江蘇省菁華學(xué)校2011高三數(shù)學(xué) 培優(yōu)補(bǔ)差輔導(dǎo)專(zhuān)題講座－解析幾何單元易錯(cuò)題分析與練習(xí)

1、解析幾何單元易錯(cuò)題練習(xí)一考試內(nèi)容：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).橢圓的參數(shù)方程.雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程.雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程.拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).二考試要求：(1)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程.(2)掌握雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).(3)掌握拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).(4)了解圓錐曲線(xiàn)的初步應(yīng)用.【注意】圓錐曲線(xiàn)是解析幾何的重點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，高考中主要出現(xiàn)三種類(lèi)型的試題：考查圓錐曲線(xiàn)的概念與性質(zhì)；求曲線(xiàn)方程和軌跡；關(guān)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的問(wèn)題.三基礎(chǔ)知識(shí):(一)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

2、1. 橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離的和大于|這個(gè)條件不可忽視.若這個(gè)距離之和小于|，則這樣的點(diǎn)不存在；若距離之和等于|，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（0），（0）.3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法：判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸只要看分母的大?。喝绻?xiàng)的分母大于項(xiàng)的分母，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，反之，焦點(diǎn)在y軸上.4.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法： 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.(二)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1. 橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為（0）. 范圍： -axa，-bxb，所以橢圓位于直線(xiàn)x=和y=所圍成的矩形里. 對(duì)稱(chēng)性：分別關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原

3、點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng).橢圓的對(duì)稱(chēng)中心叫做橢圓的中心. 頂點(diǎn)：有四個(gè)（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）. 線(xiàn)段、分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸.它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng). 所以橢圓和它的對(duì)稱(chēng)軸有四個(gè)交點(diǎn)，稱(chēng)為橢圓的頂點(diǎn). 離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0e1.e越接近于1時(shí)，橢圓越扁；反之，e越接近于0時(shí)，橢圓就越接近于圓. 2.橢圓的第二定義 定義：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M與一個(gè)頂點(diǎn)的距離和它到一條定直線(xiàn)的距離的比是常數(shù)（e1時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓. 準(zhǔn)線(xiàn)：根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，（0）的準(zhǔn)線(xiàn)有兩條，它們的方程為.對(duì)于橢圓（0

4、）的準(zhǔn)線(xiàn)方程，只要把x換成y就可以了，即.3.橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點(diǎn)與其焦點(diǎn)所連的線(xiàn)段叫做這點(diǎn)的焦半徑. 設(shè)（-c，0），（c，0）分別為橢圓（0）的左、右兩焦點(diǎn)，M（x，y）是橢圓上任一點(diǎn)，則兩條焦半徑長(zhǎng)分別為，.橢圓中涉及焦半徑時(shí)運(yùn)用焦半徑知識(shí)解題往往比較簡(jiǎn)便.橢圓的四個(gè)主要元素a、b、c、e中有=+、兩個(gè)關(guān)系，因此確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需兩個(gè)獨(dú)立條件.4.橢圓的參數(shù)方程 橢圓（0）的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. 說(shuō)明 這里參數(shù)叫做橢圓的離心角.橢圓上點(diǎn)P的離心角與直線(xiàn)OP的傾斜角不同：； 橢圓的參數(shù)方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換. 92.橢圓的

5、參數(shù)方程是.5.橢圓的的內(nèi)外部（1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.（2）點(diǎn)在橢圓的外部.6. 橢圓的切線(xiàn)方程 (1)橢圓上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是. （2）過(guò)橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線(xiàn)的切點(diǎn)弦方程是.（3）橢圓與直線(xiàn)相切的條件是(三)雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程1. 雙曲線(xiàn)的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（小于|）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn).在這個(gè)定義中，要注意條件2a|，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=|，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線(xiàn)；若2a|，則無(wú)軌跡. 若時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡僅為雙曲線(xiàn)的一個(gè)分支，又若時(shí)，軌跡為雙曲線(xiàn)的另一支.而雙曲線(xiàn)是由兩個(gè)分支組成的，故在定義中應(yīng)為“差的絕對(duì)值”.

