(完整版)初二二次根式所有知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和常考題提高難題壓軸題練習(xí)(含答案解析)

1、初二二次根式所有知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和?？碱}知識(shí)點(diǎn)：1、二次根式： 形如F(a 0)的式子。二次根式必須滿足：含有 二次根號(hào)”被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。非負(fù)性2、最簡二次根式：滿足：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含 能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式。3、化最簡二次根式的方法和步驟：(1)如果被開方數(shù)含分母，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成 分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡。(2)如果被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式，先將他們分解因數(shù) 或因式，然后把能開得盡方的因數(shù)或因式開出來。3、二次根式有關(guān)公式(1)(右)2 a(a 0)(2) Ja2 a(3)乘法公式 ab ,a? b(a 0,b 0)a i

2、 a(4)除法公式Jb而(a 0,b 0)4、二次根式的加減法則：先將二次根式化為最簡二次根式，再將被 開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。5、二次根式混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里的 ?？碱}:.選擇題(共14小題)1.A.2.A.3.A.4.A.卜列二次根式中屬于最簡二次根式的是(V14 B. C.D ，口一式子與L有意義的x的取值范圍是( 1-1/且 XW1 B. xw 1C.富二1-且篁# 1下列計(jì)算釁誤電是()_；二B.：一； C.二 D.-二估計(jì)，記x的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在()6到7之間 B. 7到8之間 C. 8到9之間 D. 9到10之間5.如果 J-11=1 2a

3、,貝U (A. aB. a&二 C. a>4D- a22226 .若五T 71f = （x+y） 2,貝 x- y 的值為（）A. - 1 B. 1C. 2D. 37 .史赤是整數(shù),則正整數(shù)n的最小值是（）A. 4 B. 5C. 6D. 78 .化簡近？（近T）的結(jié)果是（）A -,/<- B f 二產(chǎn) C. I : D.9 . k、m、n為三整數(shù)，若|VI£=k/E, J痂=15后，近麗=6后，則下列有關(guān)于k、m、n的大小關(guān)系，何者正確？（）A. k< m=n B. m=n< k C. m<n<kD. m<k< n10 .實(shí)數(shù)a

4、在數(shù)軸上的位置如圖所示，則J?7）2+7g-ll） 2化簡后為（05 cr 10A. 7 B. - 7 C. 2a- 15 D.無法確定11 .把嗎，1根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)得（）A. , B. Vrr C. "'Vz|d. V-ir12 .已知是正整數(shù),則實(shí)數(shù)n的最大值為（）A. 12 B. 11 C. 8D. 313 .若式子j有意義，則點(diǎn)P （a, b）在（）A.第一象限B.第二象限C第三象限 D.第四象限14 .已知m=1+Vl, n=1 -1x/2,則代數(shù)式行百丁石京的值為（A. 9 B. ±3 C. 3D. 5二.填空題（共13小題）15.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上

5、的位置如圖所示，則| a- 1|+也3-2）二.111-?-101a 216 .計(jì)算：旖-、停的結(jié)果是17 .化簡：仍（/-6） - V24- |V6-3| =.18 .如果最簡二次根式 扃兩與&是同類二次根式,則a=.19 .定義運(yùn)算”勺運(yùn)算涔則為：xy=/標(biāo)則（26） 8=20 .化簡歷義仁-4義仁義（1-V2） 0的結(jié)果是.21 .計(jì)算：T-|-V12=22 .三角形的三邊長分別為 倔端，V40cit）, 屈詞,則這個(gè)三角形的周長為 cm.23 .如果最簡二次根式 的三與44a-2能合并,那么a=.24 .如圖，矩形內(nèi)兩相鄰正方形的面積分別是 2和6,那么矩形內(nèi)陰影部分的面 積是

6、.（結(jié)果保留根號(hào)）在：1.=數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡.-1012326計(jì)算：7（V3-2）2+Vs=-27 .已知a、b為有理數(shù)，m、n分別表示5f斤的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且 amn+bnV5+V3?參照（四）式得不=.=1,貝U 2a+b=.三.解答題（共13小題）在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡:28 .閱讀下列材料，然后回答問題.第3頁（共20頁）=3 V3X3 3=/3- 1r 2 _ 2（V3-1） _ 2CV3-1J 石+1 1行1）（表-1）=會(huì)嚴(yán)一/以上這種化簡的步驟叫做分母有理化. 了Wj還可以用以下方法化簡：2 = 3-1 =

