高數(shù)競賽試題集

1、高等數(shù)學競賽一、填空題sin x若 lim (cosx b) =5，則 a =x »0eX a(n _ 1)x 設f (x) lim 2，則f (x)的間斷點為x = .ye nx +1曲線y=lnx上與直線x - y =1垂直的切線方程為 .已知 f (ex) = xe，且 f (1) = 0, 則 f (x) = .3“、lx =t3 +3t +1設函數(shù)y(x)由參數(shù)方程3確定，則曲線y = y(x)向上凸的x取值y =t -3t +11.2.3.4.5.范圍為6.設 y = arctanex - ln. e2x，則史+1 dx xa17若 x > 0時，(1 ax2)4

2、-1與xsin x是等價無窮小，則a=8.9.10.x2xeX22，則 i f (x -1)dx2n由定積分的定義知，和式極限lim V2n心n k、單項選X x2 -1擇題13 .11 .把X 0時的無窮小量、'-二X2Xo cost dt, tan . tdt,=】P a Y.1, J【 】丘 3sint dt,使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是 【(A)：，.(B): ,.(C)12 設函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0)0,則存在0，使得(A) f(x)在(0,；)內(nèi)單調(diào)增加.(C)對任意的 X (0 )有 f(x)>f(0).設 f(X)二 X(1 - X)，

3、則 【(D)(B ) f(x)在 (j,0) 內(nèi)單調(diào)減少. (D)對任意的 X (-： ,0)有 f(x)>f(0).(A )(B)(C)(D )=0是f (x)的極值點，但(0, 0)不是曲線y = f (x)的拐點. =0不是f (x)的極值點，但(0, 0)是曲線y二f (x)的拐點.=0是f (x)的極值點，且(0, 0)是曲線y二f (x)的拐點.=0不是f (x)的極值點，(0, 0)也不是曲線y = f (x)的拐點.14 . limnJ22In xdx.2川(1 J2等于n2(B) 2 ln xdx.$12(C)2 Jn(1 x)dx.2 2(d)J n2(1 x)dx1

4、5 .函數(shù)f(X),0).| x |sin(x -2)x(x -1)(x -2)2(B) (0 , 1).在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界.【(C) (1 , 2).(D) (2,3).16.設f (x)在(：,+)內(nèi)有定義，且lim f(x)XT°Ox = 0必是g(x)的第一類間斷點.fpx"，則【 0 , x = 0(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點.(D) g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值g(x)=(A)(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點.17 .設f(X)在a , b上連續(xù)，且f (a) 0, f (b) : 0，則下列結論 中錯誤的是【有關.】(A)

5、 至少存在一點x0(a, b)， 使得 f (x0) > f (a).(B) 至少存在一點 x (a,b)，使得 f (xo) > f (b).(C) 至少存在一點x0(a,b)， 使得 f 伽)=0.(D) 至少存在一點x0(a, b)， 使得 f (x0)=0.1,x0x18 .設 f (x) = « 0 , x = 0 ， F (x) = J。f (t)dt，則 【】1, x <0(A) F(x)在x = 0點不連續(xù).(B) F(x)在(：,+ )內(nèi)連續(xù)，但在x = 0點不可導.(C) F(x)在(：,+ )內(nèi)可導，且滿足 F(X)= f (x).(D) F(

6、x)在(：,+ )內(nèi)可導，但不一定滿足 F (x) = f(x).三、解答題1 I 219.求極限lim右. xT x |_V20 .設函數(shù)f (x)在f (xkf (x 2),其cosx34),若對任意的x都滿足(- ：， 上 有定義，在區(qū)間0, 2上,f (x)二 x(x -中k為常數(shù).(I )寫出 f (x)在-2, 0 上的表達式;(n )問k為何值時，f (x)在x = 0處可導.21 .設 f22 .設 ex)，g ( x)均在a, b上連續(xù)，證明柯西不等式2224:a ： b ： e ,證明 ln bln a 飛(ba).ex . xe + e23曲線y與直線x=0,x=t(t.

