看完質(zhì)量守恒的微分連續(xù)方程式后

1、6.3看完質(zhì)量守恆的微分連續(xù)方程式後，接著要看的是線動量守恆的微分線動量方程式。我們也是從雷諾輸送定理開始，將它應(yīng)用到一個(gè)無限小控制體積上。有關(guān)系統(tǒng)受力及線動量的守恆，用白話來說是這樣子的，系統(tǒng)所受的外力等於控制體積內(nèi)線動量的增加率，加上自控制表面流出去的線動量率，再減去自控制表面流進(jìn)來的線動量率。但是比較簡單的是直接引用實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義來看，一般而言，一個(gè)微分量流體元素(系統(tǒng))所受的外力有兩類，一個(gè)是作用於控制體積表面的表面力(surface forces)，一個(gè)是分布於流體元素整體的體積力(body forces)。我們考慮來自流體元素的重量所形成的體積力，是一個(gè)有三個(gè)方向分量的向量，而在一

2、個(gè)面上的表面力含有三個(gè)分量，垂直力以及兩個(gè)切力，用單位面積上的力(應(yīng)力)來表示如圖上。在指向正座標(biāo)方向(如+x)的面上，垂直應(yīng)力也指向正座標(biāo)方向(+x)時(shí)為正，指向負(fù)座標(biāo)方向(-x)時(shí)為負(fù)。在指向負(fù)座標(biāo)方向(如-x)的面上，垂直應(yīng)力也指向負(fù)座標(biāo)方向(-x)時(shí)為正，指向正座標(biāo)方向(+x)時(shí)為負(fù)。因此，拉張的垂直應(yīng)力為正，壓縮者為負(fù)。在指向正座標(biāo)方向(如+x)的面上，切應(yīng)力也指向正的座標(biāo)方向(+y或+z)時(shí)為正，若指向負(fù)的座標(biāo)方向(-y或-z)時(shí)為負(fù)。在指向負(fù)座標(biāo)方向(如-x)的面上，切應(yīng)力如也指向負(fù)的座標(biāo)方向(-x)時(shí)為正，若指向正的座標(biāo)方向(+x)時(shí)便為負(fù)。sxx是指在垂直x軸的面上，x方向的

3、垂直應(yīng)力，txy是指在垂直x軸的面上，y方向的切應(yīng)力。其他亦同。我們計(jì)總一流體元素的x方向的運(yùn)動，而，（下圖中未畫出垂直z面上，而作用於x方向的切應(yīng)力）代回去，同樣取極限，便可以得到x方向的線動量方程式，y方向，z方向，6.4此節(jié)要簡化上面的動量方程式，假設(shè)無粘滯性流動，或是沒有摩擦力的損耗。第二章我們曾證明沒有切應(yīng)力下，流體內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的壓力各方向都相同，負(fù)號表示正壓力是具壓縮的特性。我們得到如下的流體運(yùn)動歐拉方程式，等三個(gè)式子。若用向量表示，雖然簡化了，但是非線性的微分方程式仍然沒有一般性解法。不過，我們還是可以討論一下該方程式與伯努利方程式的關(guān)係。穩(wěn)定條件下，歐拉方程式成為，取z軸朝上，重力

4、加速度便是在負(fù)z方向，gz = -g為負(fù)。改寫，所以，每一項(xiàng)再跟沿流線的微分長度做點(diǎn)乘積，可得，這是因?yàn)?，所以，沿著流線積分後，再加上不可壓縮的條件時(shí)， 常數(shù)需要滿足的四個(gè)條件，無粘滯性、穩(wěn)定流動、不可壓縮、沿著流線。前面定義無旋流動的流場是滿足，例如均勻流動u = U(常數(shù))，v = 0，w = 0，發(fā)生在無邊界干擾（或離邊界較遠(yuǎn)，或是管內(nèi)流動的發(fā)展區(qū)）的流動中。而在接近邊界的邊界層裡（或是管內(nèi)已完全發(fā)展區(qū)），流動不是無旋的。在無旋流動中，不必沿著流線積分，只要求，就可以得到伯努利方程式。因?yàn)闊o旋流動的速度空間導(dǎo)數(shù)特性，我們可以定義一速度勢(velocity potential) f，是一個(gè)純量，滿足無旋的條件，以及，以及也就是說，在無旋流動中，速度可以表示成某純量函數(shù)f的梯度。速度勢的存在是因?yàn)榱鲌龅臒o旋性，而流線函數(shù)則是質(zhì)量守恆的結(jié)果。速度勢在三維空間中可以定義，而流線函數(shù)只存在於二維流動中。由於不可壓縮流動裡，。再加上無旋的條件時(shí)，我們得到拉普拉斯方程式，普遍存在於許多工程與物理領(lǐng)域之中，所以，無粘滯性、不可壓縮、無旋流動的流場要滿足拉普拉斯方程式，這種流動稱為勢流(potential flows)。加上