雙曲線基本知識(shí)點(diǎn)及例題

1、【模擬試題】1. 過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作x軸的垂線，求垂線與雙曲線的交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離。2. 已知雙曲線的離心率為2,求它的兩條漸近線的夾角tan MbJP = 2，建立適當(dāng)坐標(biāo)系,tan 二丄3. 在面積為1的厶PMN中，-求以M、N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的雙曲線方程。+ 二=1(陶 ma。)一 二f > 0J4. 已知橢圓和雙曲線：有相同的焦點(diǎn)>二，P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求丨- 1丨的值。+/ =15. 已知橢圓二 及點(diǎn)B( 0, 2)，過左焦點(diǎn)Fi與點(diǎn)B的直線交橢圓于C、D兩點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為 卩2,求厶CDF的面積。6. P為橢圓二 上任意一點(diǎn)，F(xiàn)i為它的一個(gè)焦點(diǎn)，求證以焦半徑Fi

2、P為直徑的圓與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相切。7. 已知兩定點(diǎn) A ( 1, 0)，B (1, 0)及兩動(dòng)點(diǎn) M (0， yi), N (0，y2)，其中廠，設(shè)直線AM與BN的交點(diǎn)為P。(1) 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2) 若直線 ' -與曲線C位于y軸左邊的部分交于相異兩點(diǎn) E、F,求k 的取值范圍。23/： ax +by-3a = 0雙曲線= 18. 直線： 只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線I的方程。【試題答案】1解：雙曲線方程為1-=13, 于是焦點(diǎn)坐標(biāo)為片(-G 0)*碼,0) 設(shè)過點(diǎn)F1垂直于x軸的直線I交雙曲線于11- / = 12i_1=21”25 日口| . . 25*0即網(wǎng)芯. - -

3、 | ： -25313.|=24|=24+-=25 .313故垂線與雙曲線的交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離為 1 - 二。2.解：設(shè)實(shí)軸與漸近線的夾角為工，則se c(X = 2,即 cosct =2”71-Ct = 一322 oi= Ji- :2 7T 7T TC = 兩條漸近線的夾角為 '-點(diǎn)評(píng)Q的關(guān)系即COS Ct =(1)離心率e與-2(2)要注意兩直線夾角的范圍，否則將有可能誤答為 -；'3.解：以MN所在直線為x軸，MN的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)Mg 0)?叫 0)(兩 >0,>0)(如圖所示)<yF ,MUN K-62-J3F =-解得L設(shè)雙曲線方程為

4、琴）代入，可徐12所求雙曲線方程為亠 點(diǎn)評(píng)：選擇坐標(biāo)系應(yīng)使雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后采用待定系數(shù)法求出方 程。4解：P在橢圓上，丨亠-,又點(diǎn)P在雙曲線上，L' ,|刊祁出朋F嗎腫|£盡|二4杯、兩式分別平方得1 '兩式相減得4 ' -' -：J '：1 ,I 丹;| 碼 |m5解：.再（7 學(xué)二直線硒的方程%二心-2y=-2x-2£一*y 2x 2 ,壬得g宀辰+6二。+ 才=1.2丄與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)為:16eg 71> D（心，兀貝山帀斗心=-2兀也二_123.|匚二|、: ' ;匸 八 J |& _ 4

5、祈 故£又點(diǎn)F2到直線BF1的距離一一來解。S說明：本題也可用至斗匹=16.略解1設(shè) J、為橢圓上任意一點(diǎn)，貝U -咖苜中點(diǎn)，則M（冬產(chǎn).號(hào)），|0岡二抑兀+八北二扣+ %）又兩圓半徑分別為+訃-故此兩圓內(nèi)切。略解2如圖,此兩圓內(nèi)切7.解：（1）由題意得AM的方程為亠 ,BN的方程為：兩式相乘，得即為軌跡U的方程尹二 4 一 1,（2）由宀八1得(l-P)xJ + 2fcc-2= 0A = 4jta-4(l-2)(-2) >0,8 解:由處+切-丸二0得紉二一口x +為（1）11'匚/. x = 3,代入- - - = 1 得尸=0此時(shí)直線I: x= 3與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)（3, 0）;（2）當(dāng)b"時(shí)，直線l方呈為一：'F二送（工-弘由 Q ：得（4耳-+4護(hù)j 二 °L9 44護(hù)-9/二0, -= ± -時(shí)，方程可化為=3, -> = 0 當(dāng)” 二二此時(shí)亙線人 尸± |（X-3）與雙曲線有一個(gè)公夬為當(dāng) I'r" / -I. H - - - -! - ： 一. .一恒成立，此時(shí)直線l與雙曲線必相交于兩點(diǎn)。綜上所述，滿足條件的直線I共有三條：L ：- ；'''小結(jié)：含參數(shù)的直線方程，若化簡(jiǎn)為，則可知|必過定點(diǎn)（3