函數(shù)積分學(xué)Word版

1、第五章一元函數(shù)積分學(xué)本章前半部分介紹不定積分的概念及其計(jì)算方法，然后簡(jiǎn)單介紹微分方程的基本概念以及利用不定積分方法求解兩類簡(jiǎn)單微分方程；后半部分介紹定積分的概念、計(jì)算方法，以及定積分在幾何和物理的應(yīng)用。本章內(nèi)容占全出考試內(nèi)容25%。重點(diǎn)是不定積分和定積分計(jì)算，難點(diǎn)是換元法，分部積分。5.1原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分定義5.1設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的一個(gè)函數(shù)。如果F(x)是區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)，并且對(duì)任意的均有或Df(x)=f(x)dx則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。例如，因?yàn)閷?duì)任意的均有，所以sinx是cosx在區(qū)間（-，+）內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。因?yàn)閷?duì)任意的均有，所

2、以arcsinx是在（-1，1）內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。顯然，一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)不是唯一的。事實(shí)上，如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，即，那么，對(duì)任意常數(shù)C，均有，從而F(x)+C也是f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)。這說明，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)在I上有無窮多個(gè)原函數(shù)。另一方面，如果函數(shù)F(x)和G(x)都是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)，那么，從而G(x)-F(x)=C，即G(x)=F(x)+C，其中C為某個(gè)常數(shù)。因此，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有一個(gè)原函數(shù)F(x)，那么f(x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)組成的集合為函數(shù)族。定義5.2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)

3、，那么稱f(x)在I上的全體原函數(shù)組成的函數(shù)族為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為，其中記號(hào)稱為積分號(hào)，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量。由定義以及前面的說明知，如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，那么，其中C為任意常數(shù)，例如，。一個(gè)函數(shù)要具備什么條件，才能保證它的原函數(shù)一定存在呢？關(guān)于這個(gè)問題，我們有如下結(jié)論，（證明略去）定理5.1（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么f(x)在區(qū)間I上一定有原函數(shù)，即一定存在區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使得。簡(jiǎn)單地說就是：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，所以初等函數(shù)在其定義區(qū)

4、間上一定有原函數(shù)。怎樣求一個(gè)連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)或不定積分呢？后面幾節(jié)討論這個(gè)問題。下面僅給出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分的例子。例1：求不定積分2 / 139。答疑編號(hào)10050101：針對(duì)該題提問解：因?yàn)?，所以為函?shù)xa的一個(gè)原函數(shù)。故。例2：求不定積分。答疑編號(hào)10050102：針對(duì)該題提問解：當(dāng)x>0時(shí)，；當(dāng)x<0時(shí)，。所以是函數(shù)在上的一個(gè)原函數(shù)，從而不定積分有下而兩條性質(zhì)性質(zhì)一或性質(zhì)二或例3：設(shè)曲線通過點(diǎn)（1，0），且曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍。試求此曲線的方程。答疑編號(hào)10050103：針對(duì)該題提問解：（1）設(shè)曲線方程為y=f(x)，則由已知，曲線在點(diǎn)(x,f(

5、x)處的斜率為曲線方程為y=x2+C（2）曲線過點(diǎn)（1，0）0=1+C，C=-1曲線方程為y=x2-1二、基本積分公式既然積分運(yùn)算與微分運(yùn)算互為逆運(yùn)算，因此，正如例1、例2中所做的那樣，可以很自然地從導(dǎo)數(shù)或微分的基本公式得到相應(yīng)的基本積分公式。下面將這些基本積分公式羅列如下：（1）；（2）（k為常數(shù)）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）。以上14個(gè)基本積分公式是求不定積分的基礎(chǔ)，其他函數(shù)的不定積分往往經(jīng)過運(yùn)算變形后，最終都?xì)w結(jié)為這些不定積分，因此必須牢牢記住。下面舉例說明如何利用這些公式計(jì)算一些簡(jiǎn)單的不定積分。例4：求不定積

6、分。答疑編號(hào)10050104：針對(duì)該題提問解：例5：求不定積分。答疑編號(hào)10050105：針對(duì)該題提問解：例6：求不定積分。答疑編號(hào)10050106：針對(duì)該題提問解：例7：求不定積分。答疑編號(hào)10050107：針對(duì)該題提問解：由還原公式e2lnx=x2三、不定積分的基本性質(zhì)僅僅有以上的基本積分公式是很不夠的，即使像lnx，tanx，cotx，secx，cscx，arctanx，arccotx這樣一些基本初等函數(shù)，也無法直接利用以上基本公式給出它們的不定積分。因此，有必要從一些求導(dǎo)法則去導(dǎo)出相應(yīng)的求不定積分的方法，并逐步擴(kuò)充不定積分公式。這里首先從導(dǎo)數(shù)的加減運(yùn)算得到不定積分的線性運(yùn)算法則。定理5

