概率論與數理統計復習資料.

1、概率論與數理統計第一章隨機事件與概率基本概念：隨機試驗E-指試驗可在相同條件下重復進行，試驗的結果具有多種可能性(每次試驗有且僅有一個結 果岀現，且事先知道試驗可能岀現的一切結果，但不能預知每次試驗的確切結果樣本點.-隨機試驗E的每一個可能岀現的結果樣本空間，-隨機試驗E的樣本點的全體隨機事件-由樣本空間中的若干個樣本點組成的集合，即隨機事件是樣本空間的一個子集必然事件-每次試驗中必定發(fā)生的事件。不可能事件.一-每次試驗中一定不發(fā)生的事件。事件之間的關系：包含關菲” *件"發(fā):生 0 燃導如加生，記為彳 u 點0壽：Z ”/ U 召 t-l 石 U rV ”/=丑0積？訐彳牛= 審件

2、上與切司時笈生，0為 利爭件¥ 尹件亠至少育一個笈生.耳己為 HLJ冷 差話彳牛土 羽彳牛生頂發(fā)生. 記刈* 石?；バ蛏昙? 京件"，肯包同發(fā)生* HP 冷占=妙, 叉缽">互不相容申件a遼屮件：發(fā)生* 這一審件禰為*5逆爭件ia為 v./與 牙衣禰為對立審J牛*冷冷=妙，= S' =>= &-寸A，B 相互獨立 P(AB)=P(A)P(B)例1事件A，B互為對立事件等價于( D )A、A， B互不相容 B、A， B相互獨立 C、AU B= QD A，B構成對樣本空間的一個剖分例2設P(A)=0，B為任一事件，則(C )A A= B、A

3、二B C、A與B相互獨立 D、A與B互不相容例3.設甲乙兩人朝同一目標射擊，設A=“甲命中目標且乙未命中目標”，則：A = ( D )A)甲未命中目標且乙命中目標C)甲未命中目標D)事件之間的運算：事件的交AB或AH BB)甲乙都沒命中目標甲未命中目標或乙命中目標事件的并AU B事件的差 A-B注意：A-B = A 13 = A-AB = (A U B)-B=AAZ,An構成。的一個完備事件組(或分斥)指AA,An兩兩互不相容，且 例1設事件A、B滿足AH B= ，由此推導不出(D)A AZBB 、A =B C 、AU B=B D 、AH B=B例2若事件B與A滿足B - A=B，則一定有 (

4、B)A、A=._B 、AB=._ C 、AB=._ D 、B=A運算法則: 交換律 AU B=BU A A H B=BH A結合律(A U B) U C=AU (B U C) (A H B) H C=AH (B H C)分配律(A U B) H C=(AC) U (BC) (A H B) U C=(AU C) H (B U C)對偶律 aUb = 1 h11b = 1 u1文氏圖事件與集合論的對應關系表:記號概率論集合論樣本空間，必然事件全集0不可能事件空集©基本事件元素A事件全集中的一個子集入A的對立事件A的補集Ac=B事件A發(fā)生導致事件B發(fā)生A是B的子集A=B事件A與事件B相等A

5、與B相等AU B事件A與事件B至少有一個發(fā)生A與B的并集AB事件A與事件B同時發(fā)生A與B的交集A-B事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生A與B的差集AB立事件A與事件B互不相容(互斥)A與B沒有相同的元素古典概型：古典概型的前提是= 1, 2, - 3,-.n, n 為有限正整數，且每個樣本點”出現的可能性相等。c_A包含樣本總個數P(A)=樣本點總數例1設3個球任意投到四個杯中去，問杯中球的個數最多為1個的事件A，最多為2個的事件A的概率。解:每個球有4種放入法，3個球共有43種放入法，所以|】|=43=64。(1)當杯中球的個數最多為1個時，相當于四個杯中取3個杯子，每個杯子恰有一個球，所以A&quo

6、t; C3!=24;則P(AJ=24/64 =3/8. (2)當杯中球的個數最多為 2個時，相當于四個杯中有1個杯子恰有2個球(C；c2)，另有一個杯子恰有 1 個球(cc1)，所以 |A2|= C 4<344=36；則 P(A2)=36/64 =9/16例2從1,2,9，這九個數中任取三個數，求：(1)三數之和為10的概率; (2)三數之積為21的倍數的3 94 C-軍角P314古典概型基本性質：(1) 非負性，對于任一個事件A有P(A) _0;(2) 規(guī)范性：P( )=1 或 PC. )=0；(3) 有限可加性：對兩兩互斥事件A,A2,An有P(A U AUU An)=p(AJ+ P

