二次函數(shù)中幾何的最值問題(共17頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二次函數(shù)中幾何的最值問題一、解答題1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（2，0）、B（6，0）、C（0，2），拋物線y=a+bx+c（a0）經(jīng)過A、B、C三點。（1）求直線AC的解析式；（2）求此拋物線的解析式；（3）若拋物線的頂點為D，試探究在直線AC上是否存在一點P，使得BPD的周長最小，若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。2、如圖，已知拋物線y=-+mx+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標(biāo)為（3，0）。（1）求m的值及拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）點P是拋物線對稱軸l上的一個動點，當(dāng)PA+PC的值最小時，求點P的坐標(biāo)。3

2、、如圖，二次函數(shù)y=a+bx的圖象經(jīng)過點A（2，4）與B（6，0）（1）求a，b的值；（2）點C是該二次函數(shù)圖象上A，B兩點之間的一動點，橫坐標(biāo)為x（2x6），寫出四邊形OACB的面積S關(guān)于點C的橫坐標(biāo)x的函數(shù)表達式，并求S的最大值。4、如圖，拋物線y=+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a0）經(jīng)過點A（1，0），B（5，6），C（6，0）（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，在直線AB下方的拋物線上是否存在點P使四邊形PACB的面積最大？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若點Q為拋物線的對稱軸上的一個動點，試指出QAB為等腰三角形的點Q一共有幾個？并請求出其中某一個點Q的坐標(biāo)5、

3、如圖，長方形OABC的OA邊在x軸的正半軸上，OC在y軸的正半軸上，拋物線y=+bx經(jīng)過點B（1，4）和點E（3，0）兩點（1）求拋物線的解析式；（2）若點D在線段OC上，且BDDE，BD=DE，求D點的坐標(biāo)；（3）在條件（2）下，在拋物線的對稱軸上找一點M，使得BDM的周長為最小，并求BDM周長的最小值及此時點M的坐標(biāo)；（4）在條件（2）下，從B點到E點這段拋物線的圖象上，是否存在一個點P，使得PAD的面積最大？若存在，請求出PAD面積的最大值及此時P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由6、如圖，拋物線y=-3x+與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y

4、軸的平行線，與直線BC相交于點E（1）求直線BC的解析式；（2）當(dāng)線段DE的長度最大時，求點D的坐標(biāo)。7、如圖1，對稱軸x=為直線的拋物線經(jīng)過B（2，0）、C（0，4）兩點，拋物線與軸的另一交點為A（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為第一象限內(nèi)拋物線上一點，設(shè)四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；（3）如圖2，若M是線段BC上一動點，在軸上是否存在這樣有點Q，使MQC為等腰三角形且MQB為直角三角形？若存在，求出Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由8、如圖1，拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A，B，與y軸交于C，拋物線的頂點為D，直線l過C交x軸于E（4，0）（1）寫出D的坐標(biāo)和直線l的解析

5、式；（2）P（x，y）是線段BD上的動點（不與B，D重合），PFx軸于F，設(shè)四邊形OFPC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；（3）點Q在x軸的正半軸上運動，過Q作y軸的平行線，交直線l于M，交拋物線于N，連接CN，將CMN沿CN翻轉(zhuǎn)，M的對應(yīng)點為M在圖2中探究：是否存在點Q，使得M恰好落在y軸上？若存在，請求出Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由專心-專注-專業(yè)二次函數(shù)中幾何的最值問題的答案和解析一、解答題1、答案：（1）yx2（2）y-x-2（3）存在，（，-）試題分析：（1）設(shè)出一次函數(shù)解析式，代入A、C兩點的坐標(biāo)即可解決問題；（2）把A、B、C三點代入拋物線y=ax2+bx

6、+c，列出三元一次方程組解答即可；（3）利用軸對稱圖形的性質(zhì)，找出點B關(guān)于直線AC的對稱點，進一步利用直角三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法與兩直線的相交的關(guān)系求得答案。解：（1）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把A（-2，0），C（0，-2）代入解析式得，解得k，b2，yx2；（2）把A（-2，0），B（6，0），C（0，-2）三點代入拋物線y=a+bx+c得，解得：a=，b，c2，所求拋物線方程為y-x-2；（3）存在滿足條件的點P拋物線方程為y，頂點D的坐標(biāo)為(2，)，要使BDP的周長最小，只需DP+PB最小，延長BC到點B，使BC=BC，連接BD交直線AC于點P，=16，=48，=64，=+

