用特征根方程法求數(shù)列通項(xiàng)

1、.特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項(xiàng)當(dāng)時(shí)，的取值稱為不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)是我們?cè)诟?jìng)賽中解決遞推式的基本方法。 典型例子：令 ，即 ，令此方程的兩個(gè)根為， (1)若,則有 （其中）(2)若,則有（其中）例題1：設(shè)， (1)求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)； (2）對(duì)(1)中的二個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求使恒成立的常數(shù)的值；(3)對(duì)由定義的數(shù)列，求其通項(xiàng)公式。解析：(1)設(shè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為，則解得或(2)由可知使恒成立的常數(shù)。(3)由(2)可知，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。則，則例2已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于 且求的通項(xiàng)公式.解:依定理作特征方程變形得 其根為故特征方程有兩個(gè)相異的根，則有即 又?jǐn)?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列例3

2、已知數(shù)列滿足：對(duì)于都有（1）若求 （2）若求解：作特征方程 變形得 特征方程有兩個(gè)相同的特征根（1）對(duì)于都有 （2）一、數(shù)列的一階特征方程（型）在數(shù)列中，已知，且時(shí)，（是常數(shù)），（1）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)數(shù)列；（3）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列；（4）當(dāng)時(shí)，稱是數(shù)列的一階特征方程，其根叫做特征方程的特征根，這時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：；例1：已知數(shù)列中，且時(shí)，求；（參考答案：）二、數(shù)列的二階特征方程（型）在數(shù)列中，與已知，且（是常數(shù)），則稱是數(shù)列的二階特征方程，其根，叫做特征方程的特征根。（1）當(dāng)時(shí)，有； （2）當(dāng)時(shí)，有；其中由代入后確定。例2：在數(shù)列中，且時(shí)，求；（參考答案：）考慮

3、一個(gè)簡(jiǎn)單的線性遞推問(wèn)題.設(shè)已知數(shù)列的項(xiàng)滿足,其中求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問(wèn)題，然而這樣做太過(guò)繁瑣，而且在猜想通項(xiàng)公式中容易出錯(cuò)，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法特征方程法：針對(duì)問(wèn)題中的遞推關(guān)系式作出一個(gè)方程稱之為特征方程；借助這個(gè)特征方程的根快速求解通項(xiàng)公式.下面以定理形式進(jìn)行闡述.定理1.設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為，則當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.證明：因?yàn)橛商卣鞣匠痰米鲹Q元?jiǎng)t當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，為0數(shù)列，故（證畢）下面列舉兩例，說(shuō)明定理1的應(yīng)用.例1已知數(shù)列滿足：求解：作方程當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是例2已知數(shù)

4、列滿足遞推關(guān)系：其中為虛數(shù)單位.當(dāng)取何值時(shí)，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列.解：作方程則要使為常數(shù)，即則必須現(xiàn)在考慮一個(gè)分式遞推問(wèn)題（*）.例3已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于且求的通項(xiàng)公式.將這問(wèn)題一般化，應(yīng)用特征方程法求解，有下述結(jié)果.定理2.如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對(duì)于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程.（1）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相同的根（稱作特征根）時(shí)，若則若，則其中特別地，當(dāng)存在使時(shí)，無(wú)窮數(shù)列不存在.（2）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、（稱作特征根）時(shí)，則，其中證明：先證明定理的第（1）部分.作交換則是特征方程的根，將該式代入式得將代入特征方程可整理得這與已知條件矛盾.故特征方程的根

5、于是當(dāng)，即=時(shí)，由式得故當(dāng)即時(shí)，由、兩式可得此時(shí)可對(duì)式作如下變化：由是方程的兩個(gè)相同的根可以求得 將此式代入式得令則故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列. 其中當(dāng)時(shí)，當(dāng)存在使時(shí)，無(wú)意義.故此時(shí)，無(wú)窮數(shù)列是不存在的.再證明定理的第（2）部分如下：特征方程有兩個(gè)相異的根、，其中必有一個(gè)特征根不等于，不妨令于是可作變換故，將代入再整理得由第（1）部分的證明過(guò)程知不是特征方程的根，故故所以由式可得：特征方程有兩個(gè)相異根、方程有兩個(gè)相異根、，而方程與方程又是同解方程.將上兩式代入式得當(dāng)即時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為.此時(shí)對(duì)于都有 當(dāng)即時(shí)，上式也成立.由且可知 所以(證畢)注:當(dāng)時(shí),會(huì)退化為常數(shù);當(dāng)時(shí),可化歸為較易解的遞推關(guān)系,在此不再贅述.現(xiàn)在求解前述例3的分類(lèi)遞推問(wèn)題.解:依定理作特征方程變形得其根為故特征方程有兩個(gè)相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有 即例4已知數(shù)列滿足：對(duì)于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時(shí)，無(wú)窮數(shù)列不存在.解：作特征方程變形得特征方程有兩個(gè)相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.（1）對(duì)于都有（2）令，得.故數(shù)列從第5項(xiàng)開(kāi)始都不存在，當(dāng)4，時(shí)，.（3） 令則對(duì)于（4）顯然當(dāng)時(shí)，數(shù)列從第2項(xiàng)開(kāi)始便