高中數(shù)學(xué) 第二章解析幾何初步之直線與圓同步練習(xí) 北師大版必修2

1、直線與圓變式題1.（北師大版必修2 第93 頁A組第1題）已知點(diǎn)，求直線的斜率.變式1：已知點(diǎn)，則直線的傾斜角是（ ）A. B. C. D.解：，故選（C）.變式2：（2006年北京卷）若三點(diǎn)共線，則的值等于 .解：、三點(diǎn)共線，.變式3：已知點(diǎn)，直線的傾斜角是直線的傾斜角的一半，求直線的斜率.解：設(shè)直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，依題意有，或.由，得，直線的斜率為.2.（人教A版必修2 第111頁A組第9題）求過點(diǎn)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程.變式1：直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則（ ）A. B. C. D.解：令得，直線在軸上的截距為；令得，直線在軸上的截距為，故選（B）.變

2、式2：過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是 .解：依題意，直線的斜率為1或直線經(jīng)過原點(diǎn)，直線的方程為或，即或.變式3：直線經(jīng)過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，求直線的方程.解：依題意，直線的斜率為±1，直線的方程為或，即或.3.（人教A版必修2 第124頁A組第3題）求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.變式1：過點(diǎn)（-5，-4）且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5的直線方程是 .解：設(shè)所求直線方程為，依題意有，（無解）或，解得或.直線的方程是或.變式2：（2006年上海春季卷）已知直線過點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB面積的最小值為 .解：設(shè)直

3、線的方程為，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，有最小值4.變式3：已知射線和點(diǎn)，在射線上求一點(diǎn)，使直線與及軸圍成的三角形面積最小.解：設(shè)，則直線的方程為.令得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)為（2，8）時(shí)，三角形面積最小.4.（北師大版必修2 第117頁A組第10題）求過點(diǎn)，且與直線平行的直線的方程.變式1：（2005年全國(guó)卷）已知過點(diǎn)和的直線與直線平行，則的值為（ ）A.0 B.-8 C.2 D.10解：依題意有，解得，故選（B）.變式2：與直線平行，且距離等于的直線方程是 .解：設(shè)所求直線方程為，則，解得或，直線方程為或.變式3：已知三條直線不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)的取值集合.解：依題意，當(dāng)三條直線中有

4、兩條平行或重合，或三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形，故或或，實(shí)數(shù)的取值集合是.5.（北師大版必修2 第117頁A組第7題）若直線和直線垂直，求的值.變式1：（1987年上海卷）若直線與直線平行但不重合，則等于（ ）A.-1或2 B.-1 C.2 D.解：，且，且，解得，故選（B）.變式2：（2005年北京春季卷）“”是“直線與直線相互垂直”的（ ）A.充分必要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件解：由或，知由可推出，但由推不出，故是的充分不必要條件，故選（B）.變式3：設(shè)直線與圓相交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求的值.解：圓經(jīng)過原點(diǎn)，且，是圓的直徑

5、，圓心（1，-2）在直線上，.6.（人教A版必修2 第110頁A組第3題）已知，求線段的垂直平分線的方程.變式1：已知關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線的方程是（ ）A. B. C. D. 解：依題意得，直線是線段的垂直平分線.，的中點(diǎn)為（1，1），直線的方程是即，故選（B）.變式2：已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱 ，則直線的方程是 .解：依題意得，兩圓的圓心與關(guān)于直線對(duì)稱，故直線是線段的垂直平分線，由變式1可得直線的方程為.變式3：求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).解：設(shè).由，且的中點(diǎn)在直線上，得，解得，.7.（北師大版必修2 第118頁B組第2題）光線自點(diǎn)射到點(diǎn)后被軸反射，求反射光線所在直線的方程.變式1：一條

6、光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射，與圓相切，則反射光線所在直線的方程是 .解：依題意得，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線所在的直線上，故可設(shè)反射光線所在直線的方程為，即.由反射光線與圓相切得，解得或，反射光線所在直線的方程是或，即或.變式2：（2003年全國(guó)卷）已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)、和，一質(zhì)點(diǎn)從的中點(diǎn)沿與夾角為的方向射到上的點(diǎn)后，依次反射到、和上的點(diǎn)、和（入射角等于反射角）.設(shè)的坐標(biāo)為.若，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D.解：用特例法，取，則、分別為、的中點(diǎn)，此時(shí).依題意，包含的選項(xiàng)（A）（B）（D）應(yīng)排除，故選（C）.變式3：已知點(diǎn)，在直線上求一點(diǎn)P，使最小.解：由題意知，點(diǎn)A、B在直線的同一側(cè).