7、.2兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的不定積分等于函數(shù)的不定積分的和（或差），即。證明：設(shè)F(x)和G（x）分別為函數(shù)f(x)和g(x)的原函數(shù)，則，其中C1，C2為兩個(gè)任意常數(shù)。因此有其中C=C1±C2為任意常數(shù)。另一方面，因?yàn)樗訤(x)±G(x)為f(x)±g(x)的一個(gè)原函數(shù)，從而因此定理5.2可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)相加減的情形，即類似地我們可以證明下列性質(zhì)。定理5.3求不定積分時(shí)，被積函數(shù)中非零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來，即（k0為常數(shù)）以上兩個(gè)性質(zhì)（定理5.2和定理5.3）稱做不定積分的線性性質(zhì)。利用不定積分的線性性質(zhì)可以求出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分。例8：求不

8、定積分答疑編號(hào)10050108：針對(duì)該題提問解：=-2cosx+3arcsinx+C例9：求不定積分答疑編號(hào)10050109：針對(duì)該題提問解：例10：求不定積分答疑編號(hào)10050110：針對(duì)該題提問解：這里利用了三角恒等式：sec2x=1+tan2x例11：求不定積分答疑編號(hào)10050111：針對(duì)該題提問解：這里利用了三角恒等式：sin2x+cos2x=1例12：求不定積分答疑編號(hào)10050112：針對(duì)該題提問解：例13：已知，求f(x)。答疑編號(hào)10050113：針對(duì)該題提問解：因?yàn)?，所以，故。?4：求答疑編號(hào)10050114：針對(duì)該題提問解：例15：求答疑編號(hào)10050115：針對(duì)該題提

9、問例16：求答疑編號(hào)10050116：針對(duì)該題提問解：例17：若F(x)是sinx2的原函數(shù)。求答疑編號(hào)10050117：針對(duì)該題提問解：F(x)是sinx2的原函數(shù)例18：填空=_答疑編號(hào)10050118：針對(duì)該題提問解：由性質(zhì)§5.2不定積分的換元法§5.1介紹了原函數(shù)與不定積分的概念、基本積分公式以及不定積分的線性性質(zhì)，并通過例子說明如何利用它們直接計(jì)算某些函數(shù)的不定積分。但是僅僅利用不定積分的線性性質(zhì)和基本積分公式所能計(jì)算的不定積分非常有限。因此有必要進(jìn)一步研究不定積分的求法。本節(jié)介紹如何將復(fù)合函數(shù)的微分法反過來用于計(jì)算不定積分，利用中間變量的代換得到復(fù)合函數(shù)的不定

10、積分，這就是通常說的不定積分的換元積分法，簡(jiǎn)稱換元法。換元積分法通常分成兩類：第一換元法和第二換元法。一、第一換元法（湊微分法）定理5.4 設(shè)f(u)具有原函數(shù)，可導(dǎo)，則證明：設(shè)F(u)為f(u)的一個(gè)原函數(shù)，即，故又因?yàn)榭蓪?dǎo)，所以可導(dǎo)，并且因此為的一個(gè)原函數(shù)，從而公式（1）叫第一換元積分公式，在實(shí)際應(yīng)用第一換元積分公式求不定積分時(shí)。因?yàn)?。因此公式?）也可寫作，其中u=g(x)若不定積分容易計(jì)算。則可得例1：求不定積分答疑編號(hào)10050201：針對(duì)該題提問解：被積函數(shù)sin3x是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，它是由f(u)=sinu和復(fù)合而成。因此，為了利用第一換元積分公式，我們將sin3x變形為故有例2：

11、求不定積分答疑編號(hào)10050202：針對(duì)該題提問解：函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，它是由和復(fù)合而成。為了利用第一換元積分公式，將函數(shù)變形為故例3：求不定積分。答疑編號(hào)10050203：針對(duì)該題提問解：函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，它是由和復(fù)合而成，而，所以被積函數(shù)可以變形為由第一換元積分公式有由以上各例的解題過程可以看出，要用第一換元積分法求不定積分的主要步驟是：（1）變換積分形式（或湊微分），即；（2）作變量替換g(x)=u，有；（3）利用常用的積分公式求出不定積分：；（4）將u=g(x)代回得。其中最關(guān)鍵的是第一步，即如何湊出合適的微分。因此，第一換元積分法也稱為湊微分法。例4：設(shè)F(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)原函

