概率論與數(shù)理統(tǒng)計講義

1、第一章 隨機事件和概率第一節(jié) 基本概念1、排列組合初步（1）排列組合公式 從m個人中挑出n個人進行排列的可能數(shù)。 從m個人中挑出n個人進行組合的可能數(shù)。例11：方程的解是A  4 B 3 C 2 D 1例12：有5個隊伍參加了甲A聯(lián)賽，兩兩之間進行循環(huán)賽兩場，試問總共的場次是多少？(2)加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n 種方法來完成。(3)乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n 種方法來完成，

2、則這件事可由m×n 種方法來完成。例13：從5位男同學和4位女同學中選出4位參加一個座談會，要求與會成員中既有男同學又有女同學，有幾種不同的選法？例14：6張同排連號的電影票，分給3名男生和3名女生，如欲男女相間而坐，則不同的分法數(shù)為多少？例15：用五種不同的顏色涂在右圖中四個區(qū)域里，每一區(qū)域涂上一種顏色，且相鄰區(qū)域的顏色必須不同，則共有不同的涂法 A120種B140種 C160種D180種(4)一些常見排列 特殊排列 相鄰 彼此隔開 順序一定和不可分辨例16：晚會上有5個不同的唱歌節(jié)目和3個不同的舞蹈節(jié)目，問：分別按以下要求各可排出幾種不同的節(jié)目單？3個舞蹈節(jié)目排在一起；3個舞蹈節(jié)

3、目彼此隔開；3個舞蹈節(jié)目先后順序一定。例17：4幅大小不同的畫，要求兩幅最大的排在一起，問有多少種排法？例18：5輛車排成1排，1輛黃色，1輛藍色，3輛紅色，且3輛紅車不可分辨，問有多少種排法？ 重復排列和非重復排列（有序）例19：5封不同的信，有6個信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？ 對立事件例110：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有幾種不同的坐法？例111：15人中取5人，有3個不能都取，有多少種取法？例112：有4對人，組成一個3人小組，不能從任意一對中取2個，問有多少種可能性？ 順序問題例113：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的種數(shù)？（有序）例114：3白球，2黑球，先后

4、取2球，不放回，2白的種數(shù)？（有序）例115：3白球，2黑球，任取2球，2白的種數(shù)？（無序）2、隨機試驗、隨機事件及其運算（1）隨機試驗和隨機事件如果一個試驗在相同條件下可以重復進行，而每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機事件。例如：擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面及出現(xiàn)反面；擲一顆骰子，出現(xiàn)“1”點、“5”點和出現(xiàn)偶數(shù)點都是隨機事件；電話接線員在上午9時到10時接到的電話呼喚次數(shù)（泊松分布）；對某一目標發(fā)射一發(fā)炮彈，彈著點到目標的距離為0.1米、0.5米及1米到3米之間都是隨機事件（正態(tài)分布）。在一個試驗下，不管事件有多

5、少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：（1） 每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；（2） 任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示，例如（離散）?；臼录娜w，稱為試驗的樣本空間，用表示。一個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，表示事件，它們是的子集。如果某個是事件A的組成部分，即這個在事件A中出現(xiàn)，記為。如果在一次試驗中所出現(xiàn)的有，則稱在這次試驗中事件A發(fā)生。如果不是事件A的組成部分，就記為。在一次試驗中，所出現(xiàn)的有，則稱此次試驗A沒有發(fā)生。為必然事件，Ø為不可能事

6、件。（2）事件的關(guān)系與運算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時有，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時發(fā)生：AB，或者AB。AB=Ø，則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙α?。運算： 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(A

7、B)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，例116：一口袋中裝有五只乒乓球，其中三只是白色的，兩只是紅色的?，F(xiàn)從袋中取球兩次，每次一只，取出后不再放回。寫出該試驗的樣本空間。若表示取到的兩只球是白色的事件，表示取到的兩只球是紅色的事件，試用、表示下列事件：（1）兩只球是顏色相同的事件，（2）兩只球是顏色不同的事件，（3）兩只球中至少有一只白球的事件。 例117：硬幣有正反兩面，連續(xù)拋三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件：（1）前兩次正面朝上，第三次正面朝下的事件，（2）至少有一次正面朝上的事件，（3）前兩次正面朝上的事件。3、概率的

