概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試試題及解答

1、1、 填空題（每小題3分，共15分）1 設事件僅發(fā)生一個的概率為0.3，且，則至少有一個不發(fā)生的概率為_. 答案：0.3解：即所以 .2 設隨機變量服從泊松分布，且，則_.答案： 解答： 由 知 即 解得 ，故3 設隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，則隨機變量在區(qū)間內的概率密度為_.答案： 解答：設的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為，密度為則 因為，所以，即 故 另解 在上函數(shù)嚴格單調，反函數(shù)為所以4 設隨機變量相互獨立，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則_，=_.答案：， 解答： ，故 .5 設總體的概率密度為 .是來自的樣本，則未知參數(shù)的極大似然估計量為_.答案： 解答：似然函數(shù)為 解似然方程得的極大似然估計

2、為 .2、 單項選擇題（每小題3分，共15分）1設為三個事件，且相互獨立，則以下結論中不正確的是 （A）若，則與也獨立. （B）若，則與也獨立. （C）若，則與也獨立. （D）若，則與也獨立. （ ）答案：（D）. 解答：因為概率為1的事件和概率為0的事件與任何事件獨立，所以（A），（B），（C）都是正確的，只能選（D）.SABC 事實上由圖 可見A與C不獨立.2設隨機變量的分布函數(shù)為，則的值為 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ） 答案：（A） 解答： 所以 應選（A）.3設隨機變量和不相關，則下列結論中正確的是 （A）與獨立. （B）. （C）. （D）. （ ） 答案：（B）解

3、答：由不相關的等價條件知，應選（B）.4設離散型隨機變量和的聯(lián)合概率分布為 若獨立，則的值為 （A）. （A）. （C） （D）. （ ） 答案：（A） 解答： 若獨立則有YX ， 故應選（A）.5設總體的數(shù)學期望為為來自的樣本，則下列結論中 正確的是 （A）是的無偏估計量. （B）是的極大似然估計量. （C）是的相合（一致）估計量. （D）不是的估計量. （ ） 答案：（A） 解答： ，所以是的無偏估計，應選（A）.3、 （7分）已知一批產品中90%是合格品，檢查時，一個合格品被誤認為是次品的概率為0.05，一個次品被誤認為是合格品的概率為0.02，求（1）一個產品經檢查后被認為是合格品的概

4、率； （2）一個經檢查后被認為是合格品的產品確是合格品的概率. 解：設任取一產品，經檢驗認為是合格品 任取一產品確是合格品則（1） （2） .4、 （12分） 從學校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是2/5. 設為途中遇到紅燈的次數(shù)， 求的分布列、分布函數(shù)、數(shù)學期望和方差. 解：的概率分布為 即 的分布函數(shù)為 .5、 （10分）設二維隨機變量在區(qū)域 上服從均勻分布. 求（1）關于的邊緣概率密度；（2）的分布函數(shù)與概率密度.1D01zxyx+y=1x+y=zD1解： （1）的概率密度為 （2）利用公式 其中 當 或時xzz=x 時 故的概率

5、密度為 的分布函數(shù)為 或利用分布函數(shù)法6、 （10分）向一目標射擊，目標中心為坐標原點，已知命中點的橫坐標和縱坐標相互獨立，且均服從分布. 求（1）命中環(huán)形區(qū)域的概率；（2）命中點到目標中心距離的數(shù)學期望.xy012 解： （1） ； （2） . 七、（11分）設某機器生產的零件長度（單位：cm），今抽取容量為16的樣本，測得樣本均值，樣本方差. （1）求的置信度為0.95的置信區(qū)間；（2）檢驗假設（顯著性水平為0.05）. （附注） 解：（1）的置信度為下的置信區(qū)間為所以的置信度為0.95的置信區(qū)間為（9.7868，10.2132） （2）的拒絕域為. ， 因為 ，所以接受.概率論與數(shù)理統(tǒng)計

6、期末考試試題（A） 專業(yè)、班級： 姓名： 學號： 一、 單項選擇題(每題3分 共18分)1D 2A 3B 4A 5A 6B題 號一二三四五六七八九十十一十二總成績得 分一、單項選擇題(每題3分 共18分)（1）（2）設隨機變量X其概率分布為 X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4 則（ ）。(A)0.6 (B) 1 (C) 0 (D) （3）設事件與同時發(fā)生必導致事件發(fā)生，則下列結論正確的是（ ）（A） （B）（C） （D）（4）（5）設為正態(tài)總體的一個簡單隨機樣本，其中未知，則（ ）是一個統(tǒng)計量。 (A) (B) (C) (D) （6）設樣本來自總體未知。統(tǒng)計假設為 則所用統(tǒng)

7、計量為（ ）(A) (B) (C) (D)二、填空題(每空3分 共15分)（1）如果，則 .（2）設隨機變量的分布函數(shù)為則的密度函數(shù) ， .（3）（4）設總體和相互獨立,且都服從，是來自總體的樣本，是來自總體的樣本，則統(tǒng)計量 服從 分布（要求給出自由度）。二、填空題(每空3分 共15分)1. 2. , 3. 4. 三、(6分) 設 相互獨立，求.解： 0.88= = (因為相互獨立).2分 = 3分 則 .4分 6分四、（6 分）某賓館大樓有4部電梯，通過調查，知道在某時刻T，各電梯在運行的概率均為0.7，求在此時刻至少有1臺電梯在運行的概率。解：用表示時刻運行的電梯數(shù)， 則 .2分所求概率

