二次函數(shù)與幾何綜合(共25頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二次函數(shù)與幾何綜合講次標(biāo)題課程內(nèi)容知識章節(jié)等級難度星級初三秋季代幾綜合模塊一：等腰三角形的存在性初中3級模塊二：直角三角形的存在性模塊三：平行四邊形的存在性模塊四：特殊平行四邊形的存在性模塊五：全等三角形的存在性模塊六：相似三角形的存在性模塊七：二次函數(shù)與線段模塊八：二次函數(shù)與角模塊九：二次函數(shù)與圓模塊十：二次函數(shù)與面積 解等腰三角形的存在性問題時(shí)，若沒有明確指出等腰三角形的底或腰，就需要分類討論，做題的畫法是：兩圓一線。等腰三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，或在以A，B為圓心，AB長為半徑的圓上（不與AB共線）。解題策略：（1） 幾何法：先分類討論，再畫出

2、等腰三角形，后計(jì)算。（利用銳角三角形函數(shù)、相似三角形等知識解決）（2） 代數(shù)法：先羅列三邊長，再分類討論列方程，然后解方程并檢驗(yàn)?！纠}1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCO的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點(diǎn)P在AB上，PA=1，AO=2經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=mx2x+n的對稱軸是直線x=2（1）求出該拋物線的解析式（2）如圖1，將一塊兩直角邊足夠長的三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)處，兩直角邊恰好分別經(jīng)過點(diǎn)O和C現(xiàn)在利用圖2進(jìn)行如下探究：將三角板從圖1中的位置開始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交OA、OC于點(diǎn)E、F，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)請你觀察、猜想，在這個(gè)過程中，的值是否發(fā)生變化？

3、若發(fā)生變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出的值設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，頂點(diǎn)為M，在的旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在點(diǎn)F，使DMF為等腰三角形？若不存在，請說明理由【例題2】已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)E為線段AB上的動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），以E為頂點(diǎn)作OET=45°，射線ET交線段0B于點(diǎn)F，C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且OC=AB，拋物線y=x2+mx+n的圖象經(jīng)過A，C兩點(diǎn)（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求證：BEF=AOE；（3）當(dāng)EOF為等腰三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下，當(dāng)直線EF交x軸于點(diǎn)D，

4、P為（1）中拋物線上一動點(diǎn)，直線PE交x軸于點(diǎn)G，在直線EF上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得EPF的面積是EDG面積的（2+1）倍？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由模塊二 直角三角形的存在性解直角三角形的存在性問題時(shí)，若沒有明確指出直角三角形的直角，就需要進(jìn)行分類討論。以線段AB為邊的直角三角形構(gòu)造方法如圖： A B解題策略：（1）幾何法：先分類討論直角，再畫出直角三角形，后計(jì)算。 （2）代數(shù)法：先羅列三邊長，再分類討論直角，根據(jù)勾股定理列出方程，然后解方程并檢驗(yàn)?！纠}】在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊含30°的直角三角板ABC放在第二象限，30°角所對的

5、直角邊AC斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)C（，0），如圖所示，拋物線y=ax2+3ax3a（a0）經(jīng)過點(diǎn)B（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)與拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的含30°角的直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)過點(diǎn)B的直線與交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D，交y軸的正半軸于點(diǎn)E，求DOE面積的最小值模塊三 平行四邊形的存在性解平行四邊形的存在性問題，一般有兩個(gè)類型：（1）“三個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)動點(diǎn)” 作平行線：以已知三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過每個(gè)點(diǎn)畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交， 產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn) 倍長中線 中點(diǎn)坐標(biāo)公式（2）“兩

6、個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)動點(diǎn)” 作平行線：把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況 中點(diǎn)坐標(biāo)公式【例題】已知拋物線y=mx2+4x+2m與x軸交于點(diǎn)A（，0），B（，0），且=2，（1）求拋物線的解析式（2）拋物線的對稱軸為l，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為E，是否存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使四邊形DNME的周長最小？若存在，請畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由（3）若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)模塊四 特殊平行四邊形的存在性在三角形或者平行四邊形的基礎(chǔ)上增加一些條件則可以得到特殊平行

7、四邊形： 矩形的存在性：轉(zhuǎn)化為直角三角形的存在性； 菱形、正方形的存在性：轉(zhuǎn)化為等腰三角形、平行四邊形的存在性。【例題1】如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接BD（1）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作PFx軸于點(diǎn)F，G為拋物線上一動點(diǎn)，M為x軸上一動點(diǎn)，N為直線PF上一動點(diǎn)，當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)【例題2】如圖，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點(diǎn)D為

8、邊AB上一點(diǎn)，將BCD沿直線CD折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊OA上的點(diǎn)E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系（1）求OE的長及經(jīng)過O，D，C三點(diǎn)拋物線的解析式；（2）一動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā)，沿EC以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，DP=DQ；（3）若點(diǎn)N在（1）中拋物線的對稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使M，N，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由模塊五 全等三角形的存在性 全等三角形的

9、存在性問題的解題策略：（1） 當(dāng)有一個(gè)三角形固定時(shí)（三角形中所有邊角為定值），另一個(gè)三角形會與這個(gè)固定的三角形有一個(gè)元素相等；再根據(jù)全等三角形的判定，利用三角函數(shù)的知識（畫圖）或列方程來求解。（2） 當(dāng)兩個(gè)三角形都不固定時(shí)（三角形中有角或邊為變量），若條件中有一條邊對應(yīng)相等時(shí)，就要使夾這條邊的兩個(gè)角對應(yīng)相等，或其余兩條邊對應(yīng)相等；若條件中有一個(gè)角對應(yīng)相等時(shí)，就要使夾這個(gè)角的兩邊對應(yīng)相等，或再找一角和一條邊對應(yīng)相等。【例題1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（2，0），與y軸的交點(diǎn)為C，對稱軸是x=3，對稱軸與x軸交于點(diǎn)B（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）