7、（73）2-12V3+l-/3+l V3+1（Vs-nXVs-D =/3, i （四） V3+1（1）請(qǐng)用不同的方法化簡2V5+V3（2（3）化簡:+ + ,1 ,.VZn+l +V2rrT29 .計(jì)算：(代-1 (/5+D -2+|1-也I -( l 2) 0+/8，30 .先化簡，再求化 必71)(滸舊)a&-6),其中a=加總.31 .先化簡，再求值：(-3)-=-其中 x=1啦，y=1-吏. x-y 升 yx22 工/乂卜2_(三十與 r )(其中a、b、c為三角形的三邊長,積).而另一個(gè)文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式:s=7ptp-aJ (p-b) (p-c) (其

8、中 p歲時(shí).)(1)若已知三角形的三邊長分別為 5, 7, 8,試分別運(yùn)用公式和公式，計(jì)算該三角形的面積s；(2)你能否由公式推導(dǎo)出公式？請(qǐng)?jiān)囋?-2xyy232 .先化簡，再求化 &一2二三產(chǎn)生" 其中卜二-奸行. x-Fz算+233 .已知aJ,求1加上_J上2一生一的值.73a-134 .對(duì)于題目 化簡并求值：去+住+已泊，其中a-甲、乙兩人的解答不同.第5頁(共20頁)甲的解答:),49 5乙的解答:請(qǐng)你判斷誰的答案是錯(cuò)誤的，為什么？35 . 一個(gè)三角形的三邊長分別為5Z>(1)求它的周長(要求結(jié)果化簡)；(2)請(qǐng)你給一個(gè)適當(dāng)?shù)膞值，使它的周長為整數(shù)，并求出此時(shí)

9、三角形周長的值.s為面36 .我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在數(shù)書九章中記述了 土斜求積術(shù)”，即已知三角 形的三邊長，求它的面積.用現(xiàn)代式子表示即為：心而點(diǎn))，求代數(shù)式x2-xy+y2值.37.已知:(2)部出）（a>0，b>0）39 .先閱讀下列的解答過程,然后再解答：形如土 2石的化簡,只要我們找到兩個(gè)數(shù)a、b,使a+b=m , ab=n,使得（仁）2+（種產(chǎn)5,立狗=后，那么便有：土班刃（五士加2叫土或（a> b） .例如：化簡.解：首先把而石化為歷麗，這里m=7, n=12,由于4+3=7, 4X3=12即（VZ）2|+（病產(chǎn)=7, V4XV3=/12麗而=/說瓦巾后赤產(chǎn)2+g

10、.由上述例題的方法化簡： 衽豕西霰.40 .閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+2-/2= （1+/2）2.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè) a+b&=（m+n&）2 （其中 a、b、m、n 均為整數(shù)），貝有 a+b/2 =m2+2n2+2mn/2 . a=m2+2n2, b=2mn.這樣小明就找到了一種把類似 a+b/叵的式子化為平方式的請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b欄二（所炳）？，用含m、n的式子分別表示a、b,得：a=, b=;（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m

11、、n填空：+行=第19頁（共20頁）（3）若a+4/l=（葉門、弓）且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值?初二二次根式所有知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和?？碱}提高難題壓軸題 練習(xí)（含答案解析）參考答案與試題解析一.選擇題（共14小題）1. （2005?岳陽）下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（）A. V14 B.候 C.4 D. 4【分析】R D選項(xiàng)的被開方數(shù)中含有未開盡方的因數(shù)或因式；C選項(xiàng)的被開方數(shù)中含有分母；因此這三個(gè)選項(xiàng)都不是最簡二次根式.【解答】解：因?yàn)椋築、V4S=4/3;D、h/4+4a=2Ja+l;所以這三項(xiàng)都不是最簡二次根式.故選 A.【點(diǎn)評(píng)】在判斷最簡二次根式的過程中要注意：（1）在二次根式的被

12、開方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡二次根式；（2）在二次根式的被開方數(shù)中的每一個(gè)因式 （或因數(shù)），如果幕的指數(shù)等于或大 于2,也不是最簡二次根式.2. （2013徵底）式子寸2AL有意義的x的取值范圍是（）1-1A. x 一且 xw1 B. xw 1C.3>= D.苴）一且篁【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0列式進(jìn)行計(jì)算即可得解.【解答】解：根據(jù)題意得，2x+1 >0且x-1*0,解得x> -上且xw1.2故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：分式有意義，分母不為 0;二次根式的被開方數(shù) 是非負(fù)數(shù).3. （2007?趙州）1列計(jì)算錯(cuò)誤的* （ _）_A. 二 B

