板塊一　六大核心素養(yǎng)引領(lǐng)二輪復(fù)習(xí)

1、一、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)1數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性 ,得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程.例1(1)如圖表示的是一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80 km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時間之間的函數(shù)關(guān)系 ,有人根據(jù)函數(shù)圖象 ,提出了關(guān)于這兩個旅行者的如下信息：騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3 h ,晚到1 h；騎自行車者是變速運(yùn)動 ,騎摩托車者是勻速運(yùn)動；騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后追上了騎自行車者；騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后與騎自行車者速度一樣其中 ,正確信息的序號是_答案解析看時間軸易知正確；騎摩托車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是直線 ,所以是勻速運(yùn)動 ,而騎自行車者

2、行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是折線 ,所以是變速運(yùn)動 ,因此正確；兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對應(yīng)著4.5 ,故正確 ,錯誤(2)某樓梯共有11級 ,每步可走一級或二級 ,走完這11級樓梯共有多少種不同的走法？解樓梯共有11級 ,數(shù)值比擬大 ,可以先考慮簡單情形樓梯共有：1級、2級、3級、4級、5級、 ,從特殊的情境里發(fā)現(xiàn)規(guī)律.樓梯級數(shù)1234511走法種數(shù)12358？從上面的走法種數(shù)1,2,3,5,8 ,可以發(fā)現(xiàn)：前兩個走法種數(shù)之和是下一個走法種數(shù)于是 ,容易推算出：走完這11級樓梯 ,共有144種不同的走法1加工爆米花時 ,爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率在特定條件下 ,可食用率

3、p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a ,b ,c是常數(shù)) ,如圖記錄了三次實(shí)驗的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗數(shù)據(jù) ,可以得到最正確加工時間為()A3.50分鐘 B3.75分鐘C4.00分鐘 D4.25分鐘答案B解析根據(jù)圖表 ,把(t ,p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7) ,(4,0.8) ,(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式 ,聯(lián)立方程組得消去c化簡得解得所以p0.2t21.5t222 ,所以當(dāng)t3.75時 ,p取得最大值 ,即最正確加工時間為3.75分鐘2甲、乙兩種食物的維生素含量如下表：維生素A(單位/kg)維生素B(單位/kg)甲35乙42分別取這兩種食物假設(shè)干并混合 ,且使

4、混合物中維生素A ,B的含量分別不低于100,120個單位 ,那么混合物重量的最小值為_ kg.答案30解析設(shè)甲食物重x kg ,乙食物重y kg ,A ,B的含量分別不低于100,120個單位 ,由得A(20,10) ,混合物重zxy ,平移直線zxy ,由圖知 ,當(dāng)直線過A(20,10)時 ,z取最小值為201030.素養(yǎng)2直觀想象是指借助幾何直觀形象和空間想象感知事物的形態(tài)與變化 ,利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的思想過程.例2(1)如圖 ,點(diǎn)列An ,Bn分別在某銳角的兩邊上 ,且|AnAn1|An1An2| ,AnAn2 ,nN* ,|BnBn1|Bn1Bn2| ,BnBn2 ,nN*(

5、PQ表示點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合)假設(shè)dn|AnBn| ,Sn為AnBnBn1的面積 ,那么()ASn是等差數(shù)列 BS是等差數(shù)列Cdn是等差數(shù)列 Dd是等差數(shù)列答案A解析作A1C1 ,A2C2 ,A3C3 , ,AnCn垂直于直線B1Bn ,垂足分別為C1 ,C2 ,C3 , ,Cn ,那么A1C1A2C2AnCn.|AnAn1|An1An2| ,|CnCn1|Cn1Cn2|.設(shè)|A1C1|a ,|A2C2|b ,|B1B2|c ,那么|A3C3|2ba , ,|AnCn|(n1)b(n2)a(n3) ,n1和n2時也符合Snc(n1)b(n2)ac(ba)n(2ab) ,Sn1Snc(ba)(n1)

6、(2ab)(ba)n(2ab)c(ba) ,數(shù)列Sn是等差數(shù)列(2)在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中 ,M ,N分別是AC1 ,A1B1的中點(diǎn)點(diǎn)P在該正方體的外表上運(yùn)動 ,那么總能使MP與BN垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡的周長等于()A.1 B.2C21 D22答案B解析如圖 ,取BB1的中點(diǎn)E ,CC1的中點(diǎn)F ,連接AE ,EF ,FD ,那么BN平面AEFD.設(shè)M在平面ABB1A1中的射影為O ,過MO與平面AEFD平行的平面為 ,能使MP與BN垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡為矩形 ,其周長與矩形AEFD的周長相等 ,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1 ,矩形AEFD的周長為2.3“