10、若點(diǎn)D在x軸上，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PBDPBC？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【例題2】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，線段BC與拋物線的對稱軸相交于D該拋物線的頂點(diǎn)為P，連接PA、AD、DP，線段AD與y軸相交于點(diǎn)E（1）求該拋物線的解析式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q，使以Q、C、D為頂點(diǎn)的三角形與ADP全等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）將CED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊EC旋轉(zhuǎn)后與線段BC相交于點(diǎn)M，邊ED旋轉(zhuǎn)后與對稱軸相交于點(diǎn)N，連接PM、DN，若PM=2DN，求點(diǎn)N的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果

11、）模塊六 相似三角形的存在性相似的基本模型1、A字型 2、反A字型 3、“8”字型 4、反“8”字型 5、雙垂直 6、一線三等角【例題1】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過A（1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)（1）求這條拋物線的解析式；（2）E為拋物線上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E，使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與COB相似？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若將直線BC平移，使其經(jīng)過點(diǎn)A，且與拋物線相交于點(diǎn)D，連接BD，試求出BDA的度數(shù)模塊七 二次函數(shù)與線段 常見的有三類問題：1、 距離問題（1） 點(diǎn)到直線的距離： 可先求三角形的面積，則一邊上的高就是點(diǎn)到直

12、線的距離（2） 點(diǎn)到點(diǎn)的距離問題：兩點(diǎn)間距離公式 2、 線段定值問題（1） 單獨(dú)的線段定值：線段的定值可以看成點(diǎn)到點(diǎn)的定值。（2） 多個(gè)線段加、減、乘、除組合定值： 兩點(diǎn)間距離公式 三角形全等或相似3、 線段垂直問題（1） 代數(shù)法：證明線段垂直，則所在直線斜率乘積為-1；（2） 幾何法： 根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)證明，例如：等腰三角形三線合一，菱形對角線相互垂直等。 利用相似或全等的性質(zhì)，將等角轉(zhuǎn)移，從而得到90°?！纠}1】如圖，拋物線y=ax2+c（a0）經(jīng)過C（2，0），D（0，1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn)，直線l過點(diǎn)E（0，2）且平行于x軸，過A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂

13、線，垂足分別為點(diǎn)M、N（1）求此拋物線的解析式；（2）求證：AO=AM；（3）探究：當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，求出此時(shí)的值；試說明無論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)模塊八 二次函數(shù)與角1、 特殊角問題（1） 運(yùn)用三角函數(shù)值（2） 遇45°構(gòu)造等腰直角三角形；（3） 遇30°，60°構(gòu)造等邊三角形；（4） 遇90°構(gòu)造直角三角形。2、 角的數(shù)量關(guān)系問題（1） 證等角：常運(yùn)用等邊對等角、等角的余（補(bǔ)）角相等、全等三角形、相似三角形及兩角的三角函數(shù)值相等，等等。（2） 證二倍角：常構(gòu)造輔助圓，利用圓周角定理；（3） 證和差角：常旋轉(zhuǎn)、翻折、平移構(gòu)造角

14、。【例題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），直線y=x+3恰好經(jīng)過B，C兩點(diǎn)（1）寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求出拋物線y=x2+bx+c的解析式，并寫出拋物線的對稱軸和點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，拋物線頂點(diǎn)為D且APD=ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)模塊九 二次函數(shù)與圓直線與圓的位置關(guān)系的解題策略：（1） 利用圓的切線性質(zhì)“圓心到直線的距離等于半徑”解決問題；（2） 聯(lián)立直線方程和拋物線方程構(gòu)成方程組，通過解方程組解決問題；（3） 利用勾股定理或其逆定理，建立未知量的方程解決問題；（4） 構(gòu)造相似三角形，列比例

15、式。【例題】如圖，已知拋物線y=a（x1）2與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在左邊），且過點(diǎn)D（5，3），頂點(diǎn)為M，直線MD交x軸于點(diǎn)F（1）求a的值；（2）以AB為直徑畫P，問：點(diǎn)D在P上嗎？為什么？（3）直線MD與P存在怎樣的位置關(guān)系？請說明理由模塊十 二次函數(shù)與面積1、 割補(bǔ)法：2、 等積變換法3、 鉛錘法4、 等比轉(zhuǎn)化法： 三角形相似或同底（等底）或同高（等高）【例題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx3（a0）與x軸交于點(diǎn)A（2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出

16、發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動，當(dāng)PBQ存在時(shí)，求運(yùn)動多少秒使PBQ的面積最大，最大面積是多少？（3）當(dāng)PBQ的面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)K，使SCBK：SPBQ=5：2，求K點(diǎn)坐標(biāo)【作業(yè)1】如圖，拋物線C1：y=x2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（2，0），將拋物線C1向右平移m（m0）個(gè)單位得到拋物線C2，C2交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交y軸于點(diǎn)C（1）求拋物線C1的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）以AC為斜邊向上作等腰直角三角形ACD，當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線C2的對稱軸上時(shí)，求拋物線C2的解析式；（3）若拋物線C2的對稱軸存在點(diǎn)P，使PAC為等邊三角形，求m的值【作業(yè)2】如圖，在ABC中，點(diǎn)A，B分別在x軸的正、負(fù)半軸上（其中OAOB），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，AB=10，OC=4，ABC=ACO（1）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，0），P是該拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)直線DP交直線BC于點(diǎn)E，當(dāng)BDE是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；連結(jié)CD，CP，若PCD=CB