2013碩士研究生考研講義-數(shù)學(xué)

1、 人民網(wǎng)教育頻道北京海天教育集團(tuán)第一講函數(shù)、極限、連續(xù)考試要求1. 理解函數(shù)概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系.2. 了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.3. 理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.4. 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.5. 理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關(guān)系.6. 掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則.7. 掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.8. 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.9. 理解

2、函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型.10了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì).考試內(nèi)容一. 函數(shù)1. 函數(shù)的概念 注：（1）函數(shù)的定義包括兩個部分: 定義域與對應(yīng)法則.函數(shù)關(guān)系相同（2）函數(shù)新的表達(dá)形式（極限，積分，級數(shù)，方程） （3）如何確定值域（在最值存在的情況下，由最大值最小值確定）（4）由實際問題建立函數(shù)關(guān)系2. 函數(shù)的性質(zhì) 2. 1 有界性，有，使，有上界；有下界有界有上界且有下界 注：（1）幾何特征（2）常用有界函數(shù)，（3）函數(shù)是否有界與所討論區(qū)間有關(guān)（4）確定界與求最值

3、有關(guān)（5）有界性在微積分中的結(jié)論與應(yīng)用閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界，可積函數(shù)有界.有界函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)不一定有界.2. 2 單調(diào)性，有（），增（減）注：（1）圖像特征（2）單調(diào)性與區(qū)間有關(guān)（在整個定義域上單調(diào)增加, 或者單調(diào)減少的函數(shù)稱為單調(diào)函數(shù)）.（3）單調(diào)性在微積分中的結(jié)論與應(yīng)用單調(diào)性由的符號確定,單調(diào)性可用于證明不等式.（凡是用不等式定義的概念都可以證明不等式）單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)不一定單調(diào).2. 3 周期性注：（1）圖像特征（2）周期性在微積分中的結(jié)論與應(yīng)用可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是周期函數(shù)可積周期函數(shù)的原函數(shù)不一定是周期函數(shù).2. 4 奇偶性，且（），則偶（奇）注：（1）圖像特征（2）

4、奇, 偶函數(shù)的和, 積以及復(fù)合的奇偶性.奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇*奇=偶,偶*偶=偶,奇*偶=奇（3）奇偶性在微積分中的結(jié)論與應(yīng)用可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù), 可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù);3. 函數(shù)的種類3. 1 基本初等函數(shù)，3. 2 復(fù)合函數(shù)3. 3反函數(shù)，注：（1）與的圖形是同一個函數(shù)（同一條曲線），與的圖形關(guān)于對稱（2）單值函數(shù)的反函數(shù)存在，其反函數(shù)也是單值的3. 4 初等函數(shù)3. 5 隱函數(shù)3. 6 冪指函數(shù)3. 7 分段函數(shù)典型的分段函數(shù)及隱含的分段函數(shù), , , ,3. 8 參數(shù)方程（數(shù)一、二要求）3. 9 極坐標(biāo)方程二. 極限1. 極限定義 當(dāng)時，若記，當(dāng)時，當(dāng)時，注：（），

5、的幾何意義.水平漸近線，單側(cè)水平漸近線（）重要結(jié)果：，2. 單側(cè)極限.注：（1）分段函數(shù)分段點的討論例：當(dāng)滿足什么條件時, 時，函數(shù)有極限?（2）隱形分段函數(shù)的分段點 記住，. 3. 極限的性質(zhì)3. 1唯一性3. 2局部保號性若，則，使得在其內(nèi)有注：（1）號性（2）逆命題不成立3. 3局部有界性若存在，則，使得在其內(nèi)是有界的，即注：數(shù)列整體有界4. 無窮大量 無窮小量 4. 1 定義 無窮小,無窮大注：（1）無窮小，無窮大與過程有關(guān).（2）無窮大與無窮小互為倒數(shù)（0除外，同一過程）.（3）無窮大與無界的關(guān)系無窮大一定無界，無界不一定無窮大. （4）無窮大是極限不存在的情況. （5）無窮大也不需

