高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)第六版1-03-函數(shù)的極限講義ppt課件

1、1-03 函數(shù)的極限函數(shù)的極限一般地一般地, y=f(x), xDf R=( -,+), 用用R=( -,+)記全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合記全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合.建立一根數(shù)軸建立一根數(shù)軸,數(shù)數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是實(shí)數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是實(shí)數(shù),這根數(shù)軸就叫做這根數(shù)軸就叫做實(shí)數(shù)軸實(shí)數(shù)軸 .習(xí)慣上我們稱習(xí)慣上我們稱“實(shí)數(shù)是連續(xù)變化的實(shí)數(shù)是連續(xù)變化的” 的意思就的意思就是是:以實(shí)數(shù)為坐標(biāo)的點(diǎn)正好填滿了實(shí)數(shù)軸以實(shí)數(shù)為坐標(biāo)的點(diǎn)正好填滿了實(shí)數(shù)軸,使之沒(méi)使之沒(méi)有空隙有空隙,也就是說(shuō)也就是說(shuō):用一把刀砍向?qū)崝?shù)軸用一把刀砍向?qū)崝?shù)軸,一定會(huì)砍一定會(huì)砍到一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),不會(huì)落空不會(huì)落空.ox1例如，我們

2、知道一個(gè)阻尼振蕩的波函數(shù)可設(shè)想為例如，我們知道一個(gè)阻尼振蕩的波函數(shù)可設(shè)想為0( )( )sin() ,0 x tA ttt隨著時(shí)間隨著時(shí)間 t 的不斷增加以至無(wú)窮的不斷增加以至無(wú)窮,振蕩的振幅振蕩的振幅A(t)的數(shù)值越來(lái)越接近于零。那么的數(shù)值越來(lái)越接近于零。那么,我們就說(shuō)我們就說(shuō) 隨著時(shí)間隨著時(shí)間 t 的無(wú)限增大的無(wú)限增大, x(t)的的值無(wú)限接近的的值無(wú)限接近于零，或曰于零，或曰:x(t)以以 0 為極限。為極限。所以，函數(shù)的極限首先就可以討論自變量所以，函數(shù)的極限首先就可以討論自變量 時(shí)的極限問(wèn)題。時(shí)的極限問(wèn)題。x同時(shí)可以注意到，同時(shí)可以注意到， 時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)題時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)題是數(shù)列極限

3、問(wèn)題的一般化。是數(shù)列極限問(wèn)題的一般化。x.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx播放播放一一.自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過(guò)過(guò)程程中中, 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的過(guò)程的過(guò)程表示表示 xXx. 0sin)(,無(wú)無(wú)限限接接近近于于無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問(wèn)題問(wèn)題: 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近無(wú)限接近”.定義定義 1 1 如果對(duì)于任意

4、給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在著正數(shù)總存在著正數(shù)X, ,使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式Xx 的一切的一切x, ,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) x時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作)()()(lim xAxfAxfx當(dāng)當(dāng)或或定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim1、定義：、定義：lim0,0,.lim( )0,0,( )nnnxxaNxaf xnAXf xANxX 收斂定義對(duì)比收斂定義對(duì)比數(shù)列與函數(shù)數(shù)列與函

5、數(shù):變量連續(xù)變量連續(xù)地變化地變化變量離散變量離散地變化地變化001: lim( )0,0,( )2: lim( )0,0,:lim ( )lim( )lim( ),( )xxxxxxXf xAf xAfxf xAXf xAxf xAXf xAxxXA 定定理理且且情情形形使使當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)恒恒有有情情形形使使當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)恒恒有有2、另兩種情形、另兩種情形:xxysin 3、幾何幾何解釋解釋: X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxAxxysin sinsin110,10,sinsin0,lim0.xx

6、xxxxXXxXxxxx 取取則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)恒恒有有故故例例1. 0sinlim xxx證證明明證證:lim( ),( ).xf xcycyf x 定定義義 如如果果則則直直線線是是函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線二二.自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過(guò)過(guò)程程中中,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過(guò)過(guò)程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點(diǎn)點(diǎn) x.0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)xx 問(wèn)題是問(wèn)

7、題是在在0 xx 的過(guò)程中討論的過(guò)程中討論 函數(shù)函數(shù))(xfy 的極限問(wèn)題時(shí)，要考察的極限問(wèn)題時(shí)，要考察, 這是為什么呢？這是為什么呢？ 000,xxx 點(diǎn)點(diǎn) 的的去去心心 鄰鄰域域切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位

8、置切線位置切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置 T0 xxoxy)(xfy CNM如圖如圖, 如果割線如果割線MN繞點(diǎn)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線直線MT就稱為曲線就稱為曲線C在點(diǎn)在點(diǎn)M處的切線處的切線.極限位置即極限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的的斜斜率率為為割割線線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxM

