定積分與微積分基本定理教師版

1、定積分與微積分基本定理教師版一、知識網(wǎng)絡(luò)二目標(biāo)認(rèn)知1考試大綱要求：了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念及其基本定理。2重點(diǎn)：正確計(jì)算定積分，利用定積分求面積。3難點(diǎn)：正確計(jì)算定積分，利用定積分求面積。三、知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：定積分的概念定積分的定義：如果函數(shù)，在區(qū)間|l-?I 上連續(xù)，用分點(diǎn)"' '' '.-1 '將區(qū)間糾方等分成冷個小區(qū)間，在每個小區(qū)間【嗎“同上任取一點(diǎn)丸，作和式 飛"b-a，當(dāng)時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)- 在區(qū)間n hra ai 了g必f 孑（小心 輒了Kh上的定積分.

2、記作，即=-，這里，空與;-分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間-ll-:叫做積分區(qū)間，函數(shù)-叫做被積函數(shù)，芒叫做積分變量，一，山叫做被積式.說明：（i）定積分的值是一個常數(shù)，可正、可負(fù)、可為零；（2 ）用定義求定積分的四個基本步驟：分割；近似代替；求和；取極限知識點(diǎn)二：定積分的性質(zhì)（:為常數(shù)），土町± £必二f 必土爲(wèi)（對必（3）J 廠 .L：八 J '、"、（4）利用函數(shù)的奇偶性求積分：若函數(shù) =/w 在區(qū)間 卜如；若函數(shù)»_：；'在區(qū)間-上是偶函數(shù)，則Lw.知識點(diǎn)三：微積分基本定理如果叫e，且子在必上連續(xù)，則”“陀）-鞏小，其中代）叫做

3、八）的一個原函 數(shù)由于+''J'-A，:也是- 1：-'-的原函數(shù)，其中c為常數(shù)一般地，原函數(shù)在b上的改變量簡記作片疋.因此，微積分基本定理可以寫成形式：0.說明：求定積分主要是要找到被積函數(shù)的原函數(shù)，也就是說，要找到一個函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù)由此，求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算知識點(diǎn)四：定積分的幾何意義設(shè)函數(shù)八）在區(qū)間“上連續(xù).在"I上，當(dāng)時，定積分 成的曲邊梯形的面積；如圖（1）所示在幾何上表示由曲線'- -''以及直線；與、:軸圍圖（1）在卜上，當(dāng)了蘭。時，由曲線$ =畑 以及直線x = b與龍軸圍成的曲邊梯形位于

4、龍軸下方，定積分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值；在b上，當(dāng)/（對既取正值又取負(fù)值時，定積分''的幾何意義是曲線尹二子（x），兩條直線L與二軸所圍成的各部分面積的 代數(shù)和.在工軸上方的面積積分時取 正號，在h軸下方的面積積分時，取負(fù)號如圖（2）所示.知識點(diǎn)五：應(yīng)用（一）應(yīng)用定積分求曲邊梯形的面積1. 如圖，由三條直線 工'=二，一 T軸（即直線I ）及一條曲線一）圍成的曲邊梯形的面積：i02. 如圖，由三條直線'=；,；=上丿、，二軸（即直線二心L ）及一條曲線'-一）圍成的曲邊梯形的面積:咄/必卜-f/必二咖-挖脅；0盤上0rX3. 如圖，由曲線1

5、-" 及直線圍成圖形的面積公式為:$訂：【土 （對必-J：加-:怎（兀處4. 利用定積分求平面圖形面積的步驟（1 ）畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖像；（2）借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限;（3）寫出定積分表達(dá)式；（4）求出平面圖形的面積.實(shí)用（二）利用定積分解決物理問題變速直線運(yùn)動的路程作變速直線運(yùn)動的物體所經(jīng)過的路程,等于其速度函數(shù)-在時間區(qū)間' -I上的定積變力作功物體在變力'-'的作用下做直線運(yùn)動，并且物體沿著與I相同的方向從上，那么變力所作的功：（忙四、規(guī)律方法指導(dǎo)1. 要正確理解定積分的概念，掌握其幾何意義，

6、從而解決實(shí)際問題;2. 要正確計(jì)算定積分，需非常熟悉導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算。五、鞏固練習(xí)題組一定積分的計(jì)算1.已知f（X）為偶函數(shù)且f(x)dx = 8,則66 f(x)dx 等于C. 8160解析：原式=66 f(x)dx+ 0 f(x)dx,原函數(shù)為偶函數(shù),在y軸兩側(cè)的圖象對稱,對應(yīng)的面積相等，即8X 2 = 16.答案：Dx2,x 0, 1,設(shè) f(x)=2 x,x 1 , 2,345a4B.5C.6則解析:數(shù)形結(jié)合,2.f(x)dx等于D .不存在20 f(x)dx= 02x2dx+(2-x)dx1 311 22=Xc (2x-x )302113c1、=_x(422 _)32答案：C13. 計(jì)算以