8、4分 =0.9919 .6分 五、（6分）設隨機變量X的概率密度為 ，求隨機變量Y=2X+1的概率密度。解：因為是單調可導的，故可用公式法計算 .1分 當時， .2分由， 得 4分從而的密度函數(shù)為 .5分= .6分 五、（6分）設隨機變量X的概率密度為 ，求隨機變量Y=2X+1的概率密度。解：因為是單調可導的，故可用公式法計算 .1分 當時， .2分由， 得 4分從而的密度函數(shù)為 .5分= .6分六、（8分） 已知隨機變量和的概率分布為 而且.(1) 求隨機變量和的聯(lián)合分布;(2)判斷與是否相互獨立?解：因為，所以(1)根據(jù)邊緣概率與聯(lián)合概率之間的關系得出 -1 0 101000 .4分(2)

9、 因為 所以 與不相互獨立 8分七、（8分）設二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求：（1）；（2）求的邊緣密度。解：（1） .2分 = = .4分（2） .6分 .8分八、（6分）一工廠生產的某種設備的壽命（以年計）服從參數(shù)為的指數(shù)分布。工廠規(guī)定，出售的設備在售出一年之內損壞可予以調換。若工廠售出一臺設備盈利100元，調換一臺設備廠方需花費300元，求工廠出售一臺設備凈盈利的期望。解： 因為 得 .2分用表示出售一臺設備的凈盈利 3分則 .4分所以 （元） .6分九、（8分）設隨機變量與的數(shù)學期望分別為和2，方差分別為1和4，而相關系數(shù)為，求。解：已知則 .4分 .5分 .6分=12 .8分十、（7

10、分）設供電站供應某地區(qū)1 000戶居民用電，各戶用電情況相互獨立。已知每戶每日用電量（單位：度）服從0，20上的均勻分布，利用中心極限定理求這1 000戶居民每日用電量超過10 100度的概率。（所求概率用標準正態(tài)分布函數(shù)的值表示）.解：用表示第戶居民的用電量，則 2分則1000戶居民的用電量為，由獨立同分布中心極限定理 3分= 4分 .6分= 7分十一、（7分）設是取自總體的一組樣本值，的密度函數(shù)為其中未知，求的最大似然估計。解: 最大似然函數(shù)為 .2分= .3分則 .4分令 .5分于是的最大似然估計：。 .7分十二、（5分）某商店每天每百元投資的利潤率服從正態(tài)分布，均值為，長期以來方差 穩(wěn)

11、定為1，現(xiàn)隨機抽取的100天的利潤，樣本均值為，試求的置信水平為95%的置信區(qū)間。（ ） 解： 因為已知，且 1分故 2分依題意 則的置信水平為95%的置信區(qū)間為 4分即為 4.801,5.199 5分概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程期末考試試題（B）專業(yè)、班級： 姓名： 學號： 題 號一二三四五六七八九十十一十二總成績得 分一、單項選擇題(每題3分 共15分)（1）（2）（3）連續(xù)隨機變量X的概率密度為 則隨機變量X落在區(qū)間 (0.4, 1.2) 內的概率為( ).(A) 0.64 ; (B) 0.6; (C) 0.5; (D) 0.42.（4）（5）二、填空題(每空2分 共12分)（1）（2）（3）（

12、4）三、(7分) 已知，條件概率.四、(9分) .設隨機變量的分布函數(shù)為， 求:（1）常數(shù),；（2）；（3）隨機變量的密度函數(shù)。五、(6分) 某工廠有兩個車間生產同型號家用電器，第1車間的次品率為0.15，第2車間的次品率為0.12.兩個車間生產的成品都混合堆放在一個倉庫中，假設1、2車間生產的成品比例為2：3，今有一客戶從成品倉庫中隨機提臺產品，求該產品合格的概率.六、(8分) 已知甲、乙兩箱裝有同種產品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品，從甲箱中任取3件產品放入乙箱后，求乙箱中次品件數(shù)的分布律及分布函數(shù).七、(7分) 設隨機變量的密度函數(shù)為求隨機變量的函數(shù) 的密度

13、函數(shù)。八、(6分) 現(xiàn)有一批鋼材，其中80%的長度不小于3 m，現(xiàn)從鋼材中隨機取出100根，試用中心極限定理求小于3 m的鋼材不超過30的概率。(計算結果用標準正態(tài)分布函數(shù)值表示)九、(10分) 設二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求：（1）；（2）求,的邊緣密度;（3）判斷與是否相互獨立十、(8分) 設隨機變量（）的聯(lián)合密度函數(shù)為求, 進一步判別與是否不相關。十一、(7分) .設是來自總體的一個簡單隨機樣本，總體的密度函數(shù)為求的矩估計量。十二、（5分）總體測得樣本容量為100的樣本均值，求的數(shù)學期望的置信度等于0.95的置信區(qū)間。（ 一、 單項選擇題：（15分）1、D2、D3、B4、A5、C二、 填空題：（12分）1、