中心極限定理及其意義

1、題目：中心極限定理及意義課 程 名 稱： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 專 業(yè) 班 級(jí)： 成 員 組 成： 聯(lián) 系 方 式： 2012年5月25日摘要：本文從隨機(jī)變量序列的各種收斂與他們的關(guān)系談起，通過(guò)對(duì)概率經(jīng)典定理中心極限定理在獨(dú)立同分布和不同分布兩種條件下的結(jié)論做了比較系統(tǒng)的闡述，揭示了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)平均結(jié)果的穩(wěn)定性。經(jīng)過(guò)對(duì)中心極限定理的討論，給出了獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布用正態(tài)分布來(lái)表示的理論依據(jù)。同樣中心極限定理的內(nèi)容也從獨(dú)立分布與獨(dú)立不同分布兩個(gè)角度來(lái)研究。同時(shí)通過(guò)很多相關(guān)的正反例題，進(jìn)行說(shuō)明這些定理所給出的條件是否是充要條件；簽掉在實(shí)際問(wèn)題中靈活的應(yīng)用和辨別是否服從我們給出的定理?xiàng)l件。最后

2、了解一些簡(jiǎn)單簡(jiǎn)便的中心極限定理在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、管理決策、僅是計(jì)算以及保險(xiǎn)業(yè)務(wù)等方面的應(yīng)用，來(lái)進(jìn)一步的闡明了中心極限定理分支學(xué)課中的中重要作用和應(yīng)用價(jià)值。關(guān)鍵詞：隨機(jī)變量，獨(dú)立隨機(jī)變量，特征函數(shù)，中心極限定理引言： 在客觀實(shí)際中有許多隨機(jī)變量，他們是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因數(shù)的綜合影響所形成的，而其中每一個(gè)別因數(shù)在總的影響中所起的作用都是渺小的，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布，這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景。中心極限定理自提出至今，其內(nèi)容已經(jīng)非常豐富。在概率論中，把研究在什么條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的這一類定理稱為中心極限定理。但其中最常見(jiàn)、最基本的兩個(gè)定理是德莫佛-

3、拉普拉斯中心極限定理和林德貝格-勒維中心極限定理。一、三個(gè)重要的中心極限定理1.獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從統(tǒng)一分布，具有數(shù)學(xué)期望和方差，則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量，的分布函數(shù)對(duì)于任意滿足， 2.李雅普諾夫定理設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，它們具有數(shù)學(xué)期望和方差，記 若存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化量化，的分布函數(shù)對(duì)于任意滿足，3.棣莫弗拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意，有二、中心極限定理的意義： 首先，中心極限定理的核心內(nèi)容是只要n足夠大，便可以把獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和的標(biāo)準(zhǔn)化當(dāng)作正態(tài)變量，所以可以利用它解決很多實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)這還有助于解釋為什么很

4、多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實(shí)，從而正態(tài)分布成為概率論中最重要的分布，這就奠定了中心極限定理的首要功績(jī)。其次，中心極限定理對(duì)于其他學(xué)科都有著重要作用。例如數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的參數(shù)（區(qū)間）估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、抽樣調(diào)查等；進(jìn)一步，中心極限定理為數(shù)理統(tǒng)計(jì)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用鋪平了道路，用樣本推斷總體的關(guān)鍵在于掌握樣本特征值的抽樣分布，而中心極限定理表明只要樣本容量足夠地大，得知未知總體的樣本特征值就近似服從正態(tài)分布。從而，只要采用大量觀察法獲得足夠多的隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，幾乎就可以把數(shù)理統(tǒng)計(jì)的全部處理問(wèn)題的方法應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)，這從另一個(gè)方面也間接地開(kāi)辟了統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法領(lǐng)域，其在現(xiàn)代推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)方法論中居于