7、，BCAC，B'P=BP，DP+BP=DP+BP=BD最小，則此時BDP的周長最小，點P就是所求的點，過點B作BHAB于點H，B（6，0），C（0，2），在RtBOC中，BC=4，OCBH，BC=BC，OH=BO=6，BH2OC4，B(6，4)，設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，D(2，)，B(6，4)在直線BD上，m，n3，yx-3，x，y，P(，)，在直線AC上存在點P，使得BDP的周長最小，此時P(，)2、答案：（1）m=2，（1，4）（2）（1，2）試題分析：（1）首先把點B的坐標(biāo)為（3，0）代入拋物線y=+mx+3，利用待定系數(shù)法即可求得m的值，繼而求得拋物線的頂點坐標(biāo)；（2

8、）首先連接BC交拋物線對稱軸l于點P，則此時PA+PC的值最小，然后利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，繼而求得答案解：（1）把點B的坐標(biāo)為（3，0）代入拋物線y=+mx+3得：0=+3m+3，解得：m=2，y=+2x+3=+4，頂點坐標(biāo)為：（1，4）（2）連接BC交拋物線對稱軸l于點P，則此時PA+PC的值最小，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，點C（0，3），點B（3，0）， ，解得： ，直線BC的解析式為：y=x+3，當(dāng)x=1時，y=1+3=2，當(dāng)PA+PC的值最小時，求點P的坐標(biāo)為：（1，2）3、答案：（1）a=-,b=3（2）S=-+8x（2x6）,16試題分析：（1）把A與B坐標(biāo)

9、代入二次函數(shù)解析式求出a與b的值即可；（2）如圖，過A作x軸的垂直，垂足為D（2，0），連接CD，過C作CEAD，CFx軸，垂足分別為E，F(xiàn)，分別表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面積，之和即為S，確定出S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出x的范圍，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可確定出S的最大值，以及此時x的值。解：（1）將A（2，4）與B（6，0）代入y=ax2+bx，得，解得：；（2）如圖，過A作x軸的垂直，垂足為D（2，0），連接CD，過C作CEAD，CFx軸，垂足分別為E，F(xiàn)，=ODAD=×2×4=4；=ADCE=×4×（x-2）=2x-4；=B

10、DCF=×4×（-+3x）=-+6x，則S=+=4+2x-4-+6x=-+8x，S關(guān)于x的函數(shù)表達式為S=-+8x（2x6），S=-+8x=-+16，當(dāng)x=4時，四邊形OACB的面積S有最大值，最大值為164、答案：（1）y=-5x-6（2）存在，P（2，-12）（3）（，-）試題分析：（1）拋物線經(jīng)過點A（-1，0），B（5，-6），C（6，0），可利用兩點式法設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-6），代入B（5，-6）即可求得函數(shù)的解析式；（2）作輔助線，將四邊形PACB分成三個圖形，兩個三角形和一個梯形，設(shè)P（m，-5m-6），四邊形PACB的面積為S，用字母m表

11、示出四邊形PACB的面積S，發(fā)現(xiàn)是一個二次函數(shù)，利用頂點坐標(biāo)求極值，從而求出點P的坐標(biāo)（3）分三種情況畫圖：以A為圓心，AB為半徑畫弧，交對稱軸于和，有兩個符合條件的和；以B為圓心，以BA為半徑畫弧，也有兩個符合條件的和；作AB的垂直平分線交對稱軸于一點，有一個符合條件的；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出坐標(biāo).解：（1）設(shè)y=a（x+1）（x-6）（a0），把B（5，-6）代入：a（5+1）（5-6）=-6，a=1，y=（x+1）（x-6）=-5x-6；（2）存在，如圖1，分別過P、B向x軸作垂線PM和BN，垂足分別為M、N，設(shè)P（m，-5m-6），四邊形PACB的面積為S，

12、則PM=-+5m+6，AM=m+1，MN=5-m，CN=6-5=1，BN=5，S=+=（-+5m+6）（m+1）+（6-+5m+6）（5-m）+×1×6=-+12m+36=+48，當(dāng)m=2時，S有最大值為48，這時-5m-6=-5×2-6=-12，P（2，-12），（3）這樣的Q點一共有5個，連接、，y=-5x-6=- ；因為在對稱軸上，所以設(shè)（，y），是等腰三角形，且，由勾股定理得：+=+，y=-，（ ，-）.5、答案：（1）y=+6x（2）（0，1）（3）+，（，）（4），（，）試題分析:（1）將點B（1，4），E（3，0）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得到關(guān)于a

