初三數(shù)學(xué)正多邊形和圓

1、初三數(shù)學(xué)正多邊形和圓、弧長(zhǎng)公式及有關(guān)計(jì)算知識(shí)精講一. 本周教學(xué)內(nèi)容:正多邊形和圓、弧長(zhǎng)公式及有關(guān)計(jì)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 正多邊形的有關(guān)概念;正多邊形、正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角。正n邊形的半徑,邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。2. 正多邊形和圓的關(guān)系定理任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓,這兩個(gè)圓是同心圓,因此可采用作輔助圓的辦法,解決一些問(wèn)題。3. 邊數(shù)相同的正多邊形是相似多邊形,具有以下性質(zhì):(1半徑(或邊心距的比等于相似比。(2面積的比等于邊心距(或半徑的比的平方,即相似比的平方。4. 由于正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)n等分它的外接圓,因此畫(huà)正n邊形實(shí)際就是等分圓周。(1畫(huà)正n

2、邊形的步驟:將一個(gè)圓n等分,順次連接各分點(diǎn)。(2用量角器等分圓先用量角器畫(huà)一個(gè)等于360n的圓心角,這個(gè)角所對(duì)的弧就是圓的1n,然后在圓上依次截取這條弧的等弧,就得到圓的n等分點(diǎn),連結(jié)各分點(diǎn)即得此圓的內(nèi)接正n邊形。5. 對(duì)于一些特殊的正n邊形,如正四邊形、正八邊形、正六邊形、正三角形、正十二邊形還可以用尺規(guī)作圖。6. 圓周長(zhǎng)公式:C R=2,其中C為圓周長(zhǎng),R為圓的半徑,把圓周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。7. n的圓心角所對(duì)的弧的弧長(zhǎng):ln R =180n表示1的圓心角的度數(shù),不帶單位。8. 正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于(nn-2180,每個(gè)外角為360n,等于中心角。二. 重點(diǎn)、難點(diǎn):1. 學(xué)習(xí)重

3、點(diǎn):正多邊形和圓關(guān)系,弧長(zhǎng)公式及應(yīng)用。正多邊形的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題。只有正五邊形、正四邊形對(duì)角線相等。2. 學(xué)習(xí)難點(diǎn):解決有關(guān)正多邊形和圓的計(jì)算,應(yīng)用弧長(zhǎng)公式。例1. 正六邊形兩條對(duì)邊之間的距離是2,則它的邊長(zhǎng)是(A.33B.233C.23D.223解:如圖所示,BF=2,過(guò)點(diǎn)A作AGBF于G,則FG=1 A D又FAG =60 =AF FG FAGsin 132233故選B點(diǎn)撥:正六邊形是正多邊形中最重要的多邊形,要注意正六邊形的一些特殊性質(zhì)。例2. 正三角形的邊心距、半徑和高的比是( A. 123B. 123C. 123D. 123解:如圖所示,OD 是正三角形的邊心距,OA

4、是半徑,AD 是高 B D C設(shè)OD r =,則AO =2r ,AD =3rOD AO AD =r 2r 3r =123 故選A點(diǎn)撥:正三角形的內(nèi)心也是重心,所以內(nèi)心到對(duì)邊的距離等于到頂點(diǎn)距離的12。通過(guò)這個(gè)定理可以使問(wèn)題得到解決。例 3. 周長(zhǎng)相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積S S S 346、之間的大小關(guān)系是( A. S S S 346B. S S S 643C. S S S 634D. S S S 463解析:設(shè)它們的周長(zhǎng)為l ,則正三角形的邊長(zhǎng)是a l 313=,正四邊形的邊長(zhǎng)為a l 414=,正六邊形的邊長(zhǎng)為a l 616=S a l l 33222126012193233

5、6sinS a lS a l l44226622211661260612136323372=sinS S S 643故選B點(diǎn)撥:一定要注意三個(gè)正多邊形的周長(zhǎng)相等這一重要條件,否則容易得出錯(cuò)誤結(jié)論。例4. 如圖所示,正五邊形的對(duì)角線AC 和BE 相交于點(diǎn)M ,求證: (1M E AB =; (2M E BE BM 2= 點(diǎn)悟:若作出外接圓可以輕易解決問(wèn)題。 證明:(1正五邊形必有外接圓,作出這個(gè)輔助圓,則A B =1536072BEA =36EC =25360144=-=EAC EM A EAM M E AE AB1214472180367272(2 BC AB CAB BEA =,又公共角AB