5、主導(dǎo)地位.三、中心極限定理的應(yīng)用：1.1保險(xiǎn)學(xué)的概率論數(shù)學(xué)原理保險(xiǎn)體現(xiàn)了“人人為我，我為人人”的互助思想，它以數(shù)理統(tǒng)計(jì)為依據(jù)。保險(xiǎn)中的風(fēng)險(xiǎn)單位是發(fā)生一次風(fēng)險(xiǎn)事故可能造成標(biāo)的物損失的范圍，也就是遭受損失的人、場(chǎng)所或事物。風(fēng)險(xiǎn)單位是保險(xiǎn)公司確定其能夠承擔(dān)的最高保險(xiǎn)責(zé)任的計(jì)算基礎(chǔ)。理想狀態(tài)下的風(fēng)險(xiǎn)單位應(yīng)獨(dú)立同分布，這種現(xiàn)象的意義在于保險(xiǎn)人可以據(jù)此向每個(gè)潛在的被保險(xiǎn)人收取同樣的保費(fèi)。同時(shí)根據(jù)中心極限定理，含有n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位的隨機(jī)樣本的平均損失符合正態(tài)分布，這個(gè)結(jié)論對(duì)保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定極為重要。保險(xiǎn)公司各險(xiǎn)種的交費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是經(jīng)過(guò)精算后以同期銀行利率比照制定的，所以在此基礎(chǔ)上應(yīng)盡可能地多承保風(fēng)險(xiǎn)單位，也就越可能有足

6、夠的資金賠付保險(xiǎn)期內(nèi)發(fā)生的所有索賠，從而使保險(xiǎn)公司的運(yùn)營(yíng)更加平穩(wěn)，也就越有利于投保人或被保險(xiǎn)人.既然可利用中心極限定理能合理地厘定保險(xiǎn)費(fèi)率，為何老年人投保一再被提高門檻呢？京江晚報(bào)3月28日就有報(bào)道“對(duì)保險(xiǎn)公司來(lái)說(shuō)，老年人屬于高風(fēng)險(xiǎn)人群，存在的不確定因素較多，老年人發(fā)生醫(yī)療費(fèi)用支出和意外事故的風(fēng)險(xiǎn)要比年輕人大。所以，從賠付率的角度考慮，保險(xiǎn)產(chǎn)品在推出前會(huì)經(jīng)過(guò)精密測(cè)算，設(shè)置相應(yīng)的年齡門檻和不同的繳費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)”.我們以最簡(jiǎn)單的一年定期壽險(xiǎn)為例說(shuō)明保險(xiǎn)公司為何對(duì)中老年人保險(xiǎn)總提高門檻，老年人投保壽險(xiǎn)與年輕人有何區(qū)別。如表1所示是臺(tái)灣遠(yuǎn)雄人壽千喜男性一年定期壽險(xiǎn)的部分費(fèi)率及死亡率（見(jiàn)附錄三、四）。為說(shuō)明問(wèn)

7、題，我們選取25-29歲作為年輕人的代表，61-65歲為老年人的代表，將這兩個(gè)年齡段進(jìn)行比較。遠(yuǎn)雄人壽千喜男性一年定期壽險(xiǎn)的部分費(fèi)率及死亡率 表1單位：元/每萬(wàn)元基本保額年齡保費(fèi)死亡率年齡保費(fèi)死亡率25180.000945612150.01489226180.000925622350.01636127180.000915632570.01797228180.000918642810.01974029190.000933653080.021677現(xiàn)假定每個(gè)年齡各有1000個(gè)人投保，則按照下列計(jì)算公式得出表2：總保費(fèi)=1000 單個(gè)人的保費(fèi)（元）=0.1 單個(gè)人的保費(fèi)（萬(wàn)元），賠付額=。不同年齡的

8、總保費(fèi)及賠付額 表2 單位：萬(wàn)元年齡25262728296162636465總保費(fèi)1.81.81.81.81.921.523.525.728.130.8賠付額0.950.930.920.920.9314.916.418.019.721.7由于計(jì)算中假定每個(gè)年齡的投保數(shù)相同，而老年人的死亡率比年輕人高，則導(dǎo)致賠付額的基數(shù)較大，所以還不能很好的解釋問(wèn)題，這里再引入賠付率（賠付率=賠付額/總保費(fèi)），得出表3。各年齡的賠付率 表3年齡25262728296162636465賠付率52.8%51.7%51.1%51.1%48.9%69.3%69.8%70.0%70.1%70.5%從表3可知，25-29歲