7、(A 2)+ P(An)概率的公理化定義：要求函數P(A)滿足以下公理：(1) 非負性，有P(A) _0；(2) 規(guī)范性：P( 1)=1;(3) 可列可加性：對兩兩互斥事件A,A2,An有P(A1 U AUU An)=p(AJ+ P(A 2)+ P(An)預備知識：排列°組合分類計數原理(加法原理X設完成一件事有龍類方 法，毎類分別有怕"空r化種方法*則完戚這件爭 情共有叫+叫+十/叫種方法*2. 分步計數原理(乘法原理)； 設完成一件事有擇個步 驟，第一步有刊種方法* ,第砂有即種方法*則 完成這件事情共有的心勺種方法*3. 排列乂從"不同元素中取出*個元素，按

8、一定次 序排成一列”排列數主從*卜不同元素中取出*個元素的所有樣 列的個數記為琨二 T =刃(耐一 J T府一叨+ I= o 注:= 0! = I"一切4- 俎令=叢羯于平冋元娥中取Hi*亍元承井咸一織龍后紐右皈£ 從喬冋元玻中取LH”亍元案的所有纖L 臺的仆數” ia丙"，_ -或 _川 #/<"> 3 “ + I)/!(zz/!概率公式：求逆公式P(入)=1- P(A)加法公式 P(A U B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A U BU C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)求差公式：P

9、(A-B)=P(A)-P(AB); 當 A二B 時，有 P(A-B)=P(A)-P(B)注意：A-B = A 13 = A-AB = (A U B)-BP(AB)條件概率公式：P(A|B)= ; (P(B)>0)P(B)P(A|B)表示事件B發(fā)生的條件下，事件 A發(fā)生的概率。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B)( 其中 P(A)>0, P(B)>0) 一般有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)( 其中 P(AB)>0)n全概率公式：P(A)= 7 P(A|B i)P(Bi) 其中B,B2,Bn構成l啲一個分斥。i=1。注主全槪

10、率公式給岀我忙J一-用來計算在眾參原 因 牛盡，色 的fk用下事件y發(fā)生槪率的方法. (由因得果貝葉斯公式:P(Ak|B)=P(B|Ak)P(Ak)P(B)P(B|AjP(Ak)n、P(B|A i)P(Ai)i=1(由果溯因)例：在一個腫瘤治療中心，有大量可能患肺癌的可疑病人，這些病人中吸煙的占45%。據以往記錄，吸煙的可疑病人中有90%確患有肺癌，在不吸煙的可疑病人中僅有5%確患有肺癌(1 )在可疑病人中任選一人，求他患有肺癌的概率；(2)在可疑病人中選一人，已知他患有肺癌，求他是吸煙者的概率解：設A=患有肺癌, B=可疑病人吸煙,則由條件得：P(B)=0.45, p( B)=0.55, P

11、(A B)=0.9, P(A B)=0.05.(1)由全概率公式得:P(A) =P(A B)P(B) P(A B)P(B)=0.68.（2）由貝葉斯公式得：P（B a）=P = p（a b）p（b）=里.P（A）P（A） 136答案,2. 在一個每題有5個答案可供選擇的測驗題中，假如有80%的學生知道指定問題的正確不知道正確答案的作隨機猜測，求：1）任意指定的一個學生能正確回答率 ；（5分）2）已知指定的問題被正確解答，求此是靠隨機猜測的概率解 設A=正確回答, B=隨機猜測,則由條件得：p（B）=0.2, p（ B）=0.8, P（A B）=1/5, P（A B）=1.（1）由全概率公式得：

12、P(A) =P(A B)P(B) P(A B)P(B)=0.84.（2）由貝葉斯公式得:P(B A)=P(AB)P(A)P(A B)P(B)""PA二丄 0.0476.213. 某人從甲地到乙地，乘火車、輪船和飛機來的概率分別為0.2、0.4、0.4，乘火車來遲到的概率為0.5,乘輪船來遲到的概率為0.2，乘飛機來不會遲到.試求：（1） 他來遲到的概率是多少？（5分）（2） 如果他來乙地遲到了，則他是乘輪船來的概率是多少？（5分）解:設A=遲到, B1=乘火車, B2=乘輪船, B3=乘飛機,則由條件得：P(B1)=0.2,P(B2)=0.4,P(B3)=0.4,P(A B

