第20講數(shù)論綜合二完整版

1、第20講數(shù)論綜合二興趣篇1 .有4個(gè)不同的正整數(shù)，它們中任意 2個(gè)數(shù)的和都是2的倍數(shù)，任意3個(gè) 數(shù)的和都是3的倍數(shù)，要使這4個(gè)數(shù)的和盡可能小，請(qǐng)問(wèn)：這4個(gè)數(shù)應(yīng)該分別是 多少？答案：1、7、13、19解析：”任意2個(gè)數(shù)的和都是2的倍數(shù)”說(shuō)明四個(gè)數(shù)奇偶性相同，”任意3個(gè)數(shù) 的和都是3的倍數(shù)”說(shuō)明四個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)相同.若這四個(gè)數(shù)為奇數(shù)，第一個(gè) 數(shù)為1,依次加6可得四個(gè)數(shù)為1、7、13、19.若這四個(gè)數(shù)為偶數(shù)，第一個(gè)數(shù)為 2,依次加6可得四個(gè)數(shù)為2、8、14、20.顯然第一組更小.2 .已知算式(1+2+3+ - +n) + 2007的結(jié)果可表示為n (n>l)個(gè)連續(xù)自然數(shù) 的和.請(qǐng)問(wèn)：共有多

2、少個(gè)滿足要求的自然數(shù)n?答案：5個(gè)解析：1+2+3+ - +n是項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列之和，我們考慮將2007平均分 成n份，加到每一項(xiàng)上即可.2007=3 2 >223,有6個(gè)約數(shù)，分別為1、3、9、223、 669、2007。其中1舍去，有5個(gè)滿足要求的自然數(shù)。3 .有些自然數(shù)能夠?qū)懗梢粋€(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)合數(shù)之和的形式，并且在不計(jì)加數(shù) 順序的情況下，這樣的表示方法至少有4種，請(qǐng)問(wèn)：所有滿足上述條件的自然數(shù) 中最小的一個(gè)是多少？答案：11解析：因?yàn)橛兴姆N表示方法，至少涉及四個(gè)質(zhì)數(shù)，最小的四個(gè)質(zhì)數(shù)是 2、3、 5、7,最小的四個(gè)合數(shù)是 4、6、8、9,恰好有11=7+4=5+6=3+8= 2+9.

3、因此滿 足條件最小的數(shù)是11.4 .甲、乙兩個(gè)自然數(shù)的乘積比甲數(shù)的平方小 2008請(qǐng)問(wèn)：滿足上述條件的自 然數(shù)有幾組？答案：4組解析：由題目條件得，甲X甲-甲X乙=甲X (型乙)2008,將2008寫(xiě)成兩個(gè) 數(shù)乘積的形式，有如下幾種：2008=2008 >1=1004 >2=502 =251 >8,因此滿足 條件的甲、乙數(shù)為(2008, 2007)、(1004, 1102)、(502, 498)、(251, 243), 共有4組.5 .兩個(gè)不同兩位數(shù)的乘積為完全平方數(shù)， 請(qǐng)問(wèn)：它們的和最大可能是多少？ 答案：170解析(1)兩個(gè)數(shù)均為平方數(shù)，則它們的乘積仍為平方數(shù)，這種情況和

4、最大為 81+64=145.(2)兩個(gè)數(shù)均不是平方數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)為a>m2, axn2(其中m不等于 n).對(duì)可能的情況進(jìn)行討論：當(dāng) a=2時(shí)，這兩個(gè)數(shù)最大是 2X72、2>62,和為 98+72=170.當(dāng) a=3 時(shí)，這兩個(gè)數(shù)最大是 3>25、3X16,和為 75+48=123.當(dāng) a=5 時(shí)，這兩個(gè)數(shù)最大是5X16、5X9,和為80+45=125.當(dāng)a=6時(shí)，這兩個(gè)數(shù)最大是 6X16、6X9,和為96+54=150 .經(jīng)討論，和最大為 170.6 . n個(gè)自然數(shù)，它們的和乘以它們的平均數(shù)后得到 2008.請(qǐng)問(wèn)：n最小是多 少？答案：502解析： 由于2008=2008

