李建泉代數(shù)講義

1、2015.2-3學(xué)大偉業(yè)·石家莊(代數(shù))1.證明對(duì)于所有正實(shí)數(shù)，均有。2.證明對(duì)于所有正整數(shù)和滿足的正實(shí)數(shù)，有。3.設(shè)是正實(shí)數(shù)，且，證明。4.已知的三邊長(zhǎng)分別為，外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑分別為，證明。5.給定一個(gè)正整數(shù)，試求出所有的正整數(shù)，使得對(duì)于滿足條件的任何一組正實(shí)數(shù)，都有下列不等式成立。6.設(shè)，且。若存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)有，求證。7.設(shè)，其中是兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)，證明對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù)，存在唯一的正實(shí)數(shù)，使得。8.對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，求最大實(shí)數(shù)，使得對(duì)于所有正實(shí)數(shù)，有。9.證明對(duì)于滿足的正實(shí)數(shù)，有。10.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，證明。11.已知為正整數(shù)，為正實(shí)數(shù)，證明。12.已知正實(shí)數(shù)滿足，證

2、明。13.已知實(shí)數(shù)滿足，證明，并確定等號(hào)成立的條件。14.已知正實(shí)數(shù)滿足，證明。15.設(shè)為正實(shí)數(shù)，證明。16.已知是正實(shí)數(shù)，證明。17.設(shè)為正實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，證明。18.設(shè)為正實(shí)數(shù)，為的三個(gè)內(nèi)角，求證。19.設(shè)為正實(shí)數(shù)，滿足，點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的單位圓周上的四個(gè)點(diǎn)，求證。20.設(shè)均為實(shí)數(shù)，均為正實(shí)數(shù)，證明。21.求的最大值，使得對(duì)于任意滿足的正實(shí)數(shù)，均有。22.設(shè)是實(shí)數(shù)，證明。23.已知，證明。24.證明對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，有。25.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，證明。26.已知的三邊長(zhǎng)分別為，且，證明。27.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，且，證明。28.證明對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，有。29.求最小的實(shí)數(shù)，使得對(duì)于所有正實(shí)數(shù)，有。30.設(shè)，

3、其中是有理數(shù)，是正整數(shù)，求所有三元數(shù)組，其中是正有理數(shù)，是正整數(shù)，使得存在無窮多個(gè)正整數(shù)，滿足。31.設(shè)，求實(shí)數(shù)的集合，使得存在一個(gè)三元正實(shí)數(shù)組，滿足。32.求的最大值，使得對(duì)一切正實(shí)數(shù)，且，均有。33.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，證明。34.已知為正整數(shù)，實(shí)數(shù)，若正整數(shù)滿足，求的最大值。35.設(shè)正整數(shù)滿足，若，求的最大值。36.對(duì)于滿足條件的任意非負(fù)實(shí)數(shù)，求的最大值。37.設(shè)是四個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且，證明。38.已知正整數(shù)，定義集合，對(duì)于任意滿足的非負(fù)實(shí)數(shù)，求的最大值（表示為關(guān)于的函數(shù)）。39.證明對(duì)于任意正整數(shù)，有；若是小于的所有素?cái)?shù)由小到大的排列，則。40.設(shè)是由正實(shí)數(shù)組成的無窮項(xiàng)數(shù)列，對(duì)于任意正整數(shù)，證明

4、，其中。41.正整數(shù)數(shù)列滿足，對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，是一個(gè)正整數(shù)，且為的倍數(shù)，求證對(duì)于元素全為素?cái)?shù)的任意一個(gè)有限集，下述不等式成立：。42.設(shè)，。求證。43.求最大的實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，均有。44. 求最大的實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意非負(fù)實(shí)數(shù)，均有。45.已知正實(shí)數(shù)滿足，證明。46.已知正實(shí)數(shù)滿足，證明。47.設(shè)是正實(shí)數(shù)，且，求的最大值。48.設(shè)是實(shí)數(shù)列，且滿足，要使，問有多少個(gè)不同的取值。49. 設(shè)，證明對(duì)任意正整數(shù)，方程的根全是相異實(shí)根。50.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，證明。51.設(shè)，證明。 52.證明對(duì)任意實(shí)數(shù)，都存在，使得對(duì)任意不超過的非負(fù)實(shí)數(shù)，都有。53. 是正整數(shù)，實(shí)數(shù)列和滿足，且對(duì)于任意的，。假設(shè)對(duì)于

