高等數(shù)學(xué)下冊(cè)第十章第五節(jié)ppt課件

1、5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、基本概念一、基本概念觀察以下曲面的側(cè)觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)1.曲面的側(cè)曲面的側(cè)n曲面的分類曲面的分類:1.1.雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面; ;2.2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面. .典典型型雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面: : 莫比烏斯帶莫比烏斯帶播放播放曲面法向量的指向決定曲面的側(cè)，一側(cè)為正，一曲面法向量的指向決定曲面的側(cè)，一側(cè)為正，一側(cè)為負(fù)。選定了側(cè)的曲面稱為有向曲面。側(cè)為負(fù)。選定了側(cè)的曲面稱為有向曲面。.0cos00cos)(0cos)()( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)

2、當(dāng) xyxyxyS.)(表表示示投投影影區(qū)區(qū)域域的的面面積積其其中中xy 面面S , S 在在xOy面上的投影面上的投影(S)xy為為2. 有向曲面的投影有向曲面的投影 在有向曲面在有向曲面 上取一小塊曲上取一小塊曲注：注：1. 求投影時(shí)，要求求投影時(shí)，要求S上各點(diǎn)的法向量上各點(diǎn)的法向量與與z軸的夾角均為銳角或均為鈍角。軸的夾角均為銳角或均為鈍角。2. 當(dāng)當(dāng)S為平面塊時(shí)為平面塊時(shí), 它在它在xOy面的投影為面的投影為S S cos 3. 可同樣定義可同樣定義S 在在yOz面上的投影面上的投影(S)yz與與S 在在zOx面上的投影面上的投影(S)zxAv0n AAvnvAvA 0cos 流量流量

3、(1) 流速場(chǎng)為常向量流速場(chǎng)為常向量 v , 求單位時(shí)間流過有向求單位時(shí)間流過有向平面區(qū)域平面區(qū)域 A的流體的質(zhì)量的流體的質(zhì)量(假定密度為假定密度為1)。3. 流向曲面一側(cè)的流量流向曲面一側(cè)的流量(2)(2) 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體( (假定密度為假定密度為 1)1) 的速度場(chǎng)由的速度場(chǎng)由 kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 給出給出, , 是速度場(chǎng)中的一片有向曲面是速度場(chǎng)中的一片有向曲面, ,函數(shù)函數(shù)),(),(),(zyxRzyxQzyxP 都在都在 上連續(xù)上連續(xù), , 求在單位求在單位 時(shí)間內(nèi)流向時(shí)間內(nèi)流向 指定側(cè)的流指定側(cè)的流 體的

4、質(zhì)量體的質(zhì)量 . . xyzo xyzo iS ),(iii ivin1. 分割分割 把曲面把曲面 分成分成 n小塊小塊Si (Si同時(shí)也代同時(shí)也代表表第第 i 小塊曲面的面積小塊曲面的面積)。 法向量為法向量為 ni ，該點(diǎn)流速為該點(diǎn)流速為 vi ， 在在Si上任取上任取一點(diǎn)一點(diǎn)(i , i , i ) ,2. 近似近似該該點(diǎn)點(diǎn)處處曲曲面面 的的單單位位法法向向量量 kjiniiii coscoscos0 , , 通通過過 Si流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量的的近近似似值值為為 )., 2 , 1(0niSnviii ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 3

5、. 求和求和 niiiiSnv1通過通過 流向指定側(cè)的流量流向指定側(cè)的流量iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiizxiiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 4.4.取極限取極限 0 0取極限得到流量取極限得到流量的精確值。的精確值。 二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義及性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義及性質(zhì) nixyiiiiSR10)(,(lim 存在存在, , 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù) ),(zyxR在有向曲面在有向曲面 上上對(duì)坐對(duì)坐 定義定義 設(shè)設(shè) 為光滑的有向曲面為光滑的有向曲面, 函數(shù)函數(shù)R(x, y, z)在

6、在 上上標(biāo)標(biāo)x x、y y的曲面積分的曲面積分( (也稱第二類曲面積分也稱第二類曲面積分), ), 記作記作有界。把有界。把 任意分成任意分成 n 塊小曲面塊小曲面Si(Si同時(shí)又同時(shí)又表示第表示第 i 塊小曲面的面積塊小曲面的面積),Si在在xOy面上的投影面上的投影記為記為(Si)xy ,任取任取(i , i , i)Si 。如果當(dāng)。如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值各小塊曲面的直徑的最大值 0 時(shí)，極限時(shí)，極限 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 被積函數(shù)被積函數(shù)積分曲面積分曲面可類似定義可類似定義 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( ni

7、zxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( dxdyzyxR),(，即，即存在條件存在條件:當(dāng)當(dāng)),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面 上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí), ,對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分存存在在。 習(xí)慣上記習(xí)慣上記:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( RdxdyxQdzdxPdydz性質(zhì)性質(zhì): : 2121. 1 RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),()

