曲線(xiàn)積分與曲面積分例題

1、第十一章 曲線(xiàn)積分與曲面積分內(nèi)容要點(diǎn) 一、引例 設(shè)有一曲線(xiàn)形構(gòu)件所占的位置是面內(nèi)的一段曲線(xiàn)（圖10-1-1），它的質(zhì)量分布不均勻，其線(xiàn)密度為，試求該構(gòu)件的質(zhì)量. 二、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的定義與性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)，為常數(shù)，則；性質(zhì)2設(shè)由和兩段光滑曲線(xiàn)組成(記為 )，則注： 若曲線(xiàn)可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我們就稱(chēng)是分段光滑的，在以后的討論中總假定是光滑的或分段光滑的.性質(zhì)3 設(shè)在有，則 性質(zhì)4（中值定理）設(shè)函數(shù)在光滑曲線(xiàn)上連續(xù)，則在上必存在一點(diǎn)，使其中是曲線(xiàn)的長(zhǎng)度. 三、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算： (1.10)如果曲線(xiàn)的方程為 ，則 (1.11)如果曲線(xiàn)的方程為 ，則 (1.12)如果曲線(xiàn)的方程為

2、 ，則例5（E03）計(jì)算 其中L為雙紐線(xiàn)（圖10-1-4）的弧.解 雙紐線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為 用隱函數(shù)求導(dǎo)得 所以 內(nèi)容要點(diǎn) 一、引例：設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)在面內(nèi)從點(diǎn)沿光滑曲線(xiàn)弧移動(dòng)到點(diǎn),在移動(dòng)過(guò)程中，這質(zhì)點(diǎn)受到力 (2.1)的作用，其中，在上連續(xù). 試計(jì)算在上述移動(dòng)過(guò)程中變力所作的功. 二、 第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的定義與性質(zhì)：平面上的第二類(lèi)曲線(xiàn)積分在實(shí)際應(yīng)用中常出現(xiàn)的形式是性質(zhì)1 設(shè)L是有向曲線(xiàn)弧, 是與L方向相反的有向曲線(xiàn)弧，則；即第二類(lèi)曲線(xiàn)積分與積分弧段的方向有關(guān).性質(zhì)2 如設(shè)由和兩段光滑曲線(xiàn)組成，則. 三、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算： . (2.9)如果曲線(xiàn)的方程為 起點(diǎn)為a, 終點(diǎn)為b，則如果曲線(xiàn)的方程為 起

3、點(diǎn)為c, 終點(diǎn)為d，則內(nèi)容要點(diǎn)一、格林公式定理1 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線(xiàn)L圍成，函數(shù)及在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有 (3.1)其中L是D的取正向的邊界曲線(xiàn). 若在格林公式(3.1)中，令 得，上式左端是閉區(qū)域D的面積的兩倍，因此有 二、平面曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的定義與條件定理2 設(shè)開(kāi)區(qū)域是一個(gè)單連通域，函數(shù)及在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下列命題等價(jià)：（1） 曲線(xiàn)積分在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)；（2）表達(dá)式為某二元函數(shù)的全微分；（3）在內(nèi)恒成立；（4）對(duì)內(nèi)任一閉曲線(xiàn)，. 由定理的證明過(guò)程可見(jiàn)，若函數(shù)，滿(mǎn)足定理的條件，則二元函數(shù) (3.3)滿(mǎn)足 ，我們稱(chēng)為表達(dá)式的原函數(shù).或 例4 計(jì)算 其中是以為頂點(diǎn)的三角

4、形閉區(qū)域.解 令則 應(yīng)用格林公式,得例5（E03）計(jì)算其中L為一條無(wú)重點(diǎn), 分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線(xiàn), L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?解 記所圍成的閉區(qū)域?yàn)榱顒t當(dāng)時(shí)，有 (1) 當(dāng)時(shí)，由格林公式知(2) 當(dāng)時(shí)，作位于內(nèi)圓周記由和所圍成,應(yīng)用格林公式，得故例6（E04）求橢圓，所圍成圖形的面積.解 所求面積例7 計(jì)算拋物線(xiàn)與軸所圍成的面積.解 為直線(xiàn)曲線(xiàn)為 例10（E06）計(jì)算積分沿不通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的路徑.解 顯然,當(dāng)時(shí)，于是 例 12 驗(yàn)證: 在整個(gè)面內(nèi), 是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出一個(gè)這樣的函數(shù).證2 利用原函數(shù)法求全微分函數(shù)由 其中是的待定函數(shù).由此得又必須滿(mǎn)足所求函數(shù)為例13（E07）設(shè)