7、 0)及 y = 0圍成一曲 邊梯形.該曲邊梯形繞x軸旋轉一周得一旋轉體，其2體積為V(t),側面積為S(t),在X二t處的底面積為F(t).( I )求辿9的值;(n ) limV(t)-楓 F(t)xxbb24 .設 f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足 f (t)dt ：: I g (t)dt，x : a , b)， i f (t)dt g(t)dt .aaaabb證明： xf(x)dx 豈 xg(x)dx .aa25.某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的 瞬間，飛機尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機迅速減 速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機，著陸時的 水

8、平 速度為 700km/h.經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與 飛機的速度成正比(比例系數(shù)為k =6.0106).問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時.高等數(shù)學競賽試卷一、單項選擇題2x1、若 lim(一ax b )= 0 貝Uxx 1(a) a=1,b=1( b) a-1, b=1 ( c) a=1,b-1(d) a-1,b-12、設 F (x)=“(0),(A) 連續(xù)點 (B),其中f(x)在X =0處可導且f '(0) = 0f (0) = 0，貝u x =0是 F(X)的3、設常數(shù)k . 0，函數(shù)x = 0第一類間斷點 (C)

9、第二類間 斷點 (D )以上都不xf (x) = In x k在(0, ：)內(nèi)零點的個 數(shù)為e(A)0( B)(C)4、若在0,1上有f ( 0 > g(0=)0, ng) = ag 且 f''X 9 ,0 g”(x)c011f (x) dx，121二 0g(x) dx，I31ax dx的大小關系為-05、(A) h _ |2_ 由平面 圖形0乞a乞X乞b, 0乞y乞f ( x)繞y軸旋轉所成 的旋轉體bbV =2叮 xf( X dx( b)V =2兀 j f ( x) dXC)V-a- a(A)6、7、1、2、3、4、5、6、7、I3(B) 丨2 _ 13- I1( C

10、)13 - 12 -11的體積為b 2=二 a f (x)dx(D)(D)P(1,3, -4)關于平面 3x - y -2z =0的對稱點是_( A) (5, -1,0)222設D為x y _R，D1是D位于第一象限的部分，f (x)連續(xù)，Vf(x)dx a(B)(5,1,0)( C) (-5,-1,0) ( D)(-5,1,0)22則，f(x y )d rD2(A)8 f(x2)d 二D1(B) 0( C)R R 2Jx. J(x2y2)dy(D)4 f(x2D1y2)d 二a為常數(shù)，則級數(shù)二、填空題3tan 2x “l(fā)im4(1x7XodZn 4sin(n a)1有飛(A)絕對收斂(B)發(fā)

11、散C)條件收斂(D)收斂性與a的取值有關個。具有n個不相等實根的n次多項式，其一階導數(shù)的不 相等實根至少有對數(shù)螺 線卜re71在點(門)=e2 - 處的切線的直角坐標 方程為2設 f(x)是 x 的二次多項式，且(1 -x)f '(x ) 2f (x >，f (0) = 1，則 f (x)=23設 y =sinx ，貝U dy 二 d(x )。2 8x7 x4 4x3 2x2 -3x 1-2若級數(shù)三重積8*、已知曲線yx2 +1：(_ 1)n 亠 a收斂，則常數(shù)a = n Tn2 2 2分zln(x y zx2 "y2 記 1x3設二為 .( 42921)222 dxd

12、ydz 二。x y z 1222-3a x b與x軸相切，_則b 可以 通過a表示為b =。2 2半橢球面X z1, (0)，已知V的面積為 S，則943z。曲面積分n 1X級數(shù)的收斂區(qū)間為。n± 3n三元函數(shù)u = z -2 xy在點(1,1,1)處沿該點的向徑方向的方向?qū)?數(shù)為1 x9*、10、10*、設 f()，且 f(x)可微，則 f'(x)=。X 1 +x11、設 y = . °sin t dt (0 三 x - 二)，則曲線 y = y(x)的長度為 。X11*、若 f(x)dx=xe C，則 f (x)。12、設a, b,c都是單位向量，且滿足a b0