12、數(shù)，求。答疑編號(hào)10050204：針對(duì)該題提問解：因?yàn)閒(lnx)為函數(shù)f(u)和的復(fù)合，并且，所以。故由第一換元積分公式有 例5：設(shè)，求。答疑編號(hào)10050205：針對(duì)該題提問解：函數(shù)f(e-x)是由f(u)和u=e-x復(fù)合而成，而，故由第一換元積分公式有當(dāng)比較熟練以后，就沒必要將中間變量明顯地設(shè)出來。例6：求下列積分：（1）；答疑編號(hào)10050206：針對(duì)該題提問（2）；答疑編號(hào)10050207：針對(duì)該題提問（3）。答疑編號(hào)10050208：針對(duì)該題提問解：（1）（2）（3）因?yàn)?，?這樣，我們得到三個(gè)積分公式：，。例7：計(jì)算下列不定積分：（1）；答疑編號(hào)10050209：針對(duì)該題提問（2

13、）；答疑編號(hào)10050210：針對(duì)該題提問（3）；答疑編號(hào)10050211：針對(duì)該題提問（4）；答疑編號(hào)10050212：針對(duì)該題提問解：（1）（2）（3）（4）解法一：解法二： 例6和例7中，沒有具體引入中間變量進(jìn)行換元，而是湊微分后直接利用積分公式，從而也就不再有還原的過程。因此，利用湊微分法計(jì)算不定積分可以極大地簡(jiǎn)化求解書寫的過程。顯然，熟記一些湊微分公式是十分必要的。下面給出一些常見的湊微分形式：；特別情形，特別情形；。例8：求不定積分（1），答疑編號(hào)10050213：針對(duì)該題提問（2），答疑編號(hào)10050214：針對(duì)該題提問（3），答疑編號(hào)10050215：針對(duì)該題提問（4），答疑編

14、號(hào)10050216：針對(duì)該題提問（5），答疑編號(hào)10050217：針對(duì)該題提問（6），答疑編號(hào)10050218：針對(duì)該題提問（7），答疑編號(hào)10050219：針對(duì)該題提問解：（1） （令u=3x+1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）例9：求不定積分（1）；答疑編號(hào)10050220：針對(duì)該題提問解：（2）答疑編號(hào)10050221：針對(duì)該題提問解：這些例題的一些結(jié)果也可作為公式，見下表： （14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）例10：用公式（14）（20）填空（1）答疑編號(hào)10050222：針對(duì)該題提問（2）答疑編號(hào)10050223：針對(duì)該題提問（3）答疑編號(hào)10050224

15、：針對(duì)該題提問（4）答疑編號(hào)10050225：針對(duì)該題提問（5）答疑編號(hào)10050226：針對(duì)該題提問（6）答疑編號(hào)10050227：針對(duì)該題提問（7）答疑編號(hào)10050228：針對(duì)該題提問例11：求不定積分（1）答疑編號(hào)10050229：針對(duì)該題提問（2）或答疑編號(hào)10050230：針對(duì)該題提問（3）答疑編號(hào)10050231：針對(duì)該題提問（4）答疑編號(hào)10050232：針對(duì)該題提問（5）答疑編號(hào)10050233：針對(duì)該題提問（6）答疑編號(hào)10050234：針對(duì)該題提問（7）答疑編號(hào)10050235：針對(duì)該題提問（8）答疑編號(hào)10050236：針對(duì)該題提問（9）答疑編號(hào)10050237：針對(duì)該

16、題提問（10）答疑編號(hào)10050238：針對(duì)該題提問例12：求不定積分（1）答疑編號(hào)10050239：針對(duì)該題提問（2）答疑編號(hào)10050240：針對(duì)該題提問（3）答疑編號(hào)10050241：針對(duì)該題提問（4） =lnx-arctan（lnx）+c答疑編號(hào)10050242：針對(duì)該題提問例13.求不定積分（1）答疑編號(hào)10050301：針對(duì)該題提問（2）答疑編號(hào)10050302：針對(duì)該題提問（3） 答疑編號(hào)10050303：針對(duì)該題提問（4）答疑編號(hào)10050304：針對(duì)該題提問（5）答疑編號(hào)10050305：針對(duì)該題提問（6）答疑編號(hào)10050306：針對(duì)該題提問例14求不定積分（1）答疑編號(hào)1

17、0050307：針對(duì)該題提問（2）答疑編號(hào)10050308：針對(duì)該題提問（3）答疑編號(hào)10050309：針對(duì)該題提問（4） 答疑編號(hào)10050310：針對(duì)該題提問（5）答疑編號(hào)10050311：針對(duì)該題提問（6） 答疑編號(hào)10050312：針對(duì)該題提問（7）答疑編號(hào)10050313：針對(duì)該題提問（8）答疑編號(hào)10050314：針對(duì)該題提問（9）答疑編號(hào)10050315：針對(duì)該題提問（10）答疑編號(hào)10050316：針對(duì)該題提問（11）答疑編號(hào)10050317：針對(duì)該題提問（12）答疑編號(hào)10050318：針對(duì)該題提問例14中的（9）（10）（11）（12）也是重要積分結(jié)果，可以作為積分公式使用