5、函數(shù)在平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān), 并且對(duì)任意t, 總有求解 由曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件知于是其中為待定函數(shù).由題意可知兩邊對(duì)求導(dǎo),得或所以例14（E08）設(shè)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān), 其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 且計(jì)算解 因積分與路徑無(wú)關(guān)散 由 由知 故例15 選取使表達(dá)式為某一函數(shù)的全微分, 并求出這個(gè)函數(shù).解 若表達(dá)式全微分式,則即得例16（E09）求方程的通解.解 原方程是全微分方程,原方程的通解為例19求微分方程的通解.解 將題設(shè)方程改寫(xiě)為即將方程左端重新組合,有故題設(shè)方程的通解為 內(nèi)容要點(diǎn) 一、 第一類(lèi)曲面積分的概念與性質(zhì)定義1 設(shè)曲面是光滑的, 函數(shù)在上有界, 把任意分成

6、n小塊(同時(shí)也表示第i小塊曲面的面積),在上任取一點(diǎn)作乘積并作和 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值時(shí), 這和式的極限存在, 則稱(chēng)此極限值為在上第一類(lèi)曲面積分或?qū)γ娣e的曲面積分，記為其中稱(chēng)為被積函數(shù)，稱(chēng)為積分曲面.二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法例4計(jì)算 其中為拋物面解 根據(jù)拋物面對(duì)稱(chēng)性,及函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng),有例5 計(jì)算 其中是圓柱面平面及所圍成的空間立體的表面.解 在面上得投影域于是 將投影到面上，得投影域 所以 例8 設(shè)有一顆地球同步軌道衛(wèi)星, 距地面的高度為km，運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同. 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑km).解 取地心為坐標(biāo)原點(diǎn)，地心到通訊

7、衛(wèi)星重心的連線(xiàn)為軸，建立如圖坐標(biāo)系.衛(wèi)星覆蓋的曲面是上半球面倍半頂角為的圓錐面所截得的部分. 的方程為它在面上的投影區(qū)域于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為將代入上式得 由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為 由以上結(jié)果可知，衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積，故使用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面.內(nèi)容要點(diǎn)二、第二類(lèi)曲面積分的概念與性質(zhì) 定義1 設(shè)為光滑的有向曲面, 其上任一點(diǎn)處的單位法向量 又設(shè)其中函數(shù)在上有界, 則函數(shù)則上的第一類(lèi)曲面積分 (5.5)稱(chēng)為函數(shù)在有向曲面上的第二類(lèi)曲面積分. 三、第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算法設(shè)光滑曲面：，與平行于軸的直線(xiàn)至多交于一點(diǎn)，它在面上的投影區(qū)域?yàn)?/p>

8、, 則. (5.9)上式右端取“+”號(hào)或“-”號(hào)要根據(jù)是銳角還是鈍角而定.內(nèi)容要點(diǎn) 一、高斯公式定理1設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面圍成，函數(shù)、在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有公式 (6.1)這里是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè), 是上點(diǎn)處的法向量的方向余弦. (6.1)式稱(chēng)為高斯公式.若曲面與平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)的交點(diǎn)多余兩個(gè)，可用光滑曲面將有界閉區(qū)域分割成若干個(gè)小區(qū)域，使得圍成每個(gè)小區(qū)域的閉曲面滿(mǎn)足定理的條件，從而高斯公式仍是成立的.此外，根據(jù)兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系，高斯公式也可表為 二、通量與散度一般地，設(shè)有向量場(chǎng),其中函數(shù)、有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是場(chǎng)內(nèi)的一片有向曲面，是曲面的單位法向量. 則沿曲面的第二類(lèi)

9、曲面積分稱(chēng)為向量場(chǎng)通過(guò)曲面流向指定側(cè)的通量. 而稱(chēng)為向量場(chǎng)的散度，記為，即. (6.5)例4（E04）證明: 若為包圍有界域的光滑曲面, 則其中為函數(shù)沿曲面的外法線(xiàn)方向的方向?qū)?shù)，,在上具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，符號(hào)稱(chēng)為拉普拉斯算子. 這個(gè)公式稱(chēng)為格林第一公式.證 因?yàn)?，其中是在點(diǎn)處的外法線(xiàn)的方向余弦，于是將上式右端移至左端即得所要證明的等式.例5（E05）求向量場(chǎng)的流量(1) 穿過(guò)圓錐的底(向上);(2) 穿過(guò)此圓錐的側(cè)表面（向外）.解 設(shè)及分別為此圓錐的面，側(cè)面及全表面，則穿過(guò)全表面向外的流量(1) 穿過(guò)底面向上的流量(2) 穿過(guò)側(cè)表面向外的流量?jī)?nèi)容要點(diǎn)一、斯托克斯公式定理1 設(shè)為分段光滑