9、總體的賠付率呈下降趨勢(shì)，而61-65歲總體的賠付率呈上升趨勢(shì)且賠付率處于較高水平。那么對(duì)于一個(gè)保險(xiǎn)公司，她的經(jīng)營(yíng)主要是以盈利為目的，老年人身體狀況較差，是疾病、死亡的多發(fā)群體，面臨的風(fēng)險(xiǎn)大，所以為老年承保壽險(xiǎn)時(shí)保險(xiǎn)公司的賠付率相對(duì)較高。因此老年人投保壽險(xiǎn)一再被提高門檻。同時(shí)，老年人壽險(xiǎn)的保費(fèi)若定價(jià)較高，但老年人收入相對(duì)偏低，可能買不起，而定價(jià)過(guò)低，保險(xiǎn)公司也承受不起，從而更加影響公司的盈利。因此，壽險(xiǎn)公司更愿意把目光投向年輕人群體。1.2 定期壽險(xiǎn)保險(xiǎn)金的給付模型在上述比較中，我們知道了保險(xiǎn)公司更青睞于年輕群體，但是在保險(xiǎn)公司追求利益的同時(shí)還應(yīng)考慮到他們的償還能力。我國(guó)保險(xiǎn)法規(guī)定“保險(xiǎn)公司應(yīng)該

10、具有與其業(yè)務(wù)相適應(yīng)的最低償付能力?！毕旅嫖覀兙蛯⒔⒍ㄆ趬垭U(xiǎn)保險(xiǎn)金給付模型。首先，根據(jù)國(guó)際精算協(xié)會(huì)的慣例，采用下列符號(hào)：（x）：一個(gè)新生兒生存至x歲，記為個(gè)體（x）；：（x）活過(guò)年齡x+t歲的概率，即（x）至少再活t年的概率；：（x）活到t歲的個(gè)體恰好在此年齡死亡的可能性，稱為死亡力。且當(dāng)為常數(shù)時(shí)有=：是衡量在某個(gè)確切時(shí)點(diǎn)上利率水平的指標(biāo)，稱為利息力，簡(jiǎn)稱息力；：稱為貼現(xiàn)因子，表示1年后得到1元在年初時(shí)刻的現(xiàn)值；T（x）: 個(gè)體（x）的未來(lái)生存時(shí)間現(xiàn)假定利率為常數(shù)i，則有： 再記n年定期壽險(xiǎn)的保險(xiǎn)人給付額的現(xiàn)值為Z，則Z的精算現(xiàn)值為 = Z的j階矩為=（其中=現(xiàn)假定1000個(gè)x歲獨(dú)立的個(gè)體投保

11、一年定期壽險(xiǎn)，死亡保險(xiǎn)金為1萬(wàn)元，在死亡后立即給付。死亡力為常數(shù)=0.06。死亡給付是由某投資基金提供，投資基金的利息力為=0.04。若要能夠支付未來(lái)死亡保險(xiǎn)金的概率不低于0.975，現(xiàn)在所需資金最低額度是多少？記1000個(gè)個(gè)體的未來(lái)生存時(shí)間分別為，總給付金額的現(xiàn)值為，則精算現(xiàn)值為，二階矩為因此方差=0.0527。設(shè)W為滿足要求所需的最低資金額度，利用中心極限定理，我們可以得到：再利用正態(tài)分布0.975的分為點(diǎn)1.96，得即W67萬(wàn)元。所以，若需要能夠支付未來(lái)死亡保險(xiǎn)金的概率不低于0.975，現(xiàn)在所需資金的最低額度是67萬(wàn)元。1.3 定期壽險(xiǎn)業(yè)的盈虧我們已經(jīng)知道壽險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)是為了盈利，而一個(gè)