5、X1=1004 >2=502 >4=251刈，如果這挖個(gè)數(shù)的和為 2008,平均數(shù)為1,那么n為2008.如果這n個(gè)數(shù)的和為1004,平均數(shù)為2, 那么n為502.知果這n個(gè)數(shù)的和為502,平均數(shù)為4,那么這不可能，如果這n 個(gè)數(shù)的和為251,平均數(shù)為8,那么這不可能，因此n最小是502.7 . 一個(gè)正整數(shù)若能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，則稱這個(gè)數(shù)為“智慧數(shù)” ， 比如16=52-32, 16就是一個(gè)“智慧數(shù)”，請(qǐng)問(wèn)：從1開(kāi)始的自然數(shù)列中，第2008 個(gè)“智慧數(shù)”是多少？答案：2680解析：通過(guò)嘗試可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：相鄰兩個(gè)平方數(shù)的差為3, 5, 7, 9,11即除1外，所有的奇數(shù)均

6、為“智慧數(shù)相鄰兩個(gè)奇數(shù)的平方差與相鄰兩個(gè)偶數(shù)的平方差為8, 12, 16, 20, 24, 28即除4之外，所有4的倍數(shù)的數(shù)是“智慧數(shù)；所以12000的“智慧數(shù)”伽00攵+2000 4-2=1498個(gè).12500的“智慧數(shù)”律500攵+2500 W-2=1873個(gè).12700的“智慧數(shù)”有2700攵+2700 W-2=2023個(gè).因此第2008個(gè)“智慧數(shù)”龍680.8 .將1001-5分別除以2, 3, 4,100,可以得到99個(gè)余數(shù)（余數(shù)有可能 為0）請(qǐng)問(wèn)：這99個(gè)余數(shù)的和是多少？答案：4565解析：100!能夠被2,3,4,100整除，100!-5除以100的余數(shù)為100-5=95 ,10

7、0!-5除以99的余數(shù)為99 -5=94 , 100! -5除以98的余數(shù)為98-5=93,，100!-5除以6的余數(shù)為6-5 =1 ,除以5余0,除以4余3,除以3余1,除以2余1 （判斷除以2、3、4的余數(shù)，只需用2、3、4的倍數(shù)減5即可）.所以余數(shù)和為 1+1+3+0+1+2+ +94+95=5+（1+95） >95 攵=4565.9 .卡莉婭、小高和墨莫三人經(jīng)常去電影院，卡莉婭每隔2天去一次，小高每隔4天去一次，墨莫每隔6天去一次.今天他們?nèi)硕既ル娪霸?，將?lái)會(huì)有連 續(xù)三天都有人去電影院.如果今天是第1天，那么最早出現(xiàn)的具有上述性質(zhì)的連 續(xù)三天是哪三天？答案：第6天、第7天和第8

8、天解析：由題意知，卡莉婭將在第 4天、第7天、第10天去電影院.小高將在第6天、第11天、第16天去電影院.墨莫將在第 8天、第15天、第22天去電影院.則最早出現(xiàn)的連續(xù)三天是第 6天、第7天和第8天.10 .有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，它們的平方從小到大依次是10、9、8的倍數(shù).請(qǐng)問(wèn)：這三個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)是多少？答案：50解析：三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方從小到大依次是 10、9、8的倍數(shù)，則三個(gè)連續(xù)自然數(shù)從小到大依次是10、3、4的倍數(shù).由靛可推斷出三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是10的倍數(shù)，并且除以3余2,除以4余2.滿足上述條件最小的數(shù)是50.拓展篇1 .有一個(gè)正整數(shù)，它加上100后是一個(gè)完全平方數(shù)，加上168后也