6、2. 雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：和（a0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.3.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上.對(duì)于雙曲線(xiàn)，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過(guò)比較分母的大小來(lái)判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上. 4.求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題： 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.(四)雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1.雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b，離心率1，離心率e越大，雙曲線(xiàn)的開(kāi)口越大.2. 雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為或表示為.若已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是，即，那么雙曲

7、線(xiàn)的方程具有以下形式：，其中k是一個(gè)不為零的常數(shù).3.雙曲線(xiàn)的第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）與到定直線(xiàn)（準(zhǔn)線(xiàn)）距離的比是一個(gè)大于1的常數(shù)（離心率）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn).對(duì)于雙曲線(xiàn)，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-c，0）和（c，0），與它們對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)方程分別是和.雙曲線(xiàn)的焦半徑公式，.4.雙曲線(xiàn)的內(nèi)外部(1)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的內(nèi)部.(2)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的外部.5.雙曲線(xiàn)的方程與漸近線(xiàn)方程的關(guān)系(1）若雙曲線(xiàn)方程為漸近線(xiàn)方程：.(2)若漸近線(xiàn)方程為雙曲線(xiàn)可設(shè)為.(3)若雙曲線(xiàn)與有公共漸近線(xiàn)，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）.6. 雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程(1)雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是.（2）過(guò)雙曲線(xiàn)外一點(diǎn)所引兩條切線(xiàn)的

8、切點(diǎn)弦方程是.（3）雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)相切的條件是.(五)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)1拋物線(xiàn)的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)（F）和一條定直線(xiàn)（l）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線(xiàn)。這個(gè)定點(diǎn)F叫拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，這條定直線(xiàn)l叫拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)。需強(qiáng)調(diào)的是，點(diǎn)F不在直線(xiàn)l上，否則軌跡是過(guò)點(diǎn)F且與l垂直的直線(xiàn)，而不是拋物線(xiàn)。2拋物線(xiàn)的方程有四種類(lèi)型：、.對(duì)于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是哪個(gè)軸，方程中的該項(xiàng)即為一次項(xiàng)；一次項(xiàng)前面是正號(hào)則曲線(xiàn)的開(kāi)口方向向x軸或y軸的正方向；一次項(xiàng)前面是負(fù)號(hào)則曲線(xiàn)的開(kāi)口方向向x軸或y軸的負(fù)方向。3拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，以標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px為例（1）范圍：x0；（2）對(duì)稱(chēng)軸：對(duì)稱(chēng)

9、軸為y=0，由方程和圖像均可以看出；（3）頂點(diǎn)：O（0，0），注：拋物線(xiàn)亦叫無(wú)心圓錐曲線(xiàn)（因?yàn)闊o(wú)中心）；（4）離心率：e=1，由于e是常數(shù)，所以?huà)佄锞€(xiàn)的形狀變化是由方程中的p決定的；（5）準(zhǔn)線(xiàn)方程；（6）焦半徑公式：拋物線(xiàn)上一點(diǎn)P（x1，y1），F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，對(duì)于四種拋物線(xiàn)的焦半徑公式分別為（p0）： （7）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：對(duì)于過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)，可以用焦半徑公式推導(dǎo)出弦長(zhǎng)公式。設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px（pO）的焦點(diǎn)F的弦為AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的傾斜角為，則有|AB|=x+x+p以上兩公式只適合過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)的求法，對(duì)于其它的弦，只能用“弦長(zhǎng)公式”來(lái)求。（8）直線(xiàn)與拋物

10、線(xiàn)的關(guān)系：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，當(dāng)a0時(shí)，兩者的位置關(guān)系的判定和橢圓、雙曲線(xiàn)相同，用判別式法即可；但如果a=0，則直線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸或是和對(duì)稱(chēng)軸平行的直線(xiàn)，此時(shí)，直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相交，但只有一個(gè)公共點(diǎn)。4.拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或 P，其中 .5.二次函數(shù)的圖象是拋物線(xiàn)：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）準(zhǔn)線(xiàn)方程是.6.拋物線(xiàn)的內(nèi)外部(1)點(diǎn)在拋物線(xiàn)的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線(xiàn)的外部.(2)點(diǎn)在拋物線(xiàn)的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線(xiàn)的外部.(3)點(diǎn)在拋物線(xiàn)的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線(xiàn)的外部.(4) 點(diǎn)在拋物線(xiàn)的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線(xiàn)的外部.7. 拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程(1)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)