6、要單調(diào)增加或單調(diào)減少.4. 2 無窮小的主要運算任意有限個無窮小的和與積仍是無窮小有界量與無窮小之積仍是無窮小例：存在5. 無窮小的比較設(shè)，且，則（1），與同階（2），（3），是的高階無窮小，（4），注：（1），若，是的階無窮小.（2）（3）等價無窮小的應(yīng)用（*）若，則，只在乘除法中應(yīng)用，的等價無窮小可以用泰勒公式常用的幾個等價無窮小當(dāng)時, , ， , 等.例：6. 極限存在法則6. 1單調(diào)有界數(shù)列必有極限注：單增+上界 單減+下界 極限存在例：設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是 若收斂，則收斂. 若單調(diào)，則收斂. 若收斂，則收斂. 若單調(diào)，則收斂. “從實例出發(fā)猜測可能的結(jié)果, 然

7、后予以證明”是數(shù)學(xué)的一條常用的研究路線.例：設(shè)，求極限6. 2 如果，且，例：.注：適當(dāng)?shù)目s放.7. 兩個重要極限7. 1 推廣型：，則例：7. 2 推廣：，例：（11209）.例：（11309）設(shè),則.8. 極限的運算法則 若，則，（）, 則.注：（1）參加運算的只有有限項，且每項極限均存在（2）四則運算的討論和差：一存，一不存和差一定不存在，兩不存和差不確定一存，和存另一極限定存積商：一存，一不存（或兩不存）積不確定，一存，積存另一極限不確定注：在反常積分，無窮級數(shù)收斂中的應(yīng)用9. 洛必達(dá)法則9. 1 若，且，存在（或為無窮大）,則.方法使用洛必達(dá)法則, 將求函數(shù)的商的極限的問題, 變成求

8、導(dǎo)函數(shù)的商的極限的問題. 有時, 后者容易計算.注：（1）逆定理不成立. 反例 （2）對于型的未定式, 也有類似的法則. 型未定式與型的未定式不同, 只需分母是無窮大, 即可使用.（3）此外, 還有, ,型的未定式, 都必須變成商, 再用洛必達(dá)法則.9. 2 求極限常用的方法 等價代換（變量代換，有理化），四則運算，洛必達(dá)法則，泰勒公式 三 連續(xù)1. 定義若，即，則稱在點連續(xù)注：連續(xù)就是極限等于該點的函數(shù)值. 因此, 通過計算極限, 可以判定連續(xù). 反過來, 如果已知連續(xù), 求極限時, 只需計算函數(shù)值. 2. 單側(cè)連續(xù)左連續(xù)與右連續(xù). 注：用于分段函數(shù)分段點的討論3. 區(qū)間連續(xù)如果函數(shù)在區(qū)間中

9、的每一點處都連續(xù), 則稱在區(qū)間中連續(xù)， 記作，如果是閉區(qū)間, 則在其端點處, 指的是單側(cè)連續(xù). 連續(xù)函數(shù)的圖象是一條連綿的曲線.注：，類似定義，4. 間斷點及其分類 4. 1定義：若在點不連續(xù)，則稱點是函數(shù)的間斷點.（設(shè)函數(shù)在點的一個去心鄰域內(nèi)有定義, 如果（1）函數(shù)在點沒有定義; 或者（2）函數(shù)在點有定義, 但是極限不存在; 或者（3）函數(shù)在點有定義, 且極限存在, 但是則稱點是函數(shù)的間斷點.）4. 2 分類：是函數(shù)的間斷點，都存在，稱為第一類間斷點否則稱為第二類間斷點幾何分類（四種名稱）極限存在, 但是，稱為可去間斷點，稱為跳躍間斷點（，）稱為無窮間斷點震蕩間斷點注：求間斷點的方法：函數(shù)沒

10、有定義的點，分段函數(shù)的分段點例：討論函數(shù) 的連續(xù)性，并判斷間斷點的類型5. 初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù).初等函數(shù)在定義區(qū)間的內(nèi)部連續(xù). 所謂定義區(qū)間, 是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.例：6. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)6. 1 最值定理 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值.推論: ,則在有界.注：且存在,則在有界.且存在, 則在有界.類似可討論區(qū)間,.例：函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界. . . . .6. 2 零點定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 且, 則存在, 使得.注：用于證明方程根的存在性求證: 方程在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有一個根.例2設(shè)函數(shù)在區(qū)間連續(xù), 且, 則存在, 使得.證