12、保險(xiǎn)公司的盈虧，是否破產(chǎn)，我們也可以運(yùn)用中心極限定理的知識(shí)做到估算和預(yù)測(cè)。例如設(shè)某壽險(xiǎn)公司在一段時(shí)間內(nèi)有n個(gè)同一年齡的人投保一年定期壽險(xiǎn)，他們是相互獨(dú)立彼此互不影響的，且在一年內(nèi)沒(méi)有新的投保人加入該項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，也沒(méi)有人退保。那么就可以利用中心極限定理估計(jì)該公司接下這些保單的盈虧概率。設(shè)每份保單的保費(fèi)為M，保額為Q，該年齡的死亡率為p，令=，i=1,2,n,則有，再結(jié)合中心極限定理有該保險(xiǎn)公司的虧本概率為 (7)若計(jì)算出的較小，則對(duì)公司的盈利有好處，若偏大，則為了盈利著想，壽險(xiǎn)公司可通過(guò)增加保費(fèi)等手段來(lái)降低虧本率。1.4 實(shí)例分析例1 ：某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有10000人參加，每人每年交20

13、0元。若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給其家屬1萬(wàn)元。設(shè)老年人的死亡率為0.017，問(wèn)：（1）保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率多大？ （2）保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于20萬(wàn)元的概率多大？解：設(shè)表示一年內(nèi)參保人的死亡數(shù)。則由題可知。（1）要使保險(xiǎn)公司虧本，必須滿足 20010000-10000<0>200則P（>200）=1- P（0 200） 1- =1- -=0.01即保險(xiǎn)公司虧本的概率為1%。（2）要使保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于20萬(wàn)元，必須滿足200 10000-10000200000180則P（0 180） =-=0.7823即保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于20萬(wàn)元的概率為78

14、.23%。2.1中心極限定理在決策問(wèn)題中的應(yīng)用決策是為了達(dá)到某種預(yù)定的目標(biāo)，在若干可供選擇方案中決定一個(gè)合適方案的過(guò)程。那么在就某事的可行性進(jìn)行決策時(shí)，單個(gè)人認(rèn)為是否可行稱為個(gè)體決策，幾個(gè)人（至少3個(gè)人）按照少數(shù)服從多數(shù)的方法決定是否可行稱為集體決策。俗話說(shuō)，人多力量大，那么我們習(xí)慣上認(rèn)為的集體正確決策的概率大于每個(gè)單個(gè)個(gè)體正確決策的概率是否正確呢？下面將應(yīng)用中心極限定理來(lái)討論分析這個(gè)問(wèn)題。 首先，我們給出一些簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)，利用特殊法看看該說(shuō)法是否正確。見(jiàn)表4。記n為參與集體決策的人數(shù)，假定每個(gè)個(gè)體做出正確決策的概率相同，且均為p，決策方式也是根據(jù)少數(shù)服從多數(shù)原則，則在空格中所填數(shù)據(jù)為集體決策正

15、確的概率，記為（其中n=30、40時(shí)應(yīng)用中心極限定理計(jì)算）。集體決策做出正確決策的概率 表4 n3510203040p=0.250.15620.10350.01970.00390.00090.0001p=0.50.50.50.50.50.50.5p=0.750.84380.89650.92190.98610.99910.9999從表4中，我們可以看到以下兩個(gè)情況：情況一：，由此我們得出第一個(gè)猜測(cè)，猜測(cè)一：。情況二：，顯然由這一情況可知，集體正確決策的概率大于每個(gè)單個(gè)個(gè)體正確決策的概率這一說(shuō)法是不一定正確的，同時(shí)我們也得出了第二個(gè)猜測(cè)，猜測(cè)二：?，F(xiàn)在就利用一般法檢驗(yàn)兩個(gè)猜測(cè)是否正確，下面將結(jié)合中