9、是一個(gè) 完全平方數(shù).請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)正整數(shù)是多少？答案：156解析：設(shè)這個(gè)正整數(shù)為n,則n+100=b2, n+168=a2,兩式相減得a2-b2=68 ,而 a2-b2=(a+b) x (a-b), 68=1 >68 =2 >34=4X17,由此可得a+b =34, a-b =2,a=18,b =16,2 .如果三個(gè)正整數(shù)a、b、c滿足a2 +b2=c2,則稱這三個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)勾股數(shù) 組(a, b, c),與5有關(guān)的勾股數(shù)組有兩組：(3, 4, 5)和(5 , 12, 13),請(qǐng)問(wèn)： 與13有關(guān)的勾股數(shù)組有哪些？答案:(5,12.13)、(13, 84, 85)解析：當(dāng)c= 13時(shí)，則很

10、顯然(5, 12, 13)是一組勾股數(shù).當(dāng)a=13時(shí)，則132 +b2=169+b2=C2,即 c2-b2=(c+b) >(c-b)=169 X1,由此可得 3c ,解得、c-b = 1,'c=85,因此(13, 84, 85)也是一組勾股數(shù).、b=84,3 .小高往一個(gè)水池里扔石子.第一次扔1顆石子，第二次扔2顆石子，第三 次扔3顆石子，第四次扔4顆石子他準(zhǔn)備扔到水池的石子總數(shù)是 106的倍數(shù), 請(qǐng)問(wèn)：小高最少需要扔多少次？答案：52次解析：小高扔的石子數(shù)為nXn+1)2 而106=2 X53,因此，n或n+1其中有一個(gè)應(yīng)是53或53的倍數(shù)，當(dāng)n=52時(shí)，滿足石子數(shù)是106的倍

11、數(shù)，因此小 高最少需要扔52次.4 .已知兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是 6,兩數(shù)之和為1998.請(qǐng)問(wèn)：滿足上述條 件的數(shù)一共有多少組？答案：108組解析：設(shè)甲、乙兩數(shù)分別為 6a、6b,其中a與b互質(zhì)，且6a+6b=1998 , 即a+b=333=3 2刈7,將333分成兩數(shù)之和，共有166組分法，其中當(dāng)兩數(shù)是3 或37的倍數(shù)時(shí).兩數(shù)不互質(zhì).同時(shí)1663=551, 16637 =418,其中 111被算了兩次，因此滿足條件的組數(shù)有 166-55-4+1=108組.5 .數(shù)學(xué)老師把一個(gè)兩位數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)告訴了墨莫，聰明的墨莫仔細(xì)思考了 一下后算出了這個(gè)數(shù)，同學(xué)們，你們知道這個(gè)數(shù)可能是多少嗎？答案：64

12、或36解析：若約數(shù)個(gè)數(shù)為2個(gè)，是質(zhì)數(shù)，這樣的兩位數(shù)有很多.若約數(shù)個(gè)數(shù)為 3 個(gè)，可以用a2來(lái)表示，也有很多.約數(shù)個(gè)數(shù)為 4個(gè)的兩位數(shù)也有很多.約數(shù)個(gè) 數(shù)為5個(gè)的數(shù)可以表示為a4,有16和81,不唯一，約數(shù)個(gè)數(shù)為6個(gè)的兩位數(shù) 也不唯一，約數(shù)個(gè)數(shù)為7個(gè)的兩位數(shù)表示為a6,只有26 =64,是唯一的，同樣 的，約數(shù)個(gè)數(shù)為9個(gè)的兩位數(shù)也是唯一的，只有 36.約數(shù)個(gè)數(shù)更多的兩位數(shù)，或 者不唯一，或者不存在，因此這個(gè)數(shù)可能為 64或36.6 .在一個(gè)正整數(shù)的所有約數(shù)中，個(gè)位數(shù)字為0, 1, 2,，9的數(shù)都出現(xiàn)過(guò)， 請(qǐng)問(wèn)：這樣的正整數(shù)最小是多少？答案：270解析：若約數(shù)白個(gè)位數(shù)字為0,則這個(gè)數(shù)應(yīng)為10的倍數(shù)