11、方程是.（2）過(guò)拋物線(xiàn)外一點(diǎn)所引兩條切線(xiàn)的切點(diǎn)弦方程是.（3）拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相切的條件是.(六).兩個(gè)常見(jiàn)的曲線(xiàn)系方程(1)過(guò)曲線(xiàn),的交點(diǎn)的曲線(xiàn)系方程是(為參數(shù)).(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線(xiàn)系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓; 當(dāng)時(shí),表示雙曲線(xiàn).(七)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交的弦長(zhǎng)公式 或（弦端點(diǎn)A，由方程 消去y得到，,為直線(xiàn)的傾斜角，為直線(xiàn)的斜率）. (八).圓錐曲線(xiàn)的兩類(lèi)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題（1）曲線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)是.（2）曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)是.四基本方法和數(shù)學(xué)思想1.橢圓焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為橢圓（ab0）上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1(-c,0),F2(c,0),則（e為離心率）；2.雙曲線(xiàn)焦

12、半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為雙曲線(xiàn)（a0,b0）上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1(-c,0),F2(c,0),則:（1）當(dāng)P點(diǎn)在右支上時(shí)，；（2）當(dāng)P點(diǎn)在左支上時(shí)，；（e為離心率）；另：雙曲線(xiàn)（a0,b0）的漸進(jìn)線(xiàn)方程為；3.拋物線(xiàn)焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為拋物線(xiàn)y2=2px(p0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則；y2=2px(p0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，；4.涉及圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題勿忘用定義解題；5.共漸進(jìn)線(xiàn)的雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為為參數(shù)，0）；6.計(jì)算焦點(diǎn)弦長(zhǎng)可利用上面的焦半徑公式，一般地，若斜率為k的直線(xiàn)被圓錐曲線(xiàn)所截得的弦為AB， A、B兩點(diǎn)分別為A(x1，y1)、B(x2,y2)，則弦長(zhǎng) ,這里體現(xiàn)了解

13、析幾何“設(shè)而不求”的解題思想；7.橢圓、雙曲線(xiàn)的通徑（最短弦）為，焦準(zhǔn)距為p=，拋物線(xiàn)的通徑為2p，焦準(zhǔn)距為p; 雙曲線(xiàn)（a0，b0）的焦點(diǎn)到漸進(jìn)線(xiàn)的距離為b;8.中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓，雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為Ax2+Bx21；9.拋物線(xiàn)y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）為AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),則有如下結(jié)論：（1）x1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=;10.過(guò)橢圓（ab0）左焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦為AB，則，過(guò)右焦點(diǎn)的弦；11.對(duì)于y2=2px(p0)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（，y0）,以簡(jiǎn)化計(jì)算;12.處理橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的弦中點(diǎn)問(wèn)題常用代點(diǎn)相減法，設(shè)A

14、(x1，y1)、B(x2,y2)為橢圓（ab0）上不同的兩點(diǎn)，M(x0,y0)是AB的中點(diǎn)，則KABKOM=；對(duì)于雙曲線(xiàn)（a0，b0），類(lèi)似可得：KAB.KOM=；對(duì)于y2=2px(p0)拋物線(xiàn)有KAB13.求軌跡的常用方法：（1）直接法：直接通過(guò)建立x、y之間的關(guān)系，構(gòu)成F(x,y)0，是求軌跡的最基本的方法；（2）待定系數(shù)法：所求曲線(xiàn)是所學(xué)過(guò)的曲線(xiàn)：如直線(xiàn)，圓錐曲線(xiàn)等，可先根據(jù)條件列出所求曲線(xiàn)的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可；（3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法）：若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴(lài)于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x1,y1)的變化而變化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲線(xiàn)上，則可先用x、y