5、任意實(shí)數(shù)，滿足的數(shù)對(duì)的數(shù)目等于滿足的數(shù)對(duì)的數(shù)目，證明對(duì)于，有。54.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足；對(duì)于每一個(gè)，證明。55.設(shè)為非負(fù)整數(shù)，對(duì)于任意正整數(shù)，且，有，證明存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于所有的，有。56.求正整數(shù)，滿足下述條件：存在正整數(shù)，使得數(shù)列是非常數(shù)等差數(shù)列。57.對(duì)于正整數(shù)，定義分別為的各位數(shù)字之和與各位數(shù)字之積，證明對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，存在正整數(shù)，滿足，且對(duì)于，其中。58.整數(shù)列滿足，求證當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)。59.設(shè)整數(shù)數(shù)列滿足，對(duì)于任意正整數(shù)，均有，證明若素?cái)?shù)滿足：對(duì)于某個(gè)正整數(shù)，有整除，則存在正整數(shù)，使得。60.已知非負(fù)整數(shù)滿足：對(duì)于所有實(shí)數(shù)，若， ，則一定有，證明。61.如果實(shí)數(shù)列滿足對(duì)于每一個(gè)整數(shù)，均有，

6、則稱這個(gè)實(shí)數(shù)列為凹數(shù)列，試求最大的實(shí)數(shù)，使得對(duì)于每一個(gè)非負(fù)的凹數(shù)列，均有。62.求的排列的個(gè)數(shù)，使得對(duì)于任意的整數(shù)，均有。63.設(shè)是組成的長(zhǎng)度為的有序數(shù)組構(gòu)成的集合，且每個(gè)長(zhǎng)度為的有序數(shù)組都不包含兩個(gè)相鄰字母是或的情形，是組成的長(zhǎng)度為的有序數(shù)組構(gòu)成的集合，且每個(gè)長(zhǎng)度為的有序數(shù)組都不包含三個(gè)相鄰字母互不相同的情形，證明對(duì)于，有。64.在的方格表的每個(gè)格子中填上或，求填法的種數(shù)，使得任意相鄰的兩個(gè)格子中所填的數(shù)的乘積為，其中相鄰格子是指有公共邊的兩個(gè)格子。65.證明對(duì)于任意正整數(shù)，有。66.求出所有的實(shí)數(shù)，使得存在正實(shí)數(shù)滿足 。67.設(shè)正整數(shù)，是整數(shù)，且互不相同，若，證明存在一對(duì)正整數(shù)，滿足，其中

7、。68.給定正整數(shù)，函數(shù)滿足，求集合，其中為所有非負(fù)整數(shù)構(gòu)成的集合，。69.已知函數(shù)及正數(shù)，求證存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)一切實(shí)數(shù)成立，且的值可以任意大。70.已知為正整數(shù)集，對(duì)所有正整數(shù)，函數(shù)滿足。求證對(duì)于任意正整數(shù)，有；求證對(duì)于任意正整數(shù)，如果函數(shù)滿足，則存在正整數(shù)，使得。71.設(shè)是定義在非負(fù)實(shí)數(shù)上且在非負(fù)實(shí)數(shù)上取值的函數(shù)，并滿足對(duì)于任意非負(fù)實(shí)數(shù)，均有；，求滿足上述條件的。72.求所有函數(shù)，滿足對(duì)于任意非負(fù)實(shí)數(shù)，均有；對(duì)于任意，有。73.設(shè)是正實(shí)數(shù)集，證明不存在函數(shù)，使得對(duì)于任意的，有。74.設(shè)是正實(shí)數(shù)集，問是否存在函數(shù)，使得對(duì)于任意的，有。75.設(shè)函數(shù)滿足對(duì)于任意大于的正整數(shù)，總存在的素因數(shù)，使得，已知，求的值。76.求所有函數(shù)，使得對(duì)于任意，均有。77.已知正整數(shù)，為次整系數(shù)多項(xiàng)式，且對(duì)于任意的，均存在整數(shù)，使得。若，證明對(duì)于每個(gè)整數(shù)，均存在整數(shù)，使得。78.對(duì)于非負(fù)整數(shù)，定義實(shí)數(shù)數(shù)列如下：，對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，對(duì)于任意正整數(shù)，證明對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，多項(xiàng)式的所有根均為實(shí)數(shù)。79.設(shè)為實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，證明。80.設(shè)首項(xiàng)系數(shù)為1的次多項(xiàng)式有個(gè)復(fù)根和是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且有=。證明多項(xiàng)式有個(gè)實(shí)根。81.設(shè)正整數(shù)，求的最小值。82.設(shè)正整數(shù)，對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù)，定義，證明的充分必要條件是。83.已知為正數(shù)數(shù)列，求證若存在正數(shù)，使得對(duì)于所有的，都有，則存在一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)于所有的，都有