初二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)教材(第2講)

1、初二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)教材（第2講）【教學(xué)進(jìn)度】 代數(shù)第二冊 §3.1 §3.2 §3.3【主要內(nèi)容】1關(guān)于三角形的一些概念2三角形三條邊的關(guān)系3三角形的內(nèi)角和【重點、難點剖析】一、關(guān)于三角形的一些概念 1三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。對于三角形定義應(yīng)從三個方面來掌握 （1）不在同一條直線上；（2）三條線段；（3）首尾相接，其中“首尾相接”是關(guān)鍵詞語，它揭示了三角形三條邊不但不在同一條直線上，而且構(gòu)成了封閉圖形。 2三角形中的重要線段 三角形的角平分線、中線、高線是三角形中的三種重要線段。學(xué)習(xí)這三種重要線段，需注意以下一些

2、問題。 （1）要注意“三角形的角平分線”與“角的平分線”的區(qū)別，前者是一條線段，可以量得它的長度，后者是一條射線，不能測量其長度，類似地，三角形的中線、高線均是線段。 （2）在畫三角形高線時，要注意銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部；鈍角三角形的高線中有兩個垂足落在邊的延長線上，這兩條高在三角形的外部（如圖1所示）；在直角三角形中，有兩條高恰是三角形的兩條邊。 （3）三角形的三條內(nèi)角平分線、三條中線交于一點，銳角三角形或直角三角形的三條高交于一點，鈍角三角形的三條高線的延長線交于一點，作三角形的高線通常需有直角符號且標(biāo)明垂足。 （4）三角形三種重要線段，每一種線段的表示方法有下面幾種方式： 圖

3、1 AD是ABC的角平分線，AD平分BAC，交BC于D；BAD=DAC=BAC AM是ABC的中線，AM是ABC邊的中線，點M是BC的中點，BM=MC=BC AE是ABC的高，AE是ABC邊BC上的高，AEBC，垂足為E，AEB=AEC=900二、三角形三條邊的關(guān)系1三角形的分類三角形有邊和角兩類元素，一般采用按邊的相等關(guān)系或角的大小來分。三角形按邊的相等關(guān)系分類如下：三角形2三角形三條邊的關(guān)系 （1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。 由此得出：三角形任何一邊都小于其它兩邊的和，注意“都”這個字，實際應(yīng)用這一定理時，只要兩條較短邊的長度的和大于第三條線段即可判定這三條線段能夠構(gòu)

4、成一個三角形，例如：a=3,b=5,c=6，因為3+5>6，所以，a,b,c三條線段不能構(gòu)成三角形。 （2）若線段a,b,c(b>c)，能構(gòu)成三角形，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理知，需滿足：即當(dāng)b-c<a<b+c且（b>c）時，線段b,c能構(gòu)成三角形，由此可知，不失一般性，若三條線段滿足兩邊之和大于第三邊且這兩邊之差小于第三邊即可構(gòu)成一個三角形。（3）三角形三條邊的關(guān)系定理及其推論的作用是可以用來證明有關(guān)線段（和）的不等式。三、三角形的內(nèi)角和（1）三角形的內(nèi)角和定理 定理：三角三個內(nèi)角的和等于1800 這個定理給出了關(guān)于三個內(nèi)角的一個基本關(guān)系式。（2）三角形的分類 由三

5、角形內(nèi)角和定理可知，一個三角形或者三個內(nèi)角都是銳角，或者有一個角是直角，或者有一個角是鈍角，沒有其它情況。 按照三個內(nèi)角中有無直角，可將三角形分成直角三角形和斜三角形兩類，在斜三角形中按是否有大于900的角可進(jìn)一步分為另兩類。 三角形按角分類：例1如圖2，圖中共有（ ）個三角形（A）4 （B）5 （C）6 （D）8分析：根據(jù)三角形的概念，不重復(fù)、無遺漏地找出所有的三角形，為此應(yīng)按照某種順序去找。解：（1）以BC為邊的三角形有ABC、BEC、BFC、BDC共4個。（2）以AC為邊的三角形有AEC、ABC兩個，但ABC已計入（1）中，所以，只能算1個。（3）以AB為邊的三角形有ABD、ABC不計重

6、復(fù)只能算1個。（4）以CD為邊且與以前不重復(fù)的三角形是DFC，共1個。（5）以AD為邊的三角形ABD已計。（6）以AE為邊的三角形AEC已計。（7）以BE為邊的三角形BEF有1個。所以圖中共有三角形4+1+1+1+1=8個故應(yīng)選（D）例2在圖3中，用式子把下列條件表示出來（1）AD是ABC的高（2）BE是ABC的角平分線（3）CF是ABC的中線解（1）AD是ABC的高，可以表示為，或ADB=900，或ADC=900，或ADB=ADC（2）BE是ABC的角平分線，可表示為ABE=EBC，或ABE=ABC，EBC=ABC（3）CF是ABC的中線，可表示為AF=BF，或AF=，BF=例3下列命題中，