13、.門： 一； C." .1 D. 匚一；【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則分別計(jì)算,再作判斷.【解答】解jA、V14 乂，?=/西及7=7回，正確；B、V60 = V=/60 + 5 =273，正確；C、V9a+V253=3'/3+5V3=8x/a,正確；D、一 .：故錯(cuò)誤.故選D.被開方數(shù)相同【點(diǎn)評(píng)】同類二次根式是指幾個(gè)二次根式化簡成最簡二次根式后， 的二次根式.二次根式的加減運(yùn)算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行 合并.合并同類二次根式的實(shí)質(zhì)是合并同類二次根式的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)不變.4. （2008?蕪湖）估計(jì)倔的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在（）A. 6到7之間 B.

14、 7到8之間 C 8到9之間 D. 9到10之間【分析】先進(jìn)行二次根式的運(yùn)算，然后再進(jìn)行估算.【解答】解：.抵乂偈m5=4+/而，而4（山萬<5,原式運(yùn)算的結(jié)果在8到9之間；故選C.笑逼法【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無理數(shù)的近似值問題，現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常需要估算, 是估算的一般方法，也是常用方法.5. （2011?0臺(tái)）如果 J（2社-1）2=1-2a,則（）A. aB. a&t C. a>4 D. a 2222【分析】由已知得1-2a0,從而得出a的取值范圍即可.【解答】解：JiZaT）汩-2己， 1 - 2a>0,解得a&g.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡與

15、求值，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握.6. （2009?荊門）若 口！7!= （x+y） 2,貝U x y 的值為（）A. - 1 B. 1 C. 2 D. 3【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于或等于0,可求出x、y的值,再代入代數(shù)式即可.【解答解：:Tlr= （x+y） 2有意義，- x- 1>0H 1 -x>0, x=1, y= - 1,x- y=1 - （ - 1） =2.故選：C【點(diǎn)評(píng)】本區(qū)主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)：概念：式子.】（a0）叫二次根式；性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義.7. （2012秋？麻城市校級(jí)期末）V說是整數(shù)，則正整數(shù)n的最

16、小值是（）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【分析】本題可將24拆成4義6,先把/赤化簡為2后，所以只要乘以6得出62即可得出整數(shù)，由此可得出n的值.【解答】解：di詬=M x 6n=2/而,當(dāng) n=6 時(shí)，VSn=6,原式=2=12,n的最小值為6.故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的性質(zhì).本題還可將選項(xiàng)代入根式中看是否能開 得盡方，若能則為答案.8. （2013?佛山）化簡血?。↗ET）的結(jié)果是（A & 2- B i 2 C. ; D.'.【分析】分子、分母同旨乘以（於+1）即可.解答解：原式-*徵*E2啦.Vz-l W2-1）G/z+1）故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了

17、分母有理化，正確選擇兩個(gè)二次根式，使它們的積符合平方 差公式是解答問題的關(guān)鍵.9. （2013?臺(tái)灣）k、m、n為三整數(shù)，若近而=W!豆浜而=1編，7180=6, 則下列有關(guān)于k、m、n的大小關(guān)系，何者正確？（）A. k< m=n B. m=n< k C. m<n<kD. m<k< n【分析】根據(jù)二次根式的化簡公式得到k, mjt n芳值，即可作出判斷.【解答】解：713=3<15, 1450=15, 7130=6/5,可得：k=3, m=2, n=5,則 m<k<n.故選：D【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的化簡公

18、式是解 本題的關(guān)鍵.10. （2011?范澤）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則 幾-爐+五71）2化簡A. 7 B. - 7 C. 2a- 15 D.無法確定【分析】先從實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置，得出a的取值范圍，然后求出（a-4）和（a-11）的取值范圍，再開方化簡.【解答】解：從實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置可得，5<a< 10,所以a - 4>0,a- 1K0,貝 u d%-4）2Wg-iD，=a- 4+11 - a,=7.故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的化簡，正確理解二次根式的算術(shù)平方根等概 念.11. （2013秋?五蓮縣期末）把。根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)得（皿A. |Vi

