含參變量的積分

1、含參變量的積分1含參變的正常積分1. 求下列極限:(1) limy/x2 +a2dx ； rt-M) J-l(2) lim ( x2 cosax dx ；Jo.嚴 dx2. 求Fx),其中:(1) F(x) = £ exx dy ;fCOSX * /.1 F(x) = f exdy ；sin(xv) f ly ；F(x)詁匸j；/(x + § +訕站,求P(x)4. 研究函數(shù)的連續(xù)性，其中/是0, 1上連續(xù)且為正的函數(shù).5. 應用積分號下求導法求下列積分：(1) £2 ln(/ - sin2 x)dx (a > 1);(2) £ n(-2acosx

2、 + a2)dx (a l< 1)；(3) £2 In(/ sin2 x + b2 cos2 xlx (a、b 豐 0); parctan(tanA)Jv 帥卻)Jo tan x6. 應用積分交換次序求下列積分：ri xb(1) -一 lx (°>0上>0);J。In x(2) f sin In * “一<h (a > O.h > 0).Jo I x) lnx7設/為可微函數(shù)，試求下列函數(shù)的二階導數(shù)：(1) F(x) = £(x + y)/()'Kv ; F(x) = £/(y) x-y Vly (a<b

3、)；8 .證明：城(；* $嚴* £機(；嚴.9. 設F(y) = lnjF +)%,問是否成立F (0) = J：僉 In yjx2 + y2 ydx.10. 設F(x) = £ 嚴cos(xsin 010求證F(x)三2兀.11. 設/(X)為兩次可微函數(shù)，0(勸為可微函數(shù)，證明函數(shù)1u(xJ) = -f(x-at) + f(x + at) + - (p(z)dz.22az滿足荻振動方程or cll及初始條件心0) = /(x)“(x,0) =(p(x) 2含容變的廣義積分證明下列積分在指定的區(qū)間內(nèi)一致收斂:Jo l + y2 .1.2.3.求證：4.(a<x&l

4、t; b)；廣cos A dy (/? >0,x>0)；Jly" p sin x1O 1 + 0討論下列積分在指定區(qū)間上的一致收斂性:J* y/aeax dx (0< a < +s)； xea.b (a>0), (ii) xeO,Z?；匚 e-(xa>2dx ,(i) a<a<b , (ii) -covav+oo；sinxdy (0<x<*c)討論下列函數(shù)在指定區(qū)間上的連續(xù)性：牙 W(YO，S ；f hOO設/a)在f>0連續(xù)，當= b皆收斂，且“</兒關干兄在e b致收斂.石心，x>3；dyx e (0,

5、2)5.若/（x.y）在g®xg+s）上連續(xù)，含參變量廣義積分心)=f(x9y)dy在""）收斂，在x = b時發(fā)散，證明/（對在上）不一致收斂.6.含參變量的廣義積分I（x） = X f（x.y）dy在匕甸一致收斂的充要條件是：對任一趨干+8的遞増數(shù)列心（其中A=c）,函數(shù)項級數(shù)Ej/(x,yMy = ix(x)J2-1 山71-1在"上一致收斂.7. 用上題的結(jié)論證明含參變量廣義積分/（x） = p/（x,yWy在匕勿的積分交換次序 定理（定理19.12）和積分號下求導數(shù)定理（定理19.13）.8.利用微分交換次序計算下列積分:也）7；（亡嚴（&qu

6、ot;為正整數(shù)'。>0）；-avr y g j *加sin mxdx (6/>0,Z?>0); Jo X9.f sin/A- （>0）. 用對參數(shù)的積分法計算下列積分:-av2 _ -bfdx (a > O.b >0 ); J x-axehxsin mxdx (a > 0,Z? > 0 )x10.利用占叮宀叫計算拉普拉斯積分r xsin ax f厶edyx > 0）計算傅倫涅爾積分嚴1 pcosxL cosrjA=lJo 7T12利用巳知積分2計算下列積分:-I2 廣 sin y cos %； 龍Juy.*嚴加（“>0）；h廠

7、才宀加叫 （a>0）;Jo2 rt牛在（Y）,b（bvl）上一致收斂.°+30(X +V)| er dx (a > 0).13.求下列積分：匕cosM； Jo tz v ln(l + x2). L -T77Jy14.證明：（1）ln（Ay）dy在丄丿">1）上一致收斂;Job1. 利用歐拉積分計算下列積分:(2) f Jx-xSbc ；（3）J：a（i_V7）心;J：xlimex dx = .yja2 -x“f+x J 70)dx (a > 0)；2sin6xcos4 xdx :Jo嚴dx1 + x4 '(7)叫4厶("為正整數(shù));I:dxy3-cosxJJsin2nxf/x （"為正整數(shù)）；/ n-l（10）In丄 心（為正整數(shù)）.x2. 將下列積分用歐拉積分表