正方形基礎(chǔ)專題練習(xí)

1、19.3.2 正方形的判定與性質(zhì)一選擇題（共5 小題）1下列說法錯誤的是（）A 有一個角為直角的菱形是C 對角線相等的菱形是B有一組鄰邊相等的矩形是正方形D對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形2在正方形形的有（ABCD ）的邊 AB 、 BC、 CD 、DA 上分別任意取點(diǎn)E、 F、 G、H 這樣得到的四邊形A1 個B2 個C4 個D無窮多個EFGH中，是正方3如圖， 四邊形 ABCD 中，AD=DC ， ADC= ABC=90面積為 16，則 DE 的長為（）A 3B2C 4°，DE AB ，若四邊形D 8ABCD4ABC 中， C=90°，點(diǎn) O 為 ABC 三條角平分

2、線的交點(diǎn)，OD BC 于D，OE AC于 E， OF AB 于 F，且 AB=10cm ， BC=8cm ，AC=6cm ，則點(diǎn) O 到三邊 AB 、 AC 、BC 的距離為（）A 2cm， 2cm， 2cm B 3cm， 3cm， 3cmC 4cm， 4cm， 4cm D 2cm， 3cm， 5cm5如圖，在一個大正方形內(nèi)，放入三個面積相等的小正方形紙片，這三張紙片蓋住的總面積是 24 平方厘米，且未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3 平方厘米，則大正方形的面積是（單位：平方厘米） （） A40B 25 C 26D 36二填空題（共4 小題）6現(xiàn)有一張邊長等于 a（ a 16）的正方形

3、紙片，從距離正方形的四個頂點(diǎn)8cm 處，沿 45°角畫線，將正方形紙片分成 5 部分，則陰影部分是_（填寫圖形的形狀） （如圖），它的一邊長是_ 7如圖，正方形ABCD 的對角線交于點(diǎn)O，以 AD 為邊向外作Rt ADE ， AED=90 °，連接 OE，DE=6 ，OE=8，則另一直角邊 AE的長為 _ 8如圖，在四邊形ABCD 中， ADC= ABC=90 °，AD=CD ， DP AB 于四邊形 ABCD 的面積是則 DP 的長是P若18，_9四邊形ABCD 的對角線AC 和 BD 相交于點(diǎn)O，設(shè)有下列條件： AB=AD 矩形 ABCD ； 菱形 ABCD

4、， 正方形 ABCD ，則在下列推理不成立的是A、? ；B、? ；C、 ? ；D、? 三解答題（共11 小題）； DAB=90 _°；AO=CO ，BO=DO ；10如圖，已知點(diǎn)E、 F、G、 H 分別在正方形ABCD的各邊上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG、 CH 、 DE 分別相交于點(diǎn)A 、 B 、 C、D 求證：四邊形A BCD是正方形11如圖， 在正方形 ABCD 中，點(diǎn) M 在邊 AB 上，點(diǎn) N 在邊 AD 的延長線上， 且 BM=DN 點(diǎn) E 為 MN 的中點(diǎn)， DE 的延長線與 AC 相交于點(diǎn) F試猜想線段 DF 與線段 AC 的關(guān)系，并證你的猜想12如圖，正方

5、形ABCD且 AH=2 ，連接 CF邊長為6菱形EFGH的三個頂點(diǎn)E、 G、H分別在正方形ABCD的邊AB 、CD、DA上，.（ 1）當(dāng) DG=2 時(shí)，求證：菱形 EFGH 為正方形；（ 2）設(shè) DG=x ，試用含 x 的代數(shù)式表示 FCG 的面積13如圖，正方形ABCD ，動點(diǎn) E 在 AC 上， AF AC ，垂足為 A ， AF=AE （ 1）求證： BF=DE ；（ 2）當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動到 AC 中點(diǎn)時(shí)（其他條件都保持不變） ，問四邊形 AFBE 是什么特殊四邊形？說明理由14已知，如圖，矩形 ABCD 中， AD=6 ， DC=7 ，菱形 EFGH 的三個頂點(diǎn) E， G， H 分別在矩