7、下定積分:(1) : (2x2-扭x；(3) : (sinx sin2x)dx;解: (1)(2x2 X)dx = (fx3 l nx)f=曽-in 2.333131(2) 2 ( x + -)2dx= 2 (x+ x+2)dx=(2x2+ lnx+ 2x)(2+ ln 3 + 6) (2 + In 2 + 4)=In3+92.1(sinx sin 2x)dx= ( cosx + §cos2x),1 1 1 1 =(-24)-(-1+2) = 4.題組求曲多邊形的面積4. 如圖，函數(shù)y= x2 + 2x + 1與y= 1相交形成一個閉合 圖形(圖中的陰影部分)，則該閉合圖形的面積是A

8、. 1 B.4 C. .'3D. 2(x2+ 2x + 1解析：函數(shù)y= x2+ 2x+ 1與y= 1的兩個交點(diǎn)為(0,1)和(2,1)，所以閉合圖形的面積等于1)dx=$ ( x2+ 2x)dx=3.03答案：B5. 已知函數(shù)y= x2與y= kx(k>0)的圖象所圍成的陰影部分 (如圖所示)的面積為,貝V k=.解析：直線方程與拋物線方程聯(lián)立先求出積分區(qū)間為0,kkx2 x3 kk3 4再由 0 (kx x2)dx= (- 3)0 = 6 =44求得 k = 2.答案：26如圖，設(shè)點(diǎn)P從原點(diǎn)沿曲線y= x2向點(diǎn)A（2,4）移動， 記直線0P、曲線y= x2及直線x= 2所圍成

9、的面積 分別記為Si, S2,若Si= S2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為解析：設(shè)直線 0P的方程為y= kx, P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, y）,x2貝V ° （kx-/）dx= % （x2 kx）dx,即（知2討）：=（護(hù)茶2） x，解得 2kx2- 3x3= 3 2k （3x3-jkx2）,答案:416(3, 7)7.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時速度與時間的關(guān)系為()17A. 6解析:答案:&若1題組三定積分在物理中的應(yīng)用v（t） = t2 t + 2，質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動，則此物體在時間13C.石11D.?(t2 t + 2)dt = (ft3-護(hù)+ 2圳2=號.N的力能使彈簧伸長1 cm，現(xiàn)在要使彈簧伸長 10

10、 cm，則需要花費(fèi)的功為（）A 0.05 J B 0.5 J C 0.25 J D 1 J解析：設(shè)力F = kx（k是比例系數(shù)），當(dāng)F = 1 N時，x= 0.01 m,可解得k= 100 N/m，則0.100.1100xdx= 50x2 0= 0.5 J.答案：B1,2的位移為F= 100x，所以 W=解得k= £即直線OP的方程為y= x,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（|,眷）9一輛汽車的速度一時間曲線如圖所示，則該汽車在這一分鐘行駛的路程為 解析：據(jù)題意，v與t的函數(shù)關(guān)系式如下：米.3, OW tv 20,v= v(t) =50_ t, 20<tv40,10, 40W tw 60.所

11、以該汽車在這一分鐘所行駛的路程為60s= 0 v(t)dt =20 (3tdt0 24020(5060t)dt + 嚴(yán)2001+ (50t-t2)402040+ 10t20=900 米.答案：900題組四定積分的綜合應(yīng)用x10.(2010 模擬)若 y= 0(sint + costsint)dt，則 y 的最大值是7A. 1B . 2C.- 2D 0xx1解析：y= 0 (sint + costsint)dt= 0 (sint+?sin2t)dt=(cost - 1cos2t)x- 二0cos><4跡“+41 25-23=cosx-4(2cos x 1) + 4= qCOS x c

12、osx + ?答案：B11. (2010 模擬)若f(x)是一次函數(shù)，且0 f(x)dx= 5,17xf(x)dx = 6，那么1 f(jx)dx的值是解析:f(x) 是一 一次函數(shù)，.設(shè)f(x) = ax+ b(a 豐 0)，由1 2(ax + b)dx = 5 得(qax2 + bx)由 ° xf(x)dx =乎得 ° (ax2+ bx)dx=號，即gax3+ 如2)解得a= 4,b = 3， f(x)= 4x+ 3,2于是1(4 + 3)dxxi213 a=(ax 3x)0x3+ (§ a2x)2 4x+ 3 dx=1 x12=(4x+ 3lnx) = 8+

13、 3l n2 4 = 4 + 3ln2.1答案：4 + 3ln2112.設(shè) f(x)= 0 lx2 a2|dx.(1) 當(dāng)0w aw 1與a> 1時，分別求f(a);(2) 當(dāng)a> 0時，求f(a)的最小值.解：(1)0 w a w 1 時，1f(a) = 0 |x2 a2|dxa1= o (a2 x2)dx+ & (x2 a2)dx1 1a3=a3 3a3 0 + 0+ § a2 3 + a3a3 a2 +1.3當(dāng)a > 1時,1f(a) = 0(a2 x2)dx=(a2x 護(hù))=a213.-aa一(0 w a w 1),33 f(a) =332 1a -(a>1).311 2當(dāng)a> 1時，由于a2-一在1 ,+R )上是增函數(shù)，故f