13、，則a b b c c 。12*、函數(shù)y = 3. x的拐點為。3三、按要求做下列各題。1、求極限1 i mx2 ( x 2 .2x 1 x。)、已知函數(shù)y = f (x)對一切x滿足xf''(x) 3x f x*-"1且在點xgO處取得極值，問f(Xo)是極大值還是極小值，并證明你的結論。1+1 n x x四、 計算下面 積分。1、-dx 2、3Ldx.x o X2x x刁 sin x五、f (x, y)為 D :x2 y2 _ y,x _0上的連續(xù)函數(shù)， f(x, y)二 1 - x2 - y2 - 11 f (u, v)dudv ,求 f (x, y)-D六、周

14、長為21的等腰三角形繞 其底邊旋轉， 問此等腰三角 形的腰和底邊之長各為多少時，才可使旋轉體的體積為最大?) 0。證明：在(a,b)內(nèi)存在'，使得f ')= f ( ) o七、f(x)a,b連續(xù)(a,b)可導，f(a) f(b) 0, f(a) f (a -2八、設函數(shù)y = y(x)由方程組 2t2 _ y + asin衛(wèi)二dx，b為大于零的常2九、J已知.0 e其中L是依次連結2、計算曲面積分I22x=t 2tdyd y(0 ca c1)所確定，求丄，一2 o y= 2dxdx數(shù)。設積分| = j (eA(a,0), B(a： )C (0,a axdydz ydzdx zd

15、xdy=f I 三J(x2 +y2+z) 32 2y -xy cos2xy-3y)dx (ey » sin2xy -by)dy。O (0的有向折線。求極限lim I oaJ-tC2 2z (x-2) (y-1)，其中匕為曲面1(z_ 0)的上側。51692 2提示：先補充兩個曲面二二(x,y,z)|z =0,x2 y2 _a2,a 空 " U 1，取下側；169f 222-D =( x, y, z) | a -x -y ，取下側，其中常數(shù)a充分小，使上 半球面Z2與積分曲面匕互不相交。九*、1、已知F (x)是f (x)的一個原函數(shù)，而F(x)是微分方程xy'+y=

16、 e滿足初始 條件jm)y(x) = 1的解，試將f (x)-be n展開成x的冪級數(shù)，并求v 的和。n#( n+1)!2、女嚇圖，曲線C的方程為y = f (x)，點(3, 2)是它的一個拐點，直線11與12分別是曲線C在點(0, 0)與 (3,2)處的 32切線，其交點 為(2, 4)o設函數(shù)f (x)具有三階連續(xù)導數(shù)，計算 定積分° (x x2) f '''(x )dx高等數(shù)學競賽一、填空題x叫tanx1 2i.lim 2+ 2x' ,n n 1 n n 23.設函數(shù)y二y(x)由方程y =1 -xg確定，則dydxx =0o 4.2x -x2d

17、x =5.xdx廣義積分0(1 x2)2o 6. X2 y2 =a2繞x = -b(b a 0)旋轉所 成的旋轉體的體積為7.z =z(x, y)由 z =x*z 2y確定，則 3'zex cy998- z = x 與2x，4y-z二0平行的 切平面的方程是9.設 r =、.,x2 y2 - z2，則 div (grad r)10.交換二次積分次序的積分次序1 _yf(x,y)dx 二11.i xy sin z ,0dx.0dy.o 口dz =12. 設l為正向圓周x2 y2 =2 在第一象 限中的部分，則曲線積分 xdy -2ydx的值為 二、單項選擇題13. 設函數(shù)f (x)=(A

18、)充分必要條件.14 .設f (x)在0 , 1上連續(xù)，(A) F(1) _F(0)._p(x)，其中氓X)在X=1處連續(xù)，則護(1)=0是f(x)在x=1處可導的【1(B )必要但非充分條件.(C)1且 F (x) = f(x), a嚴 0則 ° f (ax)dx【(B) F(a)_F(0).( C)充分但非必要條件.(D)既非充分也非必要條件.】廳F(0).(D) aF(a)_ F(0).1 ( A) f (2x)dx 二 f(2x) C.d x1丁 0 f (x t)dt =f (x t).( D)dxf (xt)dt = f (x).15.下列等式中正確的是【(B) df (