13、1) =0.5, P(A B2)=0.2, P(A B3)= 0(3 分)（1）由全概率公式得:P(A) -P(A B1)P(B1) P(A B2)P(B2) P(A B3)P(B3)(7 分)= 0.18.（2）由貝葉斯公式得:P(B2 A)P(AB2)P(A)P(A B2)P(B2)P(10 分)4. 將兩種信息分別編碼為A和B傳遞岀去，由于信道存在干擾可能導致收到的信息與發(fā)送的不一致。設接收站收到信息時，信息A被誤收為B的概率是0.02，而B被誤收為A的概率是0.01。整個傳送過程中，信息A與B傳送次數比為2 :1，（1）求收到信息是 A的概率;（8分） （2）試求當收到信息是 A時，問

14、原發(fā)信息也是 A的概率.（7分）一、解設A=收到信息是A, B1=發(fā)出信息為A, B2=發(fā)出信息為B，則由條件得:P(A|B1)=0.98,P(A|B2)=0.01, P (B1) =2/3，P ( B2) =1/3 (3 分)（1）由全概率公式得:(8 分)P (A) =0.982/3+0.011/3 =0.66(2)由貝葉斯公式得：P ( B1|A)=0.98 2/30.66(3 分)(7 分)196197概論的性質：1. 有卩艮可力口悝士 有限個胡曲互環(huán)的審件刑也一，心貝U盧T嗎匕蟲UU 尺州+円蟲1 +* H -O2. 石是上的對立事件"JJ5IJ尸(耳)一尸()3. 上/u

15、 £ 貝U_ 且、=尸9、_ 4<3、a. 鬥_寸U Q = 刊一的+ 石一円一當鼻 圧互斥忖P S去=串 時戶一寸I若 =円一才)+尺Q5. 円G = I&代曲呂Io 推廣 £I/J G 尺0+小 冷 + CfJ-宀 r 昇6 - 円 存c+尺冷NG應用題：若事件 A、B 相互獨立，且 P(A) =0.5 , P(B) =0.25，則 P(A B) =0.625_例1設兩兩相互獨立的三個事件A, B和C滿足條件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2, 且已知P(AU BU C)=9/16，貝U P(A)= 。解:P(A U BU C)=P(A

16、)+P(B)+P(C)-P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC),令 P(A)=x,貝U 3x - 3x2=9/16 16x 2-16x+3=0 x=1/4 或 3/4(舍去)貝U P(A)=1/4例2某射擊隊共有20個射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手7人，四級射手1人，一、二、 三、四級射手能夠進入正式比賽的概率分別是0.9、0.7、0.5和0.2，求任選一名選手能進入正式比賽的概率。解:設Ak=選中第k級選手，k=1,2,3,4，B=進入正式比賽。由已知P(AJ=1/5, P(A 2)=2/5, P(A 3)=7/20,P(A4)=1/20; P(B|A 1)=0.9

17、, P(B|A 2)=0.7, P(B|A 3)=0.5, P(B|A 4)=0.2. P(B)=P(A1)P(B|A 1)+ P(A 2)P(B|A 2)+P(A3)P(B|A 3)+ P(A 4)P(B|A 4)=1/50.9+2/50.7+7/200.5+1/200.2=0.645例3某物品成箱出售，每箱 20件，假設各箱中含0、1件次品的概率分別為0.8和0.2，顧客在購買時，他可以開箱，從箱中任取三件檢查，當這三件都是合格品時，顧客才買下該箱物品，否則退貨。試求：(1)顧客買下該箱的概率 :-;(2)顧客買下該箱物品，問該箱確無次品的概率1。解:設事件A 箱中0件次品，A 1 箱中1

18、件次品，事件B買下該箱。由已知P(A°)=0.8, P(A 1)=0.2,P(B|A°)=1, P(B|A 1)=19/2018/1917/18=17/20,(1): =P(B)= P(A 0)P(B|A 0)+ P(A 1)P(B|A 1)=0.81+0.2 7/20=0.97 ;(2) 1=P(A°|B)= P(A 0B)/P(B)= P(A °)P(B|A °)/P(B)=0.8/0.97= 0.8247例4.設A、B、C為三個事件，A與B互不相容，且C二A,則必有(B )B) P(B C) = 0A) P(A C) = 0C ) P(A

19、 + C) = 0D). P(B+ C)= 0例5.設一批產品共有1000個，其中50個次品，從中隨機地不放回地選取500個產品，X表示抽到次品的35003500個數，則 P(X=3)= ( A )C；04979505001000(B)500 100035003500(D)(C) C；oo (0.05)3(0.95)49735005C4例6.袋中有5個黑球，3個白球，大小相同，一次隨機地摸出4個球，其中恰好有3個白球的概率為(D )33 5 14 3 3 1(A)8( B)( 3)8( C) c8(8)8事件的獨立性：如果事件A與事件B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨

