高中數(shù)學(xué)-導(dǎo)數(shù)

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率相應(yīng)地，切線方程為yy0f(x0)(xx0)可以直接使用的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以直接使用的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若則公式若則公式若則公式

2、若則公式若則公式若則公式若則且公式若1( )ln,( );fxxfxx則導(dǎo)數(shù)的運算法則導(dǎo)數(shù)的運算法則:法則法則1:兩個函數(shù)的和兩個函數(shù)的和(差差)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法則法則2:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù)等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x法則法則3:兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于第一個函

3、數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù)數(shù),減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,再除以第二個函數(shù)的平再除以第二個函數(shù)的平方方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x由由法則法則2:( ) ( )( )( )C f xC f xC fxC fx求函數(shù)2lncos2xexxxxy的導(dǎo)數(shù)。 2lncos2xexxxxy解：xexxxsin211202ln:為是常數(shù)，所以它的導(dǎo)數(shù)注意設(shè)),11)(1 ()(22xxxf求) 1 (f 和).1( f 解 2222111111xxxxx

4、f32221112xxxx322xx所 以 . 4) 1(, 4) 1 (ff 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)xytanxxxxxxxxxxxxy222222seccos1cossincoscossincoscossincossin同理，函數(shù)cotx、 secx、cscx 的導(dǎo)數(shù)結(jié)果也可由sinx、 cosx 的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)而得，同學(xué)們自己練習(xí) 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)xxy23解： 222323xxxxxy 2232xxx225x例例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):322224(1)2312(2);(3);1(4)tan ;(5)(23) 1;1(6);(7);yxxyxxxyxyxyyxyxxx x答案答案:2

5、(1)32;yx22 21(3);(1)xyx21(4);cosyx 326(5);1xxyx2314(2);yxx54(6);yx3(7);2yx題型一：導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運算法則的應(yīng)用題型一：導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運算法則的應(yīng)用 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y2x33x25x4； (2)y(x1)(2x23x1)； (3)y(2x23)(3x2)l 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線yf(x)在xx0處的切線方程l 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)l 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)l 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)4種題型 【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線yf(x)在xx0處的切線方程： (1)確定點(x0，f(x0)在曲線yf(x)上； (2)求出

6、函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)即為曲 線yf(x)在xx0處的切線斜率； (3)由切點(x0，f(x0)和斜率f(x0)，再點斜式寫出切線方程yf(x0)f(x0)(xx0)，再化為一般式即可 特別地，如果曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線垂直于x軸，則此時導(dǎo)數(shù)f(x0)不存在，由切線定義可知，切線方程為xx0.題型一題型一 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例例1 1】 （1212分）已知曲線方程為分）已知曲線方程為y y= =x x2 2, , （1 1）求過）求過A A（2 2，4 4）點且與曲線相切的直線方程；）點且與曲線相切的直線方程； （2 2）求過）求過B B（3

7、 3，5 5）點且與曲線相切的直線方程）點且與曲線相切的直線方程. . （1 1）A A在曲線上在曲線上, ,即求在即求在A A點的切線方程點的切線方程. . （2 2）B B不在曲線上，設(shè)出切點求切線方程不在曲線上，設(shè)出切點求切線方程. . 解解 （1 1）A A在曲線在曲線y y= =x x2 2上上, , 過過A A與曲線與曲線y y= =x x2 2相切的直線只有一條，且相切的直線只有一條，且A A為切點為切點. . 2 2分分 由由y y= =x x2 2, ,得得y y=2=2x x,y y|x x=2=2=4, 4=4, 4分分 因此所求直線的方程為因此所求直線的方程為y y-4

8、=4(-4=4(x x-2),-2), 即即4 4x x- -y y-4=0.-4=0. 6 6分分 思維啟迪思維啟迪（2 2）設(shè)設(shè)過過B B（3 3，5 5）與曲線）與曲線y y= =x x2 2相切的直線相切的直線方程為方程為y y-5=-5=k k( (x x-3),-3),即即y y= =kxkx+5-3+5-3k k, , y y= =k kx x+5-3+5-3k k, , y y= =x x2 2得得x x2 2- -k kx x+3+3k k-5=0,=-5=0,=k k2 2-4(3-4(3k k-5)=0.-5)=0.整理得整理得:(:(k k-2)(-2)(k k-10)