16、心極限定理來(lái)做出判斷。設(shè)X為n個(gè)人中做出正確決策的人數(shù)，令，記，則。將X標(biāo)準(zhǔn)化，并由中心極限定理可得 N(0,1)。當(dāng)n成分大時(shí)， (8)為下面討論方便，令 (9)那么對(duì)于猜測(cè)一：（1）當(dāng)時(shí)，f(n)是大于0的單調(diào)增函數(shù)， 若 。 同理可證明（2），（3）。所以猜測(cè)一是正確的。對(duì)于猜測(cè)二：當(dāng)n充分大時(shí)，我們可以得到由此可知，當(dāng)n充分大時(shí)，若則無(wú)限趨近于1，而p是一個(gè)大于1/2小于1的常數(shù)，所以必定有，即是的必要條件；相反當(dāng)時(shí)，是否也有呢？不妨采用反證法說(shuō)明。若p=，則=>p，矛盾。若0<p<，則當(dāng)n充分大時(shí)，趨于0，而p是一個(gè)大于0小于的常數(shù)， 所以也不可能大于p,矛盾。即p

17、只能屬于（，1）。因此，當(dāng)n充分大時(shí)，在驗(yàn)證猜測(cè)一與二的基礎(chǔ)上，我們可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)0.5<p<1時(shí)集體決策為正確的概率大于個(gè)體決策為正確的概率，并且當(dāng)參與人數(shù)n不斷增加時(shí)，集體決策正確的概率也不斷趨向于13.0 中心極限定理在生產(chǎn)供應(yīng)、需求上的應(yīng)用現(xiàn)實(shí)生活中，當(dāng)廠家的生產(chǎn)量大于需求量時(shí)，會(huì)導(dǎo)致商品的積壓以及商品價(jià)值難以體現(xiàn)；而當(dāng)廠家的生產(chǎn)量小于需求量時(shí)，供給又難以滿足社會(huì)需求。為了盡量防止“供”過(guò)于大于“求”及盡可能的滿足社會(huì)需求度，我們就要利用中心極限定理來(lái)估算一些值，具體如下。3.1 根據(jù)現(xiàn)有生產(chǎn)能力及用戶需求狀態(tài)，估算能滿足社會(huì)需求的可靠程度某工廠負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)

18、n個(gè)人的商品供應(yīng)，在一段時(shí)間內(nèi)每人需用一件該商品的概率為p，假定在這段時(shí)間內(nèi)每個(gè)人購(gòu)買與否彼此獨(dú)立，現(xiàn)該工廠僅生產(chǎn)M件商品，試估計(jì)能滿足該地區(qū)人們需求的概率。若記，i=1,n則 , 通過(guò)查正態(tài)分布表可求得。3.2 根據(jù)社會(huì)需求狀態(tài)來(lái)確定生產(chǎn)任務(wù)某工廠負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)n個(gè)人的商品供應(yīng)，在一段時(shí)間內(nèi)每人需用一件該商品的概率為p，假定在這段時(shí)間內(nèi)每個(gè)人購(gòu)買與否彼此獨(dú)立，現(xiàn)該工廠至少有的把握滿足社會(huì)需求，試問(wèn)該工廠需要生產(chǎn)商品的件數(shù)M。若記，i=1,n則 ， 令，則 M， （11）所以該工廠至少需要生產(chǎn)件商品。3.3 根據(jù)需求及產(chǎn)品質(zhì)量情況來(lái)確定生產(chǎn)量某工廠負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)的商品供應(yīng)，該商品的次品率為p,而在一段時(shí)間內(nèi)共需M件該商品且要求至少有的可靠程度來(lái)保證居民購(gòu)買到的是正品，求該工廠的生產(chǎn)量N。若記，i=1,N，則 所以由可知令，再通過(guò)解不等式 由上式可解出生產(chǎn)量N的范圍。3.4 例題分析設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)液晶電視機(jī)以滿足某地區(qū)100家客戶的需求，若由以往的統(tǒng)計(jì)資料表明：每一用戶對(duì)該電視機(jī)的年需求量服從=2的泊松分布，現(xiàn)在該廠這種電視機(jī)的年產(chǎn)量為220臺(tái)，能以多大的把握滿足客戶的需求量呢？若該廠要有97.5%的把握滿足客戶的需求，則該廠至少生產(chǎn)多少臺(tái)這種液晶電視機(jī)？現(xiàn)在該廠引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)，將液晶電視機(jī)的出廠正品率提高到95%，現(xiàn)估計(jì)一年內(nèi)該地區(qū)的社會(huì)總需求量為500臺(tái)，則為了有99.7%的