橢圓與雙曲線(xiàn)的必背的經(jīng)典結(jié)論.

1、橢圓與雙曲線(xiàn)的必背的經(jīng)典結(jié)論橢圓1. 點(diǎn) P 處的切線(xiàn) PT平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的外角 .2. PT 平分 PF1F2 在點(diǎn) P處的外角， 則焦點(diǎn)在直線(xiàn) PT 上的射影 H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) .3. 以焦點(diǎn)弦 PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn) 相離 .4. 以焦點(diǎn)半徑 PF1 為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切 .5.若P0 ( x0 , y0 )在橢圓x2y21上，則過(guò)Px0 xy0 y1.a2b2a2b20 的橢圓的切線(xiàn)方程是6.若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓x2y21外 ，則過(guò) Po 作橢圓的兩條切線(xiàn)切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)a2b2弦 P1P2

2、的直線(xiàn)方程是x0 xy0 y1.a2b27.橢圓 x2y21 (a b 0)的左右焦點(diǎn)分別為F1 ， F 2 ，點(diǎn) P 為橢圓上任意一點(diǎn)a2b2F PF，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為S FPF2b2 tan .12128.橢圓 x2y21（ a b 0）的焦半徑公式：a2b2|MF1|aex0 ,|MF2 |aex0 ( F1 (c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).9.設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F 作直線(xiàn)與橢圓相交P 、 Q兩點(diǎn)， A 為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F 的橢圓準(zhǔn)線(xiàn)于M、 N兩點(diǎn)，則 MF NF.10.過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F 的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q

3、, A1、 A2 為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P 和 A2Q交于點(diǎn) M， A P 和 A Q交于點(diǎn) N，則 MFNF.2111.AB 是 橢 圓 x2y21 的 不 平 行 于 對(duì) 稱(chēng) 軸 的 弦 ， M(x0 , y0 ) 為 AB 的 中 點(diǎn) ， 則a2b222b x0 。kOM kABb2 ，即 KABaa 2 y012.若 P0 ( x0, y0 )在 橢 圓x2y 21內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是a2b2x0 x y0 y x02y0 2a2b2a22 .b13.若 P0 ( x0, y0 )在 橢 圓x2y21內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是a2b2x2y2x0 xy0 ya22

4、a2b2 .b雙曲線(xiàn)1. 點(diǎn) P 處的切線(xiàn) PT 平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的 內(nèi)角 .2. PT平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線(xiàn) PT 上的射影 H 點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) .3. 以焦點(diǎn)弦 PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn) 相交 .4.以焦點(diǎn)半徑PF1 為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切 . （內(nèi)切： P 在右支；外切：P 在左支）5.若 P0 ( x0 , y0 ) 在雙曲線(xiàn)x2y 21（a 0,b 0）上，則過(guò)P0 的雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程a2b2是 x0 xy0 y1.a2b26.若 P ( x , y ) 在雙曲線(xiàn)x2y 21（ a0,b 0）外

5、，則過(guò) Po 作雙曲線(xiàn)的兩條切000a2b2x0 xy0 y線(xiàn)切點(diǎn)為 P1、 P2，則切點(diǎn)弦 P1P2 的直線(xiàn)方程是1.a2b27.雙曲線(xiàn) x2y21 （a 0,b o）的左右焦點(diǎn)分別為12，點(diǎn) P 為雙曲線(xiàn)上任a2b2F， F意一點(diǎn)F1 PF2，則雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)角形的面積為S F1PF2b2 co t .28.雙曲線(xiàn) x2y21 （a 0,b o）的焦半徑公式： (F1(c,0),F2 (c,0)a2b2當(dāng) M (x0, y0 ) 在右支上時(shí)，|MF1 |ex0a ,|MF2|ex0a .當(dāng) M (x0, y0 ) 在左支上時(shí)，|MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a9.設(shè)過(guò)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)

6、F 作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交 P 、Q兩點(diǎn)， A 為雙曲線(xiàn)長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié) AP 和 AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F 的雙曲線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)于M、 N兩點(diǎn)，則 MF NF.10.過(guò)雙曲線(xiàn)一個(gè)焦點(diǎn)F 的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2 為雙曲線(xiàn)實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A P和 A Q交于點(diǎn)M， A P 和 A Q交于點(diǎn) N，則 MF NF.122111.AB 是雙曲線(xiàn) x2y21 （ a 0,b 0）的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M(x0 , y0 ) 為 ABa2b2b2 x0b2 x0 。的中點(diǎn)，則 K OMK AB，即 KABa 2 y0a 2 y012.若 P0 ( x0 , y0 ) 在雙曲線(xiàn)x2y21（ a 0,