13、.若約數(shù)的個(gè)位數(shù) 字為9,則這個(gè)數(shù)至少是9的倍數(shù)，這樣個(gè)位數(shù)字為0、1、2、3、5、6、8、9 都不用再考慮.再考慮個(gè)位數(shù)字為 7,則至少是7的倍數(shù)，或者為27的倍數(shù)也 可以，滿足上述條件的數(shù)為630或270.兩者都含有個(gè)位數(shù)字為4的約數(shù).因此 最小為270 .7 .甲、乙兩個(gè)三位數(shù)的乘積是一個(gè)五位數(shù)，這個(gè)五位數(shù)的后四位數(shù)是3456.如果甲的數(shù)字和是8,乙的數(shù)字和是14,那么甲、乙兩數(shù)之差是多少？答案：30解析：甲的數(shù)字和是8,乙的數(shù)字和是14,若沒(méi)有進(jìn)位，乘積的數(shù)字和應(yīng) 為112,除以9余4,若有進(jìn)位，每進(jìn)一位，數(shù)字和減少 9,最終乘積酌數(shù)字和 仍然除以9余4,因此這個(gè)五位數(shù)只能為43 45

14、6.分解質(zhì)因數(shù)得43456=2 6X7X97, 容易找到滿足條件的數(shù)為224和194,差為30.8 . A求最小的正整數(shù)n,使得2006+7n是完全平方數(shù)，答案：29解析：452=2025 ,2025-2006=19 不是 7 的倍數(shù).462=2116 ,2116-2006=110 不是7的倍數(shù).472 =2209, 2209-2006=203 是7的倍數(shù)，商為29.因此滿足條件的最小的 正整數(shù)n為29.9 .請(qǐng)寫(xiě)出由不同的兩位數(shù)組成的最長(zhǎng)的等比數(shù)列.答案：16、24、36、54、81解析：容易想到的結(jié)果為10、20、40、80,即公比為2 .但實(shí)際上公比還3可以更小，比如3 ,此時(shí)要求第一項(xiàng)

15、應(yīng)為24 =16的倍數(shù)，因此等比數(shù)列可以為2416、24、36. 54.。81 .（那么公比可不可以更小呢？比如一，答案是否定的，因 3為44 =256不再是兩位數(shù)）10 .有一些自然數(shù)，它們不能用三個(gè)不相等的合數(shù)之和來(lái)表示，請(qǐng)問(wèn)：這樣 的自然數(shù)中的最大一個(gè)是多少？答案：17解析：由于最小的三個(gè)合數(shù)為4、6、8,因此三個(gè)不相等的合數(shù)之和最小為4+6+818,大于18的偶數(shù)，我們可以用大一些的偶數(shù)替換 8來(lái)表示，因此所 有大于18的偶數(shù)均可用三個(gè)不相等的合數(shù)之和來(lái)表示.再考慮奇數(shù)，4+6+9=19 ,大于19的奇數(shù)，我們可以用大一些的偶數(shù)替換 6來(lái)表示，因此所有大于19的 奇數(shù)均可用三個(gè)不相等的

16、合數(shù)之和來(lái)表示，這樣不能用三個(gè)不相等的合數(shù)之和來(lái) 表示的最大的數(shù)應(yīng)為17.11 .有些數(shù)既能表示成5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成6個(gè)連續(xù)自然數(shù)的 和，還能表示成7個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和.例如： 105就滿足上述要求，105=19+20+21+22+23; 105 =15 +16 +17 +18 +19 +20; 105=12 +13 +14+15 +16 +17 +18.請(qǐng)問(wèn)：在1至1000中一共有多少個(gè)滿足上述要求的數(shù)？答案：5個(gè)解析：一個(gè)數(shù)能表示成5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，則這個(gè)數(shù)應(yīng)為 5的倍數(shù).能 表示成6個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，則這個(gè)數(shù)應(yīng)為 3的倍數(shù)，并且商不能為偶數(shù)，即 這個(gè)數(shù)不能為6的倍數(shù)，能表示成

