【步步高】2014屆高三數學大一輪復習 13.4數學歸納法教案 理 新人教A版

1、13.4數學歸納法2014高考會這樣考1.考查數學歸納法的原理和證題步驟；2.用數學歸納法證明與等式、不等式或數列有關的命題，考查分析問題、解決問題的能力復習備考要這樣做1.理解數學歸納法的歸納遞推思想及其在證題中的應用；2.規(guī)范書寫數學歸納法的證題步驟數學歸納法一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0 (n0N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設nk (kn0，kN*)時命題成立，證明當nk1時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立上述證明方法叫做數學歸納法難點正本疑點清源1數學歸納法是一種重要的

2、數學思想方法，主要用于解決與正整數有關的數學問題證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎，步驟(2)是遞推的依據2在用數學歸納法證明時，第(1)步驗算nn0的n0不一定為1，而是根據題目要求，選擇合適的起始值第(2)步，證明nk1時命題也成立的過程，一定要用到歸納假設，否則就不是數學歸納法1 凸k邊形內角和為f(k)，則凸k1邊形的內角和為f(k1)f(k)_.答案解析易得f(k1)f(k).2 用數學歸納法證明：“11)”，由nk (k1)不等式成立，推證nk1時，左邊應增加的項的項數是_答案2k解析nk時，左邊1，當nk1時，左邊1.所以左邊應增加的項的項數為2k.3

3、 用數學歸納法證明1aa2an1(a1，nN)，在驗證n1成立時，左邊需計算的項是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案C解析觀察等式左邊的特征易知選C.4 已知n為正偶數，用數學歸納法證明12時，若已假設nk(k2且k為偶數)時命題為真，則還需要用歸納假設再證()Ank1時等式成立Bnk2時等式成立Cn2k2時等式成立Dn2(k2)時等式成立答案B解析因為假設nk(k2且k為偶數)，故下一個偶數為k2，故選B.5 已知f(n)，則()Af(n)中共有n項，當n2時，f(2)Bf(n)中共有n1項，當n2時，f(2)Cf(n)中共有n2n項，當n2時，f(2)Df(n)中共有n2n1項

4、，當n2時，f(2)答案D解析從n到n2共有n2n1個數，所以f(n)中共有n2n1項.題型一用數學歸納法證明等式例1已知nN*，證明：1.思維啟迪：等式的左邊有2n項，右邊有n項，左邊的分母是從1到2n的連續(xù)正整數，末項與n有關，右邊的分母是從n1到nn的連續(xù)正整數，首、末項都與n有關證明(1)當n1時，左邊1，右邊，等式成立；(2)假設當nk(kN*)時等式成立，即1，那么當nk1時，左邊1右邊，所以當nk1時等式也成立綜合(1)(2)知對一切nN*，等式都成立探究提高(1)用數學歸納法證明等式問題是常見題型，其關鍵點在于弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是幾；(2)由

5、nk到nk1時，除等式兩邊變化的項外還要充分利用nk時的式子，即充分利用假設，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明用數學歸納法證明：對任意的nN*，.證明(1)當n1時，左邊，右邊，左邊右邊，所以等式成立(2)假設當nk(kN*)時等式成立，即，則當nk1時，所以當nk1時，等式也成立由(1)(2)可知，對一切nN*等式都成立題型二用數學歸納法證明不等式例2用數學歸納法證明：11n (nN*)思維啟迪：利用假設后，要注意不等式的放大和縮小證明(1)當n1時，左邊1，右邊1，1，即命題成立(2)假設當nk (kN*)時命題成立，即11k，則當nk1時，112k1.又1均成立證明(1)當n2

6、時，左邊1；右邊.左邊右邊，不等式成立(2)假設當nk(k2，且kN*)時不等式成立，即.則當nk1時，.當nk1時，不等式也成立由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數n，不等式都成立題型三用數學歸納法證明整除性問題例3用數學歸納法證明42n13n2能被13整除，其中n為正整數思維啟迪：當nk1時，把42(k1)13k3配湊成42k13k2的形式是解題的關鍵證明(1)當n1時，421131291能被13整除(2)假設當nk(kN)時，42k13k2能被13整除，則當nk1時，方法一42(k1)13k342k1423k2342k1342k1342k1133(42k13k2)，42k113能被1