6、形 ABCD 的邊 AB ，CD， DA 上， AH=2 ，連接 CF（ 1）若 DG=2 ，求證四邊形 EFGH 為正方形；（ 2）若 DG=6 ，求 FCG 的面積；（ 3）當(dāng) DG 為何值時(shí)， FCG 的面積最小15如圖，正方形ABCD 中， AC 是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B ，直角頂點(diǎn)P 在射線 AC上移動，另一邊交DC于Q（ 1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) Q 在 DC 邊上時(shí)，猜想并寫出PB 與 PQ 所滿足的數(shù)量關(guān)系；并加以證明；（ 2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) Q 落在 DC 的延長線上時(shí)，猜想并寫出PB 與 PQ 滿足的數(shù)量關(guān)系，請證明你的猜想16如圖，已知四邊形 ABCD

7、是正方形，分別過 A 、 C 兩點(diǎn)作 l1 l2，作 BM l1 于 M ， DN l 1 于 N ，直線 MB 、 ND 分別交 l2 于 Q、 P求證：四邊形 PQMN 是正方形;.17在正方形 ABCD 各邊上一次截取AE=BF=CG=DH ，連接 EF，F(xiàn)G，GH ，HE試問四邊形EFGH 是否是正方形？18如圖，四邊形 ABCD 是正方形，點(diǎn) P 是 BC 上任意一點(diǎn)， DE AP 于點(diǎn) E， BF AP 于點(diǎn) F，CH DE 于點(diǎn) H， BF 的延長線交 CH 于點(diǎn) G（ 1）求證： AF BF=EF ；（ 2）四邊形 EFGH 是什么四邊形？并證明；（ 3）若 AB=2 ， BP

8、=1，求四邊形 EFGH 的面積19如圖， ABC 中， C=90 °， BAC 、 ABC 的平分線相交于點(diǎn) D，DE BC ，DF AC ，垂足分別為 E、F問四邊形 CFDE 是正方形嗎？請說明理由20如圖，在 ABC 中， BAC=90 °，AB=AC ，點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn)， DE AB ，DF AC 垂足分別為E，F(xiàn)求證：四邊形 DEAF 是正方形;.19.3.2 正方形的判定與性質(zhì)參考答案與試題解析一選擇題（共5 小題）1下列說法錯誤的是（）A 有一個角為直角的菱形是正方形B有一組鄰邊相等的矩形是正方形C對角線相等的菱形是正方形D對角線相等且互相垂直的四邊

9、形是正方形考點(diǎn)：正方形的判定分析：正方形：四個角都是直角，四條邊都相等，對角線相等，且互相垂直平分的平行四邊形；菱形：四條邊都相等，對角線互相垂直平分的平行四邊形；矩形：四個角都相等，對角線相等的平行四邊形解答：解：A 、有一個角為直角的菱形的特征是：四條邊都相等， 四個角都是直角， 則該菱形是正方形故本選項(xiàng)說法正確；B、有一組鄰邊相等的矩形的特征是：四條邊都相等，四個角都是直角則該矩形為正方形故本選項(xiàng)說法正確；C、對角線相等的菱形的特征是：四條邊都相等，對角線相等的平行四邊形，即該菱形為正方形故本選項(xiàng)說法正確；D、對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形故本選項(xiàng)說法錯誤；故選 D點(diǎn)評：本題考

10、查了正方形的判定正方形集矩形、菱形的性質(zhì)于一身，是特殊的平行四邊形2在正方形 ABCD 的邊 AB 、 BC、 CD 、DA 上分別任意取點(diǎn)E、 F、 G、H 這樣得到的四邊形EFGH 中，是正方形的有（）A 1個B2 個C4 個D無窮多個考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定專題：計(jì)算題分析：在正方形四邊上任意取點(diǎn)E、 F、 G、 H，若能證明四邊形 EFGH 為正方形，則說明可以得到無窮個正方形解答：解：無窮多個如圖正方形ABCD ：AH=DG=CF=BE ， HD=CG=FB=EA ， A= B= C= D，有 AEH DHG CGF BFE ，則 EH=HG=GF=FE ，另外很容