7、牟合方蓋(如圖1)是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個曲面構(gòu)成 ,相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上 ,好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)其直觀圖如圖2所示 ,圖中四邊形是為表達(dá)其直觀性所作的輔助線 ,其實(shí)際直觀圖中四邊形不存在 ,當(dāng)其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖完全相同時 ,它的正(主)視圖和俯視圖分別可能是()Aa ,b Ba ,c Cc ,b Db ,d答案A解析當(dāng)正(主)視圖和側(cè)(左)視圖完全相同時 ,“牟合方蓋相對的兩個曲面正對前方 ,正(主)視圖為一個圓 ,俯視圖為一個正方形 ,且兩條對角線為實(shí)線 ,應(yīng)選A.4(2019

8、83;北京)某四棱錐的三視圖如下圖 ,在此四棱錐的側(cè)面中 ,直角三角形的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案C解析由三視圖得到空間幾何體 ,如下圖 ,那么PA平面ABCD ,平面ABCD為直角梯形 ,PAABAD2 ,BC1 ,所以PAAD ,PAAB ,PABC.又BCAB ,ABPAA ,AB ,PA平面PAB ,所以BC平面PAB.又PB平面PAB ,所以BCPB.在PCD中 ,PD2 ,PC3 ,CD ,所以PCD為銳角三角形所以側(cè)面中的直角三角形為PAB ,PAD ,PBC ,共3個應(yīng)選C.二、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)3邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā) ,依據(jù)邏輯規(guī)那么推出一個命題的思

9、維過程.例3(1)(2019·北京)設(shè)a ,b均為單位向量 ,那么“|a3b|3ab|是“ab的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案C解析由|a3b|3ab| ,得(a3b)2(3ab)2 ,即a29b26a·b9a2b26a·b.又a ,b均為單位向量 ,所以a2b21 ,所以a·b0 ,能推出ab.由ab得|a3b| ,|3ab| ,能推出|a3b|3ab|.所以“|a3b|3ab|是“ab的充要條件應(yīng)選C.(2)記I為虛數(shù)集 ,設(shè)a ,bR ,x ,yI ,那么以下類比所得的結(jié)論正確的選項是_(填序號)由a

10、83;bR ,類比得x·yI；由a20 ,類比得x20；由(ab)2a22abb2 ,類比得(xy)2x22xyy2；由ab>0 ,a>b ,類比得xy>0 ,x>y.答案解析由a·bR ,不能類比得x·yI ,如xyi ,那么xy1I ,故不正確；由a20 ,不能類比得x20.如xi ,那么x2<0 ,故不正確；由(ab)2a22abb2 ,可類比得(xy)2x22xyy2 ,故正確；假設(shè)x ,yI ,當(dāng)x1i ,yi時 ,xy0 ,但x ,y 是兩個虛數(shù) ,不能比擬大小 ,故錯誤故4個結(jié)論中 ,正確5從2開始的連續(xù)偶數(shù)蛇形排列成寶

11、塔形的數(shù)表 ,第一行為2 ,第二行為4,6 ,第三行為12,10,8 ,第四行為14,16,18,20 , ,如下圖 ,在該數(shù)表中位于第i行、第j列的數(shù)記為aij ,如a3210 ,a5424.假設(shè)aij2 018 ,那么ij_.答案72解析第1行有1個偶數(shù) ,第2行有2個偶數(shù) , ,第n行有n個偶數(shù) ,那么前n行共有123n(個)偶數(shù) ,2 018在從2開始的偶數(shù)中排在第1 009位 ,所以1 009 ,所以n45.當(dāng)n44時 ,第44行第44個偶數(shù)為×21 980 ,所以第44行結(jié)束時最右邊的偶數(shù)為1 980.由題意得2 018排在第45行的第27位 ,所以ij452772.6甲