17、7個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，則這個(gè)數(shù)應(yīng)為 7的倍 數(shù).所以滿足條件的數(shù)有105、315、525、735、945,共5個(gè)。12 . 一個(gè)特殊的圓形鐘表只有一根指針，指針每秒轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為連續(xù)自然數(shù)數(shù)列.現(xiàn)在設(shè)定指針第一秒轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為 a度(以為小于360的整數(shù))，則其第二 秒轉(zhuǎn)動(dòng)a+l度，第三秒轉(zhuǎn)動(dòng)a+2度如果指針在第一圈內(nèi)恰好能指回出發(fā)位置， 那么a一共有幾種設(shè)定方法？最小可以被設(shè)成多少？答案：5種；15度解析：設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)了 n次，由題目條件得a+ (a+1) + (a+2) + (a+n-1 ) =na+n Xn-1)攵=360 ,進(jìn)一步整理得 2na+n ><n-1)-n ><2

18、a+n-1)=720=2 4X32X5.當(dāng) n=1 時(shí).a= 360 (舍去).當(dāng) n=3 時(shí)，a=119.當(dāng) n=5 時(shí)，a=70.當(dāng) n=9 時(shí)，a=36. 當(dāng)n=15時(shí)，a=17.當(dāng)n=16時(shí)，a=15.因此a一共有5種設(shè)定方法.最小可以被 設(shè)成15度.13 .某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門(mén)牌號(hào)分別是1, 2, 3,，12.他們的電話號(hào)碼依次是12個(gè)連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號(hào)碼都能被這家的門(mén) 牌號(hào)碼整除.已知這些電話的首位數(shù)字都小于6,并且門(mén)牌號(hào)碼是9的這一家的電話號(hào)碼能被13整除，請(qǐng)問(wèn)：這一家的電話號(hào)碼是多步？答案：388089解析：設(shè)第一家住戶的電話號(hào)碼為 n+1 ,則1|n

19、+1 , 2| n+2 , 3|n+3 ,，12 | n+12,由此可知n能被112同時(shí)整除，而112的最小公倍數(shù)為23>2>5X 7X11=27720 ,則n=27720m ,其中m為正整數(shù)，由條件“門(mén)牌號(hào)碼是9的這一 家的電話號(hào)碼能被13整除”可得,13|27720m+9 .而27720m+9=4m+9 （mod13）, 所以m= 14時(shí)滿足條件，這一家的電話號(hào)碼為 27720 X14+9=388089 .14 .在等差數(shù)列1, 8, 15, 22, 29, 36, 43,中，如果前n個(gè)數(shù)乘積的 末尾0的個(gè)數(shù)比前n+l個(gè)數(shù)乘積的末尾0的個(gè)數(shù)少3個(gè)，那么n最小是多少？答案：107

20、解析：末尾0是由因子2和因子5的乘積得到的.數(shù)列中因子 2的個(gè)數(shù)足夠多，因此第n+1個(gè)數(shù)應(yīng)為53的倍數(shù)，并且除以7余1.滿足條件的最小數(shù)為750.而（750 -1） 7+1= 108 ,因止匕 n 最小是 107.超越篇15 .有一些正整數(shù)，它可以表示成連續(xù)20個(gè)正整數(shù)的和，而且當(dāng)把它表示成 連續(xù)正整數(shù)之和（至少2個(gè)）的形式時(shí)，恰好有20種方法，請(qǐng)問(wèn)：這樣的正整 數(shù)最小是多少？（寫(xiě)出質(zhì)因數(shù)分解）答案：2 刈6 >52=36450解析：由于它可以表示成連續(xù) 20個(gè)正整數(shù)的和，所有它肯定是 10的倍數(shù)（可以利用首位配對(duì)的想法得到，或者由（首+末）父20 =10 （首十末）看出）,2利用結(jié)論“