11、易得四個角均為90°則四邊形 EHGF 為正方形故選 D;.點(diǎn)評：本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，難度適中，利用三角形全等的判定證明EH=HG=GF=FE 3如圖，四邊形ABCD 中， AD=DC ， ADC= ABC=90 °，DE AB ，若四邊形ABCD 面積為 16，則 DE 的長為（）A3B2C4D8考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)專題：證明題分析：如圖，過點(diǎn) D 作 BC 的垂線，交 BC 的延長線于F，利用互余關(guān)系可得A= FCD ，又 AED= F=90°，AD=DC ，利用 AAS 可以判斷 ADE CDF， DE=DF ， S 四邊形 ABCD =S 正

12、方形 DEBF=16 ， DE=4 解答：解：過點(diǎn) D 作 BC 的垂線，交BC 的延長線于F， ADC= ABC=90 °， CDF+ EDC=90 °， A=FCD ，又 AED= F=90°， AD=DC ， ADE CDF ， DE=DF ，S 四邊形 ABCD =S 正方形 DEBF=16 ， DE=4 故選 C點(diǎn)評：本題運(yùn)用割補(bǔ)法，或者旋轉(zhuǎn)法將四邊形ABCD 轉(zhuǎn)化為正方形，根據(jù)面積保持不變，來求正方形的邊長4 ABC 中， C=90 °，點(diǎn) O 為 ABC 三條角平分線的交點(diǎn)，OD BC 于 D ， OEAC 于 E， OF AB 于 F，且

13、AB=10cm ， BC=8cm ， AC=6cm ，則點(diǎn) O 到三邊 AB 、 AC 、 BC 的距離為（）A 2cm， 2cm， 2cmB 3cm， 3cm， 3cmC4cm， 4cm， 4cmD 2cm，3cm， 5cm考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)分析：連接 OA ， OB， OC，利用角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可知BDO BFO ， CDO CEO ， AEO AFO ， BD=BF ，CD=CE ，AE=AF ，又因?yàn)辄c(diǎn) O 到三邊 AB 、AC 、BC 的距離是 CD ， AB=8 CD+6 CD=10 ，解得 CD=2 ，所以點(diǎn) O 到三邊 AB 、 AC 、BC 的距離為

14、 2解答：解：連接 OA ， OB ， OC，則 BDO BFO ， CDO CEO， AEO AFO ， BD=BF ， CD=CE ， AE=AF ，又 C=90， OD BC 于 D， OE AC 于 E，且 O 為 ABC 三條角平分線的交點(diǎn)四邊形 OECD 是正方形，則點(diǎn) O 到三邊 AB、 AC、BC 的距離 =CD， AB=8 CD+6 CD= 2CD+14 ，又根據(jù)勾股定理可得：AB=10 ，即 2CD+14=10 CD=2 ，;.即點(diǎn) O 到三邊 AB 、 AC 、 BC 的距離為2cm故選 A點(diǎn)評：本題主要考查垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩段的距離相等的性質(zhì)和邊的和差關(guān)系5如圖，

15、在一個大正方形內(nèi)，放入三個面積相等的小正方形紙片，這三張紙片蓋住的總面積是24 平方厘米，且未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3 平方厘米，則大正方形的面積是（單位：平方厘米）（）A 40B25C26D36考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)專題：計(jì)算題分析：設(shè)小正方形的邊長為 a，大正方形的邊長為 b，由正方形的面積公式，根據(jù)題意列出方程組解方程組得出大正方形的邊長，則可求出面積解答：解：設(shè)小正方形的邊長為a，大正方形的邊長為 b，由這三張紙片蓋住的總面積是24 平方厘米，可得ab+a（ ba） =24 ，由未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3 平方厘米，可得（22b a） =a 3，將 聯(lián)

16、立解方程組可得：a=4， b=5，大正方形的邊長為 5，面積是 25故選 B點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)及面積公式，難度較大，關(guān)鍵根據(jù)題意列出方程二填空題（共4 小題）6現(xiàn)有一張邊長等于a（ a 16）的正方形紙片，從距離正方形的四個頂點(diǎn)8cm 處，沿 45°角畫線，將正方形紙片分成 5 部分，則陰影部分是正方形（填寫圖形的形狀） （如圖），它的一邊長是cm;.考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)專題：壓軸題分析：延長小正方形的一邊交大正方形于一點(diǎn)，連接此點(diǎn)與距大正方形頂點(diǎn)8cm 處的點(diǎn)， 構(gòu)造直角邊長為8 的等腰直角三角形，將小正方形的邊長轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的斜邊長來求解即可解答：解：如圖，