10、的空間有向閉曲線(xiàn)，是以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)在包含曲面在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有公式 (7.1)公式(7.1)稱(chēng)為斯托克斯公式.為了便于記憶，斯托克斯公式常寫(xiě)成如下形式：利用兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系，斯托克斯公式也可寫(xiě)成 二、空間曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件三、環(huán)流量與旋度設(shè)向量場(chǎng)則沿場(chǎng)中某一封閉的有向曲線(xiàn)C上的曲線(xiàn)積分稱(chēng)為向量場(chǎng)沿曲線(xiàn)C按所取方向的環(huán)流量. 而向量函數(shù)稱(chēng)為向量場(chǎng)的旋度，記為，即旋度也可以寫(xiě)成如下便于記憶的形式：. 四、向量微分算子：例2 計(jì)算曲線(xiàn)積分 其中是平面截立方體：的表面所得的接痕，從軸的正向看法，取逆時(shí)針?lè)较?解 取為

11、題設(shè)平面的上側(cè)被所圍成部分，則該平面的法向量即原式例3（E02）計(jì)算 式中是此曲線(xiàn)是順著如下方向前進(jìn)的: 由它所包圍在球面上的最小區(qū)域保持在左方.解 由斯托克斯公式，有原式(利用對(duì)稱(chēng)性)例5（E03）設(shè) 求gradu； div(gradu)；rot(gradu).解 因?yàn)橛卸A連續(xù)導(dǎo)數(shù),故二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān),故注：一般地，如果是一單值函數(shù)，我們稱(chēng)向量場(chǎng)=gradu 為勢(shì)量場(chǎng)或保守場(chǎng)，而稱(chēng)為場(chǎng)的勢(shì)函數(shù).例6（E04）設(shè)一剛體以等角速度繞定軸旋轉(zhuǎn)，求剛體內(nèi)任意一點(diǎn)的線(xiàn)速度的旋度.解 取定軸為軸，點(diǎn)的內(nèi)徑則點(diǎn)的線(xiàn)速度于是即速度場(chǎng)的旋等于角速度的 2 倍.內(nèi)容要點(diǎn)點(diǎn)函數(shù)積分的概念點(diǎn)函數(shù)積分的

12、性質(zhì)點(diǎn)函數(shù)積分的分類(lèi)及其關(guān)系一、點(diǎn)函數(shù)積分的概念定義1 設(shè)為有界閉區(qū)域, 函數(shù)為上的有界點(diǎn)函數(shù). 將形體任意分成n個(gè)子閉區(qū)域其中表示第i個(gè)子閉區(qū)域, 也表示它的度量, 在上任取一點(diǎn), 作乘積并作和 如果當(dāng)各子閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時(shí), 這和式的極限存在, 則稱(chēng)此極限為點(diǎn)函數(shù)在上的積分, 記為, 即其中稱(chēng)為積分區(qū)域, 稱(chēng)為被積函數(shù), P稱(chēng)為積分變量, 稱(chēng)為被積表達(dá)式, 稱(chēng)為的度量微元.點(diǎn)函數(shù)積分具有如下物理意義: 設(shè)一物體占有有界閉區(qū)域, 其密度為則該物體的質(zhì)量特別地, 當(dāng)時(shí), 有如果點(diǎn)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù), 則在上可積.二、點(diǎn)函數(shù)積分的性質(zhì)設(shè)在有界閉區(qū)域上都可積, 則有性質(zhì)1 性質(zhì)2

13、 性質(zhì)3 其中且與無(wú)公共內(nèi)點(diǎn).性質(zhì)4 若 則性質(zhì)5 若 則特別地, 有性質(zhì)6 若在積分區(qū)域上的最大值為M, 最小值為m, 則性質(zhì)7 (中值定理)若在有界閉區(qū)域上連續(xù), 則至少有一點(diǎn)使得其中稱(chēng)為函數(shù)在上的平均值.三、點(diǎn)函數(shù)積分的分類(lèi)及其關(guān)系1.若這時(shí)則 (1)這是一元函數(shù)在區(qū)間上的定積分. 當(dāng)時(shí), 是區(qū)間長(zhǎng).2.右且L是一平面曲線(xiàn), 這時(shí)于是 (2)當(dāng)時(shí), 是曲線(xiàn)的弧長(zhǎng). (2)式稱(chēng)為第一類(lèi)平面曲線(xiàn)積分.3.若且是空間曲線(xiàn), 這時(shí)則 (3)當(dāng)時(shí), 是曲線(xiàn)的弧長(zhǎng). (3)式稱(chēng)為第一類(lèi)空間曲線(xiàn)積分.2、3的特殊情形是曲線(xiàn)為直線(xiàn)段, 而直線(xiàn)段上的點(diǎn)函數(shù)積分本質(zhì)上是一元函數(shù)的定積分,這說(shuō)明可用一次定積分計(jì)算, 因此用了一次積分號(hào).4.若且D是平面區(qū)域, 這時(shí) 則 (4)(4)式稱(chēng)為二重積分. 當(dāng)時(shí), 是平