15、的代數(shù)式表示x1、y1，再將x1、y1帶入已知曲線(xiàn)得要求的軌跡方程；（4）定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿(mǎn)足某已知曲線(xiàn)的定義，則可由曲線(xiàn)的定義直接寫(xiě)出方程；（5）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P（x,y）坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x、y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程。例題1求過(guò)點(diǎn)（2，1）且與兩坐標(biāo)所圍成的三角形面積為4的直線(xiàn)方程。錯(cuò)解：設(shè)所求直線(xiàn)方程為。（2，1）在直線(xiàn)上， 又，即ab = 8 ， 由、得a = 4，b = 2。故所求直線(xiàn)方程為x + 2 y = 4 。剖析：本題的“陷阱”是直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的表示。上述解法中，由于

16、對(duì)截距概念模糊不清，誤將直線(xiàn)在x軸和y軸上的截距作距離使用而掉入“陷阱”。事實(shí)上，直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為，而不是ab。故所求直線(xiàn)方程應(yīng)為：x + 2 y = 4，或（+1）x - 2（-1）y 4 = 0，或（- 1）x - 2（+1）y +4 = 0。例題2求過(guò)點(diǎn)A（-4，2）且與x軸的交點(diǎn)到（1，0）的距離是5的直線(xiàn)方程。錯(cuò)解：設(shè)直線(xiàn)斜率為k，其方程為y 2 = k（x + 4），則與x軸的交點(diǎn)為（-4-，0），解得k = -。故所求直線(xiàn)的方程為x + 5y 6 = 0 。剖析：題中僅考慮了斜率存在的情況，忽視了斜率不存在的情況，即經(jīng)過(guò)A且垂直于x軸的直線(xiàn)，落入“陷阱”。其實(shí)x

17、 = - 4也符合題意。例題3求過(guò)點(diǎn)（1，1）且橫、縱截距相等的直線(xiàn)方程。錯(cuò)解：設(shè)所求方程為，將（1，1）代入得a = 2，從而得所求直線(xiàn)方程為x + y 2 = 0。剖析：上述錯(cuò)解所設(shè)方程為，其中不含橫、縱截距為0的特殊情形，事實(shí)上，橫、縱截距為0且過(guò)點(diǎn)（1，1）的直線(xiàn)y = x 也符合條件。例題4已知圓的方程為x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定點(diǎn)為A（1，2），要使過(guò)A點(diǎn)作圓的切線(xiàn)有兩條，求a的取值范圍。錯(cuò)解：將圓的方程配方得： ( x + )2 + ( y + 1 )2 = 。其圓心坐標(biāo)為C（，1），半徑r 。當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，過(guò)點(diǎn)A可作圓的兩條切線(xiàn)，則 r 。即

18、 。即a2 + a + 9 0，解得aR。剖析：本題的“陷阱”是方程x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0表示圓的充要條件，上述解法僅由條件得出 r ，即a2 + a + 9 0，卻忽視了a的另一制約條件4 3 a2 0。事實(shí)上，由a2 + a + 9 0及4 3 a2 0可得a的取值范圍是（）。例題5已知直線(xiàn)L：y = x + b與曲線(xiàn)C：y =有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)線(xiàn)b的取值范圍。錯(cuò)解：由消去x得：2y2 - 2by + b2 1 = 0。 （ * ） L與曲線(xiàn)C有兩個(gè)公共點(diǎn)， = 4b2 8 ( b2 1 ) 0，解得b剖析：上述解法忽視了方程y =中y 0 ， 1 x 1這一

19、限制條件，得出了錯(cuò)誤的結(jié)論。事實(shí)上，曲線(xiàn)C和直線(xiàn)L有兩個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程（*）有兩個(gè)不等的非負(fù)實(shí)根。解得1 b 。例題6等腰三角形頂點(diǎn)是A（4，2），底邊的一個(gè)端點(diǎn)是B（3，5），求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程。錯(cuò)解：設(shè)另一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為（ x ，y ），依題意有：=，即：= （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10即為C點(diǎn)的軌跡方程。這是以A（4，2）為圓心、以為半徑的圓。剖析：因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)為三角形三個(gè)頂點(diǎn)，所以A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)，即B、C不能重合，且不能為圓A一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，這正是解題后沒(méi)有對(duì)軌跡進(jìn)行檢驗(yàn)，出現(xiàn)增解，造成的解題錯(cuò)誤。事實(shí)上，C點(diǎn)的坐標(biāo)須滿(mǎn)足，且，故端點(diǎn)C的軌跡