21、一個(gè)自然數(shù)寫(xiě)成連續(xù)正整數(shù)（至少2個(gè)）之和的方法數(shù)，等于它的奇 約數(shù)個(gè)數(shù)減1；說(shuō)明這個(gè)數(shù)有21個(gè)奇約數(shù).兩個(gè)條件結(jié)合，這個(gè)數(shù)是2X5”或形女n2x£x巴 很明顯最小的是2M6>52.16 .有些自然數(shù)可以表示成兩個(gè)合數(shù)相乘再加一個(gè)合數(shù)的形式，例如： 33 =4 X6+9.請(qǐng)問(wèn)：不能表示成這種形式的自然數(shù)最大是多少？答案：35解析：將小合數(shù)寫(xiě)出一些：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20, 最小能表示出的數(shù)是4必+4=20 ,接著枚舉一些數(shù)找找規(guī)律.21無(wú)法表示，22=4 X4+6, 23 無(wú)法表示，24=4 >4+8 , 25=4X4+9, 26=4 &g

22、t;4+10, 27 無(wú)法表示，28=4 必+12 , 29無(wú)法表示,30=4 M+14. 31=4 >4+15 , 32=4 M+16 ,在這個(gè)過(guò)程中可 以很明顯的感覺(jué)出再往上的偶數(shù)都能利用“ 4必十偶”的方式表示出來(lái)，下面只要繼 續(xù)考察奇數(shù).33=4 >6+9 , 35 無(wú)法表示，37=4 >4+21,39=4 X6+15, 41=4 X4+25=4 刈+9,43 =4 9-1-27,此時(shí)很明顯能感覺(jué)出，33、39、45、這類奇數(shù)都可以用 4>6+(9+3k) (k=0, 2, 4)的形式表示出來(lái)，37、43、49、這類奇數(shù)都可 以用4>4+(21+3k) (

23、k=0, 2, 4-)的形武表示出來(lái)，41、47、53、這類奇數(shù) 都可以用4X8+ (9+3最)(k=0, 2, 4)的形式表示出來(lái).綜上，不能表示成這種形式的自然數(shù)最大是35.17 在給定的圓周上有100個(gè)點(diǎn)，任取一點(diǎn)標(biāo)上1;按順時(shí)針?lè)较驈臉?biāo)有1 的點(diǎn)往后數(shù)2個(gè)點(diǎn)，標(biāo)上2;從標(biāo)有2的點(diǎn)再往后數(shù)3個(gè)點(diǎn)，標(biāo)上3以此類推，直至在圓周上標(biāo)出100.對(duì)于圓周上的這些點(diǎn)，有的點(diǎn)可能標(biāo)上多個(gè)數(shù)，有的點(diǎn)可能沒(méi)有被標(biāo)數(shù)，請(qǐng) 問(wèn)：標(biāo)有100的那個(gè)點(diǎn)上標(biāo)出的數(shù)最小是多少？答案：75解析：標(biāo)有100的那個(gè)點(diǎn)是從標(biāo)有1的點(diǎn)開(kāi)始數(shù)(包括標(biāo)有1的這個(gè)點(diǎn))1+2+100=5050的點(diǎn)，所以這個(gè)點(diǎn)上標(biāo)的數(shù)是符合 1+2+-n

24、三5050(mod100) 的點(diǎn),即"；")三50(mod100),故 n(n+1)三0(mod100),由于，n 和 n+1 互質(zhì), 要想乘積是100的倍數(shù)，那么n和n+1中有一個(gè)數(shù)要是25的倍數(shù)，可能的情況 有（24, 25）、（25, 26）、（49, 50）、（50, 51）、（74, 75）、（75, 76）,很明顯只 有（24, 25）和（75, 76）可能符合，經(jīng)檢驗(yàn)，只有（75, 76）符合，說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)上還 標(biāo)有75,所以標(biāo)有100的那個(gè)點(diǎn)上標(biāo)出的數(shù)最小是 75.18 三個(gè)聰明的初中生聚在一起玩一個(gè)推理的游戲，小強(qiáng)與小花各選了一個(gè) 自然數(shù)并分別將它告訴小安.