11、：零點定理. 討論.推論1: 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 且, 則對于介于與之間的任意實數(shù), 存在, 使得.注：提示了輔助函數(shù)的構(gòu)造方法推論2: 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)取到介于最大值與最小值之間的任意一個值.題型與例題 概念題【例】設(shè)存在, 求.【例1. 1】設(shè)存在, 求.【例1. 2】設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足，則_，_ 【例1. 3】設(shè)連續(xù), 且滿足, 其中是由曲線與直線,圍成的區(qū)域, 則等于 . . . . 二求函數(shù)極限【例2】求極限.【例3】（11315）（本題滿分10分）求極限.【例4】計算 .【例5】計算極限.【例6】（11115）（本題滿分10分）求極限.*可直接用公式進(jìn)行計算.【例7】求極限.【例8

12、】求極限.【例9】若極限, 則為 . . . .三. 無窮小的比較（已知極限求參數(shù)）小結(jié)：1.*已知，（1）若，則；（2）若，且，則.2.已知，（1）若，則；（2）若，且，則.【例10】（11201）已知當(dāng)時,與是等價無窮小,則（）,. ,. ,. ,.四求數(shù)列的極限【例11】求.【例12】（11118）（本題滿分10分）證明：對任意正整數(shù),都有成立.設(shè),證明數(shù)列收斂.第二講 導(dǎo)數(shù)與微分考試要求1. 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系.2. 掌握導(dǎo)數(shù)的四

13、則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)微分.3. 了解高階導(dǎo)數(shù)概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).4. 會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 考試內(nèi)容一. 導(dǎo)數(shù)概念1.定義如果極限 存在, 則稱該極限為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù). 記作, 或者. 此時, 稱函數(shù)在該點可導(dǎo), 否則稱為不可導(dǎo).注：（1）導(dǎo)數(shù)是一種特殊的極限. 因此, 可以用極限計算導(dǎo)數(shù), 也可以用導(dǎo)數(shù)求特殊形式的極限.抽象函數(shù).【例1】（11202）（11302）已知在處可導(dǎo),且,則（ ）. . . . （2）隱含的導(dǎo)數(shù)結(jié)論在點處連續(xù)

14、，2. 單側(cè)倒數(shù)左右極限產(chǎn)生左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)的概念, 命題 函數(shù)在一點可導(dǎo)的充分必要條件是: 它在該點的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)存在且相等.注：單側(cè)倒數(shù)用于研究分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時, 對不同表達(dá)式分別求導(dǎo), 分段點處用左右導(dǎo)數(shù).特別要注意隱含的分段函數(shù).【例2】設(shè) 則在點可導(dǎo)的充要條件為 存在. 存在. 存在. 存在. 3. 導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)在開區(qū)間中每一點都可導(dǎo), 則產(chǎn)生了一個新的函數(shù), 稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù), 記作, 或者.注：函數(shù)在一個閉區(qū)間上可導(dǎo)的含義.4. 導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)等于曲線在點處的切線的斜率, 切線方程: 法線方程: 注：，切線為【例3】求曲線通過點（5,11）的切

15、線方程. 5. 可導(dǎo)與連續(xù) 極限連續(xù)可導(dǎo). 反例：【例4】研究函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性.二. 求導(dǎo)方法1. 按定義求導(dǎo)：抽象函數(shù)，分段函數(shù) 2. 函數(shù)四則運算的求導(dǎo) ，3. 反函數(shù)求導(dǎo) 設(shè), 則其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) ，, 則, 或注：（1）（2）剝皮求導(dǎo)法：【例5】5. 對數(shù)求導(dǎo)法：【例6】設(shè)，則 = .6. 隱函數(shù)求導(dǎo)：7. 參數(shù)方程求導(dǎo),則 或.8. 積分上限函數(shù)、原函數(shù)存在定理1. 若在上可積，則函數(shù)在上連續(xù)2. 原函數(shù)存在定理：若在上連續(xù)，則函數(shù)在上可導(dǎo)，且 ，即 是在上的一個原函數(shù)3. 變限積分的導(dǎo)數(shù)公式：（1），；（2），；（3） 注：當(dāng)積分中有變量時,不能用上述公式直接求

16、導(dǎo).【例7】函數(shù)由方程確定, 求.三高階導(dǎo)數(shù)1. 定義導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù), 記作, 或 類似可以定義三階導(dǎo)數(shù), 四階導(dǎo)數(shù), 直到階導(dǎo)數(shù).2. 常用高階導(dǎo)數(shù)公式（1）, 求.（2）, （3）, 3. 萊布尼茲公式 設(shè)，階可導(dǎo), 則4. 復(fù)合函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)有相同的復(fù)合關(guān)系【例8】5. 反函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)6. 隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)【例9】求由方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).【例10】設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，則 .方法 先求導(dǎo)數(shù), 再將導(dǎo)數(shù)對自變量求導(dǎo), 最后代入導(dǎo)數(shù).7. 參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)，【例11】設(shè)函數(shù)由方程確定, 則= .四微分1. 定義函數(shù)的增量可以表示為其中是不依賴于的常數(shù),