8、定義和性質(zhì)（1）概率的公理化定義設為樣本空間，為事件，對每一個事件都有一個實數(shù)P(A)，若滿足下列三個條件：1° 0P(A)1， 2° P() =13° 對于兩兩互不相容的事件，有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。（2）古典概型（等可能概型）1° ，2° 。設任一事件，它是由組成的，則有P(A)= =例118：集合A中有100個數(shù)，B中有50個數(shù)，并且滿足A中元素與B中元素關(guān)系a+b=10的有20對。問任意分別從A和B中各抽取一個，抽到滿足a+b=10的a,b的概率。例119：5雙不同顏色的襪子，從中任取兩只，是一對的概率為多

9、少？例120：在共有10個座位的小會議室內(nèi)隨機地坐上6名與會者，則指定的4個座位被坐滿的概率是AB CD 例121：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序）例122：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序）例123：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（無序）注意：事件的分解；放回與不放回；順序問題。4、五大公式（加法、減法、乘法、全概、貝葉斯）（1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當P(AB)0時，P(A+B)=P(A)+P(B)例124：從0，1，9這十個數(shù)字中任意選出三個不同的數(shù)字，試求下列事件的概率：A“三個數(shù)字中不含0或者不含5”。

10、（2）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)當A=時，P()=1- P(B)例125：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P(+).例126：對于任意兩個互不相容的事件A與B， 以下等式中只有一個不正確，它是：(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P()-1(C) P(-B)= P()-P(B) (D)P(AB)(A-B)=P(A) (E)p=P(A) -P()（3）條件概率和乘法公式定義 設A、B是兩個事件，且P(A)>0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為

11、。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)乘法公式：更一般地，對事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)>0，則有。例127：甲乙兩班共有70名同學，其中女同學40名，設甲班有30名同學，而女生15名，問在碰到甲班同學時，正好碰到一名女同學的概率。例128：5把鑰匙，只有一把能打開，如果某次打不開就扔掉，問以下事件的概率？第一次打開；第二次打開；第三次打開。（4）全概公式設事件滿足1°兩兩互不相容，2°，則有。此公式即為全概率公式。例129：播種小麥時所用的種子中二等種子占2，三等種子占1.5，四等種子

12、占1，其他為一等種子。用一等、二等、三等、四等種子播種長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，試求種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率。例130：甲盒內(nèi)有紅球4只，黑球2只，白球2只；乙盒內(nèi)有紅球5只，黑球3只；丙盒內(nèi)有黑球2只，白球2只。從這三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是紅球的概率是：A0.5625B0.5C0.45D0.375 E 0.225例131：100個球，40個白球，60個紅球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？（5）貝葉斯公式設事件，及滿足1° ，兩兩互不相容，>0，1，2，2° ，則

13、，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。，（，），通常叫先驗概率。，（，），通常稱為后驗概率。如果我們把當作觀察的“結(jié)果”，而，理解為“原因”，則貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。例132：假定用甲胎蛋白法診斷肝癌。設表示被檢驗者的確患有肝癌的事件，表示診斷出被檢驗者患有肝癌的事件，已知，?，F(xiàn)有一人被檢驗法診斷為患有肝癌，求此人的確患有肝癌的概率。5、事件的獨立性和伯努利試驗（1）兩個事件的獨立性設事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的（這個性質(zhì)不是想當然成立的）。 若事件、相互獨立，且，則有所以這與我們所理解的獨立性是一致的。若事件、相互獨立，則可得到與、與、與也都

14、相互獨立。（證明）由定義，我們可知必然事件和不可能事件Ø與任何事件都相互獨立。（證明） 同時，Ø與任何事件都互斥。（2）多個事件的獨立性設ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。兩兩互斥互相互斥。兩兩獨立互相獨立？例133：已知，證明事件、相互獨立。例134：A，B，C相互獨立的充分條件：（1）A，B，C兩兩獨立（2）A與BC獨立例135：甲，乙兩個射手彼此獨立地射擊同一目標各一次，甲射中的概率

15、為0.9，乙射中的概率為0.8，求目標沒有被射中的概率。（3）伯努利試驗定義 我們作了次試驗，且滿足u 每次試驗只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；u 次試驗是重復進行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；u 每次試驗是獨立的，即每次試驗發(fā)生與否與其他次試驗發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗。用表示每次試驗發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗中出現(xiàn)次的概率，。例136：袋中裝有個白球及個黑球，從袋中任取a+b次球，每次放回，試求其中含a個白球，b個黑球的概率（a，b）。例137：做一系列獨立試驗，每次試驗成功的概率為p，求在第n次成功之前恰失敗m次的概率。第二節(jié) 練習