7、由平面幾何性質(zhì)可知，先作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后連結(jié)，則直線與的交點(diǎn)P為所求.事實(shí)上，設(shè)點(diǎn)是上異于P的點(diǎn)，則.設(shè)，則，解得，直線的方程為.由，解得，.8.（人教A版必修2第144頁A組 3）求以為圓心，并且與直線相切的圓的方程.變式1：（2006年重慶卷）過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為（ ）A.或 B.或C.或 D.或解：設(shè)直線方程為，即.圓方程可化為，圓心為（2，-1），半徑為.依題意有，解得或，直線方程為或，故選（A）.變式2：（2006年湖北卷）已知直線與圓相切，則的值為 .解：圓的圓心為（1，0），半徑為1，解得或.變式3：求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程.解：設(shè)所求圓的方程

8、為，則，解得或，圓的方程為或.9.（人教A版必修2 第144頁 A組 第5題）求直線被圓截得的弦的長(zhǎng).變式1：（1999年全國(guó)卷）直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為（ ）A. B. C. D.解：依題意得，弦心距，故弦長(zhǎng)，從而OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對(duì)的圓心角為，故選（C）.變式2：（2006年天津卷）設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為，則 .解：由弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑構(gòu)成直角三角形，得，解得.變式3：已知圓，直線.（1）求證：不論取什么實(shí)數(shù)，直線與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）求直線被圓截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)的方程.解：（1）直線恒過定點(diǎn)，且，點(diǎn)在圓內(nèi)，直線與圓恒交于兩點(diǎn).（2）由平面幾何性質(zhì)可知，當(dāng)

9、過圓內(nèi)的定點(diǎn)的直線垂直于時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最小，此時(shí)，所求直線的方程為即.10.（北師大版必修2第117頁A組 第14題）已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.變式1：（2006年安徽卷）直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D.解：依題意有，解得.，故選（A）.變式2：（2006年湖北卷）若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是 .解：依題意有，解得，的取值范圍是.變式3：若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：曲線表示半圓，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是或.11.（北師大版必修2第101頁例8）判斷圓與圓的位置關(guān)系，并畫出圖形.變式1：（

10、1995年全國(guó)卷）圓和圓的位置關(guān)系是（ ）A.相離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切解：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，.，兩圓相交，故選（C）.變式2：若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值集合是 .解：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切，或，或，解得或，或或，實(shí)數(shù)的取值集合是.變式3：求與圓外切于點(diǎn)，且半徑為的圓的方程.解：設(shè)所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.兩圓外切于點(diǎn)，所求圓的方程為.12.（人教A版必修2 第145頁B組第2題）已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最大值和最小值.變式1：（2006年湖南卷）圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是（ ）A.36 B.18 C. D.解：圓的圓心

11、為（2，2），半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相離，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是，故選（C）.變式2：已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是 .解：設(shè)，則.設(shè)圓心為，則，的最小值為.變式3：已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).（1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值.解：（1）設(shè)，則表示點(diǎn)與點(diǎn)（2，1）連線的斜率.當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值.由，解得，的最大值為，最小值為.（2）設(shè)，則表示直線在軸上的截距. 當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值.由，解得，的最大值為，最小值為.13.（人教A版必修2第135頁B組第3題）已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，求點(diǎn)的軌跡方程.變式1：（20

12、06年四川卷）已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的面積等于（ ）A. B. C. D.解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.由，得，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，所求面積為，故選（B）.變式2：（2004年全國(guó)卷）由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，=600，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是 .解：設(shè).=600，=300.，化簡(jiǎn)得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.變式3：（2003年北京春季卷）設(shè)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比為定值，求點(diǎn)的軌跡.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.由，得，化簡(jiǎn)得.當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，整理得；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得.所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是軸.14.（人教A版必修2

13、第133頁例5）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.變式1：已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，是線段上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡方程是（ ）A. B.C. D.解：設(shè).，.點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，即，點(diǎn)的軌跡方程是，故選（C）.變式2：已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是 .解：設(shè).是的平分線， .由變式1可得點(diǎn)的軌跡方程是.變式3：已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，以、為鄰邊作平行四邊形，求點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)，的中點(diǎn)為.是平行四邊形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.直線經(jīng)過定點(diǎn)，化簡(jiǎn)得.點(diǎn)的軌跡方程是.15.（人教A版必修2第144頁練習(xí)第3題）某圓拱橋的水面跨度20，

14、拱高4.現(xiàn)有一船寬10，水面以上高3，這條船能否從橋下通過？變式1：某圓拱橋的水面跨度是20，拱高為4.現(xiàn)有一船寬9，在水面以上部分高3，故通行無阻.近日水位暴漲了1.5，為此，必須加重船載，降低船身.當(dāng)船身至少應(yīng)降低 時(shí)，船才能通過橋洞.（結(jié)果精確到0.01）解：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓拱所在圓的方程為.圓經(jīng)過點(diǎn)（10，0），（0，4），解得.圓的方程是. 令，得.故當(dāng)水位暴漲1.5后，船身至少應(yīng)降低，船才能通過橋洞.變式2：據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)：在城正東方300的海面處有一臺(tái)風(fēng)中心，正以每小時(shí)40的速度向西北方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心250以內(nèi)的地區(qū)將受其影響.從現(xiàn)在起經(jīng)過約 ，臺(tái)風(fēng)將影響城，持續(xù)時(shí)間約為 .（結(jié)果精確到0.1）解：以為原點(diǎn)，正東方向所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)軌跡是，受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域邊界的曲線方程是.依題意有，解得.從現(xiàn)在起經(jīng)過約2.0，臺(tái)風(fēng)將影響城，持續(xù)時(shí)間約為6.6.變式3：有一種商品，、兩地均有出售，且兩地價(jià)格相同.某地區(qū)的居民從兩地購買此種商品后往回販運(yùn)時(shí)，單位距離的運(yùn)費(fèi)地是地的3倍.已