8、,(),(),(),(. 2三、計(jì)算法三、計(jì)算法 ),(yxfz xyDxyzoxys)( 設(shè)積分曲面設(shè)積分曲面 是由方是由方程程z=z(x , y)所給出的所給出的曲面上側(cè)曲面上側(cè), 在在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)槊嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)镈xy ,函數(shù)函數(shù)z=z(x , y)在在Dxy上具有一階連續(xù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù),被積函數(shù)被積函數(shù)R(x, y, z)在在上連續(xù)上連續(xù). nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizS 又又取上側(cè)取上側(cè) nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdx

9、dyyxzyxRdxdyzyxR),(,),( 即即,)()(,0cos,xyxyiS 取取下下側(cè)側(cè)若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(則有則有給出給出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(則有則有給出給出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),( 說明：說明：1. 1. 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分必須注意曲面所取的側(cè)。對(duì)坐標(biāo)的曲面積分必須注意曲面所取的側(cè)。2. 上述結(jié)論只有當(dāng)積分曲面上述結(jié)論只有當(dāng)積分曲面上每點(diǎn)的法向量上每點(diǎn)的法向量 n 與與分分成成幾幾片片曲曲面面。把把條條件件成成立

10、立，需需要要的的法法向向量量不不能能保保證證上上述述若若 。0),( dxdyzyxP的方程。的方程。的坐標(biāo)適合的坐標(biāo)適合點(diǎn)點(diǎn) ),(. 4zyxz(x、y)軸的夾角均為銳角或均為鈍角時(shí)才成立。軸的夾角均為銳角或均為鈍角時(shí)才成立。3. 假設(shè)假設(shè) 在在xOy面的投影為曲線，那么面的投影為曲線，那么假設(shè)假設(shè) 在在yOz面或面或zOx面的投影為曲線，有類面的投影為曲線，有類似的結(jié)論。似的結(jié)論。例例 1 1(P199) (P199) 計(jì)算計(jì)算 xyzdxdy, ,其中是球面其中是球面1222 zyx外側(cè)外側(cè) 在在0, 0 yx的部分的部分. . 解解兩部分兩部分和和分成分成把把21 ;1:2211yx

11、z ,1:2222yxz xyz2 1 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系 設(shè)設(shè)有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 給給出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉?xyD, ,函函數(shù)數(shù) ),(yxzz 在在 xyD 上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), , ),(zyxR在在上上連連續(xù)續(xù). . 若若 取取上上側(cè)側(cè)，則則 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR

12、),(,),( xyD),(yxfz xyzodsn xyDyxyxdxdyzzzzyxzyxRdSR222211),(,(cos 處處的的法法向向量量在在點(diǎn)點(diǎn)：曲曲面面),(),(zyxyxzz ,1 yxzzn軸軸的的夾夾角角為為銳銳角角，與與取取上上側(cè)側(cè)，zn ,cos2211yxzz xyDdxdyyxzyxR),(,(. Rdxdy,cos2211yxzz 取取下下側(cè)側(cè)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) xyDyxyxdxdyzzzzyxzyxRdsR)(,(,(cos222211 xyDdxdyyxzyxR),(,( Rdxdy總之恒有：總之恒有：.cos dsR RdxdydSRQPdxdyRQdzdx

13、Pdydz)coscoscos( 結(jié)論：結(jié)論：.cos,cos,cosdsdxdydsdzdxdsdydz 處處法法向向量量在在點(diǎn)點(diǎn)是是有有向向曲曲面面、),(zyx 的方向角。的方向角。向量形式向量形式 dSASdAdSnASdAn或或其中其中cos,cos,cos, nRQPA為有為有向 曲 面 上 點(diǎn)向 曲 面 上 點(diǎn)),(zyx處 的 單 位 法 向 量處 的 單 位 法 向 量 , , ,dxdydzdxdydzdSnSd 稱 為稱 為 有有 向 曲 面向 曲 面元元, ,nA為向量為向量A在在 n上的投影。上的投影。 例例 2 2( (P P1 16 66 6) ) 計(jì)計(jì)算算zdx

14、dydydzxz )(2, ,其其中中是是旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面)(2122yxz 介介于于平平面面 0 z及及2 z之之間間的的部部分分的的下下側(cè)側(cè). . 解解 ),(),(2221yxzzyxF 令令.,),(1 yxnzyx處處的的法法向向量量上上點(diǎn)點(diǎn)取取下下側(cè)側(cè)，由由于于n.11cos,1cos2222yxyxx dxdyzxxz)(2 xyDdxdyyxxxyx)(21)()(4122222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd dSxzdydzxzcos)()(22 ,)(coscos)(22dxdyxxzdxdyxz原式原式= 8 。例例3

15、計(jì)算計(jì)算 ,)(23222zyxzdxdyydzdxxdydz解解 處處的的外外法法向向量量的的方方向向上上點(diǎn)點(diǎn)球球面面),(zyx .cos,cos,cosRzRyRx 余弦余弦dSRzyx 3coscoscos原原式式dSRzyx 4222.412 dSR其中其中 是球面是球面x2+y2+z2=R2的外側(cè)。的外側(cè)。解法解法2 由對(duì)稱性，由對(duì)稱性，dxdyRz 33原式原式xyzdxdyRz 上上33dxdyRz 下下33 xyDdxdyRyxR32226rdrRrRdR 0322206 . 4 習(xí)題習(xí)題(P167)：3，4莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比