樣本及抽樣分布

1、第六章樣本及抽樣分布【基本要求】1、理解總體、個(gè)體和樣本的概念；2、理解樣本均值、樣本方差和樣本矩的概念并會(huì)計(jì)算；3、理解統(tǒng)計(jì)量的概念，掌握幾種常用統(tǒng)計(jì)量的分布及其結(jié)論；4、理解分位數(shù)的概念，會(huì)計(jì)算幾種重要分布的分位數(shù)?！颈菊轮攸c(diǎn)】樣本均值、樣本方差和樣本矩的計(jì)算；抽樣分布分布，分布，分布；分位數(shù)的理解和計(jì)算?！颈菊码y點(diǎn)】對(duì)樣本、統(tǒng)計(jì)量及分位數(shù)概念的理解；樣本矩的計(jì)算?！緦W(xué)時(shí)分配】4學(xué)時(shí)【授課內(nèi)容】§6.0 前 言前面五章我們研究了概率論的基本內(nèi)容，從中得知：概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)分支。它是從一個(gè)數(shù)學(xué)模型出發(fā)（比如隨機(jī)變量的分布）去研究它的性質(zhì)和統(tǒng)計(jì)規(guī)律性；而我們下

2、面將要研究的數(shù)理統(tǒng)計(jì)，也是研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，并且是應(yīng)用十分廣泛的一門數(shù)學(xué)分支。所不同的是數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率論為理論基礎(chǔ)，利用觀測(cè)隨機(jī)現(xiàn)象所得到的數(shù)據(jù)來(lái)選擇、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型（即研究隨機(jī)現(xiàn)象）。其研究方法是歸納法（部分到整體）。對(duì)研究對(duì)象的客觀規(guī)律性做出種種合理性的估計(jì)、判斷和預(yù)測(cè)，為決策者和決策行動(dòng)提供理論依據(jù)和建議。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容很豐富，這里我們主要介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念，重點(diǎn)研究參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。§6.1 隨機(jī)樣本一、總體與樣本1.總體、個(gè)體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們把所研究的全部元素組成的集合稱為總體；而把組成總體的每個(gè)元素稱為個(gè)體。例如：在研究某批燈泡的平均壽命時(shí)，該批燈泡

3、的全體就組成了總體，而其中每個(gè)燈泡就是個(gè)體；在研究我校男大學(xué)生的身高和體重的分布情況時(shí)，該校的全體男大學(xué)生組成了總體，而每個(gè)男大學(xué)生就是個(gè)體。但對(duì)于具體問(wèn)題，由于我們關(guān)心的不是每個(gè)個(gè)體的種種具體特性，而僅僅是它的某一項(xiàng)或幾項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)(可以是向量)和該數(shù)量指標(biāo)X在總體的分布情況。在上述例子中X是表示燈泡的壽命或男大學(xué)生的身高和體重。在試驗(yàn)中，抽取了若干個(gè)個(gè)體就觀察到了的這樣或那樣的數(shù)值，因而這個(gè)數(shù)量指標(biāo)是一個(gè)隨機(jī)變量（或向量），而的分布就完全描寫了總體中我們所關(guān)心的那個(gè)數(shù)量指標(biāo)的分布狀況。由于我們關(guān)心的正是這個(gè)數(shù)量指標(biāo)，因此我們以后就把總體和數(shù)量指標(biāo)可能取值的全體組成的集合等同起來(lái)。定義1：把研

4、究對(duì)象的全體（通常為數(shù)量指標(biāo)可能取值的全體組成的集合）稱為總體；總體中的每個(gè)元素稱為個(gè)體。我們對(duì)總體的研究，就是對(duì)相應(yīng)的隨機(jī)變量的分布的研究，所謂總體的分布也就是數(shù)量指標(biāo)的分布，因此，的分布函數(shù)和數(shù)字特征分別稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征。今后將不區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī)變量，籠統(tǒng)稱為總體。根據(jù)總體中所包括個(gè)體的總數(shù)，將總體分為：有限總體和無(wú)限總體。例1：考察一塊試驗(yàn)田中小麥穗的重量： =所有小麥穗重量的全體（無(wú)限總體）；個(gè)體每個(gè)麥穗重對(duì)應(yīng)的分布：例2：考察一位射手的射擊情況：=此射手反復(fù)地?zé)o限次射下去所有射擊結(jié)果全體；每次射擊結(jié)果都是一個(gè)個(gè)體（對(duì)應(yīng)于靶上的一點(diǎn)）個(gè)體數(shù)量化1在總體中的比例為命中率0