17、作AB 平行于小正方形的一邊，延長小正方形的另一邊與大正方形的一邊交于B 點(diǎn)， ABC 為直角邊長為8cm 的等腰直角三角形， AB=AC=8，陰影正方形的邊長=AB=8cm故答案為：正方形，cm點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)與勾股定理的知識，題目同時(shí)也滲透了轉(zhuǎn)化思想7如圖， 正方形 ABCD 的對角線交于點(diǎn) O，以 AD 為邊向外作 Rt ADE ， AED=90 °，連接 OE，DE=6 ，OE=8 ，則另一直角邊 AE 的長為 10 考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理分析：首先過點(diǎn) O 作 OM AE 于點(diǎn) M ，作 ONDE ，交 ED 的延長線于點(diǎn)N，

18、易得四邊形EMON 是正方形，點(diǎn) A ，O， D，E 共圓，則可得 OEN 是等腰直角三角形，求得 EN 的長，繼而證得 RtAOM Rt DON ，得到 AM=DN ，繼而求得答案;.解答：解：過點(diǎn) O 作 OM AE 于點(diǎn) M ，作 ON DE ，交 ED 的延長線于點(diǎn)N， AED=90 °，四邊形 EMON 是矩形，正方形 ABCD 的對角線交于點(diǎn)O， AOD=90 °， OA=OD ， AOD+ AED=180 °，點(diǎn) A ，O，D ，E 共圓， = ， AEO= DEO=AED=45 °， OM=ON ，四邊形 EMON 是正方形， EM=EN

19、=ON ， OEN 是等腰直角三角形， OE=8， EN=8 ， EM=EN=8 ，在 Rt AOM 和 Rt DON 中， Rt AOM Rt DON （ HL ）， AM=DN=EN ED=8 6=2， AE=AM+EM=2+8=10 故答案為： 10點(diǎn)評：此題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用8如圖，在四邊形ABCD 中， ADC= ABC=90 °， AD=CD ， DP AB 于 P若四邊形 ABCD 的面積是18，則DP 的長是 3考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與

20、性質(zhì)分析：過點(diǎn) D 作 DE DP 交 BC 的延長線于E，先判斷出四邊形DPBE 是矩形 ，再根據(jù)等角的余角相等求出 ADP= CDE ，再利用 “角角邊 ”證明 ADP 和 CDE 全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DP ，然后判斷出四邊形 DPBE 是正方形，再根據(jù)正方形的面積公式解答即可;.解答：解：如圖，過點(diǎn)D 作 DE DP 交 BC 的延長線于E， ADC= ABC=90 °，四邊形 DPBE 是矩形， CDE+ CDP=90 °， ADC=90 °， ADP+ CDP=90 °， ADP= CDE ， DPAB ， APD=90 &

21、#176;， APD= E=90 °，在ADP 和 CDE 中， ADP CDE （AAS ）， DE=DP ，四邊形 ABCD 的面積 =四邊形 DPBE 的面積 =18，矩形 DPBE 是正方形，DP=3故答案為： 3點(diǎn)評：本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和正方形是解題的關(guān)鍵9四邊形 ABCD 的對角線 AC 和 BD 相交于點(diǎn) O，設(shè)有下列條件： AB=AD； DAB=90 °； AO=CO ，BO=DO ； 矩形 ABCD ； 菱形 ABCD ， 正方形 ABCD ，則在下列推理不成立的是CA、 ? ；B、

22、? ；C、 ? ；D、 ? 考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)專題：證明題分析：根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理，對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，再由鄰邊相等，得出是菱形，和一個角為直角得出是正方形，根據(jù)已知對各個選項(xiàng)進(jìn)行分析從而得到最后的答案解答：解： A 、由 得，一組鄰邊相等的矩形是正方形，故正確；B、由 得，四邊形是平行四邊形，再由 ，一組鄰邊相等的平 行四邊形是菱形，故正確；C、由 不能判斷四邊形是正方形；D、由 得，四邊形是平行四邊形，再由 ，一個角是直角的平行四邊形是矩形，故正確故選 C點(diǎn)評：此題用到的知識點(diǎn)是：矩形、菱形、正