19、r B. |Vrr C. VirD. V-ir【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)及二次根式成立的條件解答.【解答】解：:立,. . >0,即 m<0,原式=_ J(-rn)2(')二一日Vm故選：D.【點(diǎn)評(píng)】正確理解二次根式乘法、積的算術(shù)平方根等概念是解答問題的關(guān)鍵. 二次根式成立的條件：被開方數(shù)大于等于 0,含分母的分母不為0.12. （2009羹帛陽）已知Ml2f是正整數(shù),則實(shí)數(shù)n的最大值為（）A. 12 B. 11 C. 8 D. 3【分析】如果實(shí)數(shù)n取最大值，那么12-n有最小值；又知庇r?是正整數(shù)，而 最小的正整數(shù)是1,則,應(yīng)三等于1,從而得出結(jié)果.【解答】解：當(dāng)V12f

20、等于最小的正整數(shù)1時(shí)，n取最大值，則n=11.故選B.【點(diǎn)評(píng)】此題的關(guān)鍵是分析當(dāng)M后等于最小的正整數(shù)1時(shí)，n取最大值.13. （2005TH寧）若式子 仃啥有意義，則點(diǎn)Pb）在（）A.第一象限B.第二象限C第三象限D(zhuǎn).第四象限【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)和分母不為 0,對(duì)a、b的取值范圍 進(jìn)行判斷.【解答】解：要使這個(gè)式子有意義，必須有-a>0, ab>0,. a<0, b<0,點(diǎn)（a, b）在第三象限.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式有意義的條件，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào).14. （2013?上城區(qū)一模）已知 m=1+/2, n=1-施， 則代數(shù)式Jm2

21、+ n'-Sinn的值為（）A. 9 B. ±3 C. 3 D. 5【分析】原式變形為（個(gè)口）2-5皿1 ,由已知易得m+n=2, mn= （1+回）（1 -叵）=-1,然后整體代入計(jì)算即可.【解答】解：m+n=2, mn= (1+/2) (1= 1,原式二： ” = I 1 = ：|=3-故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡求值：先把被開方數(shù)變形，用兩個(gè)數(shù)的和與 積表示，然后利用整體代入的思想代入計(jì)算.二.填空題（共13小題）15. （2004?山西）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，貝U M 1|+收另產(chǎn) 1H111f-101j 2【分析】根據(jù)數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)

22、總比左邊的大，分別得出a-1與0, a-2與0的關(guān)系，然后根據(jù)絕對(duì)值的意義和二次根式的意義化簡.【解答】解：根據(jù)數(shù)軸上顯示的數(shù)據(jù)可知：1<a<2, a- 1>0, a-2<0, . | a - 1| +1（塾2=a - 1 +2 - a=1.故答案為：1.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)軸，絕對(duì)值的意義和根據(jù)二次根式的意義化簡.二次根式一的化簡規(guī)律總結(jié)：當(dāng)a0時(shí)，JM=a；當(dāng)a&0時(shí)，為守=-a.16. （2013?南京）計(jì)算:的結(jié)果是【分析】先進(jìn)行二次根的"w，然后合并同類二次根式即可.【解答】解：原式過L-四5.22故答案為：.二【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式

23、的加減運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握二次根式的 化簡及同類二次根式的合并.17. （2013徐安）化簡：V3 （V2-h/3） -V24- |V&-3|= - 6 .【分析】根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則以及絕對(duì)值的性質(zhì)和二次根式的化簡分別 化簡整理得出即可.【留答】解：傷（6-6）-3-|代-3|=- 3 - 2在-（3 - /-6）,=-6.故答案為：-6.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡與混合運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題 關(guān)鍵.18. （2006?廣安）如果最簡二次根式 圾石與也7-2a是同類二次根式,則 a=【分析】根據(jù)最簡二次根式和同類二次根式的定義，列方程求解. 【解答】解：

24、最簡二次根式兩與麻藥是同類二次根式, .3a-8=17-2a,解彳為 a=5.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查最簡二次根式和同類二次根式的定義.19. （2007?蕪湖）定義運(yùn)算”勺運(yùn)算法則為：xy=AFI,則（26） 8= 6【分析】認(rèn)真觀察新運(yùn)算法則的特點(diǎn)，找出其中的規(guī)律，再計(jì)算.【解答】解：xy卬工y+4 ,（ 26） 8=Q K iy 8=48=/二 X K十，二6,故答案為：6.【點(diǎn)評(píng)】解答此類題目的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察新運(yùn)算法則的特點(diǎn)，找出其中的規(guī)律， 再計(jì)算.20. （2014?荊州）化簡小 X強(qiáng)4X低X （ 1-/2） 0的結(jié)果是.【分析】先把各二次根式化為最簡二次根式，再根據(jù)二次根式的乘法法則