9、NC沿沿曲曲線線的斜率為的斜率為切線切線MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 例如，拋物線在點(diǎn)例如，拋物線在點(diǎn)2，4處的切線斜率為處的切線斜率為00000()()lim.xxf xf xxxxxxx 在在討討論論形形如如的的極極限限問(wèn)問(wèn)題題時(shí)時(shí)必必須須注注意意到到 蘊(yùn)蘊(yùn)含含著著 22222(2)(2)limlim2222,(2)(2)limlim(2)4.2xxxxxxxxxxxxxxx - -4 4- -k k= =注注意意到到 蘊(yùn)蘊(yùn)含含著著 - -因因此此，定義定義 2 2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多不論它多 么小么小),),總存在正數(shù)總存

10、在正數(shù) , ,使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 00 xx的一切的一切x, ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都都 滿足不等式滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或 定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)1.定義：定義：2122221322lim5.10,0,01,325,132(32)(1)5532531 ,110, 01,3253133,132lim10335xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 例例 證證明明

11、證證明明 要要找找到到使使得得有有有有3.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側(cè)無(wú)限趨近從左側(cè)無(wú)限趨近; 00 xx記記作作,0 xx從右側(cè)無(wú)限趨近從右側(cè)無(wú)限趨近; 00 xx記記作作yox1xy 112 xy左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)

12、(000AxfAxfxxxx 或或記記作作000: lim( )(0)(0)xxf xAf xf xA 定定理理.lim0不不存存在在驗(yàn)驗(yàn)證證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例3證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì) 1.有界性有界性定定理理 若若在在某某個(gè)個(gè)過(guò)過(guò)程程下下, ,)(xf有有極極限限, ,則則存存在在過(guò)過(guò)程程的的一一個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)刻刻, ,在在此此時(shí)時(shí)刻刻以以后后)(xf有有界界. .2.唯一性唯一性定定理理 若若)(limxf

13、存存在在,則則極極限限唯唯一一.).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若定理定理( (保號(hào)性保號(hào)性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且若若推論推論3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設(shè)設(shè)定理定理( (保序性保序性) )常用結(jié)論為：常用結(jié)論為：如如 果果 ，那么那么 xf xAlim( ) nf nAlim( ) 4. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)

14、極限與數(shù)列極限的關(guān)系從一般到特殊從一般到特殊的關(guān)系的關(guān)系思考題思考題試試問(wèn)問(wèn)函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？思考題解答思考題解答200lim( )lim(5)5,xxf xx 左極限存在左極限存在,001lim( )limsin0,xxf xxx右極限存在右極限存在,000lim( )lim( )lim( )xxxf xf xf x 不存在不存在.xxxxxxa22301.lim4;2.lim12;3.lim1. 思思考考練練習(xí)習(xí)證證明明xxxf xAxxxxx

15、xf xAxxxxxf xAxxx2222202221.lim4;( )422 ,13,452 ,0,( )4,2152,min(1,),0,5( )4,l21im.,4 思思考考練練習(xí)習(xí) 證證明明 證證 則則任任給給要要使使只只需需在在可可預(yù)預(yù)的的條條件件下下可可取取0 0當(dāng)當(dāng)成成立立設(shè)設(shè)時(shí)時(shí)有有條件放大條件放大xxxxxxxxxx30,0lim,0 |3|,1231231212;31.22.0 分分析析 要要找找到到使使得得時(shí)時(shí) 有有只只要要就就有有故故可可取取 思思考考xxxxxxxxxx330, 0,:0 |3|,31212lim212;lim123. 思思考考證證明明 有有22233

16、3,:(1)lim(0)(2)lim(,0)xammxaxbababxbabmab 一一般般地地 有有 Z Zxxaaaaaaxxxxxxxxaaaxxxaaaaaa0001,0(1),|1|,11,log (1)log (1),1minlog,log (1),0|,11loglog (1)111,|1|lim1,11,lim1lim1. 證證 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)不不妨妨設(shè)設(shè)要要使使只只須須又又只只須須令令當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)xxaa03.lim1(0)思思考考練練習(xí)習(xí) 證證明明 練練 習(xí)習(xí) 題題12201.1 4sin(1)lim22 lim0212.:( ).3.( )0?xxxxxxf xxxxx

17、xx 用用函函數(shù)數(shù)極極限限的的定定義義證證明明：( ( ) )試試證證函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)極極限限存存在在的的充充分分必必要要條條件件是是左左極極限限、右右極極限限各各自自存存在在并并且且相相等等討討論論：函函數(shù)數(shù)在在時(shí)時(shí)的的極極限限是是否否存存在在.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