23、方形的判定定理，如：一組鄰邊相等的矩形是正方形；對角線互相平分且一組鄰邊相等的四邊形是菱形；對角線互相平分且一個角是直角的四邊形是矩形靈活掌 握這些判定定理是解本題的關(guān)鍵三解答題（共11 小題）10如圖，已知點(diǎn)E、 F、G、 H 分別在正方形ABCD 的各邊上，且AE=BF=CG=DH ， AF 、 BG 、CH 、 DE 分別相交于點(diǎn) A 、B 、 C、 D求證：四邊形A BCD是正方形;.考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：證明題分析：依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可以判定四邊形A BCD的三個角是直角，則四邊形是矩形，然后證明一組鄰邊相等，可以證得四邊形是正方形解答：證明：在正

24、方形ABCD 中，在 ABF 和 BCG 中， ABF BCG （SAS） BAF= GBC ， BAF+ AFB=90 °， GBC+ AFB=90 °， BB F=90°， A BC=90 °同理可得 B CD= CDA=90 °，四邊形 A BCD是矩形在 AB B 和BCC 中， AB B BCC（ AAS ）， AB =BC 在 AA E 和BB F中， AA E BB F（ AAS ）， AA =BB A B=B C矩形 A BCD是正方形點(diǎn)評：本題考查了正方形的判定，判定的方法是證明是矩形同時(shí)是菱形;.11如圖，在正方形 ABCD

25、 中，點(diǎn) M 在邊 AB 上，點(diǎn) N 在邊 AD 的延長線上，且 BM=DN 點(diǎn) E 為 MN 的中點(diǎn)， DE 的延長線與 AC 相交于點(diǎn) F試猜想線段 DF 與線段 AC 的關(guān)系，并證你的猜想考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)專題：探究型分析：猜想： 線段 DF 垂直平分線段AC ，且 DF=AC ，過點(diǎn) M 作 MG AD ，與 DF 的延長線相交于點(diǎn) G，作 GH BC，垂足為 H，連接 AG 、 CG 根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法證明AMG CHG 即可解答：猜想：線段 DF 垂直平分線段AC ，且 DF=AC ，證明：過點(diǎn) M 作 MG

26、AD ，與 DF 的延長線相交于點(diǎn) G則 EMG= N， BMG= BAD ， MEG= NED ， ME=NE ， MEG NED ， MG=DN BM=DN ， MG=BM 作 GH BC，垂足為 H，連接 AG 、 CG四邊形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=DA ， BAD= B= ADC=90 °， GMB= B= GHB=90 °，四邊形 MBHG 是矩形 MG=MB ，四邊形MBHG 是正方形， MG=GH=BH=MB ， AMG= CHG=90 °， AM=CH ， AMG CHG GA=GC 又 DA=DC ， DG 是線段 AC 的垂直

27、平分線 ADC=90 °， DA=DC ， DF= AC即線段 DF 垂直平分線段AC ，且 DF=AC ;.點(diǎn)評：本題綜合考查了矩形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，此題綜合性比較強(qiáng)，難度較大，但題型較好，訓(xùn)練了學(xué)生分析問題和解決問題以及敢于猜想的能力12如圖，正方形ABCD 邊長為 6菱形 EFGH 的三個頂點(diǎn)E、 G、H 分別在正方形ABCD 的邊 AB 、CD、DA 上，且 AH=2 ，連接 CF（ 1）當(dāng) DG=2 時(shí)，求證：菱形 EFGH 為正方形；（ 2）設(shè) DG=x ，試用含 x 的代數(shù)式表示 FCG 的面積考點(diǎn)

28、：正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)分析：（1）由于四邊形ABCD 為正方形，四邊形 HEFG 為菱形，那么 D= A=90 °，HG=HE ，而 AH=DG=2 ，易證 AHE DGH ，從而有 DHG= HEA ，等量代換可得 AHE+ DHG=90 °，易證四邊形 HEFG 為正方形；（ 2）欲求 FCG 的面積，由已知得 CG 的長易求，只需求出 GC 邊的高，通過證明 AHE MFG 可得解答：（1）證明：在 HDG 和 AEH 中，四邊形 ABCD 是正方形，D= A=90 °，四邊形 EFGH 是菱形， HG=HE ， DG=AH