20、方程應(yīng)為（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x3,y5；x5,y1)。它表示以（4，2）為圓心，以為半徑的圓，除去（3，5）（5，-1）兩點(diǎn)。例題7求z = 3 x + 5 y的最大值和最小值，使式中的x ，y滿(mǎn)足約束條件： 錯(cuò)解：作出可行域如圖1所示，過(guò)原點(diǎn)作直線(xiàn)L0：3 x + 5 y = 0 。由于經(jīng)過(guò)B點(diǎn)且與L0平行的直線(xiàn)與原點(diǎn)的距離最近，故z = 3 x + 5 y在B點(diǎn)取得最小值。解方程組，得B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）， z最小3350=9。由于經(jīng)過(guò)A點(diǎn)且與L0平行的直線(xiàn)與原點(diǎn)的距離最大，故z = 3x + 5y在A點(diǎn)取得最大值。 解方程組，得A點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。 z最大

21、35= 17 。 剖析：上述解法中，受課本例題的影響，誤認(rèn)為在對(duì)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)L0的平行移動(dòng)中，與原點(diǎn)距離最大的直線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的可行域上的點(diǎn)，即為目標(biāo)函數(shù)Z取得最大值的點(diǎn)。反之，即為Z取得最小值的點(diǎn)，并把這一認(rèn)識(shí)移到不同情況中加以應(yīng)用，由此造成了解題失誤。事實(shí)上，過(guò)原點(diǎn)作直線(xiàn)L0：3x + 5y = 0，由于使z = 3x + 5y 0的區(qū)域?yàn)橹本€(xiàn)L0的右上方，而使z = 3x + 5y 0的區(qū)域?yàn)長(zhǎng)0的左下方。由圖知：z = 3x + 5y應(yīng)在A點(diǎn)取得最大值，在C點(diǎn)取得最小值。解方程組，得C（2，1）。 z最小3（2）5（1）= 11。例題8已知正方形ABCD 對(duì)角線(xiàn)AC所在直線(xiàn)方程為 .拋物線(xiàn)過(guò)

22、B，D兩點(diǎn) （1）若正方形中心M為（2，2）時(shí)，求點(diǎn)N(b,c)的軌跡方程。（2）求證方程的兩實(shí)根，滿(mǎn)足解答：（1）設(shè) 因?yàn)?B,D在拋物線(xiàn)上 所以?xún)墒较鄿p得 則代入（1） 得 故點(diǎn)的方程是一條射線(xiàn)。 （2）設(shè) 同上 （1）-（2）得 （1）+（2）得 （3）代入（4）消去得 得 又即的兩根滿(mǎn)足 故。易錯(cuò)原因：審題不清，忽略所求軌跡方程的范圍。例題9已知雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)，其中為的焦點(diǎn)，兩點(diǎn)A (-3,2) B (1,2)都在雙曲線(xiàn)上，（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)的軌跡方程，并畫(huà)出軌跡的草圖；（3）若直線(xiàn)與的軌跡方程有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) t的取值范圍。 解答：（1）由得：，故（2）設(shè)點(diǎn)，則又雙

