高等數(shù)學(xué)第二節(jié)二重積分的計(jì)算ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算一一 、直角坐標(biāo)系下的二重積分、直角坐標(biāo)系下的二重積分79PxyDcddyc)(1yxy)()(yxy21 DdyxfV ),(軸軸投投影影向向?qū)⒎e積分分區(qū)區(qū)域域YD,),(VdyxfD等于曲頂柱體的體積等于曲頂柱體的體積二重積分二重積分 .V下面用定積分來(lái)計(jì)算下面用定積分來(lái)計(jì)算)(2yxabdycbxa計(jì)算計(jì)算),(yxDxzDdc0y)(01y)(02y,dycy00任任取取截曲頂柱體得一截截曲頂柱體得一截平面平面0yy ,面為曲邊梯形面為曲邊梯形:其其面面積積為為,)(dcydyAV所所以以,x積積分分變變量量為為時(shí)時(shí)在在計(jì)計(jì)算算中中括括號(hào)號(hào)中

2、中定定積積分分按按.暫暫時(shí)時(shí)固固定定而而將將 yyddyxfdcD ),(因因此此)()(),(yyxdyxf21 .ydVdc即即)()(),(yyxdyxf21 ,),()()()(020100yyxdyxfyA )()(yxydycD21 .),()()(yydcxdyxfyd21 常常記記為為dxdyd記為常面積元素在直角坐標(biāo)系下,ydxdyxfydxdyxfdcyyD )()(),(),(21 的累次積分后對(duì)先對(duì)yx)()(yxydycD21 Dydxdyx計(jì)算計(jì)算例例 . 121xyD,是由直線(xiàn)是由直線(xiàn)其中其中.所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域及及xy xy1y2xxy 12221xy

3、yD:.寫(xiě)成寫(xiě)成將將解解221yDxdyxydydxdyx則則213212ydyy)()(322221221yyyxxdyxyxy.89xy1y2xxy 12:又解又解)(xxyxydyxxyx2121213121xydyxxd1212132121xdxx.8921 xxy 1DDydxdyx)(),(),()()(121yydcDxdyxfydydxdyxf )(,),()()(221xxbaDydyxfxdydxdyxf ,)()(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yxydycD21 ,)()(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xyxbxaD21 .,)(,)(積積分分后后對(duì)對(duì)式式先先對(duì)對(duì)積積分分后后對(duì)對(duì)式式先先對(duì)對(duì)xyyx21.)()()

4、()(稱(chēng)稱(chēng)為為交交換換積積分分次次序序化化為為或或由由化化為為由由1221,的的關(guān)關(guān)鍵鍵積積分分區(qū)區(qū)域域是是化化累累次次積積分分正正確確地地用用不不等等式式組組表表示示.要要熟熟練練掌掌握握Ddyx 2例例22xyxyD及直線(xiàn)及直線(xiàn)是由拋物線(xiàn)是由拋物線(xiàn).所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域xy22 xy) 1, 1 ( B)2, 4(A22xyxy由由解解.1124yxByxA解得解得12D2212yyDxdyxyddyx 所以所以.85521y22yxyxy22 xy) 1, 1 ( B)2, 4(A又又解解014xyxxD10 xyxx241xxxxDydyxxdydyxxddyx24110 所以所以

5、.855)(0 xxydyx.,不不一一樣樣其其計(jì)計(jì)算算的的復(fù)復(fù)雜雜程程度度可可能能選選用用不不同同的的積積分分次次序序D0RR222Ryxxy的直交圓柱體的直交圓柱體求兩個(gè)半徑為求兩個(gè)半徑為例例R.3.所所圍圍成成的的立立體體的的體體積積Dxyz222Ryx222Rzx. 畫(huà)畫(huà)出出第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)圖圖形形解解DdxRV 228DRx 0220 xRyRxRydxRxdV0022228RxdxR0228)(3316R303259524xxydyxfxdI),(:. 交交換換積積分分次次序序例例 32595 302xyxxD.解解畫(huà)圖畫(huà)圖59yxor2532yxor)5 , 3(A952xy

