費馬點、利用旋轉(zhuǎn)變換求線段和最值T

1、例5、（衢州市）如圖，已知點A(-4，8)和點B(2，n)在拋物線上(1)求a的值及點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；(2)平移拋物線，記平移后點A的對應(yīng)點為A，點B的對應(yīng)點為B，點C(-2，0)和點D(-4，0)是x軸上的兩個定點當拋物線向左平移到某個位置時，AC+CB 最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式；當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形ABCD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由4x22A8-2O-2-4y6BCD-4414年1月石景山期末6. 已知點和點在拋物線上. （1）求的值及點的坐標；

2、 （2）點在軸上，且滿足是以為直角邊的直角三角形，求點的坐標; （3）平移拋物線，記平移后點A的對應(yīng)點為，點B的對應(yīng)點為. 點M（2,0）在x軸上，當拋物線向右平移到某個位置時，最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式.練習(xí)1、（達州）15、如圖6，在邊長為2的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則PBQ周長的最小值為_（結(jié)果不取近似值）. 2如圖所示，正方形的面積為12，是等邊三角形，點在正方形內(nèi)，在對角線上有一點，使的和最小，則這個最小值為（ ） A B C3 D3、 濱州市中考第24題如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(2, 4 )、

3、O(0, 0)、B(2, 0)三點（1）求拋物線yax2bxc的解析式；（2）若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AMOM的最小值4 、山西省中考第26題如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線yx22x3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點（1）求直線AC的解析式及B、D兩點的坐標；（2）點P是x軸上的一個動點，過P作直線l/AC交拋物線于點Q試探究：隨著點P的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（3）請在直線AC上找一點M，使BDM的周長最小，求出點M的坐標圖1滿分解答5. （

4、年山東聊城）已知ABC中，邊BC的長與BC邊上的高的和為20（1）寫出ABC的面積y與BC的長x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積為48時BC的長；（2）當BC多長時，ABC的面積最大？最大面積是多少？（3）當ABC面積最大時，是否存在其周長最小的情形？如果存在，請說出理由，并求出其最小周長；如果不存在，請給予說明6. （江蘇蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，RtOAB的頂點A在x軸的正半軸上，頂點B的坐標為（3，），點C的坐標為（，0），點P為斜邊OB上的一動點，則PAPC的最小值為【】A B C D2 7. （已知點D與點A（8，0），B（0，6），C（a，a）是一平行四邊形的四個頂點，則CD長的

5、最小值為 .8. 如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值是 9.如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3），點D在x軸正半軸上，且OD=OC（1）求直線CD的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點E，求證：CEQCDO；（4）在（3）的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點移動過程中，PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由一、 費馬點、利用旋轉(zhuǎn)變換

6、求線段和最值費馬點編輯本段費馬點定義在一個多邊形中，到每個頂點距離之和最小的點叫做這個多邊形的費馬點。在平面三角形中:(1).三內(nèi)角皆小于120°的三角形，分別以 AB,BC,CA，為邊，向三角形外側(cè)做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后連接AA1,BB1,CC1,則三線交于一點P,則點P就是所求的費馬點. (2).若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度,則此鈍角的頂點就是所求.(3)當ABC為等邊三角形時,此時外心與費馬點重合（1） 等邊三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分別為三角形三邊上的高和中線、三角上的角分線。是內(nèi)切圓和外切圓的中心。BPCCPAPBA。（2） 當B

7、C=BA但CAAB時，BP為三角形CA上的高和中線、三角上的角分線。 編輯本段證明(1)費馬點對邊的張角為120度。CC1B和AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,CBC1=B+60度=ABA1,CC1B和AA1B是全等三角形,得到PCB=PA1B同理可得CBP=CA1P由PA1B+CA1P=60度，得PCB+CBP=60度,所以CPB=120度同理,APB=120度，APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1將BPC以點B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60度與BDA1重合，連結(jié)PD，則PDB為等邊三角形，所以BPD=60度又BPA=120度，因此A、P、D三點在同一直線上，又CPB=A1DB=120度

8、，PDB=60度，PDA1=180度，所以A、P、D、A1四點在同一直線上，故PA+PB+PC=AA1。(3)PA+PB+PC最短在ABC內(nèi)任意取一點M（不與點P重合），連結(jié)AM、BM、CM，將BMC以點B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60度與BGA1重合，連結(jié)AM、GM、A1G(同上)，則AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以費馬點到三個頂點A、B、C的距離最短。平面四邊型費馬點平面四邊型中費馬點證明相對于三角型中較為簡易，也較容易研究。（1）在凸四邊型ABCD中，費馬點為兩對角線AC、BD交點P。（2）在凹四邊型ABCD中，費馬點為凹頂點D（P）。7（自編）已知O點坐標為（0，0），A點

9、坐標為（8，0），B點坐標為（0，8），在平面直角坐標系上確定點P，使OPAPBP最小。并求出點P坐標和OPAPBP的最小值。8（自編）已知O點坐標為（0，0），A點坐標為（5，0），B點坐標為（，），在平面直角坐標系上確定點P，使OPAPBP最小。并求出點P坐標和OPAPBP的最小值。9、若P為所在平面上一點，且，則點叫做的費馬點.（1）若點為銳角的費馬點，且，則的值為_；ACB（2）如圖，在銳角外側(cè)作等邊連結(jié).求證：過的費馬點，且=.25.如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點在軸的正半軸上，為的中線，過、兩點的拋物線與軸相交于、兩點（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊的頂點

10、、在線段上，求及的長；（3）點為內(nèi)的一個動點，設(shè)，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時，線段的長. （備用圖）13通州24已知：，以AB為一邊作等邊三角形ABC.使C、D兩點落在直線AB的兩側(cè).（1）如圖，當ADB=60°時，求AB及CD的長；（2）當ADB變化，且其它條件不變時，求CD 的 最大值，及相應(yīng)ADB的大小.ADBC1房山28如圖1，已知線段BC=2，點B關(guān)于直線AC的對稱點是點D，點E為射線CA上一點，且ED=BD，連接DE，BE.(1) 依題意補全圖1，并證明：BDE為等邊三角形；(2) 若ACB=45°，點C關(guān)于直線BD的對稱點為點F，連接FD、FB.將CDE繞點D 順時針旋轉(zhuǎn)度（0°360°）得到，點E的對應(yīng)點為E，點C的對應(yīng)點為點C.如圖2，當=30°時，連接證明：=；如圖3，點M為DC中點，點P為線段上的任意一點，試探究：在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段PM長度的取值范圍？圖1圖2圖32