16、題1、事件的運算和概率的性質(zhì)例138：化簡 (A+B)(A+)(+B)例139：ABC=AB(CB) 成立的充分條件為： (1)ABC (2)BC例140：已知P(A)=x，P(B)=2x，P(C)=3x，P(AB)=P(BC)，求x的最大值。例141：當事件A與B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則下列結(jié)論正確的是（A） P（C）=P（AB）。（B） P（C）=P（AB）。（C） P（C）P（A）+P（B）-1（D） P（C）P（A）+P（B）-1。2、古典概型例142：3男生，3女生，從中挑出4個，問男女相等的概率？例143：電話號碼由四個數(shù)字組成，每個數(shù)字可以是0,1,2,9中的任一個數(shù)，求電話

17、號碼是由完全不同的數(shù)字組成的概率。例144：袋中有6只紅球、4只黑球，今從袋中隨機取出4只球，設取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，則得分不大于6分的概率是 AB CD 例145：10個盒子，每個裝著標號為“16”的卡片。每個盒子任取一張，問10張中最大數(shù)是4的概率？例146：將n個人等可能地分到N（nN）間房間中去，試求下列事件的概率。A“某指定的n間房中各有1人”；B“恰有n間房中各有1人”C“某指定的房中恰有m（mn）人”例147：有5個白色珠子和4個黑色珠子，從中任取3個，問全是白色的概率？3、條件概率和乘法公式例148：假設事件A和B滿足P（B | A）=1，則 （A） A是必然

18、事件。（B）。 （C）。（D）。例149：設A，B為兩個互斥事件，且P（A）>0, P(B)>0，則結(jié)論正確的是（A） P（B | A）>0。（B） P（A | B）=P（A）。（C） P（A | B）=0。（D） P（AB）=P（A）P（B）。例150：某種動物由出生而活到20歲的概率為0.7，活到25歲的概率為0.56，求現(xiàn)齡為20歲的這種動物活到25歲的概率。例151：某人忘記三位號碼鎖（每位均有09十個數(shù)碼）的最后一個數(shù)碼，因此在正確撥出前兩個數(shù)碼后，只能隨機地試撥最后一個數(shù)碼，每撥一次算作一次試開，則他在第4次試開時才將鎖打開的概率是ABCD 例152：在空戰(zhàn)訓練中

19、，甲機先向乙機開火，擊落乙機的概率為0.2；若乙機未被擊落，就進行還擊，擊落甲機的概率是0.3；若甲機未被擊落，則再進攻乙機，擊落乙機的概率是0.4，求在這幾個回合中：甲機被擊落的概率；乙機被擊落的概率。例153：為防止意外事故，在礦井內(nèi)同時安裝兩種報警系統(tǒng)A與B，每種系統(tǒng)單獨使用時，其有效率A為0.92，B為0.93，在A失靈條件下B有效概率為0.85。求：（1）這兩種警報系統(tǒng)至少有一個有效的概率；（2）在B失靈條件下，A有效的概率。4、全概和貝葉斯公式例154：甲文具盒內(nèi)有2支藍色筆和3支黑色筆，乙文具盒內(nèi)也有2支藍色筆和3支黑色筆現(xiàn)從甲文具盒中任取2支筆放入乙文具盒，然后再從乙文具盒中任

20、取2支筆求最后取出的2支筆都是黑色筆的概率。例155：三個箱子中，第一箱裝有4個黑球1個白球，每二箱裝有3個黑球3個白球，第三箱裝有3個黑球5個白球?，F(xiàn)先任取一箱，再從該箱中任取一球，問：（1）取出的球是白球的概率？（2）若取出的為白球，則該球?qū)儆诘诙涞母怕剩坷?56：袋中有4個白球、6個紅球，先從中任取出4個，然后再從剩下的6個球中任取一個，則它恰為白球的概率是。5、獨立性和伯努利概型例157：設P(A)>0,P(B)>0，證明（1） 若A與B相互獨立，則A與B不互斥；（2） 若A與B互斥，則A與B不獨立。例158：設兩個隨機事件A，B相互獨立，已知僅有A發(fā)生的概率為，僅有B發(fā)