9、=0,-10)=0,k k=2=2或或k k=10.=10.所求的直線方程為所求的直線方程為2 2x x- -y y-1=0,10-1=0,10 x x- -y y-25=0.-25=0.由由 解：(1)yx2， 在點P(2,4)處的切線的斜率ky|x2224， 曲線在點P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40；函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的單調(diào)性 在（在（a,ba,b) )內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f f( (x x) ),f,f( (x x) )在在( (a,ba,b) )任意子區(qū)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于間內(nèi)都不恒等于0 0. . f f( (x x) )0 0f f( (x x) )為為 ；

10、ff( (x x) )0 0f f( (x x) )為為 . .增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)題型二題型二 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 已知已知函數(shù)函數(shù)f f( (x x)=)=x x3 3- -axax-1.-1. （1 1）若）若f f( (x x) )在實數(shù)集在實數(shù)集R R上單調(diào)遞增，求實數(shù)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a a的取值的取值范圍；范圍； （2 2）是否存在實數(shù)）是否存在實數(shù)a a，使，使f f( (x x) )在（在（-1-1，1 1）上單調(diào)遞）上單調(diào)遞減？若存在，求出減？若存在，求出a a的取值范圍；若不存在，說明的取值范圍；若不存在，說明理由理由. . 求求f f(x x)f

11、f(x x)0)0或或f f(x x)0)0恒成恒成立立a a的范圍的范圍. . 思維啟迪思維啟迪解解 （1 1）由已知）由已知f f(x x)=3)=3x x2 2- -a a. .f f（x x）在（）在（-，+）上是增函數(shù)，）上是增函數(shù)，f f（x x）=3=3x x2 2- -a a00在（在（-，+）上恒成立）上恒成立. . 即即a a33x x2 2對對x xR R恒成立恒成立. .33x x2 20,0,只要只要a a0.0.又又a a=0=0時，時，f f(x x)=3)=3x x2 200，f f（x x）= =x x3 3-1-1在在R R上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，a a0.

12、0.（2 2）由）由f f(x x)=3)=3x x2 2- -a a00在（在（-1-1，1 1）上恒成立）上恒成立. .a a33x x2 2在在x x（-1-1，1 1）上恒成立）上恒成立. .又又-1-1x x1,31,3x x2 23,3,只需只需a a3.3.當(dāng)當(dāng)a a=3=3時，時，f f(x x)=3()=3(x x2 2-1)-1)在在x x(-1,1)上上， f f(x x) 0,0,即即f f( (x x) )在（在（-1-1，1 1）上為減函數(shù)，）上為減函數(shù)，a a3.3.故存在實數(shù)故存在實數(shù)a a3,3,使使f f( (x x) )在（在（-1-1，1 1）上單調(diào)遞減

13、）上單調(diào)遞減. .函數(shù)函數(shù)的極值的極值 （1 1）判斷）判斷f f( (x x0 0) )是極值的方法是極值的方法 一般地，當(dāng)函數(shù)一般地，當(dāng)函數(shù)f f( (x x) )在點在點x x0 0處連續(xù)時，處連續(xù)時， 如果在如果在x x0 0附近的左側(cè)附近的左側(cè) ，右側(cè)，右側(cè) ，那么那么f f( (x x0 0) )是極大值；是極大值； 如果在如果在x x0 0附近的左側(cè)附近的左側(cè) ，右側(cè)，右側(cè) ， 那么那么f f( (x x0 0) )是極小值是極小值. . (2) (2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 求求f f(x x);); 求方程求方程 的根；的根； 檢查檢查f f(x x) )在

