排列組合與二項式定理精華總結(jié)可用

1、排列組合知識點一、兩個原理.1. 乘法原理、加法原理：分類相加，分步相乘。二、排列：元素是有順序的（1）：對排列定義.：從n個不同的元素中任取m(mn)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.（2）：排列數(shù)公式： 注意： 規(guī)定0! = 1 規(guī)定（3）： 含有可重元素的排列問題.對含有相同元素求排列個數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個不同元素a1，a2,.an其中有限重復(fù)數(shù)為n1、n2nk，且n = n1+n2+nk , 則S的排列個數(shù)等于. 三、組合：元素沒有順序之分（1）：組合：從n個不同的元素中任取m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組

2、合.（2）：組合數(shù)公式：（3）：兩個性質(zhì)： （4）：常用的證明組合等式方法例.i. 裂項求和法. 如：（利用）ii. 導(dǎo)數(shù)法. iii. 數(shù)學歸納法. iv. 倒序求和法.v. 遞推法（即用遞推）如：.vi. 構(gòu)造二項式. 如： 證明：這里構(gòu)造二項式其中的系數(shù)，左邊為，而右邊四、排列、組合綜合（1）直接法（2）間接法（3）捆綁法（4）插空法（5）占位法（6）調(diào)序法（7）平均法（8）隔板法（9）定位問題（10）指定元素排列組合問題五、二項式定理.1. 二項式定理：.展開式具有以下特點：項數(shù)：共有項；系數(shù)：依次為組合數(shù)每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.二項展開

3、式的通項.展開式中的第項為：.二項式系數(shù)的性質(zhì).在二項展開式中與首未兩項“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等；二項展開式的中間項二項式系數(shù)最大.I. 當n是偶數(shù)時，中間項是第項，它的二項式系數(shù)最大；II. 當n是奇數(shù)時，中間項為兩項，即第項和第項，二項式系數(shù)最大.系數(shù)和：例題釋疑1：由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是（A）72 （B）96 （C） 108 （D）1442：現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝四項

4、工作，則不同安排方案的種數(shù)是 A 152 B. 126 C. 90 D. 543：將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為 A.18B.24C.30D.364：2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 365：名學生和2位第師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為（A） （B） （C） （D） 6：n個元素全排列，其中m個元素順序不變，共有多少種不同的排法？7：平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個

5、，共有.例如：從1，2，3，4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法？有（平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了）又例如將20名運動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？:（）8：隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.（即共有多少組解）例如：的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對應(yīng)著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式（如圖所示）故方程的解和插板的方法一一對應(yīng). 即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù)9：定位問

6、題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規(guī)定某r個元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個指定位置則有.10：組合問題中分組問題和分配問題（1）均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為（其中A為非均勻不編號分組中分法數(shù)）.如果再有K組均勻分組應(yīng)再除以.例：10人分成三組，各組元素個數(shù)為2、4、4，其分法種數(shù)為.若分成六組，各組人數(shù)分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數(shù)為（2）均勻編號分組：n個不同元素分成m組，其中r組元素個數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為.例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4，參加三種不同勞動，分法種數(shù)為

7、（3）非均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，每組元素數(shù)目均不相同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數(shù)為例：10人分成三組，每組人數(shù)分別為2、3、5，其分法種數(shù)為若從10人中選出6人分成三組，各組人數(shù)分別為1、2、3，其分法種數(shù)為.（4）非均勻編號分組: n個不同元素分組，各組元素數(shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為例：10人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5，去參加不同的勞動，其安排方法為：種.二項式一般來說為常數(shù)）在求系數(shù)最大的項或最小的項時均可直接根據(jù)性質(zhì)二求解. 當時，一般采用解不等式組的系數(shù)或系數(shù)的絕對值）的辦法來求解.如何來求展開式中含的系數(shù)呢？其中且

8、把視為二項式，先找出含有的項，另一方面在中含有的項為，故在中含的項為.其系數(shù)為.1：設(shè)則中奇數(shù)的個數(shù)為（ ）A2B3C4D52：在的展開式中，含的項的系數(shù)是 （A）-15 （B）85 （C）-120 （D）2743：等于 （ ）A. B. C. D.4：若為奇數(shù)，則被9除得的余數(shù)是 （ ）A. 0 B. 2 C. 7 D. 8練習題DBCA1（2010全國一）如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（ ）A96 B84 C60 D482.（2011安徽）12名同學合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2 人

9、調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是( )A B CD 3.（2008湖北）將5名志愿者分配到3個不同的奧運場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為A. 540 B. 300 C. 180 D. 1504.（2009福建）某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為A.14B.24C.28D.485（2007福建）某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“”到“”共個號碼公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“”或“”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為（）6（2011山東

10、）已知集合A=5,B=1,2,C=1,3,4，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數(shù)為(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)367（2006天津）將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）A10種B20種C36種 D52種8.(湖北省八校高2008第二次聯(lián)考)某電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中有三個不同的商業(yè)廣告，兩個不同的奧運宣傳廣告，一個公益廣告. 要求最后播放的不能是商業(yè)廣告，且奧運宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放，兩個奧運宣傳廣告也不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有（ ）A48種 B98種 C108種 D120種9.(河南省濮陽市2008年高三摸底考試)設(shè)有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需要2人承擔，乙、丙各需要1人承擔，現(xiàn)在從10人中選派4人承擔這項任務(wù)，不同的選派方法共有( ) A1260種 B2025種 C2520種 D5040種10.已知（2i+）n,i是虛數(shù)單位