12、、乙、丙三位同學(xué)被問到是否參加了學(xué)校組織的A ,B ,C三個活動興趣小組時 ,甲說：我參加的興趣小組比乙多 ,但沒參加過A興趣小組；乙說：我沒參加過B興趣小組；丙說：我們?nèi)藚⒓恿送粋€興趣小組由此可判斷乙參加的興趣小組為_答案C解析三人參加了同一個興趣小組 ,乙不參加B ,甲不參加A ,三人共同參加的小組只有C ,又甲參加的興趣小組比乙多 ,甲不參加A甲參加兩個興趣小組 ,乙參加一個小組 ,甲參加B和C ,乙參加的興趣小組是C.素養(yǎng)4數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的根底上依據(jù)運(yùn)算法那么解決數(shù)學(xué)問題的思維過程.例4(1)(2019·全國)在ABC中 ,cos ,BC1 ,AC5 ,那么A

13、B等于()A4 B.C. D2答案A解析cos ,cos C2cos212×21.在ABC中 ,由余弦定理 ,得AB2AC2BC22AC·BC·cos C52122×5×1×32 ,AB4.應(yīng)選A.(2)(2019·全國)角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) ,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合 ,終邊上有兩點(diǎn)A(1 ,a) ,B(2 ,b) ,且cos 2 ,那么|ab|等于()A. B.C. D1答案B解析由cos 2 ,得cos2sin2 , ,又cos 0 , ,tan ± ,即± ,|ab|.應(yīng)選B.(3)(2019

14、83;全國)函數(shù)f(x)log2(x2a)假設(shè)f(3)1 ,那么a_.答案7解析f(x)log2(x2a)且f(3)1 ,1log2(9a) ,9a2 ,a7.7定長為4的線段MN的兩端點(diǎn)在拋物線y2x上移動 ,設(shè)點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn) ,那么點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最小值為_答案解析設(shè)M(x1 ,y1) ,N(x2 ,y2) ,拋物線y2x的焦點(diǎn)為F ,拋物線的準(zhǔn)線方程為x ,所求的距離d ,所以(M ,N ,F三點(diǎn)共線時取等號)三、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)5數(shù)學(xué)建模是指對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象 ,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題 ,用數(shù)學(xué)知識與方法解決問題的思維過程.例5(1)(2019·山東、

15、湖北局部重點(diǎn)中學(xué)模擬)我國古代著名的數(shù)學(xué)家劉徽著有?海島算經(jīng)?內(nèi)有一篇：“今有望海島 ,立兩表齊 ,高三丈 ,前后相去千步 ,令后表與前表相直從前表卻行百二十三步 ,人目著地取望島峰 ,與表末參合從后表卻行百二十七步 ,人目著地取望島峰 ,亦與表末參合問島高及去表各幾何？請你計算出海島高度為_步. (參考譯文：假設(shè)測量海島 ,立兩根標(biāo)桿 ,高均為5步 ,前后相距1 000步 ,令前后兩根標(biāo)桿和島在同一直線上 ,從前標(biāo)桿退行123 步 , 人的視線從地面(人的高度忽略不計)過標(biāo)桿頂恰好觀測到島峰 ,從后標(biāo)桿退行127步 , 人的視線從地面過標(biāo)桿頂恰好觀測到島峰 ,問島高多少？ 島與前標(biāo)桿相距多遠(yuǎn)

16、？)(丈、步為古時計量單位 ,當(dāng)時是“三丈5步)答案1 255解析如下圖 ,設(shè)島高x步 ,與前標(biāo)桿相距y步 ,由相似三角形的性質(zhì) ,有解得那么海島高度為1 255步(2)秸稈還田是當(dāng)今世界上普遍重視的一項培肥地力的增產(chǎn)措施 ,在杜絕了秸稈燃燒所造成的大氣污染的同時還有增肥增產(chǎn)作用某農(nóng)機(jī)戶為了到達(dá)在收割的同時讓秸稈還田 ,花137 600元購置了一臺新型聯(lián)合收割機(jī) ,每年用于收割可以收入6萬元(已減去所用柴油費(fèi))；該收割機(jī)每年都要定期進(jìn)行維修保養(yǎng) ,第一年由廠方免費(fèi)維修保養(yǎng) ,第二年及以后由該農(nóng)機(jī)戶付費(fèi)維修保養(yǎng) ,所付費(fèi)用y(元)與使用年數(shù)n的關(guān)系為yknb(n2 ,且nN*) ,第二年付費(fèi)1