14、方程在方程 的根左右值的符號的根左右值的符號. . 如果左正右負，那么如果左正右負，那么f f( (x x) )在這個根處取得在這個根處取得 ； 如果左負右正，那么如果左負右正，那么f f( (x x) )在這個根處取得在這個根處取得 . .f f(x x) )0 0f f(x x) )0 0f f(x x) )0 0f f(x x) )0 0f f(x x)=0)=0f f(x x)=0)=0極大值極大值極小值極小值題型三題型三 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè)x x=1=1與與x x=2=2是函數(shù)是函數(shù)f f( (x x)=)=a aln ln x x+ +bxbx2 2+ +x x的

15、兩個極值點的兩個極值點. . （1 1）試確定常數(shù)）試確定常數(shù)a a和和b b的值；的值； （2 2）試判斷）試判斷x x=1,=1,x x=2=2是函數(shù)是函數(shù)f f( (x x) )的極大值點還是極的極大值點還是極小值點，并說明理由小值點，并說明理由. . （1 1）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在極值點處的函數(shù)值）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在極值點處的函數(shù)值為為0 0，列方程組求解，列方程組求解. . （2 2）極大值點與極小值點的判斷應(yīng)根據(jù)極值點的定）極大值點與極小值點的判斷應(yīng)根據(jù)極值點的定 義判斷義判斷. .思維啟迪思維啟迪解解 （1 1）f f(x x)= +2)= +2bxbx+1,+1,xa.3)2)(1(32

16、31)3(32)()2(.61,32, 0142)2(. 0121) 1 (2xxxxxxxxxfbabafbaf函數(shù)定義域為（函數(shù)定義域為（0 0，+），列表），列表x x(0,1)(0,1)1 1 (1(1，2)2)2 2(2,+)(2,+)f f(x x) ) - -0 0+ +0 0- -f f( (x x) ) 單調(diào)遞減單調(diào)遞減 極小值極小值 單調(diào)遞增單調(diào)遞增 極大值極大值 單調(diào)遞減單調(diào)遞減 x x=1=1是是f f（x x）的極小值點，）的極小值點，x x=2=2是是f f（x x）的極大值點）的極大值點. . 此題屬于逆向思維，但仍可根據(jù)函數(shù)極值此題屬于逆向思維，但仍可根據(jù)函數(shù)極

17、值的步驟求解，但要注意極值點與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利的步驟求解，但要注意極值點與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用這一關(guān)系（用這一關(guān)系（f f (x x)=0)=0）建立字母系數(shù)的方程，通）建立字母系數(shù)的方程，通過過解方程（組）確定字母系數(shù)，從而解決問題解方程（組）確定字母系數(shù)，從而解決問題. .探究提高探究提高函數(shù)函數(shù)的最值的最值 （1 1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間a a, ,b b上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù)f f( (x x) )在在a a, ,b b上必有最大值與最小值上必有最大值與最小值. . (2) (2)若函數(shù)若函數(shù)f f( (x x) )在在a a, ,b b上單調(diào)遞增，則上單調(diào)遞增，則 為為函數(shù)的最小值

18、，函數(shù)的最小值， 為函數(shù)的最大值；若函數(shù)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f f( (x x) )在在a a, ,b b上單調(diào)遞減，則上單調(diào)遞減，則 為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最大值， 為函數(shù)的最小值為函數(shù)的最小值. . (3) (3)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (x x) )在在a a, ,b b上連續(xù)，在上連續(xù)，在( (a a, ,b b) )內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，求求f f( (x x) )在在a a, ,b b上的最大值和最小值的步驟如下：上的最大值和最小值的步驟如下： 求求f f( (x x) )在（在（a a, ,b b) )內(nèi)的內(nèi)的 ； 將將f f( (x x) )的各極值與的各極值與 比較，其中最大的一比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值個是最大值，最小的一個是最小值. .f f( (b b) )f f( (a a) )f f( (b b) )極值極值f f( (a a),),f f( (b b) )f f( (a a) )題型四題型四 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最值與導(dǎo)