25、和零指 數(shù)幕的意義計(jì)算得到原式=2月-四,然后合并即可.【解答】解：原式="x" 4X*_X 1=2. ：-二=丘.故答案為：.二【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化為最簡二次根式， 再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式.也考查了零指數(shù)幕.21. （2014?廣元）計(jì)算：亞-二-2【分析】分別進(jìn)行分母有理化、二次根式的化簡，然后合并求解.【解答】= -2.故答案為：-2.二次根式的化【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減法，本題涉及了分母有理化、 簡等運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.22. （2013?!城市模擬）三角形的三邊長分別為 癡s , 包 遍% 則這 個(gè)三

26、角形的周長為5/+2VT3_cm.【分析】一魚形的三邊長的和為三角形的周長，所以這個(gè)三角形的周長為.'+ ，+.二，化簡合并同類二次根式.【解答】 解：這個(gè)三角形的周長為 倔+/茄+/芯=2而+2聞；+始=曬+2/15（cm）._故答案為：5V5+2,r10 （cm）.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了運(yùn)用二次根式的加減解決實(shí)際問題.23. （2012秋?瀏陽市校級(jí)期中）如果最簡二次根式 黃不與后方能合并，那么 a= 1.【分析】根據(jù)兩最簡二次根式能合并，得到被開方數(shù)相同，然后列一元一次方程 求解即可.【解答】解：根據(jù)題意得，1+a=4a- 2,移項(xiàng)合并，得3a=3,系數(shù)化為1,得a=1.故答案為：1

27、.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡二次根式，利用好最簡二次根式的被開方數(shù)相同是解題 的關(guān)鍵.24. （2006?宿遷）如圖，矩形內(nèi)兩相鄰正方形的面積分別是 2和6,那么矩形內(nèi) 陰影部分的面積是2©2 .（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】根據(jù)題9可知，可相鄰正方形的邊長分別是 血和通，由圖批，矩形的 長和寬分別為 血+后、巫,所以矩形的面積是為（6+/ ?/6=2/3+6,即可 求得矩形內(nèi)陰影部分的面積.【蟀厘】解：矩形內(nèi)陰影部的面積是（x+V6） ?V6- 2- 6=2/5+6- 2- 6=2/3- 2.【點(diǎn)評(píng)】本題要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，注意觀察各圖形間的聯(lián)系，是解決問題的 關(guān)鍵.25. （2003?可

28、南）實(shí)數(shù)p在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡 Js-1） 2H（口_2）2 =U11I1LiJ-10IP 23【分析】根據(jù)數(shù)軸確定p的取值范圍，再利用二次根式的性質(zhì)化簡.【解答】解：由數(shù)軸可得，1<p<2,p- 1>0, p- 2<0,MpT崢-1+2-p=1.【點(diǎn)評(píng)】此題從數(shù)軸讀取p的取值范圍是關(guān)鍵.26. （2009加州）計(jì)算：4/ 下+氏=2 .【分析】運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：J”=|a|,由于2>依，故J（赤-公2=2-【解答】解：原式=2 -乃+內(nèi)=2.【點(diǎn)評(píng)】合并同類二次根式的實(shí)質(zhì)是合并同類二次根式的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)不變.27. （2011?涼山州）已知a

29、、b為有理數(shù)，m、n分別表示57可的整數(shù)部分和小 數(shù)部分，且 amn+bn = 3-1 =（73）2-12V3+1 V3+1 V3+1=1,貝U 2a+b= 2.5 .【分析】只需首先對(duì)5、年估算出大小，從而求出其整數(shù)部分a,其小數(shù)部分用5fM- a表示.再分別代入amn+bn2=1進(jìn)行計(jì)算.【解答】解：因?yàn)?< Jt|<3,所以2<5-巾<3,故m=2, n=5-折-2=3-、.斤.把 m=2, n=3近代入 amn+bn2=1 得，2 （3一唐）a+ （3 -V7） 2b=1化簡得（6a+16b）-的 （2a+6b） =1,等式兩邊相對(duì)照，因?yàn)榻Y(jié)果不含 用，所以 6