5、在總體中的比例為非命中率總體由無(wú)數(shù)個(gè)0，1構(gòu)成，其分布為兩點(diǎn)分布 2.樣本與樣本空間為了對(duì)總體的分布進(jìn)行各種研究，就必需對(duì)總體進(jìn)行抽樣觀察。抽樣從總體中按照一定的規(guī)則抽出一部分個(gè)體的行動(dòng)。一般地，我們都是從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行觀察，然后根據(jù)觀察所得數(shù)據(jù)來(lái)推斷總體的性質(zhì)。按照一定規(guī)則從總體中抽取的一組個(gè)體稱為總體的一個(gè)樣本，顯然，樣本為一隨機(jī)向量。 為了能更多更好的得到總體的信息，需要進(jìn)行多次重復(fù)、獨(dú)立的抽樣觀察（一般進(jìn)行次），若對(duì)抽樣要求代表性：每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)一樣，保證了的分布相同，與總體一樣。獨(dú)立性：相互獨(dú)立。那么，符合“代表性”和“獨(dú)立性”要求的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。易知，對(duì)有限

6、總體而言，有放回的隨機(jī)樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，無(wú)放回的抽樣不能保證的獨(dú)立性；但對(duì)無(wú)限總體而言，無(wú)放回隨機(jī)抽樣也得到簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，我們本書則主要研究簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。對(duì)每一次觀察都得到一組數(shù)據(jù)（），由于抽樣是隨機(jī)的，所以觀察值（）也是隨機(jī)的。為此，給出如下定義：定義2:設(shè)總體的分布函數(shù)為，若是具有同一分布函數(shù)的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱（）為從總體中得到的容量為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱樣本。把它們的觀察值（）稱為樣本值。定義3:把樣本()的所有可能取值構(gòu)成的集合稱為樣本空間,顯然一個(gè)樣本值()是樣本空間的一個(gè)點(diǎn)。注：樣本具有雙重性，在理論上是隨機(jī)變量，在具體問(wèn)題中是數(shù)據(jù)。二、樣本的分布：設(shè)總體的分布函數(shù)為，（

7、）是的一個(gè)樣本，則其聯(lián)合分布函數(shù)為：=。例3：設(shè)總體為其一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則樣本空間，因?yàn)椋詷颖镜穆?lián)合分布列為：§6.2 抽 樣 分 布0、引言有了總體和樣本的概念，能否直接利用樣本來(lái)對(duì)總體進(jìn)行推斷呢？一般來(lái)說(shuō)是不能的，需要根據(jù)研究對(duì)象的不同，構(gòu)造出樣本的各種不同函數(shù)，然后利用這些函數(shù)對(duì)總體的性質(zhì)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，為此，我們首先介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)的另一重要概念統(tǒng)計(jì)量。一、統(tǒng)計(jì)量（隨機(jī)變量）定義1：設(shè)是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，是樣本的函數(shù)，若中不含任何未知參數(shù)，則稱()是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。設(shè)是對(duì)應(yīng)于樣本的樣本值，則稱是的觀察值。下面列出幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量。1、樣本均值與樣本方差（隨機(jī)變量）定義2 設(shè)（）

8、是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，稱為樣本均值。為樣本方差。為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。樣本均值與樣本方差分別刻劃了樣本的位置特征及樣本的分散性特征。2.樣本矩（r.v）設(shè)總體的分布函數(shù)為，則稱（假設(shè)它存在）為總體的階原點(diǎn)矩；稱為總體的階中心矩。把總體的各階中心矩和原點(diǎn)矩統(tǒng)稱為總體矩。特別地：=；是總體的期望和方差。定義3：設(shè)是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，則稱，=1，2，3；為樣本的階原點(diǎn)矩（隨機(jī)變量），=1，2，3；為樣本值的階中心矩（隨機(jī)變量）。特別地，但與卻不同，由與的計(jì)算式可知：，當(dāng)時(shí)，=，所以常利用來(lái)計(jì)算S（標(biāo)準(zhǔn)差）。設(shè)為樣本的觀測(cè)值，則樣本矩對(duì)應(yīng)觀測(cè)值分別為：；=； ；=1，2，3；在不至于混淆的情況下，這些值也分

