函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)Word版

1、課 時(shí) 教 案授課章節(jié)及題目 偏導(dǎo)數(shù)與全微分（1）授課時(shí)間周二 第 3、4 節(jié)課 次1學(xué) 時(shí)2教學(xué)目標(biāo)與要求1、了解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義2、掌握求二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方法教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法教學(xué)難點(diǎn)：二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義教學(xué)用具無(wú)教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)、時(shí)間授課內(nèi)容教學(xué)方法課程導(dǎo)入（5分鐘）復(fù)習(xí)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義、導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系講解、提問(wèn)新課講解（35分鐘）一、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義定義1：設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0，而x0有增量時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量（此時(shí)稱為二元函數(shù)z=f(x,y)對(duì)x的偏增量，記為），即，若極限存在，則稱此極限值

2、為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處關(guān)于x0的偏導(dǎo)數(shù)，記作。同樣可以定義z=f(x,y)在點(diǎn)P講解2 / 9新課講解（35分鐘）0(x0,y0)處關(guān)于y0的導(dǎo)數(shù)值。如果z=f(x,y)在某個(gè)鄰域內(nèi)對(duì)每一個(gè)點(diǎn)x都存在偏導(dǎo)數(shù)，則這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)本身也是關(guān)于x，y的二元函數(shù)，所以稱它們?yōu)槠珜?dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)。記為zx/,二、偏導(dǎo)數(shù)的求法從偏導(dǎo)數(shù)的定義可以知道，求z對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的時(shí)候可以把變量y認(rèn)為是常數(shù)，從而可以利用一元函數(shù)求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)；同樣，在z對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)的時(shí)候可以把x認(rèn)為是常數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)。三、例題講解：1.求函數(shù)z=x3-2xy+5y2在點(diǎn)（1，2）處的偏導(dǎo)數(shù) 分析：此題有

3、多種解法，我們首先可以把z對(duì)x、y的偏導(dǎo)數(shù)算出來(lái)，然后再代值；或：對(duì)x求偏導(dǎo)時(shí)把y的值代入然后再對(duì)x求導(dǎo)，同樣的方法可以求出y的偏導(dǎo)數(shù)。（在黑板上詳細(xì)寫出本題的解題過(guò)程）2.分析：本題和上題是類似的題型，可以上學(xué)生自我考慮然后回答本問(wèn)題。3.分析：在本題中，實(shí)際上考查的是偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)的算法。在本題中，一定要注意對(duì)x,y求偏導(dǎo)時(shí)我們可以尋找不同的函數(shù)類型，從而可以利用一元函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)求相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)。（書寫詳細(xì)的解題過(guò)程）4.分析：本題實(shí)質(zhì)和上題是類似的，實(shí)際上在求偏導(dǎo)數(shù)的時(shí)候我們可以把相應(yīng)的某個(gè)變量看成是常數(shù)就可以了，然后利用一元函數(shù)的求導(dǎo)法則即可。（書寫詳細(xì)的解題過(guò)程）講解新課講解（35分鐘

4、）5.分析：本題是一個(gè)三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，在此題中我們的解題思路和上面是一樣的，例如在求對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)候，我們可以把y，z看成是常量，從而可以利用一元函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)相應(yīng)的三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)問(wèn)題。分析：本題和以上各題不一樣之處在于f(x,y)是二元分段函數(shù)求在原點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)，此種題型的一般方法是利用定義來(lái)求，所以，在本題的講解中要貫徹二元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義，所以要求學(xué)生務(wù)必對(duì)二元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)定義要比較熟悉。（在黑板上書寫詳細(xì)的解題過(guò)程）四、高階導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)一般仍然是x，y的二元函數(shù)，若這兩個(gè)函數(shù)對(duì)x，y的偏導(dǎo)數(shù)仍然存在，則稱為這些偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)

5、數(shù)，按照對(duì)變量求導(dǎo)次序不同，二階偏導(dǎo)數(shù)有如下幾種形式：在上述公式中要注意是先對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)然后再對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，而是先對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)然后再對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)。它們正好相反，它們包講解、啟發(fā)環(huán)節(jié)、時(shí)間授課內(nèi)容教學(xué)方法新課講解（35分鐘）含著對(duì)不同自變量的偏導(dǎo)數(shù)，所以稱這兩者是二階混合偏導(dǎo)數(shù)。類似的我們可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)我們稱為是高階偏導(dǎo)數(shù)。五、例題講解：1.求函數(shù)z=x3+3x3y+y4+5的二階偏導(dǎo)數(shù)分析：在前面所介紹的一階偏導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)之上，我們可以很容易的求出此題的二階偏導(dǎo)數(shù)2.求z=sin2(ax+by)的二階偏導(dǎo)數(shù)分析：此題和上述題型類似，此時(shí)和學(xué)生互動(dòng)求解該題，并書寫詳

6、細(xì)的解題過(guò)程3.分析：本題雖為證明題，其實(shí)質(zhì)上還是關(guān)于二元函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，由于涉及的計(jì)算量比較大，所以提醒學(xué)生一定要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，同時(shí)，在本題中，計(jì)算對(duì)x，y的偏導(dǎo)數(shù)的時(shí)候我們可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)是相同的，在此可以向?qū)W生解釋為什么會(huì)出現(xiàn)這個(gè)情況，就是因?yàn)槎瘮?shù)z=f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)如果連續(xù)的話，則這兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)肯定相等（在此只要向?qū)W生簡(jiǎn)單介紹一下此定理就可以了，同時(shí)提醒學(xué)生在以后的一般情況下，這兩個(gè)值應(yīng)該是相等的）講解、啟發(fā)、引導(dǎo)六、學(xué)生課堂訓(xùn)練:具體題目見(jiàn)P140 1 (3) (5) 3 (1) (2)課后小結(jié)課后作業(yè)（5分鐘）本次課主要講解了二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)，其中最重要的是這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算作業(yè)：P140 1(2)、（4）、(6) （7） 3 (3)、(4)教學(xué)反思板書設(shè)計(jì)課程導(dǎo)入：復(fù)習(xí)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義、導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系新課講解一、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)