30、a+16b=1 且 2a+6b=0,解得 a=1.5, b= - 0.5.所以 2a+b=3-0.5=25故答案為：25【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了無理數(shù)大小的估算和二次根式的混合運(yùn)算.能夠正確估算出一個(gè)較復(fù)雜的無理數(shù)的大小是解決此類問題的關(guān)鍵.三.解答題（共13小題）28. （2009?邵陽）閱讀下列材料，然后回答問題.在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡:=3 V3X3 3=/3- 1r 2 _ 2（73-4） _ 2CV3-1J 小+1工表+1）（表-1）=會(huì)嚴(yán)一/以上這種化簡的步驟叫做分母有理化. 了Wj還可以用以下方法化簡：（Vs-nXVs-D =

31、/3. 1 （四）V3+1（2_2Vs+73（3）化簡:+ + ,1 ,.VZn+l +V2rrT（1）請(qǐng)用不同的方法化簡2V5+V3?參照（四）式得1、同乘分母的有【分析】（1）中，通過觀察，發(fā)現(xiàn)：分母有理化的兩種方法:理化因式；2、因式分解達(dá)到約分的目的；（2）中，注意找規(guī)律：分母的兩個(gè)被開方數(shù)相差是2,分母有理化后，分母都是2,分子可以出現(xiàn)抵消的情況.【解答】解：（1）二而二一國及 （加+次）（“予）（V5）-（V5）=，：V5+V5:V5+V3小十行43）L L 一后療2 2）原式=31. （2005砒陽）先化簡，再求值:.'!r（V3+l）4V5+-/3）（VsWs） +V?

32、+V5）（V?/5）+?。ń黱+空門-1 ）（也n+lf 72nLi ）= V5+VWi+. +V2nH2nEL2222= 2【點(diǎn)評(píng)】學(xué)會(huì)分母有理化的兩種方法.29. （2014?張家界）計(jì)算：（尺 1）（m+1） - （-） 2+1 1-1 - （l 2）0+.【分析】根據(jù)零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕和平方差公式得到原式=5-1- 9啦-1-1+2 1,然后合并即可.【解答】解：原式=519仍1 1+3= -7+3/2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化為最簡二次根式， 再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式.也考查了零指數(shù)幕、負(fù)整 數(shù)指數(shù)幕.30. （2009?廣州）

33、先化簡，再求值：|QS）G+遮"乜儲(chǔ)-6）,其中聲巧用號(hào).【分析】本題的關(guān)鍵是對(duì)整式化簡，然后把給定的值代入求值.【解答】解：原式=a2 3 a2+6a=6a 3,當(dāng)a=H育時(shí)，原式=6x/5+3 - 3=6工化.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的運(yùn)算、平方差公式等基本知識(shí)，考查基本的代數(shù)計(jì) 算能力.注意先化簡，再代入求值.）T-57，其中 x=1+/ , x2-2iy+yy=1【分析】這是個(gè)分式除法與減法混合運(yùn)算題， 運(yùn)算順序是先做括號(hào)內(nèi)的減法，此 時(shí)要注意把各分母先因式分解，確定最簡公分母進(jìn)行通分；做除法時(shí)要注意先把 除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，而做乘法運(yùn)算時(shí)要注意先把分子、分母能因式分解的

34、 先分解，然后約分.【解答】解：原式=,(x+y)(s+y)(x_y)二_M22y乂魚過_(x-y) 2y當(dāng)x=1+-歷y=1 -血時(shí),原式=:二一【點(diǎn)評(píng)】分式混合運(yùn)算要注意先去括號(hào)；分子、分母能因式分解的先因式分解; 除法要統(tǒng)一為乘法運(yùn)算.32. （2010?萊蕪）先化簡，再求值：（廣之二與）。等，其中x= I上. Cji【分析】這道求代數(shù)式值的題目，不應(yīng)考慮把 x的值直接代入，通常做法是先把代數(shù)式去括號(hào)，把除法轉(zhuǎn)換為乘法化簡，然后再代入求值.本題注意X-2看作一個(gè)整體.【解答】解：原式k-2）G+2）T2=里工x+2x+22R 一藝乂 x+24-x丘G-4) x工+2x-4 =（x+4）,