21、生的概率為，則P（A）=，P（B）=。例159：若兩事件A和B相互獨立，且滿足P(AB)=P(), P(A)=0.4，求P(B).例160：設兩兩相互獨立的三事件A，B和C滿足條件；ABC=，P（A）=P（B）=P（C）<，且已知，則P（A）=。例161：A發(fā)生的概率是0.6，B發(fā)生的概率是0.5，問A,B同時發(fā)生的概率的范圍？例162：設某類型的高炮每次擊中飛機的概率為0.2，問至少需要多少門這樣的高炮同時獨立發(fā)射（每門射一次）才能使擊中飛機的概率達到95%以上。例163：由射手對飛機進行4次獨立射擊，每次射擊命中的概率為0.3，一次命中時飛機被擊落的概率為 0.6，至少兩次

22、命中時飛機必然被擊落，求飛機被擊落的概率。例164：將一骰子擲m+n次，已知至少有一次出6點，求首次出6點在第n次拋擲時出現(xiàn)的概率。例165：兩只一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）內(nèi)的紅球數(shù)與黑球數(shù)之比為2：1，另一罐（取名“乙罐”）內(nèi)的黑球數(shù)與紅球數(shù)之比為2：1 。今任取一罐并從中取出50只球，查得其中有30只紅球和20只黑球，則該罐為“甲罐”的概率是該罐為“乙罐”的概率的(A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍第二章 隨機變量及其分布第一節(jié) 基本概念在許多試驗中，觀察的對象常常是一個隨同取值的量。例如擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，它本身就是一

23、個數(shù)值，因此P(A)這個函數(shù)可以看作是普通函數(shù)（定義域和值域都是數(shù)字，數(shù)字到數(shù)字）。但是觀察硬幣出現(xiàn)正面還是反面，就不能簡單理解為普通函數(shù)。但我們可以通過下面的方法使它與數(shù)值聯(lián)系起來。當出現(xiàn)正面時，規(guī)定其對應數(shù)為“1”；而出現(xiàn)反面時，規(guī)定其對應數(shù)為“0”。于是稱為隨機變量。又由于是隨著試驗結(jié)果（基本事件）不同而變化的，所以實際上是基本事件的函數(shù)，即X=X()。同時事件A包含了一定量的（例如古典概型中A包含了1，2，m，共m個基本事件），于是P(A)可以由P(X()來計算，這是一個普通函數(shù)。定義 設試驗的樣本空間為，如果對中每個事件都有唯一的實數(shù)值X=X()與之對應，則稱X=X()為隨機變量，簡

24、記為。有了隨機變量，就可以通過它來描述隨機試驗中的各種事件，能全面反映試驗的情況。這就使得我們對隨機現(xiàn)象的研究，從前一章事件與事件的概率的研究，擴大到對隨機變量的研究，這樣數(shù)學分析的方法也可用來研究隨機現(xiàn)象了。一個隨機變量所可能取到的值只有有限個（如擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)）或可列無窮多個（如電話交換臺接到的呼喚次數(shù)），則稱為離散型隨機變量。像彈著點到目標的距離這樣的隨機變量，它的取值連續(xù)地充滿了一個區(qū)間，這稱為連續(xù)型隨機變量。1、隨機變量的分布函數(shù)（1）離散型隨機變量的分布率設離散型隨機變量的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,

25、，則稱上式為離散型隨機變量的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：。顯然分布律應滿足下列條件：（1），（2）。例21：投骰子，出現(xiàn)偶數(shù)的概率？例22：4黑球，2白球，每次取一個，不放回，直到取到黑為止，令X()為“取白球的數(shù)”，求X的分布律。例23：若干個容器，每個標號13，取出某號容器的概率與該號碼成反比，令X()表示取出的號碼，求X的分布律。（2）分布函數(shù)對于非離散型隨機變量，通常有，不可能用分布率表達。例如日光燈管的壽命，。所以我們考慮用落在某個區(qū)間內(nèi)的概率表示。定義 設為隨機變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)。 可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。也就是說，分布函數(shù)完整地描述