17、800元 ,第五年付費(fèi)6 000元試求出該農(nóng)機(jī)戶用于維修保養(yǎng)的費(fèi)用f(n)(元)與使用年數(shù)n(nN*)的函數(shù)關(guān)系式；這臺收割機(jī)使用多少年 ,可使年平均收益最大？(收益收入維修保養(yǎng)費(fèi)用購置機(jī)械費(fèi)用)解依題意知 ,當(dāng)n2時 ,y1 800；當(dāng)n5時 ,y6 000 ,即解得所以f(n)記使用n年 ,年均收益為W(元) ,那么依題意知 ,當(dāng)n2時 ,W60 000137 6001 400(23n)1 000(n1)60 00060 000(137 200700n2300n) 60 30060 300240 700 ,當(dāng)且僅當(dāng)700n ,即n14時取等號所以這臺收割機(jī)使用14年 ,可使年均收益最大8甲

18、與乙午覺醒來后 ,發(fā)現(xiàn)自己的手表因故停止轉(zhuǎn)動 ,于是他們想借助收音機(jī) ,利用電臺整點(diǎn)報時確認(rèn)時間(1)求甲等待的時間不多于10分鐘的概率；(2)求甲比乙多等待10分鐘以上的概率解(1)因為電臺每隔1小時報時一次 ,甲在0,60)之間任何一個時刻翻開收音機(jī)是等可能的 ,所以他在哪個時間段翻開收音機(jī)的概率只與該時間段的長度有關(guān) ,而與該時間段的位置無關(guān) ,符合幾何概型的條件設(shè)事件A為“甲等待的時間不多于10分鐘 ,那么事件A恰好是翻開收音機(jī)的時刻位于50,60)時間段內(nèi) ,因此由幾何概型的概率公式得P(A).所以“甲等待的時間不多于10分鐘的概率為.(2)因為甲、乙兩人起床的時間是任意的 ,所以所

19、求事件是一個與兩個變量相關(guān)的幾何概型 ,且為面積型設(shè)甲需要等待的時間為x ,乙需要等待的時間為y(10分鐘為一個長度單位)那么由己知可得 ,對應(yīng)的根本領(lǐng)件空間為.甲比乙多等待10分鐘以上對應(yīng)的事件為M.在平面直角坐標(biāo)系中作出兩個不等式組所表示的平面區(qū)域 ,如下圖顯然表示一個邊長為6的正方形OQRS的內(nèi)部及線段OQ ,OS ,其面積S16236.M表示的是腰長為5的等腰直角三角形QDE的內(nèi)部及線段DQ ,其面積S2×52.故所求事件的概率為P.素養(yǎng)6數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù) ,運(yùn)用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析推斷 ,形成已學(xué)知識的思維過程例6華東師范大學(xué)為了了解大學(xué)生

20、使用 的情況 ,分別在大一和大二兩個年級各隨機(jī)抽取了100名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均使用 時間的頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表 ,將使用 時間不低于80分鐘的學(xué)生稱為“ 迷大一學(xué)生日均使用 時間的頻率分布直方圖如下圖 ,大二學(xué)生日均使用 時間的頻數(shù)分布表如下表時間分組頻數(shù)0,20)1220,40)2040,60)2460,80)2680,100)14100,1204(1)將頻率視為概率 ,估計哪個年級的大學(xué)生是“ 迷的概率大？請說明理由；(2)在大一學(xué)生的抽查中 ,隨機(jī)抽到的女生共有55名 ,其中有10名為“ 迷根據(jù)條件列出2×2列聯(lián)表 ,根據(jù)此資料你有多大的把握認(rèn)為“ 迷與性別有關(guān)？附表：P(K2k0)0.100.05k02.7063.841解(1)由頻率分布直方圖可知 ,大一學(xué)生是“ 迷的概率為P1(0.002 50.010)×200.25.由頻數(shù)分布表可知 ,大二學(xué)生是“ 迷的概率為P20.18.因為P1>P2 ,所以大一學(xué)生是“ 迷的概率大(2)由頻率分布直方圖可知 ,從大一學(xué)生抽取的100人中 ,“ 迷有(0.0100.002 5)×20×10025(人) ,非 迷有1002575(人)2×2列聯(lián)表如下：非 迷 迷總計男301545女451055總計7525100