18、，下面我們總結(jié)的積分表請(qǐng)大家熟記應(yīng)用。全部不定積分公式表（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）（25）例15求下列不定積分（1）答疑編號(hào)10050319：針對(duì)該題提問（2）答疑編號(hào)10050320：針對(duì)該題提問例16求下列不定積分（1）答疑編號(hào)10050321：針對(duì)該題提問（2）答疑編號(hào)10050322：針對(duì)該題提問（3）答疑編號(hào)10050323：針對(duì)該題提問（4）答疑編號(hào)10050324：針對(duì)該題提問（5）求答疑編號(hào)10050325：針對(duì)該題提問（6）答疑編

19、號(hào)10050326：針對(duì)該題提問（7）答疑編號(hào)10050327：針對(duì)該題提問或答疑編號(hào)10050328：針對(duì)該題提問（8）答疑編號(hào)10050329：針對(duì)該題提問例17計(jì)算下列有理分式或無理分式的積分：（1）答疑編號(hào)10050330：針對(duì)該題提問（2）答疑編號(hào)10050331：針對(duì)該題提問（3）答疑編號(hào)10050332：針對(duì)該題提問（4）答疑編號(hào)10050333：針對(duì)該題提問解：（1）（2）（3）（4）或 由此可見，采用不同的積分方法計(jì)算不定積分時(shí)得到的結(jié)果可能看起來不一樣，但其本質(zhì)是完全一樣的，因?yàn)樵瘮?shù)之間可以相差一個(gè)常數(shù)。換句話說，必有（二）第二換元積分法湊微分法（第一換元積分法）是將湊微

20、分，然后令u=g（x）不定積分變?yōu)樾略ㄗ兞浚﹗的函數(shù)的簡(jiǎn)單積分。第二換元積分法則是令x=g（t）則有將x變換為新元t得到 若比較簡(jiǎn)單而容易求不定積分為若x=g（t）有反函數(shù)t=g-1（x）則用代入法得這樣的換元方法叫第二換元積分法用第二換元積分法常見情形有下面兩類：（）若被積分函數(shù)f（x）中含有時(shí)，則令 解出（）（1）若被積函數(shù)f（x）中含有時(shí)，則令x=asint，a2-x2=a2（1-sin2t）=a2cos2t（2）若被積函數(shù)f（x）中含有時(shí)，則令x=atant，a2+x2=a2（1+tan2t）=a2ses2t（3）若被積函數(shù)f（x）中含有時(shí)，則令x=asect，x2-a2=a2（se

21、c2t-1）=a2tan2t例1求下列不定積分（1） （2）解：（1）為了消去根式，令 ，則x=t2（t>0），dx=2tdt，由第二換元積分法有：答疑編號(hào)10050401：針對(duì)該題提問（2）為了消除根式，令x=t6（t>0）則dx=6t5dt并且，由第二換元積分法有答疑編號(hào)10050402：針對(duì)該題提問例2求不定積分答疑編號(hào)10050403：針對(duì)該題提問解：為了消去根式，利用三角恒等式sin2t+cos2t=1，可令x=asint（-/2<t</2），則：因此，由第二換元積分法，所求積分化為由于x=asint（-/2<t</2），所以t=arcsin（x/

22、a）于是 例3求不定積分答疑編號(hào)10050404：針對(duì)該題提問解：為了消去根式，利用三角恒等式1+tan2x=sec2x，令x=atant（-/2<t</2）由第二換元積分法有由于，所以因此其中C=C1-1na例4求不定積分答疑編號(hào)10050405：針對(duì)該題提問解：為了消去根式，利用三角恒等式1+tan2x=sec2x，令x=asect（0<t</2）,則于是由于，所以因此其中c=c1-1na從例2例4中可以看出：如果被積函數(shù)含有 ，則可以分別作代換x=asint，x=atant，x=asect消去根式，采用這種形式換元的方法稱為三角換元法或三角代換法，具體解題時(shí)要分析

23、被積函數(shù)的具體情況，選取盡可能簡(jiǎn)捷的代換，不要只拘泥于三角代換。例5計(jì)算下列不定積分（1） （2）解（1）令，則，于是答疑編號(hào)10050406：針對(duì)該題提問（2）令 ,則，于是答疑編號(hào)10050407：針對(duì)該題提問例5中所用的變量代換稱做倒代換，也是一種比較常用的方法。5.3分部積分法5.2利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得到了換元積分法，本節(jié)將利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則推導(dǎo)出求不定積分的另一種基本方法分部積分法。設(shè)函數(shù)u=u（x）和v=v（x）在區(qū)間I上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則u（x）v（x）在區(qū)間I上也有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且移項(xiàng)得對(duì)以上等式兩邊求不定積分得（1）公式（1）稱為分部積分公式，如果求比較困難，而求比較容易