25、小安告訴小強(qiáng)和小花，他將分別把這兩個(gè)數(shù)的和與 乘積寫(xiě)在不同的紙上.小安寫(xiě)好后，將其中一張紙藏起來(lái)，把另一張紙亮出來(lái)給 小強(qiáng)和小花看（這張紙上寫(xiě)著2008）.小安請(qǐng)小強(qiáng)和小花互猜對(duì)方所選的數(shù)，小強(qiáng)首先宣稱他無(wú)法確定小花所選的 數(shù)，小花聽(tīng)完小強(qiáng)的話后，也說(shuō)她無(wú)法確定小強(qiáng)所選的數(shù).請(qǐng)問(wèn)：小花所選的數(shù) 是什么？答案：1004解析：首先小強(qiáng)和小花肯定都沒(méi)有選 0,否則一看就知道2008是和，就能 知道對(duì)方的數(shù)，設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為強(qiáng)和花，首先，很明顯強(qiáng) |2008 ,否則立刻判 斷出2008是和，花=2008-強(qiáng)，此時(shí)小強(qiáng)是因?yàn)闊o(wú)法確定 2008是和還是積導(dǎo)致 無(wú)法判斷出小花的數(shù)，同理，花|12008.此時(shí)

26、小花也知道了強(qiáng)|2008,小花會(huì)這樣進(jìn)行推理：如果 2008是積，那么 與已知的情況都符合；如果2008是和，那么由強(qiáng)|2008知2008 -花|2008 ,如果 2008-花不能整除2008,小花立刻就知道2008不是和，是積，就能知道小強(qiáng)的 數(shù).由于實(shí)際上小花無(wú)法確定小強(qiáng)的數(shù)，說(shuō)明花 |2008的同時(shí)2008-花|2008.而 2008= 23 X251,枚舉出它所有的約數(shù)：1、2008、2、1004、4、502、8、251, 經(jīng)檢驗(yàn)只有1004符合，所有小花所選的數(shù)是1004.19 已知三個(gè)互不相等的正整數(shù)成等差數(shù)列，且三個(gè)數(shù)的乘積是完全平方數(shù)，那么這三個(gè)數(shù)的和最小是多少？答案：36解析

27、：解法一：結(jié)合“等差數(shù)列”和“最小”很容易想和，2, 3）,此時(shí)乘積是6,很明顯三個(gè)數(shù)都擴(kuò)6倍得到(6, 12, 18)就符合題意，和為36,下面證明它是最小的.注意到6、12、18中只含質(zhì)因數(shù)2和3,想到先排除其他種類的質(zhì)因數(shù)，假設(shè)這三個(gè)數(shù)中含質(zhì)因數(shù)5,那么肯定至少有1個(gè)數(shù)含52.證法一：設(shè)這三個(gè)數(shù)從小到大依次為 a-d、a、a+d.情況一：如果某個(gè)數(shù)含質(zhì)因數(shù)5,且公差是5的倍數(shù)，那么三個(gè)數(shù)就都含質(zhì) 因數(shù)5,由于乘積是完仝平方數(shù)，所以肯定至少有 1個(gè)數(shù)含52.(很容易想到若 2d是5的倍數(shù)，那么d也一定是5的倍數(shù))情況二：如果某個(gè)數(shù)含質(zhì)因數(shù)5,且公差不是5的倍數(shù)，那么三個(gè)數(shù)中就只 有它含質(zhì)因

28、數(shù)5,很明顯它至少含52.證畢.證法二：若乘積中至少含 54,那么根據(jù)抽屜原理，三個(gè)數(shù)肯定有一個(gè)數(shù)至 少含52;若乘積只含52,若其4中兩個(gè)數(shù)都恰好含有1個(gè)因數(shù)5,那么公差一 定是5的倍數(shù)，故第三個(gè)數(shù)也是5的倍數(shù)，與乘積只含52矛盾，所以52只能恰 好屬于某一個(gè)數(shù)，證畢.要想三個(gè)數(shù)的和不超過(guò)36,這個(gè)含52的數(shù)只能是25,且是最大的那個(gè)數(shù)， 此時(shí)滿足“三個(gè)互不相等的正整數(shù)成等差數(shù)列”的最小只能是(1, 13, 25),和超 過(guò)36.同理，2、3以外的質(zhì)因數(shù)均被排除.很明顯只含質(zhì)因數(shù)2或只含質(zhì)因數(shù)3是無(wú)法構(gòu)造出“三個(gè)互不相等的正整數(shù) 成等差數(shù)列"，所以這三個(gè)數(shù)的乘積里質(zhì)因數(shù) 2和3均有