7、b 0）內(nèi)，則被Po 所平分的中點(diǎn)弦的a2b2方程是x0 x y0 y x02y02a2b2a2b2 .13.若 P0 ( x0 , y0 ) 在雙曲線(xiàn)x2y21（ a 0,b 0）內(nèi)，則過(guò)Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方a2b2程是x2y2x0 xy0 ya2b2a2b2 .橢圓與雙曲線(xiàn)的對(duì)偶性質(zhì)- （會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）橢圓1.橢圓 x2y21（ a b o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1 (a,0) ,A2 (a,0) ，與 y 軸平行的直a2b2線(xiàn)交橢圓于PP 時(shí) AP 與 AP 交點(diǎn)的軌跡方程是x2y2a2b21.1、21 12 22.過(guò)橢圓 x2y21 (a 0, b 0) 上任一點(diǎn) A(x0 , y0

8、) 任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直a2b2線(xiàn)交橢圓于 B,C 兩點(diǎn)，則直線(xiàn) BC有定向且 kBCb2 x0（常數(shù)） .a2 y03.若 P 為橢圓 x2y21 （ a b 0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F 2 是焦點(diǎn) ,a2b2PF1 F2,PF2 F1acco t.，則tan2ac22 24. 設(shè)橢圓 xy 1（ a b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P （異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上2 b2a任意一點(diǎn)，在PF1F2 中，記F1PF2,PF1F2, F1 F2 P，則有since .sinsina5.若橢圓 x2y21（ a b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線(xiàn)為L(zhǎng)，則當(dāng) 0a2b2e21P，

9、使得 PF1 是 P 到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)距離 d 與 PF2 的比時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)例中項(xiàng) .6.P 為橢圓 x2y21（ ab 0）上任一點(diǎn) ,F 1,F 2 為二焦點(diǎn)， A 為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，a2b2則 2a| AF2| |PA| |PF1|2a| AF1 | , 當(dāng)且僅當(dāng) A, F2 , P 三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立.7.橢圓 (xx0 ) 2( yy0 ) 21 與直線(xiàn) AxBy C 0 有公共點(diǎn)的充要條件是a2b2A2 a2B2b2( Ax0By0C)2 .8.已知橢圓 x2y21（ a b 0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)， 且 OP OQ .a2b24a2b2 ;（ 3）S OPQ

10、（1）1111 ;（ 2）|OP|2+|OQ| 2 的最大值為|OP |2|OQ |2a2b2a2b2a2 b2的最小值是22 .a b9.過(guò)橢圓 x2y21 （a b 0）的右焦點(diǎn)F 作直線(xiàn)交該橢圓右支于M,N 兩點(diǎn)，弦a2b2x 軸于 P，則 | PF |e .MN的垂直平分線(xiàn)交|MN |210.已知橢圓 x2y21（ a b 0） ,A 、B、是橢圓上的兩點(diǎn)， 線(xiàn)段 AB 的垂直平分a2b2線(xiàn)與 x 軸相交于點(diǎn)P( x0a2b2a2b2,0), 則x0.aa11.設(shè) P 點(diǎn)是橢圓 x2y21（ a b 0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F 1、F2 為其焦點(diǎn)a2b2記 F1PF2，則 (1)|

11、 PF1 | PF2 |2b2.(2)S PFFb2 tan .1cos12212.設(shè) A、 B 是橢圓 x2y2 1（ a b 0 ）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P 是橢圓上的一點(diǎn)，a2b2PAB,PBA,(1) | PA|2ab2 | cos| .(2)a2c2 cos2BPA， c、e 分別是橢圓的半焦距離心率，則有tan2S PAB2a2b2tan 1 e .(3)b2a2 cot .13. 已知橢圓 x2y2（a ）的右準(zhǔn)線(xiàn) l 與x軸相交于點(diǎn) E ，過(guò)橢圓右焦點(diǎn) Fa2b21b 0的直線(xiàn)與橢圓相交于A、 B 兩點(diǎn) , 點(diǎn) C 在右準(zhǔn)線(xiàn) l 上，且 BCx 軸，則直線(xiàn) AC 經(jīng)過(guò)線(xiàn)段 EF 的中點(diǎn)