19、2x) = f (2x) C.(C)16 .lim In 寸(1 +丄)2(1 +2)2(1 十上) n 廠 n八 n，')等于(A)12|n2xdx ( b) 2ln xdx. ( c)122 A In(1+x)dx. ( d)2ln 2(1 x)dx.17.設兀1f (x, y)為連續(xù)函數(shù)，_則04dv of(rcosv,rsin v)rdr 等于【.1 -x2f (x, y)dy.1 -x"；002 dy y f (x, y)dx.且y(x,y)= 0.已知(x0, y0)是f (x, y)在約束條件(x, y0下的一個極值】(A) 若 fx(x), y°)

20、=0，則 fy(x°, y°) =0.(b)若 fx(x0, y°) =0，則 fyg, y。)7" 0.(C)若 fx(x0, y°) =0，則 fy(x0, y°) 9 (d)若 fx(x°, y°) =0，則 fy(x0,y0)= o.2 219. 設|為橢圓 y 1，其周長記為43oOoo20. 級數(shù)送an收斂，級數(shù)【1 ( a)送ann(B)/ dxf(x, y)dy. (C)-0f (x, y)與(x, y)均為可微函數(shù),(d).02dy.0 f (x, y)dx.18.設點，下列選項正確的是-H-*則

21、(2xy *3x2 +4y2)ds=【1 ( A) 4a . ( B ) 8a . ( C)12a( D)16a.n妊、解答題oOoo收斂.(b)v (-1)nan 收斂( c)7 anan1 收斂.(d)n Tn T、:anan 1 收斂.nT221sin cos xx21.極限 lim ；x22 設函數(shù)f (x)在(_匚:)上有定義，其中k為常數(shù).(I )寫出f (x)在-2, 0上的表達式;(n )問k為何值時，f(x)在 d x為最小的直線方程。在區(qū)間0,2上,f (x) = x(x2 - 4),若對任意的x都滿足x = 0處可導.23.求通過點1, 1的直線y二f x中，使得|x24

22、 . 求曲面z = x2亠y2夾在二曲面x2亠y2 = y , 計算 x Y血河AB 丨222L(x y ) +y 25.2f xx2 y 2=2y之間的部分的面積。2 23 c >0，其中AB是沿著橢圓 72 =1的正向從fa bA a,0至U B 0,b的一段弧。26 設 f(x)為可微函數(shù)，且 f (0) =0, f (0) =2，試求 lim亠 hRdxdy。y2 t 2 ln(1 t3)27 .設f (x)在a,b I上連續(xù)，在a,b內(nèi)可導0 ：:a ：:b，證明存在1, 2(a, b)使f'(丿二需丄(a亠b)。28.已知曲線L的方程為 卜=t +1,牡A。)(I )

23、討論L的凹凸性；(n )過點(_j, 0)引L的切線，求切點(x0, y0)，y =4t -t2'并寫出切線的方程；(山)求此切線與L (對應于x企的部分)及x軸所圍成的平面圖形的面積。t 0 x2高等數(shù)學競賽一、填空題xyz = 07、設曲線 222 在點(1,1,0)處的法平面為S,則點(0,_2,2)到S的距離是x -y -z =0& 設 f(x,y) =arcsin. y ,則 fx(2,1)=() x二、選擇題lx2 - y213、曲線lz =x二 12A.14、二 52 2x -yy -2-1czA.15、A.f 人 y d：D2 2 . 2x y s a b.在點

24、（1,2,-3）處的切線方程為B.B. 口二口2 -11 (in y)2 _yacos16刀為z=2 - (x2+y2)在xoy上方部分，17、(3ar + 4y)2 + (2x 十 3y)2a. ab = 0C.f cos v , rsin2x_0c. x18、19、20、c.口二山-82 -1yx * (in y)2D.x -1 y -2 z 31 一 8-2D.yx -_yin y yrd，則區(qū)域D可以表示為（y2 < ax , a : 0 d.x2.ds =（斗+-#0皿&工0）是某二元函數(shù)的全微分,b. a b = 0 c.ab = 1 d.設曲線C是由極坐標方 程r=

25、r( 0 )( 0 1 w B w 0 2)給出，則If x, y ds=cpA.Tc. f rcosrsind.f r cosp rsin 二、r2 r 2d-:n |a n! a為任意正的實數(shù)，若級數(shù)7'n AD.2B.窘 f (x,y)j1 + y'2dx3f rcosrsin rdQOzn =2n 2 - n - 2都收斂,則a,b的關系是（）a. a eB.C.a n1:a e2有（D. 0 :下列級數(shù)中發(fā)散的級數(shù)是（°° （-1 n（A'n八n 1CO；(B )n =2)-1nVn +(T $(D)oOn三石+(Tf一、解答題求極限1、i