24、，那么就可以利用分部積分公式來計(jì)算。為了簡(jiǎn)便起見，常常將公式（1）寫成如下形式：（2）公式（2）也稱做分部積分公式。用分部積分公式求不定積分常見情況有三類（一）（1）（2）（3） （4）（n=1.2）（二）（5）（6）（7）（三）（8）（9）第三種類型要用分部積分公式兩遍例1：求不定積分（1）【答疑編號(hào)：10050501針對(duì)該題提問】（2） 【答疑編號(hào)：10050502針對(duì)該題提問】（3） 【答疑編號(hào)：10050503針對(duì)該題提問】（4）【答疑編號(hào)：10050504針對(duì)該題提問】（5） 【答疑編號(hào)：10050505針對(duì)該題提問】（6） 【答疑編號(hào)：10050506針對(duì)該題提問】（7）【答疑編號(hào)

25、：10050507針對(duì)該題提問】（8） 【答疑編號(hào)：10050508針對(duì)該題提問】（9） 【答疑編號(hào)：10050509針對(duì)該題提問】（10） 【答疑編號(hào)：10050510針對(duì)該題提問】（11） 【答疑編號(hào)：10050511針對(duì)該題提問】（12）【答疑編號(hào)：10050512針對(duì)該題提問】例2：求不定積分（1） 【答疑編號(hào)：100505013針對(duì)該題提問】（2）【答疑編號(hào)：10050514針對(duì)該題提問】（3） 【答疑編號(hào)：10050515針對(duì)該題提問】（4） 【答疑編號(hào)：10050516針對(duì)該題提問】（5）【答疑編號(hào)：10050517針對(duì)該題提問】（6）【答疑編號(hào)：10050518針對(duì)該題提問】（

26、7） 【答疑編號(hào)：10050519針對(duì)該題提問】（8）【答疑編號(hào)：10050520針對(duì)該題提問】（9） 【答疑編號(hào)：10050521針對(duì)該題提問】（10）【答疑編號(hào)：10050522針對(duì)該題提問】令x=sintdx=costdt【答疑編號(hào)：10050523針對(duì)該題提問】例3：求不定積分（1）【答疑編號(hào)：10050601針對(duì)該題提問】（2）解：（1）（2）【答疑編號(hào)：10050602針對(duì)該題提問】由得 由+得例3的結(jié)果可以作寫積分公式使用公式（26）公式（27）特別情形例如用公式（26）（27）有例4：求不定積分（1）【答疑編號(hào)：10050603針對(duì)該題提問】（2）【答疑編號(hào)：10050604針

27、對(duì)該題提問】（3）【答疑編號(hào)：10050605針對(duì)該題提問】（4）【答疑編號(hào)：10050606針對(duì)該題提問】（5）【答疑編號(hào)：10050607針對(duì)該題提問】解（1）令（2）令，dx=2dt原式（3）（4） （5）例5：設(shè)f（x）有一個(gè)原函數(shù)為，求【答疑編號(hào)：10050608針對(duì)該題提問】解：因?yàn)闉閒（x）的一個(gè)原函數(shù)，所以并且，因此§5.4有理分式不定積分舉例例1.求不定積分（1）【答疑編號(hào)：10050609針對(duì)該題提問】（2）【答疑編號(hào)：10050610針對(duì)該題提問】（3）【答疑編號(hào)：10050611針對(duì)該題提問】（4）【答疑編號(hào)：10050612針對(duì)該題提問】解：（1） （2）

28、（3）（4）例2：求不定積分（1）【答疑編號(hào)：10050613針對(duì)該題提問】（2）【答疑編號(hào)：10050614針對(duì)該題提問】（3）【答疑編號(hào)：10050615針對(duì)該題提問】（4）【答疑編號(hào)：10050616針對(duì)該題提問】解：（1）（2）（3） （4）§5.5微分方程初步一、微分方程的基本概念下面通過具體的例子來說明微分方程的有關(guān)概念。引例：一曲線通過點(diǎn)(1,-1)點(diǎn)，并且該曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率等于其橫坐標(biāo)平方的倒數(shù)。求這條曲線的方程。答疑編號(hào)10050701：針對(duì)該題提問解設(shè)所求曲線方程為y=y(x)，則根據(jù)題意可知，未知函數(shù)y=y(x)滿足關(guān)系式 （1）此外，未知函數(shù)y=y(x