9、別稱為樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本階原點(diǎn)矩、樣本階中心矩。 【注】： ，這就是下一章要介紹的矩估計(jì)的理論根據(jù)。統(tǒng)計(jì)量是我們對(duì)總體的分布函數(shù)或數(shù)字特征進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的最重要的基本概念，所以尋求統(tǒng)計(jì)量的分布成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本問(wèn)題之一。我們把統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。然而要求出一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的精確分布是十分困難的。而在實(shí)際問(wèn)題中，大多總體都服從正態(tài)分布：而對(duì)于正態(tài)分布，我們可以求出一些重要統(tǒng)計(jì)量的精確分布，這就是：二、幾種常用的抽樣分布：（正態(tài)分布中的幾種統(tǒng)計(jì)量的分布）把分布，分布，分布，統(tǒng)稱為“統(tǒng)計(jì)三大分布”。1、正態(tài)分布由正態(tài)分布的性質(zhì)，可得如下結(jié)論：1）定理：設(shè)相互獨(dú)立,，是關(guān)于的任一確定的

10、線性函數(shù)()，則也服從正態(tài)分布，且。2）結(jié)論：若（）是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，為樣本均值，則，由上述結(jié)論可知：的期望與的期望相同，而的方差卻比的方差小的多，即的取值將更向集中。與相互獨(dú)立。2、分布1)定義:設(shè)（）是來(lái)自總體 的一個(gè)樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量：所服從的分布是自由度為的分布，記作：。的概率密度函數(shù)為： ，其中:，顯然， ,且，即符合密度函數(shù)性質(zhì)。事實(shí)上，2)分布的性質(zhì)I、分布的可加性：設(shè)，且與相互獨(dú)立，則：+II、若，則，事實(shí)上，因?yàn)椋瑒t：，所以：；3)結(jié)論：設(shè)（）為來(lái)自總體的一個(gè)樣本，,為已知常數(shù)，則：I)統(tǒng)計(jì)量 （當(dāng)=0時(shí)也成立）事實(shí)上，令，則，所以II)樣本均值與樣本方差相互獨(dú)立，且統(tǒng)計(jì)量

11、。證明請(qǐng)參閱有關(guān)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的課本。3、-分布1)定義:設(shè)，且與相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量：所服從的分布是自由度為的分布，記為，分布又稱為學(xué)生氏（Student）分布。分布的概率密度函數(shù)為： 。2)分布的特點(diǎn)（性質(zhì)）。I、關(guān)于=0對(duì)稱；II、在=0達(dá)最大值；III、的軸為水平漸近線；IV、；即時(shí)，分布，一般地，當(dāng)>30時(shí)，分布與非常接近。V、當(dāng)較小時(shí)，分布與有較大的差異，且對(duì)有，其中。即分布的尾部比的尾部具有更大的概率。VI、若，則 時(shí)，3)結(jié)論：I)設(shè)（）是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，則統(tǒng)計(jì)量：，事實(shí)上，由，又，且與相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立，由分布的定義，所以II)設(shè)（）是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，（是來(lái)自總體

12、的一個(gè)樣本，且與相互獨(dú)立，當(dāng)時(shí)，則統(tǒng)計(jì)量,其中， 事實(shí)上，且與相互獨(dú)立，所以:，即：；又，且它們相互獨(dú)立，由分布的可加性，則。由分布的定義：4、-分布1)定義：設(shè)，且與相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為的分布，記作：，其中：為第一自由度，為第二自由度。由定義，若，則。的概率密度函數(shù)為：說(shuō)明：先求出 的聯(lián)合密度函數(shù)，再令，求出（）的聯(lián)合，注意到獨(dú)立，所以的邊緣密度函數(shù)，也即的密度函數(shù)。2)分布的性質(zhì)（特點(diǎn)）I. 密度曲線不對(duì)稱(偏態(tài))II. 若，則III. 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，注:(利用)3)結(jié)論：設(shè)（）是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，（是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，且與相互獨(dú)立，則。事實(shí)上，由分布的定義，可得,其中，；三、分位數(shù)1. 定義：設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，對(duì)于給定的正數(shù)，若有滿足，則稱為的（下側(cè)）分位數(shù)(或分位點(diǎn))。2.表示方法：.的分位數(shù)滿足：。由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知：。.分布的分位數(shù) 滿足:，由