7、3整除，42k13k2能被13整除42(k1)13k3能被13整除方法二因為42(k1)13k33(42k13k2)(42k1423k23)3(42k13k2)42k113，42k113能被13整除，42(k1)13k33(42k13k2)能被13整除，因而42(k1)13k3能被13整除，當nk1時命題也成立，由(1)(2)知，當nN時，42n13n2能被13整除探究提高用數學歸納法證明整除問題，P(k)P(k1)的整式變形是個難點，找出它們之間的差異，然后將P(k1)進行分拆、配湊成P(k)的形式，也可運用結論：“P(k)能被p整除且P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除”已知n

8、為正整數，aZ，用數學歸納法證明：an1(a1)2n1能被a2a1整除證明(1)當n1時，an1(a1)2n1a2a1，能被a2a1整除(2)假設nk(kN)時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，那么當nk1時，ak2(a1)2k1(a1)2ak1(a1)2k1ak2ak1(a1)2(a1)2ak1(a1)2k1ak1(a2a1)能被a2a1整除即當nk1時命題也成立根據(1)(2)可知，對于任意nN，an1(a1)2n1能被a2a1整除歸納、猜想、證明典例：(12分)在各項為正的數列an中，數列的前n項和Sn滿足Sn.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想數列an的通項公式，并且用

9、數學歸納法證明你的猜想審題視角(1)數列an的各項均為正數，且Sn，所以可根據解方程求出a1，a2，a3；(2)觀察a1，a2，a3猜想出an的通項公式an，然后再證明規(guī)范解答解(1)S1a1得a1.an0，a11，1分由S2a1a2，得a2a210，a21.2分又由S3a1a2a3得a2a310，a3.3分(2)猜想an (nN*)5分證明：當n1時，a11，猜想成立6分假設當nk (kN*)時猜想成立，即ak，則當nk1時，ak1Sk1Sk，即ak1，a2ak110，ak1.即nk1時猜想成立11分由知，an (nN*)12分溫馨提醒(1)本題運用了從特殊到一般的探索、歸納、猜想及證明的思

10、維方式去探索和發(fā)現問題，并證明所得結論的正確性，這是非常重要的一種思維能力(2)本題易錯原因是，第(1)問求a1，a2，a3的值時，易計算錯誤或歸納不出an的一般表達式第(2)問想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解決問題的突破口.方法與技巧1 在數學歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可在較復雜的式子中，注意由nk到nk1時，式子中項數的變化，應仔細分析，觀察通項同時還應注意，不用假設的證法不是數學歸納法2 對于證明等式問題，在證nk1等式也成立時，應及時把結論和推導過程對比，以減少計算時的復雜程度；對于整除性問題，關鍵是湊假設；證明不等式時，一般要運用放縮法3 歸納猜想證明屬于探索性問題的

11、一種，一般經過計算、觀察、歸納，然后猜想出結論，再用數學歸納法證明由于“猜想”是“證明”的前提和“對象”，務必保證猜想的正確性，同時必須注意數學歸納法步驟的書寫失誤與防范1 數學歸納法僅適用于與正整數有關的數學命題2 嚴格按照數學歸納法的三個步驟書寫，特別是對初始值的驗證不可省略，有時要取兩個(或兩個以上)初始值進行驗證；初始值的驗證是歸納假設的基礎3 注意nk1時命題的正確性4 在進行nk1命題證明時，一定要用nk時的命題，沒有用到該命題而推理證明的方法不是數學歸納法A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 用數學歸納法證明“12222n22n31