26、imU/x 0 tan x sin xf(x)廠2C0S x , xxx ae:0a為何值時,f （x）在x = 0處連續(xù)。3、求。4、設 f(X)在 a,'2sin x -cosx +5X為 25設 f (x,y)sint dt，求X今b 1 上連續(xù)，且 F(x) = x (x- t) f (t)dt x I,alb，試求 F （x）。6 計算二次積分(fl >0).17 .計算二重積分 II dxdy 其中 D: x2 y2 _4, x2 y2 乞 16, x2 y2 _ 4x。d x2 y21x2窘8.計算極限 lim e 刊 ln( x+2y+3)db 其中 d : 0x

27、 蘭 t, 0蘭 y 蘭t。二、證明題1.試證：F(t)= 0 ln(t22t cosx1dx偶函數(shù)。2.證明恒等式 x - 2 arctan(secxtan3.4.在 x時成立。2 2設f (x)對一切x, y滿足f (x + y) = ey f (x )+ef (y )且f (x)在x = 0處連續(xù)，求證：f (x)在任意x處連續(xù)。(x)dxf g2(x)dx 1設f ( x), g ( x)均在a, b上連續(xù)，證明柯西不等式f f(x)g(x)dx蘭 J fLa二、應用題x_xe +e1 .曲線y與直線x=0,x = t(t0)及 y = 0圍成一曲邊梯形該曲邊梯形繞x軸旋轉一周得一旋轉

28、體,2其體積為V(t),側面積為S(t),在X = t處的底面積為F(t).( I )求S(t)的值;(n )計算極限lim.V(t)t-和 F(t)高等數(shù)學競賽一、填空1.設 f x 二 tan x, f | g x： I 仝一g x則g x的定義域為求 lim arctan n! i，i . n 亠1 缶n : _. 23n +1n -13.sin 2x +xf ( x)設 lim30,則 limx 0x3x 05.曲線y =3x2xx2亠 10 亠(2 + tanx ) -( 2 4求 lim0sirx 107.9.11.13 .14 .sin x1 x2的拐點為函數(shù)f x = x 2

29、cos x在 0,上的最大值為丿 12求 J(2x +3x fdx =X 21 exdx =求02dx8.10 .12 .1 tanx求一匕 ln dx =1x 1 -x設f x連續(xù)，則d2dx1f x 51由曲線y=x ,x=2及y=2所圍圖形的面積S =x以向量a = m 2 n和b = m - 3n為邊的三角形的面積為，其中 m" = 5, n = 3, m , n = 1設 z f xy y ： xy , f,：具有二階連續(xù)導數(shù)，則-2:z15 .函數(shù)值增加最快的方向為1 1函數(shù) f x, y, z= cos xyz在點，-,JI' i2 sin jj mJI2n5n

30、n!17. 求 nim:2n n18. -dx./ xd e -1冪級數(shù)表達式為19 求三重積分I* exdv =x2 -y2 -z2 4x丿2 220.設L為橢圓y =1，其周長為C，則l 2xy - 3x2 4y2 ds二19 "設fxy 是有界閉區(qū)域：D =x, y f _缶上的連續(xù)函數(shù)，則lim n f x, y dxdy =aT° 兀 a D20 ".把二、解答題fdx f(x2+y2)dy在極坐標系中進行轉化：x21 '、 2 20dx0 f x y dy 二 - 1 1Qn(n + 1 j川|(2n_1)x f + x_ ej1求極限lim.2、求極限limn YnT 1 一 cosx3、求曲線nx = a(cost +t sin t),'力上任一點的法線到原點的距離y = a(si nt t cost).-2 f且滿足'_ 1 2g x, y = f xy,- x1 1 2 25、設函數(shù) f (x)連續(xù)，且 °tf (2 x t) dt arctan( x ，f (1) =1。求 f (x)dx.2 1，y axdy，其中 D=(x,