29、)還滿足條件：y(1)=-1 （2）將（1）式兩端積分得,即得,（3）其中C為任意常數(shù)。將條件（2）代入（3）式得，-1=-1+C，從而C=0代入（3）式即得所求曲線的方程。（4）我們將聯(lián)系自變量x,一元未知函數(shù)y(x)以及它的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式稱做微分方程。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為微分方程的階。如果將某個(gè)函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)代入微分方程，能使方程成為恒等式，那么稱這個(gè)函數(shù)是微分函數(shù)方程的一個(gè)解。例如，是的解。如果微分方程的解中含有任意常數(shù)并且相互無關(guān)的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)正好是方程的階數(shù)，則稱此解為微分方程的通解。例如，是的通解。如果微分方程的解中不含任意常數(shù)，稱此解為特解。例

30、如，是時(shí)的特解。二、可分離變量的微分方程如果一個(gè)一階微分方程可以表示成（1）或,(2)則稱之為可分離變量的微分方程。假定方程（1）中的函數(shù)g(x),h(y)連續(xù)，并且h(y)0，則分離變量得到.上式兩端積分通解為H(y)=G(x)+C這樣的通解稱為方程的隱式解，即由它確定的隱函數(shù)是微分方程的解。以上這種求解微分方程的方法稱為分離變量法。下面通過具體的例子進(jìn)一步說明。例1求微分方程的通解。答疑編號(hào)10050702：針對(duì)該題提問解：原方程是可分離變量的方程，移項(xiàng)分離變量得，兩端積分得例2求微分方程滿足條件的特解。答疑編號(hào)10050703：針對(duì)該題提問解答：第一步解微分方程原方程可分離變量的方程，分

31、離變量后得，兩端積分得將變?yōu)閘nC，即令=lnC,解有去掉對(duì)數(shù)得方程之通解為,其中C為任意常數(shù)。往后我們都這樣簡(jiǎn)寫，不再一一說明。第二步，求C。條件x=1時(shí)，y=1代入解中有1=C,特解為例3求微分方程的通解。答疑編號(hào)10050704：針對(duì)該題提問解原方程是可分離變量的方程，分離變量后得，兩端積分得從而為原方程之通解，其中C為任意常數(shù)。三、一階線性微分方程形如(17)的方程，因?yàn)槲粗瘮?shù)y及其導(dǎo)數(shù)都是一次的，所以稱為一階線性微分方程。如果Q(x)=0,則稱方程（17）為一階線性齊次微分方程；否則稱之為一階線性非齊次微分方程。的通解，這里的不定積分號(hào)均僅表示某個(gè)確定的原函數(shù)。一階線性非齊次微分方

32、程的通解也可以寫成下列形式：，下面用具體的例子來闡述如何用公式求解一階線性非齊次微分方程。例4求微分方程的通解。答疑編號(hào)10050705：針對(duì)該題提問這是一個(gè)一階線性非齊次微分方程，其中。由通解公式知，原方程的通解為即原方程的通解為注：用公式解法時(shí)注意。在初等數(shù)學(xué)中叫還原公式。例5求微分方程滿足條件的特解。答疑編號(hào)10050706：針對(duì)該題提問解：第一步是求微分的通解。原方程變形為,這是一個(gè)一階線性非齊次微分方程，其中P(x)=tanx,Q(x)=secx.由通解公式得即原方程的通解為.第二步求C，由初始條件得C=1，從而所求特解為y=sinx+cosx.例6求微分方程的通解。答疑編號(hào)1005

33、0707：針對(duì)該題提問解:若以y=y(x)為未知函數(shù)，這不是線性微分方程，但若以y為自變量，x=x(y)為未知函數(shù)，則方程變?yōu)? 這就是一個(gè)一階線性非齊次微分方程，其中,Q(y)=1。由通解公式得即原方程的通解為x=ylny+Cy.§5.6定積分的概念及其幾何意義一、引例1曲邊梯形的面積設(shè)y=f(x)在區(qū)間a,b上非負(fù)、連續(xù)。由直線x=a,x=b,y=0以及曲線y=f(x)所圍成的圖形（如圖5.6所示）稱為曲邊梯形，其中曲線弧稱為曲邊。我們知道，矩形的高是不變的，它的面積可以用公式矩形面積=底×高來定義和計(jì)算，但是我們?cè)撊绾味x并計(jì)算出曲邊梯形的面積呢？顯然，我們不能直接利

34、用上述公式計(jì)算曲邊梯形的面積，因?yàn)榍吿菪蔚走吷细鼽c(diǎn)處的高f(x)在區(qū)間a,b上是變動(dòng)的。然而，由于f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，所以在很小的一段小區(qū)間上它的變化非常小，可以近似地看做不變。因此，如果將區(qū)間a,b劃分成許多小區(qū)間，相應(yīng)地就將曲邊梯形劃分為許多窄曲邊梯形，每一個(gè)小區(qū)間對(duì)應(yīng)一個(gè)窄曲邊梯形，由于小區(qū)間很小時(shí)，其上各點(diǎn)處的f(x)變化也很小，因而對(duì)應(yīng)的窄曲邊梯形可以近似地看做窄矩形，而小區(qū)間上任意一處的高f(x)都可以近似地看做這個(gè)窄矩形的高。將所有這些窄矩形面積的和作為曲邊梯形面積的近似值，并把區(qū)間a,b無限細(xì)分下去，即讓每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于0，所有窄矩形面積和的極限就定義為曲邊梯形