26、了隨機變量X隨機取值的統(tǒng)計規(guī)律性。分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，它表示隨機變量落入?yún)^(qū)間（ ，x內(nèi)的概率。的圖形是階梯圖形，是第一類間斷點，隨機變量在處的概率就是在處的躍度。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1° ；2° 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時，有 ；3° ， ；4° ，即是右連續(xù)的；5° 。例24：設離散隨機變量的分布列為，求的分布函數(shù)，并求，。例25：設隨機變量X的分布函數(shù)為其中A是一個常數(shù)，求（1） 常數(shù)A（2）P（1X2）（3）連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)定義 設是隨機變量的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)，對任意實數(shù)，有， 則稱為連續(xù)型隨機變量。稱為的概率密度函數(shù)

27、或密度函數(shù)，簡稱概率密度。的圖形是一條曲線，稱為密度（分布）曲線。由上式可知，連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。所以，密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：1° 。2° 。的幾何意義；在橫軸上面、密度曲線下面的全部面積等于1。如果一個函數(shù)滿足1°、2°，則它一定是某個隨機變量的密度函數(shù)。3° 。4° 若在處連續(xù)，則有。它在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。對于連續(xù)型隨機變量，雖然有，但事件并非是不可能事件Ø。令，則右端為零，而概率，故得。不可能事件（Ø）的概率為零，而概率為零的事件不一定

28、是不可能事件；同理，必然事件（）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。例26：隨機變量X的概率密度為f(x)，求A和F(x)。例27：隨機變量X的概率密度為求X的分布函數(shù)和2、常見分布01分布P(X=1)=p, P(X=0)=q例如樹葉落在地面的試驗，結(jié)果只能出現(xiàn)正面或反面。二項分布在重貝努里試驗中，設事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設為，則可能取值為。， 其中，則稱隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。容易驗證，滿足離散型分布率的條件。當時，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項分布的特例。例28：某人進行射擊，設每次射擊的命中率為0.001，若獨立地射擊500

29、0次，試求射中的次數(shù)不少于兩次的概率。泊松分布設隨機變量的分布律為，則稱隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項分布的極限分布（np=，n）。如飛機被擊中的子彈數(shù)、來到公共汽車站的乘客數(shù)、機床發(fā)生故障的次數(shù)、自動控制系統(tǒng)中元件損壞的個數(shù)、某商店中來到的顧客人數(shù)等，均近似地服從泊松分布。例29：某人進行射擊，設每次射擊的命中率為0.001，若獨立地射擊5000次，試求射中的次數(shù)不少于兩次的概率，用泊松分布來近似計算。超幾何分布隨機變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布。例210：袋中裝有個白球及個黑球，從袋中任取a+b個球，試求其中含a個白球，b個黑球的概率（a，b）。（非重

30、復排列）例211：袋中裝有個白球及個黑球，從袋中連續(xù)地取a+b個球（不放回），試求其中含a個白球，b個黑球的概率（a，b）。（非重復排列）例212：袋中裝有個白球及個黑球，從袋中連續(xù)地取a+b個球（放回），試求其中含a個白球，b個黑球的概率（a，b）。（重復排列）幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布。例213：5把鑰匙，只有一把能打開，如果某次打不開不扔掉，問以下事件的概率？第一次打開；第二次打開；第三次打開。均勻分布設隨機變量的值只落在a，b內(nèi)，其密度函數(shù)在a，b上為常數(shù)k，即axb  其他，其中k=，則稱隨機變量在a，b上服從均勻分布，記為XU(a，b

31、)。分布函數(shù)為 axb 0， x<a，  1， x>b。當ax1<x2b時，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為P(。例214：設電阻R是一個均勻在9001100的隨機變量，求R落在10001200之間的概率。指數(shù)分布設隨機變量X的密度函數(shù)為 ,0, ,  其中，則稱隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 , x<0。  記住幾個積分：， 例215：一個電子元件的壽命是一個隨機變量。它的分布函數(shù)的含義是，該電子元件的壽命不超過的概率。通常我們都假定電子元件的壽命服從指數(shù)分布。試證明服從指數(shù)分布的隨機變量具有“無記憶性”：。正態(tài)分布設隨

32、機變量的密度函數(shù)為， ，其中、為常數(shù)，則稱隨機變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質(zhì)：1° 的圖形是關(guān)于對稱的；2° 當時，為最大值；3° 以軸為漸近線。特別當固定、改變時，的圖形形狀不變，只是集體沿軸平行移動，所以又稱為位置參數(shù)。當固定、改變時，的圖形形狀要發(fā)生變化，隨變大，圖形的形狀變得平坦，所以又稱為形狀參數(shù)。若，則的分布函數(shù)為。參數(shù)、時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為，分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(x)和(x)的性質(zhì)如下：1° (x)是偶函數(shù)，(x)(-x)；2