20、立。 結論：1.如果P(A)>0，則事件 A與B獨立匕尸(上| Q二尸* 則 尸3眉=PS 尸3| 0 =PS P52.事件A與事件B獨立=事件A與事件13獨立 二事件N與事件B獨立二事件1與事件1獨立o芻蟲立與互斥的區(qū)別： 冷互獨立J尸=PS Pg ：X"斥二円易=6事件A,A2,An相互獨立-指任意k個事件A1A2,Aik滿足P(Aii Q A2 QQ Ak)=P( A ii )P(A i2)P(Aik)，其中 k=2,3,n。例 1 設 P(A) = 1/2，P(B) =1/3，P(A | B) = 1/4，則 P( A + B) = _3/4_例 2 已知 P(A)=0

21、.5, P(B)=0.4, P(A，B)=0.6,則 P( A | B) = ( D )(A)0.2(B)0.45(C)0.6(D)0.75貝努里概型：指在相同條件下進行 n次試驗；每次試驗的結果有且僅有兩種A與1各次試驗是相互獨立;每次試驗的結果發(fā)生的概率相同P(A)=p, P( A)=1-p。二項概率-在n重獨立試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為b(k;n,p)，則b(k;n,p)= C nPk(1-P) n-k (k=0,1,2,3,n)。第二章隨機變量與概率分布隨機變量的分布函數：分布函數定義：F(x)=P< x, -:<x<+:分布函數(x)實質上表示隨機事件P &

22、lt; x發(fā)生的概率。分布函數F(x)的性質(1)0 < F(x) < 1;limXr-二F(x)=0,limXr+：:F(x)=1 單調非減，當X1<X2時，F(X1)< F(X2)右連續(xù) XlimX0+ F(x)=F(x 0)一些概率可用分布函數來表示Pa< < b=F(b)-F(a),P =a=F(a)-F(a-0), P <a=F(a-0),P >a=1-F(a),P > a=1-F(a-0),0x<0例1.設隨機變量 出勺分布函數為F(x)=<sinx0玄<忖2,則 Pn/4=()(選C,因為1xP匕 #4 =F

23、(4)=sin 4)A、0 B 、1/2C、護 /2D、1例2.設隨機變量直和空的分布函數分別為F1(x)和F2(x)，為使F(x)=aF 1(x) - bF 2(x)是某隨機變量的分布函數，則在下列給定的各組數值中應取()A、a=3/5,b=-2/5B、a=3/5,b=2/5C 、a=3/5,b=-3/5D、a=2/5,b=2/5(選 A,因為 F(+ g )=仁 aF i(+ g) - bF 2(+ ®)=a-b )例3.連續(xù)型隨機變量的分布函數為 F(x) = A + B arctanx, -g<x<g求：(1)常數A,B; (2)落入(-1 , 1 )的概率。解:

24、因為 F(+ g)=1, F(- g )=0，所以 A + B 7/2=1 , A - B/2=0 ,1 1解得 A=1/2, B=1/-.即 F(x) =+ - arctanx .2 n落入(-1 , 1)的概率為 P-1< <1=F(1)-F(-1)1 111111=0 + 一 arctan1 - (+ - arctan(-1)= + -；=；2-2-442例4.設X是一個連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f (x )，分布函數為F ( x )，則對于任意x值有( A )(A ) P (X = x ) = 0(B ) F (x)二 f(x)(D ) P (X = x) = F ( x

25、 )A-1 £ X £ 15.設隨機變量X的概率密度為 f(x)=fj1X2I 0 其它1求(1)系數A ； (2分)(2) X的分布函數；(4分)(3)概率P( X <).2解由題意得：(1)1A= .(2) F(x)01 (arcs inx )x 一 -1-1 x 171x -1L 11 1(3)P(x|r)二2 3設隨機變量X具有概率密度kx, 0 蘭 x<3,x f (x) = 2,3 乞 x 4,1 20, 其它.(1 )確定常數k ； (2)求X的分布函數F(x) ； (3)求P1YX乞3.5二離散型隨機變量：定義：隨機變量只能取有限個或可數個孤立的