17、而是比高階的無窮小, 則稱函數(shù)在點處可微, 而稱為在點處相應(yīng)于自變量的增量的微分, 記作.2. 可微條件極限連續(xù)可導(dǎo)可微3.微分的幾何意義 微分三角形. 微分是曲線的切線的增量.4. 一階微分形式不變性 無論是自變量還是中間變量, 微分都是.題型與例題一. 導(dǎo)數(shù)定義【例1】設(shè)函數(shù)在點二次可導(dǎo), 求.【例2】設(shè)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), , 則是在處可導(dǎo)的 . 必要但非充分條件. 充分但非必要條件. 充分且必要條件. 既非充分也非必要條件. 二切線與法線方程【例3】（11311） 曲線在點處的切線方程為 .【例4】設(shè)是周期為的函數(shù), 它在的某個鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式其中是當(dāng)時比高階的無窮小, 且在處可導(dǎo), 求

18、曲線在點處的切線.三求導(dǎo)（微分）【例5】設(shè)由確定, 求.四變限積分求導(dǎo)【例6】設(shè)函數(shù)連續(xù), , 且滿足方程, 求定積分. 【例7】設(shè)，求積分【例8】設(shè)連續(xù), , 且（是常數(shù)）, 求, 并討論在處的連續(xù)性.【例9】（11215）（本題滿分10分）已知函數(shù),設(shè),試求的取值范圍.第三講 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考試要求1. 理解并會用羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并會用柯西（Cauchy）中值定理.2. 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法.3. 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其

19、應(yīng)用.4. 會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間內(nèi)，設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)時，的圖形是凹的；時，的圖形是凸的），會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形.5. 了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑. 考試內(nèi)容一. 中值定理1. 羅爾定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且, 則存在, 使得.證：分情況討論. 用費馬引理. 幾何意義 水平切線.注：證明方程有根的兩種方法: 用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的零點定理證明函數(shù)有根; 用羅爾定理證明導(dǎo)函數(shù)有根.【例1】設(shè)滿足，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點.注：證明的關(guān)鍵是選擇輔助函數(shù). 為了滿足, 用的一個滿足羅爾定理條件

20、的原函數(shù).【例2】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且, 則存在, 使得.注：又是輔助函數(shù)問題. 從所求結(jié)果出發(fā), 考慮微分方程, 解之得. 將其改寫成右端只有常數(shù). 令, 由得到微分方程.【例3】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上二次可導(dǎo), 且存在, 使得, 則存在, 使得. 注：考慮微分方程, 解之得. 將其改寫, 使得右端是至多一次的多項式. 令, 則由可以得到.【例4】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)二次可導(dǎo), 且. 又設(shè)存在, 使得, 則存在, 使得. 2. 拉格朗日定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 則存在, 使得.證：輔助函數(shù). 羅爾定理注意 當(dāng)時, 就是羅爾定理.幾何意義 切線與割線平行.注：（1）

21、如果函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒等于零, 則在區(qū)間上是一個常數(shù). 【例5】設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 且滿足微分方程, 其中常數(shù), 則. （2）證明含有中值的等式，不等式【例6】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo), 則存在, 使得.【例7】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且, 則存在, 使得3.柯西定理：設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且在內(nèi)每一點處都不等于零, 則存在, 使得.證：輔助函數(shù)（參數(shù)方程）. 注意 當(dāng)時, 就是拉格朗日定理.注：證明有兩個函數(shù)的等式評述 在用拉格朗日中值定理或科西中值定理時, 確定輔助函數(shù)是比較容易的: 首先將 與分開; 然后再將與分開, 一般就可以發(fā)現(xiàn)或了.【例8】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),