23、曲線(xiàn)的定義得 又 或 點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓除去點(diǎn)或除去點(diǎn) 圖略。（3）聯(lián)列：消去得 整理得： 當(dāng)時(shí) 得 從圖可知：， 又因?yàn)檐壽E除去點(diǎn) 所以當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)也只有一個(gè)交點(diǎn)，即或5 易錯(cuò)原因：（1）非標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)計(jì)算易錯(cuò)；（2）求點(diǎn)的軌跡時(shí)易少一種情況；（3）對(duì)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)誤認(rèn)為方程只有一解。例題10已知圓，圓都內(nèi)切于動(dòng)圓，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。 錯(cuò)解：圓O2：，即為 所以圓O2的圓心為,半徑, 而圓的圓心為,半徑, 設(shè)所求動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x,y),半徑為r 則且，所以 即，化簡(jiǎn)得即為所求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。剖析：上述解法將=3看成,誤認(rèn)為動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線(xiàn)，這是雙曲線(xiàn)的概

24、念不清所致。 事實(shí)上，|表示動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)及的距離差為一常數(shù)3。 且,點(diǎn)M的軌跡為雙曲線(xiàn)右支，方程為例題11點(diǎn)P與定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到直線(xiàn)x=8的距離比是1：3,求動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)距離的最值。 錯(cuò)解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到直線(xiàn)x=8的距離為d，則 即 兩邊平方、整理得=1 （1） 由此式可得： 因?yàn)?所以剖析 由上述解題過(guò)程知,動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在一橢圓上，由橢圓性質(zhì)知，橢圓上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都是有限制的，上述錯(cuò)解在于忽視了這一取值范圍，由以上解題過(guò)程知，的最值可由二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性給予解決 即：當(dāng)時(shí)，例題12已知雙曲線(xiàn)的離心率e=, 過(guò)點(diǎn)A（）和B(a,0)的直線(xiàn)與原點(diǎn)的距離為,直線(xiàn)y=kx

25、+m與該雙曲線(xiàn)交于不同兩點(diǎn)C、D，且C、D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一圓上，求m 的取值范圍。錯(cuò)解 由已知，有解之得： 所以雙曲線(xiàn)方程為 把直線(xiàn) y=kx+m代入雙曲線(xiàn)方程，并整理得： 所以(1) 設(shè)CD中點(diǎn)為，則APCD，且易知： 所以 (2) 將(2)式代入(1)式得 解得m4或 故所求m的范圍是剖析 上述錯(cuò)解，在于在減元過(guò)程中，忽視了元素之間的制約關(guān)系，將代入(1) 式時(shí)，m受k的制約。 因?yàn)?所以故所求m的范圍應(yīng)為m4或例題13橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率,已知點(diǎn)P（）到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程。 錯(cuò)解 設(shè)所求橢圓方程為 因?yàn)?，所以a=2b 于是橢圓方程為 設(shè)橢圓

26、上點(diǎn)M（x,y）到點(diǎn)P 的距離為d, 則： 所以當(dāng)時(shí)，有 所以所求橢圓方程為 剖析 由橢圓方程得 由(1)式知是y的二次函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸為 上述錯(cuò)解在于沒(méi)有就對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)或外進(jìn)行分類(lèi)， 其正解應(yīng)對(duì)f(y)=的最值情況進(jìn)行討論： （1）當(dāng)，即時(shí) =7,方程為 （2）當(dāng), 即時(shí)， ，與矛盾。 綜上所述，所求橢圓方程為例題15已知雙曲線(xiàn),問(wèn)過(guò)點(diǎn)A（1，1）能否作直線(xiàn),使與雙曲線(xiàn)交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線(xiàn)的方程，若不存在，說(shuō)明理由。 錯(cuò)解 設(shè)符合題意的直線(xiàn)存在，并設(shè)、 則 （1）得 因?yàn)锳（1，1）為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)，所以 將(4)、(5)代入（3）得 若，則直線(xiàn)的斜率 所

27、以符合題設(shè)條件的直線(xiàn)存在。其方程為 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對(duì)所求直線(xiàn)進(jìn)行檢驗(yàn)，上述錯(cuò)解沒(méi)有做到這一點(diǎn)，故是錯(cuò)誤的。 應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由 得 根據(jù),說(shuō)明所求直線(xiàn)不存在。例題15已知橢圓，F(xiàn)為它的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)交橢圓C于A、B兩點(diǎn)。求是否存在最大值或最小值？若不存在，說(shuō)明理由。 錯(cuò)解 設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、 因?yàn)椋?所以， 又橢圓中心為（1，0）,右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=5， 所以 即，同理 所以 設(shè)直線(xiàn)的方程為y=kx，代入橢圓方程得 所以 代入(1)式得 所以，所以|有最小值3,無(wú)最大值。 剖析 上述錯(cuò)