26、值離散型隨機變量的概率分布簡稱為分布列：-Xx 1 x 2 x 3 .x n .-| 卄亠一人_極玄I其中每一個p i > o且 y pi =1概率P 1 P 2 P 3.Pn ."I"Ji=1離散型隨機變量的分布函數是非降的階梯函數。離散型隨機變量常見分布：1) 兩點分布 X(0,1) ; X的取值只有0或1,其概率為 PX=0=p, PX=1=1-Pk2) 二項分布 XB(n,p);分布律為 b(k;n,p)= PX=k= C鼬卩)n-k (k=0,1,2,3,n)其中 0<p<1k3) 泊松分布XP(力；分布律為 PX=k= 許e >-(k=0

27、,1,2,3,)。4) 幾何分布：XGe(p);分布列為 PX=k= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,)。在伯努利試驗序列中，記每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，如果X為事件A首次岀現時的試驗次數,則X的可能取值為1,2,稱X服從幾何分布。如果說恰好出現K次，則用二項分布b(k;n,p)= PX=k= C(k=°,1,2,3,n) 其中0<p<15)超幾何分布X h(n,N,M);分布列為 PX=k=(k=0,1,2,3,r,其中 r=minM,n)X服從設有N個產品，其中有M個不合格品，若從中不放回地隨機抽取n個，則其中含有的不合格品個數超幾何分布。離散型例題：

28、C例1設隨機變量 的分布列為P =k=，k=1,2,，則常數 C=()A 1/4 B 、1/2 C 、1 D 、2oo(因為v P =k=1,即晉廠=1,所以c=1 ) k=1例2某射手有5發(fā)子彈，射一次命中的概率為0.9，如果命中了就停止射擊，否則一直射到子彈用僅。求耗用子彈數的分布列。解:的分布列為'0 1 2p 0.3 0.5 0.2概率 p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001例3設離散型隨機變量的概率分布為 其分布函數為F(x)，_則F(3)=()A 0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1(選 D，因為 F(3)=p(0)+p(1)+p(2)=1)連續(xù)性

29、隨機變量：定義：-隨機變量可能取的值連續(xù)地充滿一個范圍，如果對于隨機變量的分布函數F(x)，存在非負可積函則稱為連續(xù)型隨機變量，其中p(x)為的概率x數p(x)，使得對于任意實數 x，有F(x)= J_ g p(u)du ,密度函數.密度函數必須滿足條件：(1) p(x) 0, - g <x<+ggp(x)dx=F(+ g)=1連續(xù)型隨機變量的性質:1.分布函數是連續(xù)函數;2 F (x)=p(x);3 P =a=0, 所以 Pa< <b= Pa ：: v.b= Pa:<b= Pa<b<b= ap(x)dx4 Px< 込+念陽 p(x) ix 常見

30、連續(xù)型型隨機變量的分布:1)均勻分布Ua,b;密度函數p(x)=1b-a0其他2)指數分布exp( )；密度函數P(x)=3)正態(tài)分布N(4 C)；密度函數p(x)e.01二 2 二xx<0£e 2：f 0 x<ax-a分布函數F(x)= 北a <x<b.11-e'00一分布函數F(x)=J2(-g <x<+g )x>bx_0x<01 X (t-茁 F(x)=音 dtx U 標準正態(tài)分布N(0,1)，它的分布函數：.：(x)可查表得到，一般F(x)=G(' ) oa分布函數結論；-.r)=l-<AT)XN( 50，

31、100).已知上班時間為早晨 8時，他2、甲在上班路上所需的時間(單位：分) 每天7時出門，試求：(1 )甲遲到的概率；解：P (甲遲到)=p(x 60)=1 - p(x 乞60)十p(匸生)10 10=1 -門=0.1587.連續(xù)型例題：例1設隨機變量X服從參數為1的泊松分布，則PX=EX= .解:因為X服從參數為1的泊松分布，所以EX2=DX+ (EX)2=1+12=2，2 1 于是 PX=EX =PX=2=尹例2設一設備開機后無故障工作的時間X服從指數分布，平均無故障工作的時間 EX為5小時。設備定時開機，出現故障時自動關機，而在無故障的情況下工作2小時便關機。試求該設備每次開機無故障的

32、時間Y的分布函數F(y)。解:XE(.), 因為EX=1/.=5.=1/5,每次開機無故障的時間 Y=minX,2,易見當 y<0 時，F(y)=0 ; 當 y_2 時，F(y)=1 ;當 0 啞<2 時，F(y)=PY <y=P minX,2<y=PX <y=1-e 瀘。0-y/5若y<0所以Y的分布函數F(y)=1-e1若0叮<2若y_2 隨機變量的函數的概率分布:1.離散型的求法設離散型隨機變量X的分布律為：-X x 1 x 2x kP P 1 P 2P k,則X的函數Y=g(X)的分布律為：-Y g(x 1) g(x 2)g(xj _P p 1