29、.若乘積是62,結(jié)合之前的分析，必有一個(gè)數(shù)至少含 32 , 一個(gè)數(shù)至少含22, 很明顯若乘積是64,結(jié)合之前的分析，必有一個(gè)數(shù)至少含32, 一個(gè)數(shù)至少含22,枚舉一下發(fā)現(xiàn)只有（6、12、18）符合.若乘積是66.那么這三個(gè)數(shù)的和最小是62+62+62>36,肯定構(gòu)造不出和更小 的三個(gè)數(shù).同理，剩下的都不用討論了.綜上，這三個(gè)數(shù)的和最小是 36.解法二：考慮等差中項(xiàng)，若等差中項(xiàng)是1,很明顯沒(méi)有符合的；若等差中項(xiàng)是2,只有（1, 2, 3）,不符合；若等差中項(xiàng)是3,只有（1, 3, 5）和（2, 3, 4）,都不符合；（當(dāng)然此時(shí)很明顯 可以想到，要想乘積是完全平方數(shù)，那么此時(shí)的公差一定要是3

30、的倍數(shù)，否則另 外兩個(gè)數(shù)都不含3,乘積肯定不是完全平方數(shù)）若等差中項(xiàng)是4,只有（1, 4, 7）、（2, 4, 6）、（3,4, 5）,都不符合；若等差中項(xiàng)是5,那么公差肯定是5的倍數(shù)，很明顯沒(méi)有符合的；若等差中項(xiàng)是6,那么公差肯定是6的倍數(shù)，很明顯沒(méi)有符合的；若等差中項(xiàng)是7,那么公差肯定是7的倍數(shù)，很明顯沒(méi)有符合的；若等差中項(xiàng)是8,那么公差肯定是2的倍數(shù)，只有（2, 8, 14）、（4, 8, 12）、 （6, 8, 10）,都不符合；若等差中項(xiàng)是 9,只有（1, 9, 17）、（2, 9, 16）、（3,9,15）、（4,9,14）、（5,9,13）、（6,9,（12） 7,9, 11）、

31、（8, 9, 10）,都不符合；若等差中項(xiàng)是10,那么公差肯定是10的倍數(shù)，很明顯沒(méi)育符合的；若等差中項(xiàng)是11,那么公差肯定是11的倍數(shù)，很明顯沒(méi)有符合的;若等差中項(xiàng)是12,那么公差肯定是3的倍數(shù)，只有(3, 12, 21)、(6, 12, 18)、(9, 12, 15),其中(6, 12, 18)是符合的，且此時(shí)和最小，為 36.綜上，這三個(gè)數(shù)的和最小是36.解法三：設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為 a-d、a、a+d ,依題意有a(a-d)(a+d)=c 2.如果a是完全平方數(shù)，那么可知(a-d) (a+d)也是完全平方數(shù)，設(shè)為(a-d) (a+d尸a2-d2=q2,說(shuō)明(a, d, q)是一組勾股數(shù)，所以a為完全平方數(shù)時(shí)最小 為(25, 20, 15).如果a不是完全平方數(shù)，那么假設(shè)a=kb2,其中k沒(méi)有完全平方因子，先證 b力,如果b=1 ,則a=k,易知q是k的倍數(shù)，所以a2-d2是k的倍數(shù)，所以d 是k的倍數(shù)，又d<a=k ,所以不可能.所以b最小為2,求出k最小為3,這時(shí) a為12.當(dāng)bW時(shí)，aWMM=18,所以a最小為12,這時(shí)三個(gè)數(shù)為6、12、18, 和為36.6 .是否存在一個(gè)完全平方數(shù)，它的每一位上的數(shù)字全都相同(至少是兩位 數(shù))？如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：不存在.說(shuō)明略解析：不存在.(本題中全1的