33、6; 當x=0時，(x)為最大值；3° (-x)1-(x)且(0)。如果，則。所以我們可以通過變換將的計算轉(zhuǎn)化為的計算，而的值是可以通過查表得到的。 分位數(shù)的定義。例216：設，求，；求常數(shù)c，使P(X>c)=2P(Xc)。例217：某人需乘車到機場搭乘飛機，現(xiàn)有兩條路線可供選擇。第一條路線較短，但交通比較擁擠，到達機場所需時間X（單位為分）服從正態(tài)分布N（50，100）。第二條路線較長，但出現(xiàn)意外的阻塞較少，所需時間X服從正態(tài)分布N（60，16）。（1）若有70分鐘可用，問應走哪一條路線？（2）若有65分鐘可用，又應選擇哪一條路線？3、隨機變量函數(shù)的分布隨機變量是隨機變量的函

34、數(shù)，若的分布函數(shù)或密度函數(shù)知道，則如何求出的分布函數(shù)或密度函數(shù)。（1）是離散型隨機變量已知的分布列為 ，顯然，的取值只可能是，若互不相等，則的分布列如下：，若有某些相等，則應將對應的相加作為的概率。例218：已知隨機變量的分布列為，求的分布列。（2）是連續(xù)型隨機變量先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)，再利用變上下限積分的求導公式求出fY(y)。例219：已知隨機變量，求的密度函數(shù)。第二節(jié) 練習題1、常見分布例220：一個袋中有5只球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以X表示取出的3個球中的最大號碼，試求X的概率分布。例221：設非負隨機變量的密度函數(shù)為

35、f(x)=A ，x>0,則A= 。例222： 是概率密度函數(shù)的充分條件是：（1）均為概率密度函數(shù)（2）例223：一個不懂英語的人參加GMAT機考，假設考試有5個選擇題，每題有5個選項（單選），試求：此人答對3題或者3題以上（至少獲得600分）的概率？例224：設隨機變量XU（0，5），求方程有實根的概率。例225：設隨機變量X的概率密度為其使得，則k的取值范圍是。例226：已知某種電子元件的壽命（單位：小時）服從指數(shù)分布，若它工作了900小時而未損壞的概率是 ，則該種電子元件的平均壽命是A 990小時 B 1000小時 C 1010小時 D 1020小時例227：設隨機變量X的概率密度為

36、：則其分布函數(shù)F(x)是（A）（B）（C）（D）例228：XN(1,4)，YN(2,9)，問P(X-1)和P(Y5)誰大？例229：XN(,2)，0，>0，且P()=，則？2、函數(shù)分布例230：設隨機變量X具有連續(xù)的分布函數(shù)F(x)，求Y=F（X）的分布函數(shù)F（y）。（或證明題：設X的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)，證明隨機變量Y=F（X）在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布。）例231：設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，則Y=-2lnF(X)的概率分布密度函數(shù)fY(y)=.例232：設XU，并且y=tanx，求Y的分布密度函數(shù)f(y)。例233：設隨機變量X服從指數(shù)分布，則隨機變量Y=minX,

37、 2的分布函數(shù)（A）是連續(xù)函數(shù)（B）至少有兩個間斷點（C）是階梯函數(shù)（D）恰好有一個間斷點第三章 二維隨機變量及其分布第一節(jié) 基本概念1、二維隨機變量的基本概念（1）二維離散型隨機變量聯(lián)合概率分布及邊緣分布如果二維隨機向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ▁,y）時，則稱為離散型隨機量。理解：（X=x,Y=y）（X=xY=y）設=（X，Y）的所有可能取值為，且事件=的概率為pij,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示： YXy1y2yjpi·x1p11p12p1jp1·x2p21p22p2jp2·xip

38、i1pi·p·jp·1p·2p·j1這里pij具有下面兩個性質(zhì)：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）對于隨機向量（X，Y），稱其分量X（或Y）的分布為（X，Y）的關(guān)于X（或Y）的邊緣分布。上表中的最后一列（或行）給出了X為離散型，并且其聯(lián)合分布律為，則X的邊緣分布為 ；Y的邊緣分布為 。例31：二維隨機向量（X，Y）共有六個取正概率的點，它們是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它們的概率相同，則（X，Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布為 YX-1012p1·100020300p&