7、真命題是（ ）（1）首尾相連的三條線段組成的圖形是三角形（2）有三個角的平面圖形是三角形（3）三角形的頂點到對邊的距離是三角形的高（4）三角形的高所在直線交于一點，這點不在三角形內(nèi)就在三角形外（5）三角形的角平分線是射線（6）任何一個三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線分析：解答本題關(guān)鍵是要準(zhǔn)確把握有關(guān)三角形的概念，三角形的角平分線、中線、高的概念，注意三角形的高與一般意義的“高”及“距離”之間意義上的區(qū)別。注意鈍角三角形、直角三角形高的特點。解：真命題是（ 6 ）例4一個三角形的三條邊長分別為8cm、10cm和xcm，那么x的取值范圍是（ ）（A）x>8cm (B) x>10

8、cm (C) 8cm<x<10cm (D) 2cm<x<18cm解：x是三角形第三邊，它必須大于兩邊的10cm-8cm=2cm,小于兩邊的和10cm+8cm=18cm，所以選（D）例5已知，如圖4，在ABC中，AB=AC，D是ABC內(nèi)一點 求證：分析：證線段的不等量關(guān)系，有三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊，關(guān)鍵是設(shè)法轉(zhuǎn)移到有關(guān)三角形中去，為此需添加有關(guān)的輔助線。證明：延長BD交AC于E，在AEB中AE+AB>EB （三角形兩邊的和大于第三邊） （1）同理CE+ED>CD （2）(1)+(2) 得AE+CE+AB+ED>ED+DB+CD AE

9、+CE+AB>DB+CD又 AE+CE=AC.AB=AC 2AB>DB+CD即 例6在ABC中，A+B=1000，C=2B 求A、B、C的度數(shù)分析：本題除了普遍成立的條件：“A+B+C=1800”外，又給出了兩個獨立條件，可通過解方程組的方法來解。 解：根據(jù)題意，得 解此關(guān)于A、B、C的三元一次方程組得 例7如圖5，在ABC中，ABC、ACB的平分線相交于O點 求證：BOC=900+ 證明： BO平分ABC，OC平分ACB A+21+22=1800 A 例8如圖6，在ABC中，O是高AD和BE 的交點，則C與DOE之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論。分析： C與EOD兩個角不在同

10、一三角形內(nèi)，CEOD是一個四邊形，可以通過添加輔助線，將此四邊形劃分成兩個三角形，以利用三角形內(nèi)角和，間接可得C與DOE的關(guān)系。證明：連結(jié)CO，在CEO和COD中，有BEC+EOC+ACO=1800 （1） ADC+DOC+DCO=1800 （2） （1）+（2）BEC+ADC+EOC+DOC+ECO+OCD=3600 （3）由題意，BEAC，ADBCBEC=ADC=900 代入（3）得ACB+EOD=1800【鞏固練習(xí)】一、判斷題1過三角形的一個頂點且平分這個角的射線稱為三角形的角平分線（ ）2平分三角形一邊的線段叫做三角形的中線（ ）3三角形的三條高中，至少有一條高在三角形的內(nèi)部（ ）二、

11、填空題4如圖，圖中有 個三角形，它們分別是 ；其中ADC的三個頂點是 ，三個內(nèi)角是 ，C的對邊是 5如圖，D為ABC的一邊BC上的一點，則CA+AB+BC 2AD6 ABC中，A是B的2倍，C比A+B還大120，則這個三角形是 角三角形7三角形中有一條邊比第二條邊長3cm，這條邊又比第三條邊短4cm，這個三角形的周長為28cm，則這個三角形最短邊的長為 cm8如果三角形的三邊長分別為m-1,m,m+1(m為正數(shù))，m的取值范圍為 三、選擇題9以下列各組線段為邊能構(gòu)成三角形的是（ ） （A） 6、10、3 （B） 6、9、3 （C） 6、2、3 （D） 6、8、310如圖，D、E分別為AB、AC

12、上的點，DB、EC相交于F，則A+B+C+EFB( ) （A） 等于3600 （B） 等于1800 （C） 小于1800 （D） 大于180011已知下列各組數(shù)據(jù),可以構(gòu)成等腰三角形的是( ) （A） 1、2、1 （B） 2、2、1 （C） 1、3、1 （D）2、2、512三角形的三條高相交于一點，這個交點的位置在（ ） （A） 三角形內(nèi) （B） 三角形外 （C） 三角形的邊上 （D） 要根據(jù)三角形的形狀才能確定13如圖，畫ABC一邊上的高，下列畫法正確的是（ ）14已知等腰三角形的兩邊長分別為4cm，7cm，則這三角形的周長為（ ） （A） 15cm （B）18cm （C） 15cm或18cm （D） 不確定三、解答題15如圖，ABCD，CBAB，若AB=4cm，ABC的面積12cm2,求ABD中AB上的高。16已知：如圖，O是ABC內(nèi)一點，且AB=AC，OB=OC，求證AB>OB17如圖，在ABC中，B>C,AD是BC邊上的高，AE是BAC的平分線，求證：DAE=（B-C）18如圖，D、E是ABC內(nèi)的任意兩點，求證：AB+AC>BD+DE+EC19已知ABC的三邊a,b,c均為正整數(shù)，且,b=4問滿足條件的三角形有多少個