22、 在內(nèi)可導(dǎo), 其中, 則存在, 使得.4. 泰勒公式4. 1 泰勒定理：如果函數(shù)在包含點的一個開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)時, 有 其中，稱為函數(shù)在點處的帶拉格朗日型余項的階泰勒公式. 如果函數(shù)在包含點的一個開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)時, 有 稱為函數(shù)在點處的帶佩阿諾型余項的階泰勒公式.4. 2麥克勞林公式 取, 得稱為麥克勞林公式. 余項可以寫作, 其中. 麥克勞林公式還可以寫作, 余項是一個比高階的無窮小.常用展開式注：證明含有高階導(dǎo)數(shù)的等式及不等式，解決極限問題 【例9】計算極限.【例10】 .二. 函數(shù)性質(zhì)的討論1. 單調(diào)性判定定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), (1

23、) 如果在內(nèi), 則在上單調(diào)增加;(2) 如果在內(nèi), 則在上單調(diào)減少.注：（1）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加且可導(dǎo), 則. （2）如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)僅在若干孤立點等于0, 其它點保持同號, 則仍具有單調(diào)性. 單調(diào)判定定理不是必要條件. 反例：（3）單調(diào)區(qū)間：有的函數(shù)在幾個區(qū)間上單調(diào)增加, 在另外幾個區(qū)間上單調(diào)減少. 這樣的區(qū)間成為這個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.如果函數(shù)在定義域內(nèi)除個別點之外可導(dǎo), 則單調(diào)區(qū)間的分界點是導(dǎo)數(shù)等于零的點或者導(dǎo)數(shù)不存在的點.導(dǎo)數(shù)等于零的點稱為駐點【例11】（11203）函數(shù)的駐點個數(shù)為（ ）. . . .（4）單調(diào)性可用于證明不等式，方程根的惟一性 證明方程的根唯一的兩種方法. 單調(diào)函數(shù)至

24、多有一個零點. 如果導(dǎo)函數(shù)沒有零點, 用羅爾定理（反證法）證明函數(shù)至多有一個零點. 2. 函數(shù)的極值：2. 1定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù), 點. 如果存在, 使得當(dāng)時, 有（或）, 則稱點是函數(shù)的極大（?。┲迭c, 而是函數(shù)的極大（小）值.極大值 極小值統(tǒng)稱為極值.注：函數(shù)的極值是局部性質(zhì), 而最值是整體性質(zhì). 極大值未必是最大值, 最大值也未必是極大值.2. 2 必要條件設(shè)函數(shù)在點可導(dǎo), 且在點取得極值, 則.注：這只是可導(dǎo)函數(shù)的極值的必要條件. 反例：在點取得極小值. 2. 3判定定理定理1 設(shè)函數(shù)在點的一個鄰域內(nèi)可導(dǎo), 且.（1）如果在點的左側(cè), 在點的右側(cè), 則點是極大值點;（2）如果在點

25、的左側(cè), 在點的右側(cè), 則點是極小值點;（3）如果在點的兩側(cè)恒正或恒負(fù), 則點不是極值點.注：定理的條件可以減弱為: 函數(shù)在點連續(xù), 在點的一個去心鄰域內(nèi)可導(dǎo). 這樣就可以判定了.定理2 設(shè)函數(shù)在點二次可導(dǎo), 且, . (1) 如果, 則點是極大值點;(2) 如果, 則點是極小值點.注：如果, 則可能是極值點, 也可能不是極值點.反例：, 【例12】設(shè)函數(shù)由方程確定, 求的極值.3. 函數(shù)的最值3. 1 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù), 則取到其最大值和最小值. 最值點或者是區(qū)間端點, 或者是內(nèi)點. 如果是內(nèi)點, 則或者是駐點, 或者是導(dǎo)數(shù)不存在的點.3. 2 無窮區(qū)間上函數(shù)的最值

26、【例13】求函數(shù)的最小值. 注：可用于證明不等式4. 曲線的凹凸4. 1定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 如果對于上的任意兩點, 恒有（或）, 則稱函數(shù)在區(qū)間上是凹（或凸）的.4. 2 判定定理定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)二次可導(dǎo). （1）如果在內(nèi), 則在區(qū)間上是凹的. （2）如果在內(nèi), 則在區(qū)間上是凸的.注：（1）可用一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定（2）條件不是必要的.反例：.注：凹凸性可用于證明不等式4. 3 定義 連續(xù)函數(shù)的曲線上凸凹性發(fā)生改變的點稱為曲線的拐點. 拐點在曲線上可以證明: 在拐點處, 或者二階導(dǎo)數(shù)等于0, 或者二階導(dǎo)數(shù)不存在. 注：根據(jù)函數(shù)的凸凹性的判定定理判定拐點.（1）拐點兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)