28、解過(guò)程忽視了過(guò)原點(diǎn)斜率不存在的直線(xiàn)，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，有 所以有最小值為 3，最大值為25/4課后練習(xí)題1、圓x2 + 2x + y2 + 4y 3 = 0上到直線(xiàn)x + y + 1 = 0的距離等于的點(diǎn)共有（ ）A、1個(gè) B、 2個(gè) C、 3個(gè) D、 4個(gè)分析：這里直線(xiàn)和圓相交，很多同學(xué)受思維定勢(shì)的影響，錯(cuò)誤地認(rèn)為圓在此直線(xiàn)的兩側(cè)各有兩點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，導(dǎo)致錯(cuò)選（ D ）。 事實(shí)上，已知圓的方程為：（x +1）2 + (y+2) 2 = 8，這是一個(gè)以（-1，-2）為圓心，以2為半徑的圓，圓的圓心到直線(xiàn)x + y + 1 = 0的距離為d=，這樣只需畫(huà)出（x +1）2 + (y+2) 2 =

29、 8和直線(xiàn)x + y + 1 = 0以及和x + y + 1 = 0的距離為的平行直線(xiàn)即可。如圖2所示，圖中三個(gè)點(diǎn)A、B、C為所求，故應(yīng)選（C）。2、過(guò)定點(diǎn)（1，2）作兩直線(xiàn)與圓相切，則k的取值范圍是A k2 B -3k2 C k2 D 以上皆不對(duì)解 答：D易錯(cuò)原因：忽略題中方程必須是圓的方程，有些學(xué)生不考慮3、設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為C，直線(xiàn)L過(guò)兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線(xiàn)L的距離為，則雙曲線(xiàn)的離心率為A 2 B 2或 C D 解 答：D易錯(cuò)原因：忽略條件對(duì)離心率范圍的限制。4、已知二面角的平面角為，PA，PB，A，B為垂足，且PA=4，PB=5，設(shè)A、B到二面角的棱的距離為別為，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)的軌跡是下列

30、圖形中的 A B C D解 答： D 易錯(cuò)原因：只注意尋找的關(guān)系式，而未考慮實(shí)際問(wèn)題中的范圍。5、若曲線(xiàn)與直線(xiàn)+3有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是A B C D解 答：C 易錯(cuò)原因：將曲線(xiàn)轉(zhuǎn)化為時(shí)不考慮縱坐標(biāo)的范圍；另外沒(méi)有看清過(guò)點(diǎn)(2,-3)且與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系。6、已知圓+y=4 和 直線(xiàn)y=mx的交點(diǎn)分別為P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 則OPOQ=( )A 1+m B C 5 D 10正確答案： C 錯(cuò)因：學(xué)生不能結(jié)合初中學(xué)過(guò)的切割線(xiàn)定OPOQ等于切線(xiàn)長(zhǎng)的平方來(lái)解題。7、雙曲線(xiàn)1中，被點(diǎn)P(2,1)平分的弦所在直線(xiàn)方程是（ ）A 8x-9y=7 B 8x+9y

31、=25 C 4x-9y=16 D 不存在正確答案：D 錯(cuò)因：學(xué)生用“點(diǎn)差法”求出直線(xiàn)方程沒(méi)有用“”驗(yàn)證直線(xiàn)的存在性。8、已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sin+cos=則方程xsinycos=1表示（ ）A 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn) B 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)C 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 D 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓正確答案：D 錯(cuò)因：學(xué)生不能由sin+cos=判斷角為鈍角。9、過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線(xiàn)，分別交準(zhǔn)線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，又過(guò)P、Q分別作拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸OF的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于MN兩點(diǎn),則MNF三點(diǎn)A 共圓 B 共線(xiàn) C 在另一條拋物線(xiàn)上 D 分布無(wú)規(guī)律正確答案：B 錯(cuò)因：學(xué)生不能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用圓錐曲線(xiàn)