6、M =EBA ABM EBA=AB BEBM ABAB BE BM2例5. 已知正六邊形ABCDEF 的半徑為2cm ,求這個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)和面積。 解:正六邊形的半徑等于邊長(zhǎng) 正六邊形的邊長(zhǎng)a cm =2正六邊形的周長(zhǎng)l a cm =612 正六邊形的面積S cm =6122232632點(diǎn)撥:本題的關(guān)鍵是正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑。例6. 已知正方形的邊長(zhǎng)為2cm ,求它的外接圓的外切正三角形的邊長(zhǎng)和面積。 解:正方形的邊長(zhǎng)為2cm 正方形的外接圓半徑為2cm外接圓的外切正三角形一邊上的高為32cm正三角形的邊長(zhǎng)為3260323226sin =cm正三角形的面積為12262632632=c

7、m點(diǎn)撥:本題的重點(diǎn)是正方形的邊長(zhǎng)、圓的半徑和正三角形的半徑之間的關(guān)系。例7. 如圖所示,已知O 1和O 2外切于點(diǎn)P ,O 1和O 2的半徑分別為r 和3r ,AB 為兩圓的外公切線,A 、B 為切點(diǎn),求AB 與兩弧PA PB 、所圍的陰影部分的面積。 解:連結(jié)O A O B 12、,過(guò)點(diǎn)O 1作O C O B 12在Rt O O C 12中,O O r r r O C r r r 1223432=+=-=, =-=O C r rr 12216423梯形O ABO 12的面積為:(12323432r r r r +=又sin =O O C O C O O r r212122412=O O C

8、O PO A 21213060120,扇形O PA 1的面積為:1203601322r r =扇形O PB 2的面積為:6033603222(r r =陰影部分的面積為: 431332431162222r r rr -=- 點(diǎn)撥:求組合圖形的面積一般要構(gòu)造出易解決問(wèn)題的基本圖形,然后求出各圖形的面積,最后通過(guò)面積的加減得出結(jié)論。例8. 如果弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)增加1,設(shè)弧的半徑為單位1,則它的弧長(zhǎng)增加_。解:由弧長(zhǎng)公式l n R=180,得:當(dāng)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)增加1,則弧長(zhǎng)為(n R+1180(n Rn R +-=11801801180180弧長(zhǎng)增加180,故填180點(diǎn)撥:本題主要考查弧長(zhǎng)

9、公式l n R =180。例9. 如圖,大的半圓的弧長(zhǎng)為a ,n 個(gè)小圓的半徑相等,且互相外切,其直徑和等于大半圓的直徑,若n 個(gè)小半圓的總弧長(zhǎng)為b ,則a 與b 之間的關(guān)系是( A. a b =B. a nb =C. a b n=D. a b =解:設(shè)大半圓的半徑為R ,小半圓的半徑為r 由題意,得:a R = =R a小圓的半徑r a n =每個(gè)小半圓的弧長(zhǎng)為a n a n=n 個(gè)小半圓的總弧長(zhǎng)b n a n a =即b a =,故選A 。點(diǎn)撥:本題的關(guān)鍵是大半圓的半徑和小半圓的半徑之間的關(guān)系,然后通過(guò)弧長(zhǎng)和半徑之間的關(guān)系求解。例10. 如圖所示,兩個(gè)同心圓被兩條半徑截得的AC 的長(zhǎng)為6c

10、m ,BD 的長(zhǎng)為10cm ,若AB cm =12,則圖中陰影部分的面積為( A. 192B. 144C. 96D. 48解:設(shè)O =,由弧長(zhǎng)公式得:618010180618010180=,O AO BO A O B又 AB OB OA =-=-=121018061806061806018101806030O A O B ,陰影部分的面積為:(6030360601836030186962222-=-=故選C點(diǎn)撥:本題主要考查弧長(zhǎng)、扇形面積的有關(guān)計(jì)算,要熟記公式,正確運(yùn)用。例11. 如圖所示,O 的半徑OA 為R ,弦AB 將圓周分成弧長(zhǎng)之比為37的兩段弧,求弦AB 的長(zhǎng),如果將37改為m n