39、#183;j1（2）二維連續(xù)型隨機向量聯(lián)合分布密度及邊緣分布對于二維隨機向量，如果存在非負函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區(qū)域D，即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有則稱為連續(xù)型隨機向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：（1） f(x,y)0;一般來說，當（X，Y）為連續(xù)型隨機向量，并且其聯(lián)合分布密度為f(x,y)，則X和Y的邊緣分布密度為注意：聯(lián)合概率分布邊緣分布例32：設（X，Y）的聯(lián)合分布密度為試求：（1）常數(shù)C；（2）P0<X<1, 0<Y<2;

40、（3）X與Y的邊緣分布密度（3）條件分布當（X，Y）為離散型，并且其聯(lián)合分布律為在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為其中pi, pj分別為X，Y的邊緣分布。當（X，Y）為連續(xù)型隨機向量，并且其聯(lián)合分布密度為f(x,y)，則在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為其中分別為X，Y的邊緣分布密度。例33： 設二維隨向量（X，Y）的聯(lián)合分布為X Y0.40.820.150.0550.300.1280.350.03求（1）X與Y的邊緣分布；（2）X關(guān)于Y取值y1=0.4的條件分布；（3）Y關(guān)于X取值x2=5的條件分布。（4）常見的二維分布均勻分布設隨機向量

41、（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中SD為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1 D1O 1 x圖3.1yD211O 2 x圖3.2yD3dcO a b x圖3.3例34： 設二維連續(xù)型隨機變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，其中求X的邊緣密度fX(x)畫線觀察積分上下限。正態(tài)分布設隨機向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中，共5個參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）N（由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，反推則錯。即XN（5）二維隨機向量聯(lián)合分布函數(shù)及其性質(zhì)設（X，Y）為二維隨機

42、變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）F（x,y）分別對x和y是非減的，即當x2>x1時，有F（x2,y）F(x1,y);當y2>y1時，有F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即（4）2、隨機變量的獨立性（1）一般型隨機變量F(X,Y)=FX(x)FY(y)（2）離散型隨機變量例35：二維隨機向量（X，Y）共有六個取正概率的點，它們是：（1，-1），（2，

43、-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它們的概率相同，則（X，Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布為 YX-1012p1·100020300p·j1（3）連續(xù)型隨機變量f(x,y)=fX(x)fY(y)聯(lián)合分布邊緣分布f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形例36：如圖3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不獨立。例37：f(x,y)=（4）二維正態(tài)分布=0（5）隨機變量函數(shù)的獨立性若X與Y獨立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X）和g（Y）獨立。例如：若X與Y獨立，則：3

44、X+1和5Y-2獨立。3、簡單函數(shù)的分布兩個隨機變量的和Z=X+Y離散型：例38：設（X，Y）的聯(lián)合分布為X Y01201求(i)Z1=X+Y; (ii)Z2=X-Y; (iii) Z3=XY的分布列。連續(xù)型fZ(z)兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。例39：設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，且XU（0，1），Ye（1），求Z=X+Y的分布密度函數(shù)fz(z)?；旌闲屠?10：設隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u)。第二節(jié) 練習題1、二維隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)例311：如下四個二元函數(shù)，哪個不能作為二維隨機變量（X，Y）的分布

45、函數(shù)？（A）（B）（C）（D）例312：設某班車起點站上車人數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p(0<p<1)，并且他們在中途下車與否是相互獨立的，用Y表示在中途下車的人數(shù)，求：（1） 在發(fā)車時有n個乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2） 二維隨機向量（X，Y）的概率分布。例313：一射手進行射擊，擊中目標的概率為p（0<p<1），射擊直到擊中目標兩次為止。設以X表示首次擊中目標所進行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進行的射擊次數(shù)。試求X與Y的聯(lián)合分布律及條件分布律。例314：設（X,Y）只在曲線y=x2與x=y2所圍成的區(qū)域D中不為零且服從均勻分布，試求