29、=2 ， Rt HDG AEH ， DHG= AEH ， DHG+ AHE=90 ° GHE=90 °，菱形 EFGH 為正方形；（ 2）解：過F 作 FM CD ，垂足為M ，連接 GE CD AB ， AEG= MGE ， GF HE ， HEG= FGE， AEH= FGM ，在 Rt AHE 和 Rt GFM 中， Rt AHE Rt GFM ， MF=2 ， DG=x ，;. CG=6 x SFCG= CG?FM=6 x點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線：過F作 FM DC，交 DC 延長線于M ，連接 GE，構(gòu)

30、造全等三角形和內(nèi)錯角13如圖，正方形ABCD ，動點(diǎn) E 在 AC 上， AF AC ，垂足為 A ， AF=AE （ 1）求證： BF=DE ；（ 2）當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動到 AC 中點(diǎn)時(shí)（其他條件都保持不變） ，問四邊形 AFBE 是什么特殊四邊形？說明理由考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)判定 ADE ABF 后即可得到BF=DE ；（ 2）利用正方形的判定方法判定四邊形AFBE 為正方形即可解答：（1）證明：正方形ABCD ， AB=AD ， BAD=90 °， AFAC ， EAF=90 °， BAF= EAD ，在ADE 和

31、ABF 中 ADE ABF （ SAS）， BF=DE ；（ 2）解：當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動到 AC 的中點(diǎn)時(shí)四邊形 AFBE 是正方形，理由：點(diǎn) E 運(yùn)動到 AC 的中點(diǎn)， AB=BC ， BE AC ， BE=AE=AC ， AF=AE ， BE=AF=AE ，又 BE AC ， FAE= BEC=90 °， BE AF ， BE=AF ，得平行四邊形 AFBE ， FAE=90 °，AF=AE ，四邊形 AFBE 是正方形;.點(diǎn)評：本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的利用正方形的性質(zhì)14已知，如圖，矩形 ABCD 中， AD=6 ， DC=7 ，菱形 EFGH 的

32、三個頂點(diǎn) E， G， H 分別在矩形 ABCD 的邊 AB ，CD， DA 上， AH=2 ，連接 CF（ 1）若 DG=2 ，求證四邊形 EFGH 為正方形；（ 2）若 DG=6 ，求 FCG 的面積；（ 3）當(dāng) DG 為何值時(shí)， FCG 的面積最小考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)專題：計(jì)算題；壓軸題分析：（1）由于四邊形ABCD 為矩形， 四邊形 HEFG 為菱形，那么 D= A=90 °，HG=HE ，而 AH=DG=2 ，易證 AHE DGH ，從而有 DHG= HEA ，等量代換可得AHE+ DHG=90 °，易證四邊形HE

33、FG 為正方形；（ 2）過 F 作 FM DC，交 DC 延長線于 M ，連接 GE，由于 AB CD，可得 AEG= MGE ，同理有 HEG= FGE，利用等式性質(zhì)有 AEH= MGF ，再結(jié)合 A= M=90 °，HE=FG ，可證 AHE MFG ，從而有 FM=HA=2 （即無論菱形 EFGH 如何變化，點(diǎn) F 到直線 CD 的距離始終為定值 2），進(jìn)而可求三角形面積；（ 3）先設(shè) DG=x ，由第（ 2）小題得， SFCG=7 x，在 AHE 中，AE AB=7 ，利用勾股定理可得HE253，在 Rt DHG中，再利用勾股定理可得2，從而可得當(dāng) x=時(shí)， GCF 的面積最

34、小x +1653，進(jìn)而可求 x解答：解：（ 1）四邊形 ABCD 為矩形，四邊形 HEFG 為菱形， D= A=9 0°， HG=HE ，又 AH=DG=2 ， Rt AHE Rt DGH （HL ）， DHG= HEA ， AHE+ HEA=90 °， AHE+ DHG=90 °， EHG=90 °，四邊形 HEFG 為正方形；（ 2）過 F 作 FM DC，交 DC 延長線于 M ，連接 GE，AB CD， AEG= MGE ， HE GF， HEG= FGE， AEH= MGF ，在 AHE 和 MFG 中， A= M=90 °， HE=