11、,此時(shí)弦AB 的長(zhǎng)度是多少? 點(diǎn)悟:欲求弦長(zhǎng)AB ,需用弦長(zhǎng)公式,需知圓心角的度數(shù),AOB 可通過(guò)兩弧長(zhǎng)之比37求得,再利用A D RD O A =sin 求得AD ,AB 就可求。解:作OD AB 于D ,連結(jié)OB 這兩段弧之比為37這兩段弧所對(duì)的圓心角之比也為37 設(shè)這兩個(gè)圓心角的度數(shù)為3x ,7x ,則 37360x x +=即AB Am B AO B =108252108,DOA =54,又A D R=sin 54AD =Rsin54 AB =2AD=AB R 254sin同理可得37改為m n 時(shí),解得: A B R m m nn m =+2sin(點(diǎn)撥:有關(guān)正多邊形的計(jì)算,都要作出

12、它的半徑和邊心距為輔助線,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題。例12. 已知正六邊形邊長(zhǎng)為a ,求它的內(nèi)切圓的面積。點(diǎn)悟:欲求內(nèi)切圓的面積,根據(jù)圓面積公式S R =2,需求內(nèi)切圓的半徑OH ,可依據(jù)正六邊形的性質(zhì)及邊長(zhǎng)a 求得O H O A A H=-22,代入面積公式,即可。 解:如圖所示,設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)AB a =,內(nèi)切圓的圓心為O ,連結(jié)OA 、OB ,作OH AB 于H ,則AOH =30(=-=- =O A AH AB aO H O A AHa a a S O H aO 223234222222內(nèi)切例13. 已知正多邊形的周長(zhǎng)為12cm ,面積為122cm ,則內(nèi)切圓的半徑為_(kāi)。

13、解:設(shè)正多邊形是正n 邊形,圓半徑為r 正多邊形的周長(zhǎng)是12cm 正多邊形的邊長(zhǎng)是12n cm又正多邊形的面積是122cm=1212122n nrr cm (故應(yīng)填2cm 。點(diǎn)撥:要注意內(nèi)切圓半徑等于正多邊形的邊心距這一重要概念。(答題時(shí)間:30分鐘 一. 判斷題。1. 各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形。( 2. 各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形。( 3. 各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形。( 4. 各角相等的圓外切多邊形是正多邊形。( 5. 一個(gè)四邊形不一定有外接圓或內(nèi)切圓。( 6. 矩形一定有外接圓,菱形一定有內(nèi)切圓。( 7. 三角形一定有外接圓和內(nèi)切圓,且兩圓是同心圓。( 8. 依次連結(jié)

14、正多邊形各邊中點(diǎn)所得的多邊形是正多邊形。( 二. 填空題。9. 若正多邊形內(nèi)角和是540,那么這個(gè)多邊形是_邊形。10. 兩個(gè)圓的半徑比為21,大圓的內(nèi)接正六邊形與小圓的外切正六邊形的面積比為_(kāi)。11. 有一修路大隊(duì)修一段圓弧形彎道,它的半徑R是36m,圓弧所對(duì)的圓心角為60,則這段彎道長(zhǎng)約_m(精確到0.1m,=314.。三. 解答題。12. 已知半徑為R的圓有一個(gè)外切正方形和內(nèi)接正方形,求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)比和面積比。13. 如圖,AFG中,AF=AG,FAG=108,點(diǎn)C、D在FG上,且CF=CA,DG=DA,過(guò)點(diǎn)A、C、D的O分別交AF、AG于點(diǎn)B、F。求證:五邊形ABCDE是正五邊形。A 14. 如圖:三個(gè)半徑313331,的圓兩兩外切,求由三條切點(diǎn)弧圍成的陰影圖-+形的周長(zhǎng)。AD FB CE參考答案一. 判斷題。 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 二. 填空題。 9. 正五 10. 3111. 37.7三. 解答題。12. 邊長(zhǎng)比21,面積比21 13. 易求F =G =36 F