32、的第二定義分析問(wèn)題。10、已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足3x2+2y2=6x，則x2+y2的最大值是( ) A、 B、4 C、5 D、2 正確答案：B 錯(cuò)誤原因：忽視了條件中x的取值范圍而導(dǎo)致出錯(cuò)。11、過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線(xiàn)，使它與拋物線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線(xiàn)有（）A.1條 B.2條 C. 3條 D. 0條正確答案：C錯(cuò)解：設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，得，即：，再由0,得k=1,得答案A.剖析：本題的解法有兩個(gè)問(wèn)題，一是將斜率不存在的情況考慮漏掉了，另外又將斜率k=0的情形丟掉了，故本題應(yīng)有三解，即直線(xiàn)有三條。12、已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x,y）滿(mǎn)足，則P點(diǎn)的軌跡是 （ ）A、直線(xiàn) B、拋物線(xiàn) C、雙曲線(xiàn) D、橢圓正

33、確答案：A錯(cuò)因：利用圓錐曲線(xiàn)的定義解題，忽視了（1，2）點(diǎn)就在直線(xiàn)3x+4y-11=0上。13、在直角坐標(biāo)系中，方程所表示的曲線(xiàn)為（）A一條直線(xiàn)和一個(gè)圓 B一條線(xiàn)段和一個(gè)圓 C一條直線(xiàn)和半個(gè)圓 D一條線(xiàn)段和半個(gè)圓正確答案：D錯(cuò)因：忽視定義取值。14、設(shè)和為雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上且滿(mǎn)足，則的面積是（ ）。A.1B.C.2D.正解：A 又 聯(lián)立解得誤解：未將兩邊平方，再與聯(lián)立，直接求出。15、已知對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，若雙曲線(xiàn)上有一點(diǎn)M（），使，那雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)（ ）。A.在軸上B.在軸上C.當(dāng)時(shí)在軸上D.當(dāng)時(shí)在軸上正解：B。 由得，可設(shè)，此時(shí)的斜率大于漸近線(xiàn)的斜率，由圖像的

34、性質(zhì)，可知焦點(diǎn)在軸上。所以選B。誤解：設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)得：，代入，焦點(diǎn)在軸上。這個(gè)方法沒(méi)錯(cuò)，但確定有誤，應(yīng)，焦點(diǎn)在軸上。誤解：選B，沒(méi)有分組。16、與圓相切，且縱截距和橫截距相等的直線(xiàn)共有（ ） A、2條 B、3條 C、4條 D、6條 答案：C錯(cuò)解：A錯(cuò)因：忽略過(guò)原點(diǎn)的圓C的兩條切線(xiàn)17、若雙曲線(xiàn)的右支上一點(diǎn)P（a,b）直線(xiàn)y=x的距離為，則a+b 的值是（ ） A、 B、 C、 D、 答案：B 錯(cuò)解：C 錯(cuò)因：沒(méi)有挖掘出隱含條件18、雙曲線(xiàn)中，被點(diǎn)P（2，1）平分的弦所在的直線(xiàn)方程為（ ） A、 B、 C、 D、不存在 答案：D 錯(cuò)解：A 錯(cuò)因：沒(méi)有檢驗(yàn)出與雙曲線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)。19、過(guò)函數(shù)y=-的圖象的對(duì)稱(chēng)中心，且和拋物線(xiàn)y2=8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)的條數(shù)共有（ ）A、1條 B、2條 C、3條 D、不存在正確答案：（B）錯(cuò)誤原因 ：解本題時(shí)極易忽視中心（2，4）在拋物線(xiàn)上，切線(xiàn)只有1條，又易忽視平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)和拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)。20、雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)P到點(diǎn)(5,0)的距離為8.5，則點(diǎn)P到點(diǎn)()的距離_。 錯(cuò)解 設(shè)雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為, 由雙曲線(xiàn)定義知 所以或 剖析 由題意知，雙曲線(xiàn)左支上的點(diǎn)到左焦