35、FG ， AHE MFG ， FM=HA=2 ，即無論菱形EFGH 如何變化，點(diǎn)F 到直線 CD 的距離始終為定值2，因此；;.（ 3）設(shè) DG=x ，則由第（ 2）小題得， S FCG=7 x，在 AHE 中， AE AB=7 ， HE253， x2+1653， x， SFCG 的最小值為，此時(shí) DG=，當(dāng) DG=時(shí)， FCG 的面積最小為（）點(diǎn)評：本題考查了矩形、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理解題的關(guān)鍵是作輔助線：過F 作 FM DC，交 DC 延長線于M ，連接 GE，構(gòu)造全等三角形和內(nèi)錯角15如圖，正方形ABCD 中， AC 是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過點(diǎn)

36、B ，直角頂點(diǎn)P 在射線 AC上移動，另一邊交DC于Q（ 1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) Q 在 DC 邊上時(shí)，猜想并寫出PB 與 PQ 所滿足的數(shù)量關(guān)系；并加以證明；（ 2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) Q 落在 DC 的延長線上時(shí)，猜想并寫出PB 與 PQ 滿足的數(shù)量關(guān)系，請證明你的猜想考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）過 P 作 PEBC ， PF CD ，證明 Rt PQF Rt PBE，即可；（ 2）證明思路同（1）解答：（1） PB=PQ，證明：過 P 作 PE BC ， PF CD ， P， C 為正方形對角線AC 上的點(diǎn)， PC 平分 DCB ， DCB=90 °，

37、PF=PE，四邊形 PECF 為正方形， BPE+ QPE=90°， QPE+ QPF=90 °， BPE= QPF， Rt PQF RtPBE， PB=PQ ；（ 2） PB=PQ ，證明：過 P 作 PE BC ， PF CD ， P， C 為正方形對角線AC 上的點(diǎn)， PC 平分 DCB ， DCB=90 °， PF=PE，四邊形 PECF 為正方形，;. BPF+ QPF=90°， BPF+ BPE=90 °， BPE= QPF， Rt PQF RtPBE， PB=PQ 點(diǎn)評：此題考查了正方形，角平分線的性質(zhì)，以及全等三角形判定與性質(zhì)此

38、題綜合性較強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想16如圖，已知四邊形 ABCD 是正方形，分別過 A 、 C 兩點(diǎn)作 l1 l2，作 BM l1 于 M ， DN l 1 于 N ，直線 MB 、 ND 分別交 l2 于 Q、 P求證：四邊形 PQMN 是正方形考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)專題：證明題；壓軸題分析：可由 Rt ABM Rt DAN ， AM=DN同理可得AN=NP ，所以 MN=PN ，進(jìn)而可得其為正方形解答：證明： l1 l2， BM l 1， DN l2， QMN= P= N=90 °，四邊形 PQMN 為矩形， AB=AD ， M= N=90 ° ADN+ NAD=90 &

39、#176;， NAD+ BAM=90 °， ADN= BAM ，又 AD=BA ， Rt ABM RtDAN （ AAS ）， AM=DN同理 AN=DP ， AM+AN=DN+DP ，即 MN=PN 四邊形 PQMN 是正方形;.點(diǎn)評：本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各種幾何圖形的性質(zhì)和判定方法17在正方形 ABCD 各邊上一次截取AE=BF=CG=DH ，連接 EF，F(xiàn)G，GH ，HE試問四邊形EFGH 是否是正方形？考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 AB=BC=CD=AD， A= B= C=D ，然后求出

40、 BE=CF=DG=AH ，再利用“邊角邊 ”證明 AHE 和 BEF 和 CFG 和 DGH 全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=FG=GH=EH ，全等三角形對應(yīng)角相等可得 AHE= BEF= CFG= DGH ，再求出 EFG= FGH= GHE= FEH=90 °，從而得到四邊形EFGH 是正方形解答：解：四邊形 EFGH 是正方形理由如下：四邊形ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD ， A= B= C= D ， AE=BF=CG=DH ， AB AE=BC BF=CD CG=AD DH ，即 BE=CF=DG=AH ， AHE BEF CFG DGH ， EF=FG=GH=EH ， AHE= BEF= CFG= DGH ， EFG= FGH= GHE= FEH=90 °，四邊形 EFGH 是正方形點(diǎn)評：本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出被截取的四個小直角