33、 p 2p k 2.連續(xù)型的公式法：設X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數為f x(x)，設g(x)是一嚴格單調的可導函數， 其值域:,'：，且g (x) =0,fX(h(y)|h(y)|0其它,當g(Xj)有相同情況時，概率為相應之和。記x=h(y)為y=g(x)的反函數，_則 Y=g(X)的密度函數為f Y(y)= =3連續(xù)型的直接變換法(分布函數法)：FY(y)=PY 紉=Pg(x) iy= PX - S，其中當Fy(y)在y處可導時當Fv(y)在y處不可導時S=x|g(x) <y，然后再把FY(y)對y求導，即得f"y)fY(y)=FY(y)/dy 0隨機變量的函數的

34、概率分布的例題：* -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4訣Y例1設X的分布律為:解:先由X的值確定Y的值，得到-14，求Y=(X-1) 2的分布律。將Y的值相同的X的概率合在一起，得到 Y的分-Y 41 0-iF 0.2 0.7 0.1J例2設隨機變量X的分布函數為Fx(x)，布律求隨機變量Y=3X+2的分布函數R(y).解:Fv(y)=PY 斗= P3X+2 爭= PX 臂= F «詈)3 2x -1<x<12,求隨機變量Y=3X+2的密度函數fY(y).0 其它例3設隨機變量X的密度函數為f«x)=解:用公式法：設 y=g(x)=3x+2,

35、y=g(x)y-2y-2的反函數為 x=h(y)=3 , -1< <1 : -1<y<5, |h33(y)|=i則Y=g(X)的密度函數為3 y-2_(=2' 3、0例4設X在區(qū)間0,2上服從均勻分布，試求"1/2 00fY(y)=f 0(h(y)嘰 汗'解:因 XU0,2，所以 f x(x)=21)氣-1<y<5=其它Y=X的概率密度。:x _2其丁。用分布函數法分段討論：當y<0時,178(y-2)02-1<y<5其它FY(y)=PY 烏= PX 3_y= 0，當 0<y<8 時,f3 (y)-3=

36、13321,當 y_8時,FY(y)=PY<y=PX=PXy=.匣 dx =1, f«y)=FY(y)=0.fY(y)=63y2fY(y) =2 汕0(其他).1 (7設隨機變量 X在(0,1)服從均勻分布，貝U fy(y),1 YyY e.的概率密度為y第三章多維隨機變量及其概率分布二維隨機變量：二維隨機向量(，)的聯合分布函數指 F(x,y)=P<x, <y0 iF(x,y) £1 ; F(-s，+ s )= F(x,- s)= F(- s ,y)=0; F(+®，+ ® )=1;Px1 -2X2,y1< 勻2=F(x 2,y

37、 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+F(x “y J二維隨機向量(，)的邊緣分布函數F(x)= P£x=F(x,+ s), F (y)= P勻=F(+ s ,y)二維離散隨機變量：二維離散型隨機變量及其概率分布P =xi, =yj=p j ,其中'' p j =1 且 pj _0i=1 j=1可用一個分布列表或分布列矩陣(p j)來表示的邊緣分布列為P =Xi= 7 Pij = P i*j = 1的邊緣分布列為P=yj=工Pj = P *i=1例1設二維隨機向量(，)的聯合分布律為n £1211/61/321/4Ct則常數0=( )A 1

38、/6B 、 1/4 C、1/3 D、1/2答案:二 7 pj =1 所以：=1/4 ,選 B. i=1 j=1二維連續(xù)隨機變量:x y二維連續(xù)型隨機向量(,)的分布函數F(x,y)=- O - Op(u,v)dudvp(x,y)稱為隨機向量(，)的聯合密度函數p(x,y) _0,+o +Op(x,y)dxdy=1 ,：2F(x,y)=p(x,y):-x：-y利用密度函數求概率P(, ) D=Dp(x,y)dxdy二維連續(xù)型隨機向量(，)的邊緣分布，p (x)，p (y)稱為邊緣密度函數+oPi(x)=- O p(x,y)dy p>(y)=J O p(x,y)dx條件分布：離散型：在條件Y

39、=y下隨機變量X的條件概率分布為 pX=xi|Y=yj=pY=y = pj ,匸1,2,連續(xù)型：在條件Y=y下隨機變量X的條件分布函數Fxiy(xW)與條件概率密度函數fXiY(x|y)分別為: FX,(x|y)=* 怙 du f My)=心O fY(y)fY(y)例1:設隨機變量X在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布，在 X=x (0<x<1)的條件下，隨機變量 Y在區(qū)間(0,x)上 服從均勻分布，求：隨機變量X和Y的聯合概率密度；1 0<其他，在X=x (0<x<1)的條件下，解:X的概率密度為f x(x)=J/x 0<y<xp 其他當0<yvx&