46、：（1）（X,Y）的聯(lián)合密度；（2）邊緣密度；（3）P（YX）例315：設隨機變量（X，Y）的概率密度為試求：（1）條件概率密度；（2）例316：設隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，在的條件下，隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，求() 隨機變量和的聯(lián)合概率密度；() 的概率密度； () 概率2、隨機變量的獨立性例317：設（X，Y）的聯(lián)合分布密度為（1） 求C；（2） 求X，Y的邊緣分布；（3） 討論X與Y的獨立性；（4） 計算P（X+Y1）。例318：設（X，Y）的密度函數(shù)為試求：（1）X，Y的邊緣密度函數(shù)，并判別其獨立性；（2）（X，Y）的條件分布密度；（3）P（X>2|Y<4）。3、

47、簡單函數(shù)的分布例319：設兩個獨立的隨機變量X與Y的分布律為 ，求隨機變量（1）Z=X+Y；（2）Z=XY；（3）Z=max（X，Y）的分布律。例320：設兩個相互獨立的隨機變量X與Y分別服從N（0，1）和N（1，1），求P（X+Y1），（或選擇題為）（A）（B）（C）（D）例321：設隨機變量（X，Y）的分布密度為試求Z=X-Y的分布密度。例322：設X與Y相互獨立，且都服從（0,a）上的均勻分布，試求的分布密度與分布函數(shù)。第四章 隨機變量的數(shù)字特征第一節(jié) 基本概念1、一維隨機變量的數(shù)字特征（1）一維隨機變量及其函數(shù)的期望設X是離散型隨機變量，其分布律為P()pk，k=1,2,n，期望就是平

48、均值。例41：100個考生，100分10人，90分20人，80分40人，70分20人，60分10人，求期望。例42：設某長生產(chǎn)的某種產(chǎn)品不合格率為10，假設生產(chǎn)一件不合格品要虧損2元；每生產(chǎn)一件合格品獲利10元。求每件產(chǎn)品的平均利潤。設X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)，例43：設在某一規(guī)定的時間間隔里，某電氣設備用于最大負荷的時間X（以分鐘計）是一個隨機變量，其概率密度為求EX。數(shù)學期望的性質(zhì)（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。（5） Y=g(

49、X)離散： 連續(xù)：例44：將一均勻骰子獨立地拋擲3次，求出現(xiàn)的點數(shù)之和的數(shù)學期望。例45：設離散型隨機變量X的分布律為X-202 P0.40.30.3試求：（1）EX2 （2）X2的分布律（2）方差D(X)=EX-E(X)2，方差，標準差離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量方差的性質(zhì)（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。 D(X±Y)=D(

50、X)+D(Y) ±2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無條件成立。E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。例46：X服從，Y服從，且X,Y相互獨立，證明X+Y服從。類似的，n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。， 例47：設X的均值、方差都存在，且D（X）0，求的均值與方差。例48：設隨機變量X的概率密度為求E（X）及D（X）。例49：設隨機變量X的概率密度為試求：D（2X-1）（3）常見分布的數(shù)學期望和方差分布名稱符號均值方差0-1分布p二項分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布01分布 X01qpE(X)=p，D(X)=pq二項分布 XB(n,

51、p)，（k=0,1,2n）E(X)=np，D(X)=npq泊松分布 P() P(X=k)=，k=0,1,2E(X)= ， D(X)= 超幾何分布 E(X)=幾何分布 ，k=0,1,2E(X)=， D(X)=均勻分布 XUa,b，f(x)=，a, b E(X)=， D(X)=指數(shù)分布 f(x)= ，(x>0)E(X)=， D(X)=正態(tài)分布 XN(,2)，E(X)= ， D(X)= 2例410：罐中有5顆圍棋子，其中2顆為白子，另3顆為黑子，如果有放回地每次取1子，共取3次，求3次中取到的白子次數(shù)X的數(shù)學期望與方差。例411：在上例中，若將抽樣方式改為不放回抽樣，則結(jié)果又是如何？例412：

52、設隨機變量X服從參數(shù)為0的泊松分布，且已知E（X-1）（X-2）=1，求。例413：設隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求E（X-3e-2x）。例414：設（X，Y）服從區(qū)域D=（x,y）|0x1, 0y1上的均勻分布，求E（X+Y），E（X-Y），E（XY），D（X+Y），D（2X-3Y）。2、二維隨機變量的數(shù)字特征（1）協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)對于隨機變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號相對應，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。協(xié)方差有下面幾個性質(zhì)：(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-(E(X)(E(Y).對于隨機變量X與Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時可簡記為）。|1，當|=