12、”，在驗證n1時，左邊計算所得的式子為 ()A1 B12C1222 D122223答案D解析左邊的指數從0開始，依次加1，直到n2，所以當n1時，應加到23，故選D.2 用數學歸納法證明“2nn21對于nn0的正整數n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取()A2 B3 C5 D6答案C解析令n0分別取2,3,5,6，依次驗證即得3 用數學歸納法證明123n2，則當nk1時左端應在nk的基礎上加上 ()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2答案D解析當nk時，左端123k2.當nk1時，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，故當nk1時，左端應在nk的基礎上加上(k

13、21)(k22)(k1)2.故應選D.4 用數學歸納法證明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，從“k到k1”左端需增乘的代數式為 ()A2k1 B2(2k1)C. D.答案B解析nk1時，左端為(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)2(2k1)，應乘2(2k1)二、填空題(每小題5分，共15分)5 用數學歸納法證明“2n1n2n2(nN)”時，第一步驗證為_答案當n1時，左邊4右邊，不等式成立解析由nN可知初始值為1.6 若f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的遞推關系式是_

14、答案f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2解析f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.7 用數學歸納法證明“當n為正奇數時，xnyn能被xy整除”，當第二步假設n2k1(kN)命題為真時，進而需證n_時，命題亦真答案2k1解析因為n為正奇數，所以與2k1相鄰的下一個奇數是2k1.三、解答題(共22分)8 (10分)若n為大于1的自然數，求證：.證明(1)當n2時，.(2)假設當nk(kN)時不等式成立，即，那么當nk1時，.這就是說，當nk1時，不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式對任意大于1的自然數

15、都成立9 (12分)已知點Pn(an，bn)滿足an1anbn1，bn1(nN*)且點P1的坐標為(1，1)(1)求過點P1，P2的直線l的方程；(2)試用數學歸納法證明：對于nN*，點Pn都在(1)中的直線l上(1)解由P1的坐標為(1，1)知a11，b11.b2.a2a1b2.點P2的坐標為，直線l的方程為2xy1.(2)證明當n1時，2a1b121(1)1成立假設當nk(kN*)時，2akbk1成立，則當nk1時，2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，當nk1時，命題也成立由知，對于nN*，都有2anbn1，即點Pn在直線l上B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、

16、選擇題(每小題5分，共15分)1 對于不等式n1(nN*)，某同學用數學歸納法證明的過程如下：(1)當n1時，11，不等式成立(2)假設當nk(kN*)時，不等式成立，即k1，則當nk1時，(k1)1，當nk1時，不等式成立，則上述證法()A過程全部正確Bn1驗得不正確C歸納假設不正確D從nk到nk1的推理不正確答案D解析在nk1時，沒有應用nk時的假設，不是數學歸納法2 用數學歸納法證明不等式 (nN*)成立，其初始值至少應取()A7 B8 C9 D10答案B解析左邊12，代入驗證可知n的最小值是8.二、填空題(每小題5分，共15分)4 平面上有n條直線，它們任何兩條不平行，任何三條不共點，

17、設k條這樣的直線把平面分成f(k)個區(qū)域，則k1條直線把平面分成的區(qū)域數f(k1)f(k)_.答案k1解析當nk1時，第k1條直線被前k條直線分成(k1)段，而每一段將它們所在區(qū)域一分為二，故增加了k1個區(qū)域5 用數學歸納法證明 (k1)，則當nk1時，左端應乘上_，這個乘上去的代數式共有因式的個數是_答案2k1解析因為分母的公差為2，所以乘上去的第一個因式是，最后一個是，根據等差數列通項公式可求得共有12k2k12k1項6 在數列an中，a1且Snn(2n1)an，通過計算a2，a3，a4，猜想an的表達式是_答案an解析當n2時，a1a26a2，即a2a1；當n3時，a1a2a315a3，即a3(a1a2)；當n4時，a1a2a3a428a4，即a4(a1a2a3).a1，a2，a3，a4，故猜想an.三、解答題7 (13分)已知函數f(x)axx2的最大值不大于，又當x時，f(x).(1)求a的值；(2)設0