35、的面積。以上曲邊梯形面積的定義同時(shí)給了計(jì)算曲邊梯形面積的方法。具體步驟如下：（1）劃分分曲邊梯形為n個(gè)小曲邊梯形。在a,b中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)，將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間記小區(qū)間的長(zhǎng)度為。過每個(gè)分點(diǎn)作平行于y軸的直線，將曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形（如圖5.6所示），其面積依次記做。（2）近似“以直代曲”在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，以為底，為高作小矩形，以此矩形的面積作為相應(yīng)小曲邊梯形面積的近似值：。（3）求和求n個(gè)小矩形面積之和將n個(gè)小矩形的面積加起來得到原曲邊梯形面積A的一個(gè)近似值：即。（4）取極限由近似值過渡到精確值。記所有小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值為.當(dāng)時(shí)，如果和式的極限存在，則定義此極限值為曲邊梯形

36、的面積：。2.變速直線運(yùn)動(dòng)的位移設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)，其速度v=v(t)是時(shí)間間隔上的連續(xù)函數(shù)，且v(t)0。試求物體在時(shí)間間隔內(nèi)的位移s。我們知道，當(dāng)物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移公式是位移=速度×時(shí)間現(xiàn)在速度不是均勻的（即速度不是常量），而是變化的，因此不能直接利用勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式來計(jì)算位移。但是，物體運(yùn)動(dòng)的速度v=v(t)是連續(xù)變化的，所以在很小的時(shí)間間隔內(nèi)速度變化很小，可以近似地看做勻速運(yùn)動(dòng)。因此，我們可以將時(shí)間間隔分成若干小的時(shí)間間隔段，在每個(gè)小的時(shí)間間隔段內(nèi)以勻速運(yùn)動(dòng)去近似變速運(yùn)動(dòng)，就可以算出該小時(shí)間間隔段里位移的近似值；然后再求和就得到整個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的總位移的近似值；最后

37、，通過對(duì)時(shí)間間隔無限細(xì)分的極限過程，得到所求變速直線運(yùn)動(dòng)位移的精確值。具體步驟如下：（1）劃分分整個(gè)時(shí)間間隔為n個(gè)小時(shí)間間隔段。在中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)，將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間。相應(yīng)地，各小時(shí)間間隔內(nèi)的位移依次記為。（2）近似“以勻代變”在每個(gè)小時(shí)間間隔上任取一點(diǎn),以時(shí)刻的速度v()來近似時(shí)間段內(nèi)各時(shí)刻的速度，將物體視為作勻速直線運(yùn)動(dòng)，得到這段時(shí)間間隔上的位移的近似值：。（3）求和求n個(gè)小時(shí)間間隔段內(nèi)位移之和。將n個(gè)小時(shí)間間隔段上的位移的近似值加起來便得到變速直線運(yùn)動(dòng)的總位移s的近似值：即（4）取極限由近似值過渡到精確值記所有小時(shí)間間隔區(qū)間長(zhǎng)度的最大值為當(dāng)0時(shí)，若和式的極限存在，則其即為變速直線

38、運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)間間隔上的位移：二、定積分的概念1.定積分的定義雖然以上兩個(gè)例子一個(gè)討論的是幾何問題，而另一個(gè)討論的是物理問題，但是最終都化成了一個(gè)特定和式的極限，在其他科學(xué)技術(shù)中，這樣類似的問題非常普遍。因此有必要拋開這些問題的具體意義，抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上的共同的本質(zhì)和特性加以概括。這樣我們就抽象出下述定積分的概念。定義5.3設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上有界，在區(qū)間a,b中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn),將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間各小區(qū)間的長(zhǎng)度記為（i=1,2,n）在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),作乘積，并作和式.記.如果不論如何劃分區(qū)間a,b，也不論小區(qū)間上點(diǎn)如何選取，只要當(dāng)0時(shí)，和S總趨于確定的極限I，那么我

39、們稱這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分（簡(jiǎn)稱積分），記做，即其中f(x)稱做被積函數(shù)，f(x)dx稱做被積表達(dá)式，x稱做積分變量，a稱做積分下限，b稱做積分上限，a,b稱做積分區(qū)間。如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的積分存在，我們就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積。2.定積分的幾何意義我們已經(jīng)知道如果在區(qū)間a,b上f(x)0，則定積分在幾何上表示由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積。同樣，可以證明：如果在a,b上f(x)0, 則定積分在幾何上表示由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)（如圖5.7（a）所示）；如果在

