圖中取出上半帶元素，按圖(b)(b)中的矩陣中的矩陣 的排列方的排列方式進(jìn)行存貯，即將上半部斜帶換成豎帶。存貯量式進(jìn)行存貯，即將上半部斜帶換成豎帶。存貯量n n* *d d，存貯量，存貯量與與KK中元素總數(shù)之比為中元素總數(shù)之比為d/nd/n，d d值越小，則存貯量約省。值越小，則存貯量約省。dn(a)Knnd*K )(b*K矩陣矩陣K K 矩陣矩陣 對(duì)角線對(duì)角線 第第1 1列列 r r行行 r r行行 r r列列 4545度斜線度斜線r r行行s s列列 r r行行s-r+1s-r+1列元素列元素 元素元素*K