40、lt;1時，隨機變量 X和Y的聯合概率密度為f(x,y)=f心并Yix(y|x) = 1/x1/xY的條件概率密度為f m(y|x)=在其它點(x,y)處，有f(x,y) =0，即X和Y的聯合概率密度為f(x,y)=0<y<x<1其他例2 :設隨機變量X與Y相互獨立,X 概率分布為 PX=i=1/3 (i=-1, 0 1)，概率密度為f«y)=解:PZ101 1 1 1/2 1尹=0= PX+Y 弓X=0= PY 也= . 0 1dy=其它，記 Z=X+Y 求 PZ 叩/2 | X=0。二元正態(tài)分布:n(叢,怙,燈2, 6, 9的密度函數11(x- H)2p(x,y

41、)=，-2 exp-機 2 mog寸2(1- P)二元正態(tài)分布N( 4, O2, 2,；-)的邊緣密度分布仍是正態(tài)分布、1(X-1邊緣概率密度為fx(x)=e-2cj2, fY(y)= e-2尊26)2兀咧2兀二元正態(tài)分布2；-(x- A)(y-有 +3；：2N( J，:?),(y-2)2Y'二元均勻分布:(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布一設D是xOy面上的有界區(qū)域，其面積為如果二維隨機變量(X,Y)具有概率密度f(x,y)=1亠(xy)A，則稱(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布。衛(wèi)其他例1:設(X,Y)服從區(qū)域D: (x, y)(1) (X,Y)的聯合概率密度p(x, y)1a<

42、 x< b, c < y< d 上的均勻分布，求(2) X, Y的邊際概率密度p«x) , pY(y);解:(1) f(x,y)=丿(b_a)(d_c) 0_x_b c _y _d其他 p x(x)=- s P(x,y)dy =* b-a,P Y(y)=- s p(x,y)dx= *其他其他例1設二維隨機變量(X,Y)的分布函數xyF(x,y)=A(B+arctan -)(C+arctan -3) o 試求：(1)常數 A,B,C ； (2) (X,Y)23的概率密度。解:由分布函數性質，得到F(+ s，+ s)=A(B+-)(C+2), F(x,- s)=A(B+

43、arctan 2)(C-2)=0,F(- s ,y)=A(B- 2)(C+arctan 3)=0,解得 a=占，B=C= 2 .即 F(x,y)=寸(2+arctan £)(羅+arctan £)。(2) f(x,y) =F(x,y) =2( 22.x：y二(x +9)(y +4)例2:設隨機變量X與Y相互獨立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，求 PmaxX,Y <1。.13)解:PmaxX,Y <1=PX <1且Y，因為X與Y相互獨立，所以PX <1 且 Y= PX =1PY J=39。(這里 PX叩=1，0<x<1 ，0<y&l

44、t;2xS,其它3 39例3:設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=0000求：(1) (X,Y)的邊緣概率密度+s解: f x(x)=- s f(x,y)dyfX(x),fy(y) ; (2) Z=2X-Y 的概率密度2x1 1dy= 2x, 所以邊緣概率密度f z(Z)。0<x<1fx(X)=2x 0<x<1其它+sfY(y)=- s f(x,y)dx0<y<21 1 /2 1dx= 1- 2y,所以邊緣概率密度fY(y)=1-y/200<y<2其它(2) F z(z)=P2x-y-z=Il f(x,y)dxdy2x-y 也0vz

45、/2<11-D1 2x-z1dxdy=1- z/2dx. 0 1dy =1-1z/2 (2x-z)dx= z -得到Fz(z)=z-z1z<0-21-z/20<z<22/4 0少<2，所以Z的概率密度fz(z)=Fz(z)=10其它z_2-其4.設隨機變量X和Y具有聯合概率密度f(x, y)4x2蘭y蘭x'3' ；求邊緣概率密度0,其它.fx(x), fy(y)及f.：w(y x).例4設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為2X11.0 勻乞2其他x2+cxy 0I 0求(1)常數C; (2)PX+Y _1;(3)聯合分布函數F(x,y).解:(1)