35、當(dāng)71好時(shí)乙-原式=-C-4+V3） -4=4-y/3 -4=/3.【點(diǎn)評(píng)】分式混合運(yùn)算要注意先去括號(hào)；分子、分母能因式分解的先因式分解; 除法要統(tǒng)一為乘法運(yùn)算.33. （2008?余姚市校級(jí)自主招生）已知的值.【分析】先化簡，再代入求值即可. a=2-心 < 1,原式二廟-1）' - a T之（a T ）=a- 1-V=a 1 + a=2-Vs- 1+2+/3=4 1=3.將二次根式的化簡是解此題的關(guān)鍵.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡與求值,34. （2002?遼寧）對(duì)于題目 化簡并求值：二出+/_2,其中a。"，甲、乙兩 人的解答不同.甲的解答：9+伐+”書+收_

36、1號(hào)一呼一a=f;乙的解答："后+/-吟4號(hào)）列珀-¥咤.請(qǐng)你判斷誰的答案是錯(cuò)誤的，為什么？【分析】因?yàn)閍1時(shí)，a-1,-5=-41<0,所以卜工）:,故錯(cuò)誤的 是乙.【解答】解：甲的解答：a時(shí)，-a=5-1=4>0，所以J（LaS工 a,3 dY a_ 五正確；乙的解答：因?yàn)閍時(shí)，a -=|- 5=- 4<0,所以J（己二wa-二，錯(cuò)誤;因此，我們可以判斷乙的解答是錯(cuò)誤的.【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)熟練掌握二次根式的性質(zhì)：k/7=-a （a< 0）.35. （2011?上城區(qū)二模）一個(gè)三角形的三邊長分別為而、曾楹（1）求它的周長（要求結(jié)果化簡）；（2）請(qǐng)你給一個(gè)適

37、當(dāng)?shù)膞值，使它的周長為整數(shù)，并求出此時(shí)三角形周長的值.【分析】把三角形的三邊長相加，即為三角形的周長.再運(yùn)用運(yùn)用二次根式的加 減運(yùn)算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.【解答】解：（1）周長二（2）當(dāng)x=20時(shí)，周長=1詬X 20心，（或當(dāng)，周長=：第23頁（共20頁）【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于第（2）答案不唯一，但要注意必須符合題意.36. （2005?臺(tái)州）我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在 數(shù)書九章中記述了三斜求積術(shù)”, 即已知三角形的三邊長，求它的面積.用現(xiàn)代式子表示即為：I222刃已八芹產(chǎn)+方一）（其中a b、c為三角形的三邊長，s為面 積）.而另一個(gè)文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫

38、公式：s=Jp加一幻（p-b）（其中p亙與士.）（1）若已知三角形的三邊長分別為 5, 7, 8,試分別運(yùn)用公式和公式，計(jì) 算該三角形的面積s；（2）你能否由公式推導(dǎo)出公式？請(qǐng)?jiān)囋?【分析】（1）代入計(jì)算即可；（2）需要在括號(hào)內(nèi)都乘以4,括號(hào)外再乘玄，保持等式不變，構(gòu)成完全平方公式, 再進(jìn)行計(jì)算.【解答】解：（1） s唱廿乂?5.總符（/-1 =4五二 1 oVF ； p=7 (5+7+8) =10,又 s=/10d0-5) do-7) CiO-8)=10x 5X3X2=103；(a2 + b2) 2-2(q3+12)" g，(g')"4=-Ar c2-Q-b) 2

39、 (a+b) 2 y 2 , ID=- (c+a-b) (c- a+b) (a+b+c) (a+b-c),16=-V (2p-2a) (2p-2b) ?2p? (2p-2c),16=p (p - a) (p - b) (p - c),r2 2 2 R論/ d _匚)=vb5-a) (p-b) (p-c).(說明：若在整個(gè)推導(dǎo)過程中，始終帶根號(hào)運(yùn)算當(dāng)然也正確)【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形面積的海倫公式的用法，也培養(yǎng)了學(xué)生的推理和計(jì)算能力.37. (2009秋？金口河區(qū)期末)已知:(聽+V)，尸，求代數(shù)式x2 - xy+y2 值.【分析】觀察，顯然，要求的代數(shù)式可以變成 x, y的差與積的形式，從而簡便 計(jì)算.原式=(x- y) 2+xy=5卷=53.【點(diǎn)評(píng)】此類題注意變成字母的和、差或積的形式，然后整體代值計(jì)算.38. (2010秋？灌云縣町期末)計(jì)算或化簡：(1)(