13、、b的方程組，求得a、b的值，從而可得到拋物線的解析式；（2）依據(jù)同角的余角相等證明BDC=DE0，然后再依據(jù)AAS證明BDCDEO，從而得到OD=AO=1，于是可求得點D的坐標(biāo)；（3）作點B關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點B，連接BD交拋物線的對稱軸與點M先求得拋物線的對稱軸方程，從而得到點B的坐標(biāo)，由軸對稱的性質(zhì)可知當(dāng)點D、M、B在一條直線上時，BMD的周長有最小值，依據(jù)兩點間的距離公式求得BD和BD的長度，從而得到三角形的周長最小值，然后依據(jù)待定系數(shù)法求得D、B的解析式，然后將點M的橫坐標(biāo)代入可求得點M的縱坐標(biāo)；（4）過點F作FGx軸，垂足為G設(shè)點F（a，+6a），則OG=a，F(xiàn)G=+6a然后

14、依據(jù)=-的三角形的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.解：（1）將點B（1，4），E（3，0）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：    ，解得：     ，拋物線的解析式為y=+6x（2）如圖1所示；BDDE，BDE=90°BDC+EDO=90°又ODE+DEO=90°，BDC=DE0在BDC和DOE中，  ，BDCDEOOD=AO=1D（0，1）（3）如圖2所示：作點B關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點B，連接BD交拋物線的對稱軸與點Mx=，點B的坐標(biāo)為（2，4）點B與點B關(guān)于x=對稱，MB=BMD

15、M+MB=DM+MB當(dāng)點D、M、B在一條直線上時，MD+MB有最小值（即BMD的周長有最小值）由兩點間的距離公式可知：BD= =，DB=，BDM的最小值=+設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b將點D、B的坐標(biāo)代入得：     ，解得：直線DB的解析式為y=x+1將x=代入得：y=M（ ， ）（4）如圖3所示：過點F作FGx軸，垂足為G設(shè)點F（a，+6a），則OG=a，F(xiàn)G=+6a=（OD+FG）·OG=（+6a+1）×a=+a，=OD·OA=×1×1=，=AG·FG=+-3a，=-=+a-當(dāng)a=時，

16、的最大值為 點P的坐標(biāo)為（，）6、答案：（1）y=-x+（2）（，-）試題分析：（1）利用坐標(biāo)軸上點的特點求出A、B、C點的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式；（2）設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則縱坐標(biāo)為（m，3m+），E點的坐標(biāo)為（m，m+），可得兩點間的距離為d=+2m，利用二次函數(shù)的最值可得m，可得點D的坐標(biāo).解：（1）拋物線y=-3x+與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，令y=0，可得x=或x=，A（，0），B（，0）；令x=0，則y=，C點坐標(biāo)為（0，），設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有，解得：，直線BC的解析式為：y=x+；（2）設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則坐標(biāo)為（m，3m+

17、），E點的坐標(biāo)為（m，m+），設(shè)DE的長度為d，點D是直線BC下方拋物線上一點，則d=m+-（-3m+），整理得，d=-+m，a=-10，當(dāng)m=時，= =，D點的坐標(biāo)為（，）7、答案：(1)y=-2 +2x+4(2)6(3)存在，Q（-,0）試題分析：（1）由對稱軸的對稱性得出點A的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）作輔助線把四邊形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面積S，化簡后是一個關(guān)于S的二次函數(shù)，求最值即可；（3）畫出符合條件的Q點，只有一種，利用平行相似得對應(yīng)高的比和對應(yīng)邊的比相等列比例式；在直角OCQ和直角CQM利用勾股定理列方程；兩方程式組成方程組求解并取舍解

18、：（1）由對稱性得：A（-1，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-2），把C（0，4）代入：4=-2a，a=-2，y=-2（x+1）（x-2），拋物線的解析式為：y=-2+2x+4；（2）如圖1，設(shè)點P（m，-2+2m+4），過P作PDx軸，垂足為D，S=+=m（-2+2m+4+4）+（-2+2m+4）（2-m），S=-2+4m+4=-2+6，-20，S有最大值，則=6（3）如圖2，存在這樣的點Q，使MQC為等腰三角形且MQB為直角三角形，理由是：設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，直線BC的解析式為：y=-2x+4，設(shè)M（a，-2a+

19、4），過A作AEBC，垂足為E，則AE的解析式為：y=x+，則直線BC與直線AE的交點E（1.4，1.2），設(shè)Q（-x，0）（x0），AEQM，ABEQBM，由勾股定理得：+=2×+，由得：=4（舍），=，當(dāng)a=時，x=，Q（-，0）8、答案：試題分析：（1）先把拋物線解析式配成頂點式即可得到D點坐標(biāo)，再求出C點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線l的解析式；（2）先根據(jù)拋物線與x軸的交點問題求出B（3，0），再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=-2x+6，則P（x，-2x+6），然后根據(jù)梯形的面積公式可得S=-x2+x（1x3），再利用而此函數(shù)的性質(zhì)求S的最大值；（3）如圖2，設(shè)Q（t，0）（t0），則可表示出M（t，-t+3）