6、 325xy 592532yxyD59253502yyxdyxfydI),(,所以所以50 yyyxdxxydIsin105 計(jì)計(jì)算算例例的原函數(shù)無(wú)法求出的原函數(shù)無(wú)法求出因?yàn)橐驗(yàn)榻饨鈞xsin., )(積不出來(lái)積不出來(lái)yxyyD10畫(huà)圖畫(huà)圖:交換積分次序交換積分次序xyxy yx ) 1 , 1 (AxyxxD210 xxydxxxdI210sin102xdxxxxsin101xdxxsin10101xxxsincos)(11sinD1Dx1xsin1xcos0 xsindcbaDydyfxdxfydxdyfxf)()()()(2121.,圍成的長(zhǎng)方形圍成的長(zhǎng)方形是由是由其中其中dycybxa

7、xDbxadycD.證證dcDydydxdyfxf)()(21baxdyfxf)()(21dcydbaxdxfyf)()(12baxdxf)(1.dcydbaxdxf)(1)(yf2.此結(jié)論作為公式使用此結(jié)論作為公式使用:求證求證例例6.)(,)(.Axdxfxf10107并設(shè)并設(shè)上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)例例.)()(I101xydyfxfxd求求,. 交換積分次序交換積分次序解解) 1 , 1 (110yxxDyxy010 xy 100yxdyfxfyd)()(Ixydxfyfxd010)()(xdydyfxfxdydyfxfxx1001012)()()()(Ixdydyfydyfxfxx101

8、0)()()(xdydyfxf1010)()(.2A.22AI yx X X型區(qū)域的特點(diǎn)：型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于 y y 軸的直線(xiàn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交軸的直線(xiàn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)點(diǎn) . . Y Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于 x x 軸的直線(xiàn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交軸的直線(xiàn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)點(diǎn) . .若區(qū)域如圖 ，3D2D1D在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式.321DDDD則必須分割 .)(軸投影向 X)(軸投影向Y)()(xyxbxaD21 )()(yxydycD21 8281P),( r二、極坐標(biāo)系下的

9、二重積分二、極坐標(biāo)系下的二重積分r ox doxD d d dr:的的換換算算公公式式為為平平面面極極坐坐標(biāo)標(biāo)與與直直角角坐坐標(biāo)標(biāo) sincosryrx 200r,D極坐標(biāo)平面上有區(qū)域極坐標(biāo)平面上有區(qū)域,D區(qū)區(qū)域域用用同同心心圓圓和和幅幅射射線(xiàn)線(xiàn)分分割割, d取面積元素取面積元素 drdrd d計(jì)算計(jì)算:得知得知rddrd 或或PrdoxD的的不不等等式式表表示示積積分分區(qū)區(qū)域域 D ),( rP)( 1r)( 2r )()( 21 rDDdrdrrrf )sin,cos(換極坐標(biāo)換極坐標(biāo):二二重重積積分分換換元元DdyxfI ),( drdrd sincosryrx.)sin,cos()()

10、( 21rdrrrfd.8例例DyxydxdeI2200222yxRyxyxD,),(xyRD.解解:換極坐標(biāo)換極坐標(biāo) sincosryrxDRr 020 Drdrdre 2Rrrdred0202 DyxydxdeI22Rre02212 214Re xyRD:進(jìn)進(jìn)一一步步討討論論2DRyRxyxD002,),(R21D22222DyxDyxydxdeydxde有有122Dyxydxde1D設(shè)設(shè)002222yxRyxyx,),(D已知已知00222yxRyxyx,),(202Rxxde12222222DyxDyxDyxydxdeydxdeydxde又因?yàn)橛忠驗(yàn)?22DyxydxdeRyRxydexde0022xyRD2DR21D所以所以214Re 202Rxxde2214Re ,R令令,4 上式兩端趨于同一極限上式兩端趨于同一極限.2402 dxex所以所以. 9例例.)( ,常數(shù)常數(shù)求陰影部分的面積求陰影部分的面積RS解解,兩兩點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)先先求求BAAB cosRrRr2由由3 RrA:3 RrB : cosRrRD233xoDR2R cosRr2 DdS cosRRrdrd23333222421 dR