12、 .14.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線(xiàn)，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線(xiàn)必與切線(xiàn)垂直.15.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線(xiàn)交相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線(xiàn)必與焦半徑互相垂直 .16. 橢圓焦三角形中 , 內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e( 離心率 ).（注 : 在橢圓焦三角形中, 非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、 外角平分線(xiàn)與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為內(nèi)、外點(diǎn) . ）17.橢圓焦三角形中, 內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線(xiàn)段分成定比e.18. 橢圓焦三角形中 , 半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).橢圓與雙曲線(xiàn)的對(duì)偶性質(zhì) -（會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）雙曲線(xiàn)1.雙曲線(xiàn) x2y21（ a0

13、,b 0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1(a,0) ,A2 (a,0) ，與 y 軸a2b2x2y2平行的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于P1、P2 時(shí) A1 P1 與 A2P2 交點(diǎn)的軌跡方程是1.a2b22.過(guò)雙曲線(xiàn) x2y21（ a 0,b o）上任一點(diǎn) A( x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互a2b2b2 x0 （常數(shù)） .補(bǔ)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于B,C 兩點(diǎn)，則直線(xiàn) BC有定向且kBCa2 y03.若 P 為雙曲線(xiàn)x2y21（a 0,b 0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F 1,a2b2F2是焦點(diǎn),PF1 F2,PF2 F1ca， 則ct a n co t（ 或caa22cot）.ct a na224.設(shè)雙曲線(xiàn)

14、x2y21 （ a0,b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為12a2b2F、 F ,P （異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，在PF1F2中 ， 記F1PF2,PF1F2,F1F2Psinc，則有sin)e .(sina5.x2y21（ a 0,b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線(xiàn)為 L，若雙曲線(xiàn)2b2a則當(dāng) 1 e21時(shí)，可在雙曲線(xiàn)上求一點(diǎn)P，使得 PF1 是 P 到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)距離d 與 PF2的比例中項(xiàng) .6.P 為雙曲線(xiàn) x2y21（ a 0,b0）上任一點(diǎn) ,F 1,F 2 為二焦點(diǎn)， A 為雙曲線(xiàn)a2b2內(nèi)一定點(diǎn)，則|AF2|2a| PA| PF1 | , 當(dāng)且僅當(dāng) A,F2 ,P 三點(diǎn)共線(xiàn)且P

15、 和A, F2 在 y 軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.7.雙曲線(xiàn) x2y21（ a 0,b 0）與直線(xiàn)Ax By C0有公共點(diǎn)的充要條a2b2件是 A2 a2B2b2C 2 .8.已知雙曲線(xiàn)x2y21（b a 0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、Q為雙曲線(xiàn)上兩動(dòng)點(diǎn)，a2b2且OP OQ.（1）1111;（ 2）|OP|2 +|OQ|2 的最小值為4a2b2 ;（ 3）S OPQ|OP |2|OQ|2a2b2b2a2a2b2的最小值是 b2a 2 .9.過(guò)雙曲線(xiàn)x2y21 （ a0,b 0）的右焦點(diǎn)F 作直線(xiàn)交該雙曲線(xiàn)的右支于a2b2x 軸于 P，則 | PF |e .M,N 兩點(diǎn)，弦 MN的垂直平分線(xiàn)交|MN |

16、210.已知雙曲線(xiàn)x2y21（ a 0,b 0） ,A 、B 是雙曲線(xiàn)上的兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB 的b2a2a2b2a 2b2垂直平分線(xiàn)與x 軸相交于點(diǎn) P( x0,0) ,則 x0或 x0aa.11.設(shè) P 點(diǎn)是雙曲線(xiàn)x2y21 （a 0,b 0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F 1、 F2a2b22b2為其焦點(diǎn)記F1PF2，則(1)| PF1 | PF2 |.(2)1 cosS PFFb2 cot .12212.設(shè) A、 B 是雙曲線(xiàn) x2y21 （ a 0,b 0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P 是雙曲線(xiàn)上的a2b2一點(diǎn)，PAB,PBA, BPA， c、e分別是雙曲線(xiàn)的半焦距離心率，則有 (1)| PA|2ab2 | cos| .| a2c2co s2|(2)tantan12.(3)S2a2b2ePABb2a2 cot .13.已知雙曲線(xiàn) x2y21（0,b ）的右準(zhǔn)線(xiàn) l 與x軸相交于點(diǎn) E ，過(guò)雙曲a2b2a0線(xiàn)右焦點(diǎn) F 的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于A、B 兩點(diǎn) , 點(diǎn) C 在右準(zhǔn)線(xiàn) l 上，且 BC x軸，則直線(xiàn) AC經(jīng)過(guò)線(xiàn)段 EF 的中點(diǎn) .14.過(guò)雙曲線(xiàn)