46、由的概率密度性質得到+s+s1 2211= - ssf(x,y)dxdy=0(x 2+cxy)dxdy= 3+c二 c= 3;PX+Y 1= I I f(x,y)dxdy=f(x,y)dxdyx+y 自D121，-，-2 xy5 3 4 2 165= 0dx1-x(x +3)dy= 0(6x+3x+2x)dx = 72當x<0或y<0時，x yp(u,v)dudv=0;f(x,y)=F(x,y)=- s當0強1,0矽<2時,00x yF(x,y)=- s - s p(u,v)dudv=當0兇,y _2時，x yF(x，y)=- s - s p(u，v)dudv=當x_1,0今

47、2時，x yF(x,y)=- s - s p(u,v)dudv=當 x _1, y 2 時，x yF(x,y)= i i p(u,v)dudv=1-s - oo綜上所述0x0r 32 2x y x y口x 232。丐)dudv=?;1 y2r 2 uv y y 0 0(u +3)dudv=5+;孑+12 0仝1及0宜22x3 x2 F(x,y)= -y+y 0空1 及 y _22y y 3+12 x同及0卻21 x_1 及 y_2獨立性：若F(x,y)=F (x)F (y)，則稱隨機變量與相互獨立。幾個充要條件：連續(xù)型隨機變量 與 相互獨立:二p(x,y)=p (x)p (y)離散型隨機變量與

48、吟目互獨立二p j =p p二元正態(tài)分布N(H, CT2, h, a2, R隨機變量f與*1相互獨立二P=o。X與Y相互獨立 二f(X)與g(Y)也相互獨立。例：袋中有2只白球，3只黑球,現進行無放回地摸球，定義：產_ jl第一次摸出白球-=I 0第一次摸出黑球*1第二次摸出白球衛(wèi)第二次摸岀黑球求：(1)(，)的聯合分布；(2) ，的邊際分布；住n01pt03/103/106/1013/101/104/10pn6/104/10(3) ，是否相互獨立？解：(,)的聯合分布與邊際分布為因為p(0,0)=3/10 中(0)p (0)=9/25所以與不獨立。例2 :設A, B是二隨機事件；隨機變量x=

49、(若若出不出現丫出若若出不出現試證明隨機變量X和Y不相關的充分必要條件是 A與B相互獨立。例3設(X,Y)的概率密度為，f(x,y)=8y 0 二其他丁厘求：關于X及關于Y的邊緣概率密度，并判斷X與Y是否相互獨立解:關于X的邊緣概率密度+8xf x(x)=J8f(x,y)dy,當 0蘭 0 時，f x(x)= $8xydy=4x3,當 x<0 或 x>1 時,12其他。同理當0卻勺時，fY(y)= j8xydx=4y(1-y 2),其它情況f«y)=0,所. 2以關于Y的邊緣概率密度fy(y)= <40(1-y )其他.因為當0仝衛(wèi)，0空總時，f(x,y)fx(x)

50、=o；所以 f x(x)= “- 34x 00=f x(x)f Y(y)，所以X與Y不獨立。設二維隨機變量(X, Y )的概率密度函數為關于2. f(x,y) =20 <x v1, 0 v y vx0, 其它求：(1) Y關于X的邊緣分布密度函數fY|X(y x)， 并判斷X與Y是否獨立？ (6分)(2) E(XY).(4分)解由條件得:當 0 ：x <1 時，則fx(x)=:x:f(x,y)dy 二 02dy = 2x，從而2x,fx(x)二 0,0 ： x : 1其它當 0 ： y ：1 時，則fY(y)二: 1f(x,y)dx 2dx=2(1-y),從而yfy(y)= 2(i

51、)，其它 v1y 0, 其它彳丫x(y x) = xb,0 ： x : 1其它因為 f (x, y) = fx(x) fy(y), 0 x ：1, 0 ： y x，所以 x 與 y不獨立.13x2xydydx = x(x -x )dx1 y(2)E(XY)二 0 .0xyf(x,y)dxdy =E(XY)二兩個隨機變量的函數的分布：幾條結論：1. XP( JYP( ",若X與Y相互獨立，則X+YP+T；2. XN( ",門2), 丫N( 4, o2), X 與 Y相互獨立， 則 X+YN(Mt+M2,+癥);3. (卷積公式)設(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x,y)，關于X,Y的邊緣概率密度分別為f x(x),fY(y)，設 X 與 Y 相互獨立，則Z=X+Y的概率密度為fz(z)=. fx(x)fY(z-x)dx=. f(x, z-x)dx或 fz(z)=OO oo+8-Jx(z-y)f+8Y(y)dy= J 8 f(z-y, y)dy.X|Y 012例1:已知的聯合概