40、a,b上f(x)既取正值又取負(fù)值，那么函數(shù)的圖形有些位于x軸上方，而有些位于x軸的下方，此時(shí)定積分在幾何上表示由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積的代數(shù)和，位于x軸上方的圖形面積取正，位于x軸下方的圖形面積取負(fù)（如圖5.7(b)所示）。三、定積分的存在定理既然已經(jīng)給出了一個(gè)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上定積分的概念，那么一個(gè)非常重要的問題就出現(xiàn)了：函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上滿足什么樣的條件時(shí)，才一定在區(qū)間a,b上可積呢？對(duì)于這個(gè)問題我們不作深入討論，而只給出可積的兩個(gè)充分條件。定理5.6設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上可積。定理5.7設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間

41、a,b上有界，并且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在a,b上可積。在以后的講座中，如不作特別的說明，總假定所討論的定積分是存在的。本節(jié)最后舉例說明如何利用積分定義計(jì)算定積分。§5.7定積分的基本性質(zhì)為了將來定積分的計(jì)算，本節(jié)先介紹定積分的幾個(gè)基本性質(zhì)。由于定積分是特殊和式的極限，所以由極限的性質(zhì)可以推出定積分的以下性質(zhì)。性質(zhì)1若f(x),g(x)在a,b上可積，則f(x)±g(x)在a,b上也可積，并且。性質(zhì)2若f(x)在a,b上可積，k為任意常數(shù)，則kf(x)在a,b上也可積，并且性質(zhì)1和性質(zhì)2統(tǒng)稱為定積分的線性性質(zhì)。性質(zhì)3設(shè)f(x)在a,b上可積，a<c<b，則

42、f(x)在a,c和c,b上可積；反之，若f(x)在a,c和c,b上可積，則f(x)在a,b上也可積，并且。性質(zhì)3稱為定積分對(duì)區(qū)間的可加性，對(duì)其證明不作要求，其正確性請(qǐng)看圖形說明。性質(zhì)4例1設(shè)，試計(jì)算定積分。答疑編號(hào)10050801：針對(duì)該題提問解：畫出圖形，如圖5.9所示：由性質(zhì)3知。由定積分的幾何意義知，是由x軸，y軸以及單位圓周位于第二象限的部分圍成的四分之一圓的面積即類似地，是由x軸，y軸以及直線y=1-x圍成的三角形的面積（如圖5.9所示），即，因此。性質(zhì)5如果在a,b上f(x)1，則。事實(shí)上，就是x軸，x=a,x=b以及y=1圍成的矩形的面積b-a。（見下圖）性質(zhì)6設(shè)f(x)在區(qū)間a

43、,b上可積，并且f(x)0（xa,b），則。這個(gè)性質(zhì)很容易由定積分的定義推出。當(dāng)然，從定積分之幾何意義也容易看出，事實(shí)上，由于是由x軸，x=a,x=b以及曲線y=f(x)圍成的曲邊梯形的面積，故。由性質(zhì)6出發(fā)，不難得到如下推論。推論1設(shè)f(x)和g(x)在a,b上可積，并且在a,b上f(x)g(x)，則推論1又稱做比較性質(zhì)，它告訴我們函數(shù)大的積分就大，函數(shù)小的積分就小。由推論1還推出如下推論。推論2設(shè)f(x)在a,b上可積，則。例2試比較定積分與的大小。答疑編號(hào)10050802：針對(duì)該題提問解因?yàn)楫?dāng)x1，2時(shí)，ln1lnxln2<lne，0lnx<1，所以，并且，故由比較性質(zhì)（推論

44、1）知由推論1也不難推出下面的估值定理。性質(zhì)7設(shè)f(x)在a,b上可積，并且M和m分別為f(x)在a,b上的最大值與最小值，則。性質(zhì)7說明，只知道函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上的最大值和最小值，就可以估計(jì)出這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上的定積分值的大致范圍（如圖5.11所示）。例3試估計(jì)定積分。答疑編號(hào)10050803：針對(duì)該題提問解因?yàn)樵趨^(qū)間上，函數(shù)的最大值為，最小值為f()=1，故由估值定理知，即。由估值定理和連續(xù)函數(shù)的介值定理可以得到下面的積分中值定理。性質(zhì)8如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得. 這個(gè)公式稱做積分中值公式。性質(zhì)8我們看圖形進(jìn)行介紹積分中值定理有著很強(qiáng)的幾何意義：如果f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得以區(qū)間a,b為底，以曲線y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積等于以區(qū)間a,b為底，高為的一個(gè)矩形的面積（如圖5.12所示）。因此，常常稱為函數(shù)f(x)在a,b上的平均值。即f(x)在a,b上的平均值=§5.8微積分基本公式一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)在a,